L.\ MKTIIODK 1)K M. DAIUJOUX

Par suite, le cocflicient de-?— dans 13 ;F) est une fonction linéairo de

ou ''

;)o,„, et le cocflicient de p„.„ est

'lia j^m— —'=>''^-^ — m ^^ •

(1x cil/ " \^q Dp/ '

en égalant ce coefficient à zéro, on retrouve précisément la relation fo2).

Les seules équations du second ordre, ayant leurs deux familles de caractéristiques confondues, auxquelles s'applique la méthode de M. Darboux, sont donc les équations intégrées précédemment '^t. 1 ; n*' 93-96), qui comprennent comme cas -particulier les équations de Mpnge-Ampère, pour lesquelles les équations différentielles des caractéristiques du premier ordre admettent trois combinaisons intégrables distinctes.

Toute équation de la forme (48), qui n'appartient pas à cette catégorie, ne peut admettre pour ses caractéristiques d'invariant d'ordre supérieur au premier; si elle admet un invariant du premier ordre, on pourra effectuer une transformation de contact telle que cet invariant soit précisément//. La nouvelle équation sera delà forme

et, comme les deux systèmes de caractéristiques doivent être confondus, il faudra que /"soit indépendant de 5, et l'équation se réduira à la forme simple

On voit, d'après ce ([ui précède, (|ue celte écpiation n'est jamais inté-

ffrable par la méthode de M. Darboux, à moins nue 7- ne soit nul; car

telle est la condition pour (jue les caractéristiques du premitM- ordre aient trois invariants distincts.

167. Nous allons appliquer la méthode générale à quelques exemples. ExE.MPLE VIL — Soit à intégrer une équation de la forme

les deux racines y>/,, m., de l'équation caractéristicjue (5nt jtôur valeurs

Tout invariant o (.r, y, z, p, </, s, /) du second ordre du système de caractéristiques correspondant à la racine m.^ doit satisfaire aux deux équations simultanées

la combinaison A [B(!p)] — B [A((p)] = o conduit à la nouvelle é([uation

comme la fonction Z' n'est pas supposée indépendante de 5, on en conclut la nouvelle équation

de même la combinaison C 'B (o)^ — B [C (o)] =^ o donne ^ = o, et il reste une seule équation

c\-/; ^p '^^si ^y ^ :>p ' \ 71 i^y^ :>p \-^

pour déterminer la fonction z> des quatre variables ./■, y^ p, s. Il y a donc trois invariants distincts du second ordre, ce qui est bien conforme aux résultats déjà connus (n° 92 et 162).

Exemple YIII, — Prenons encore une équation de la forme

posons, pour abréger, h = -\ les deux racines de ré(|iiation caractéristique sont

Un invariant du second ordre de l'un des systèmes doit satisfaire aux

deux équations

A (>rÀ —

de ces deux équations on déduit, comme tout à l'heure, en supposant

— ~ dîfr<ippnf. dp 7Prfi