C. { rrj)T=: n
d'où il suit que o est de la forme F -r, y, z, p, u . Eu prenant pour variables a?, y, -, p, 5',r<,les é(piations B f-^ =: o, C (o) = o deviennent
:^F on en déduit t- = o, et il reste une seule équation
5^ + V + rJ ^ "^ y Tu - V 3^ ~ fe + " 5^ + " ) Ta = ^
pour déterminer une fonction des quatre variables x, -, j), u. Il y a donc trois invariants distincts du second ordre (n° 92 et 162 ).
ExiiMPLK IX. — Dans lesdeux exemples précédents, on peut employer aussi la méthode des intégrales intermédiaires du premier ordre pour intégrer l'équation. II n'en est plus de même pour Téquation suivante
r -\- f (.r, p, se^') = o.
Soit J( =: se^' ; un invariant du second ordre de l'un des systèmes doit satisfaire aux deux équations
Os l op Ou ^ )
474 C.M.MMTIΠVII
un i'!i ilt'ilnil >;in"t"rs-^iv<'iiirnl, t-n "^uppusaiil (|Ui' la fonclimi /"('(iiilieiil n,
= o, r^ — Ki H- = o,
<.«' (jui montre que 5. est de la forme F a:, y, p, se^-).
I/équation B (ç.) ::= o devient, en prenant pour variables .'•, y, p, u,
. ^F on en déduit (lue Ton doit avoir aussi '-— nu. o, et il reste u^ seule
équation
^"^F , / Y \ .^F , /.. cV\^F
pour déterminer une fonction F {ct.p, u) de trois variables. 11 y a donc deux invariants distincts du second ordre.
168. Lorsqu'une équation du second ordre ne renferme que la dérivée seconde *, les deux systèmes de caractéristiques admettent respectivement les deux invariants ./• et y\ il suflira donc qu'il existe une autre combinaison intt'grable dans l'un des deux systèmes pour pouvoir appliquer la méthode de M. Darboux. Toute intégrale intermédiaire est de la forme
ou d'une forme analogue obtenue en remplaçant 0: par// (n" 145). On est donc ramené à l'intégration d'une équation différentielle d'ordre n, renfermant une fonction arbitraire o {x).
Considérons, en particulier, une équation linéaire
(54) s -\- ap-\- h<i + c- = o,
où a, b,o. sont des fonctions de x et de y seulement, et le système de <;aractérislique8 défini par les équations
dx = o, >)z = 7, rfy, dq^ = q./l,j^ ..., fJq„^^ — <i„fhj.
LA MÉTIIOUE DK M. DAHIJOI'X 175
OU 011 a pose
yz
On a
[ap^ +ir/, + cc;
V =" cv = ~ v^-' + bs^cp, + -j), + - .y, -f - zy
D'une manière générale, -^ est une fonction linéaire et homogène
do r, (/,, p^, P21 ••■1 Pu\ un invariant d'ordre n de ce système de caractéristiques est une fonction de a-, y, 2, p^, p.,, ..., p„ qui doit satisfaire à la condition
en égalant à zéro séparément le coeflicientde </, et la somme des termes indépendants de (/,, on a un système de deux équations,
où a,, 72, ..., a„ sont des fonctions de ./.-et dey, et (ï,, pj, .••, ^h des fonctions linéaires et homogènes de *,^i,i32, -.-i Pn- Nous supposerons que le système de caractéristiques considéré n'admet aucun invariant d'ordre inférieur à 71, sauf 0 =: x, de sorte (|ue les équations (00) n'admettent, en deiiors de l'intégrale évidente 0T:=.r, qu'une seule intégrale commune (n" IGl). On déduira donc des équations (00) un système complet de n -f- 1 écpiations distinctes. On a d'abord
C (o) = A [B(o)] - B [A{^)] =;S lA(p,-)-B(a,) ! ^= o;
^^ '■Pi
mais A i^,) et B (ï,) sont indépendants de xr, p^, p-,, ..., p„, de sorte que la nouvelle équation est de la forme
176 CHAlTiHE VU
Tn ïî' ••• ÏM étant des fonctions de x et // seulement. 11 vient ensuite
et la nouvelle équation C, (ç>) = o est de in'>nie forme que C (cp) = o. On a de mt>me
A (C, ii)) -C, (A(cp)) = o, C (C/?)) - C, (C(<p)) = o,
tandis que B C^ (o)) — C, (B (©)) = 0 donne une nouvelle équation de même forme
Cj (<p) = o;
en continuant ainsi, on arrivera à former in — 1) équations distinctes
de même forme (jue C (s" = o, formant avec les équations [oo] un système complet. Des relations 06; on déduira les valeurs des rapports
Ds
Dp-,
Pj, p2 Pn ne dépendant que de x et de //. On rie peut avoir P„ = 0,
car on en concluerait -^-^- =: o, contrairement à l'hypothèse. Cela étant,
'■Pu
faisons P„ -= — l,ce qui ne diminue pas la généralitt', et remplaçons "r^*-
•• » —^ — par les valeurs précédentes dans les équations A (o) = o, <>p„ - 1 '
B (5, ^ 0; nous obtenons un système équivalent au système formé par
les équations (55; et (56j
,.-,, ) ^Pk ^Pn ^P'.-i ^P'i ^2 ^Pn
I ^+ ; Kr-hK,p, + ... + K„p„ ; -^^^^zo
K. K,. ..., K„, Z ne dépendant que des variables x et y. Pour que ce
syslè:Tie soit jacobien, il faut que Ion ail
|=K+ZK.,
si ces conditions sont vérifiées, on reconnaît que
est une intégrale du système (57). On peut donc prendre pour invariant d'ordre n une fonction linéaire de z , p,, p2? ••••, Pif,
"A, A,, ..., A„ étant des fonctions de x et de y.
L'équation linéaire proposée admet alors l'intégrale intermédiaire
(^^) ^5^+-^'£^+ ... + A„,| + A..- = cp(a:),
et les équations (54) et (58) forment un système en involution pour toutes les formes possibles de la fonction tp {x). Supposons, en particulier, &(a*) =: o ; l'intégrale générale du système des deux équations
dépend donc du. infinité de constantes arbitraires. On a démunlré plus haut (n° 1 10) que cela ne peut arriver que lorsque la suite de Laplace relative à l'équation •!> {2) z= o se termine du côté des indices négatifs après n — I transformations au plus.
Réciproquement, si la suite de Laplace se termine de ce côté après* ;) — 1 transformations, le système de caractéristiques correspondant admet un invariant d'ordre p. En effet, l'équation linéaire adiiint alors
"l.NTKGKATlON DES ÉOIATIO.NS. IJ
une intégrale de la forme
z=:BYH-B, Y' + ... +É;.,Y"'-"
B, B,, .... Bp, étant des fondions déterminées de .'• et de y, et Y une fonction arbitraire de y. Elle a donc uno infinité d'intégrales communes, dépendant d'une fonction arbitraire, avec une équation linéaire «le inême forme que F (;r) =: o et d'ordre p
11 faut pour cela que l'on ait une relation identique de la forme
2,, ïj, ..., 3, désignant des fonctions de x et de y [n" 110). Le coefficient de -r — dans celte identité est a — S ; on doit donc avoir ^i = a, et la 1 dation (59) peut s'écrire :
'^ ("7?;î^^+»«-7ù^^^+-''+^''-'*^^^rrfjr '^' ^'^y
identité qui montre que toute intégrale de «i> (5) = o satisfait à une équation de la forme
el'"'y¥^ [z) — <i{x) = o.
L'un des systèmes de caractéristiques de l'équation du second ordre admet donc les deux invariants x et ef"''«Ff {z).
p]n résumé, si l'un des systèmes de caractéristiques admet un invariant d'ordre n, et aucun invariant d'ordre inférieur à n, autre que a-, la suite de Laplace se termine d'un côté après n — 1 transformations, et inversement. Dans le cas des équations linéaires, la méthode de M. Darboux et la méthode de Laiilace réussissent en même temps.
169. On est encore conduit au même résultat en appliquant la mé.thode générale d'intégration des systèmes en involution exposée plus Jiaut (n» 137). Intégrons pour cela l'équatioa (58) comme une équation di/Térentielle ordinaire à deux variables x et -, en y considérant y
LA MÉTIIODF, DK M. DARf^OUX 179
comme un paruinèlre ; 1 intégrale générale est do la forme
60) - = c , >o (.'/) +^rp, ? [■-'': ''•'■. + -2 :?. '.y +/fi2? X'- ^■^.
;,, Zj, ..., ;„ étant )i intégrales particulières de l'équation sans second membre, p^, p.^. ..., p„ des fonctions déterminées de x et de y, et ?o '^.V'i r'i y --M r'"-! 'y) *^'^^ fonctions arbitraires de y. On peut évidemment supposer que l'on a choisi les intégrales particulières -^r,, Zj, ... z„, de façon que ^^ y , ç, (y), ..., ç.„j {>/) représentent respectivement les fonctions de </ auxquelles se réduisent, pour x = cCq, les fonctions
■•« T~i' "* ^ ,//- < ' f^our qu^ la fbrmule (60) représente une intégrale de
l'équation
»1) \z) r=i a ■\- a]^ -\- hq ■\- vz = o,
il faut et il suffît que les n fonctions ^^ y \ =., (y), ..., ç.„, iy) vérifient les relations
d\> iz) r/'-'«l>(j
où on aurait remplacé x par o-^, :: par 3^ iy^, — pari, (y), ... ,^. par
5,j( (i/, (n» 137 . Nous allons montrer que ce? n/bne/to/^^SQ (y), ..., 3(„, y) peuvent s'e.rprimer, par <les fovnuih's linéaires et homogènes, an moyen (le q — 1 constayites arbiti-aires et d'une fonction arbitraire Y de y et de ses n — q premières dérivées, sans amiin siyne de quadrature (').
Soient «o'^O'^o '^'^ fonctions de y aux(juelles se réduisent «, b, r, pour ./• = Xq ; l'équation 4> [z] = o nous donne d'abord
? i' {>/) + «0?» (i' ' + *o?ô (//> + Coç,, (2/) 3= o,
ou. en multipliant par ef "*>'''■'*
T [?. (y) e/Vvj + b^-,',[y] -f rvro '!/) = o, dy
(') Voir mo n Mémoire Sur les équations linéaires et la tnétliode de Laplnce [American Journal of Mattieiiialics, t. XYIII: \k 'S'6i}.
180 CIIAIMTKE VU
en posant, pour abri'^or,
Il vient, en iiilograni par parties,
«F, (y) ef""'-' + Repoli/' +/(e, - ^;) oo (yU/y =: C-.
Si r^ — TT-^ = o, il suffira de poser ©o {y) = Y, et o, (y; s'exprimera ''.'/ * ' '
aussi linéairement en fonction Je Y et dune constante arbitraire ; si
(■^ — -:^ n'est pas nul, il suffira de poser
et on trouvera pour o, {y) une fonction linéaire de Y et de Y'. Supposons la loi vraie jusqu'à la dérivée d'ordre;), dételle façon que Oo (//), ■••■>^p{y) s'expriment au moyen dune fonction arbitraire dey, de ses (p — r) premières dérivées et de r constantes arbitraires C,, C^, ... C,., par des formules linéaires et homogènes d )nt les coefTicients sjnl des fo.nctions déterminées de y. Pour calculer ensuite ç.^ ^. , (y), on part de la formule
obtenue en différentiant p fois l'equalion proposée par rapport à a* et tenant compte de l'équation même. Si on fait dans cette relation x=-=iXQy
et qu'on remplace ensuite z, -—5 •••> — £ par les expressions déjà obtenue cX'
nues pour o^iy], .... ç,,/y , — par la valeur de o^iy , puis ^ par
Op+, (yi, il vient
o'^., 'y -f-rt,^^,/y -f- /,Y + /,Y' + ... + l,-r^,\"-'-^' + >«^C, + -.
l^, f , fp-rn, »i,- ..., "*;• étant des fonctidns déterminées de y, Y une
fonction arbitraire de y, et C,, ... C,. des constantes arbitraires. Multiplions encore par e/V'', et intégrons par parties autant de fois que possible; on peut écrire la formule
LA MKTJIODE DE M. DAUBoLX 181
Lj, ..., Lp-r, M|, .., M,, X t'ianl des fonctions déterminées de ij. Si N est nul, on voit que z>p4.f (y) est une fonction linéaire et homogène de Y, Y', ..., Y'''"'\ C,,C2, ... C,. et d'une nouvelle constante arbitraire C,^.,. Si N n'est pas nul, on posera NY r=: Y',, Y, étant une nouvelle fonction arbitraire de >/, et on voit (jue Oq^?/), .... 0^+, ii/) seront des fonctions linéaires et homogènes de Y,, Y',, ..., Y/'-''^' et des )• constantes C,, Co, ..., C,.. La loi est donc générale.
Kn remplaçant o^ j/}, ..., 3„, (//) par leurs expressions dans la formule 60), on trouve que l'intégrale générale de l'équation
s -{- ap -\- fjq -\- cz ^= o
est donnée par une formule de la furme
z = C,v, + ... + C,,t^,, 4- AY + A, Y' + ... + A„,Y("- ^)
+ ^^fP^? {^)dx + ••• + ^nfh? (^) ^^1
y,, ..., fç-, ; A, ..., A,i^; ^,, ,.., z„; p,. ..,, prêtant des fonctions déterminées de X et de ^, Y une fonclicn arbitraire de y, o [x) une fonction arbitraiie de x et C,, ..., C,^, des constantes arbitraires. En supposant nulles toutes ces constantes, ainsi que la fonction i^{x\ on a une intégrale particulière de la forme
^=:=AY-f-A,Y'-f ...-f A,.,Y'«-'/\
ce qui suffit à prouver que la suite de Laplace se termine après n — 7 transformations au plus. D'autre part, si on suppose ({ue l'invariant d'ordre le moins élevé est d'ordre n, la suite de Laplace ne peut se terminer qu'après n — 1 transformations; on a donc nécessairement 5":= 1, et la formule précédente ne renferme pas de constantes arbitraires. Hemaiiqck 1. — Soit H l'invaiiant d'ordre minimum obtenu plus haut
w =.Ap« + A,;)„, -h ... + \„3 ;
tout autre invariant est de la forme
^/ cfu d-H ilfu\
et peut contenir les dérivées dune façon ([uelconquc.
Remarqii. h. — Lors(iu'il existe une équalion
yi-l
formant un système en involution avec une équation linéaire
s -^ ap -^ bq -|- CJ — O,
on peut toujours introduire une constante dans F [z). En elTet, si on
change z en ac, l'équation linéaire ne change pas ; l'équation F [az] = o
doit donc former aussi un système en involution avec l'équation linéaire
proposée. Or l'équation F iaz) = o dépond elTectivomenl do la constante
a, à moins que F ne soit une fonction homogène et du premier degré
de z, -^ > •••» ^ ^^^' S'il on est ainsi, désignons par z^ une intégrale de
l'équation proposée qui ne vérifie pas l'équation F (z) = o ; en changeant z en r^ + «;:,, la nouvelle équation F(5^-}-^-i) =^ o dépend effectivement dcrt, car le coefficient de a se réduit à Fiz, ), pour z = z^.
11 résulte de ces remarques que, lorsque la suite de Laplace relative à une équation linéaire est illimitée dans les deux sens, il ne peut exister d'équation formant avec celle-là un système en involution. Si la suite de Laplace est limitée d'un seul côté, par exemple du côté des indices positifs, il existe une infinité d'équations formant avec la proposée un système en involution ; elles ne renferment que les dérivées partielles de z par rapport à la variable y.
Remarque III. — Dans le cas de l'équation linéaire la plus générale,
Ar + 2B.V 4- C/ + Dp + E<j -\-¥z -\-G = o,
la méthode de M. Darboux conduit aux mêmes résultats (jue la méthode de Laplace, généralisée par Logendre. Voir n'" 113 et suivants.)
170. F.XEMPLE X. — ^L Sophus Lie f) a donné un procédé élégant pour trouver tous les cas où l'équation
est intégrable par la méthode de M. Daiboux. Prenons en particulier
I}) SopHLS Lie. Discussion cler Diffère nliabilcichun'j $=f{Zj (Archiv for Mnllietnalik. Ud. 6, Chrisliania ; 1880,.
le système de caractéristiques
dx =r O, dz = fjr,(/y, </r/, = <^.^di/, ... dq„^^ = rj„di/,
^p< — 'ù ^-'Z' '^^2 = ^' ^V' • • • ' ^Pn = % f^«/> • • • ;
on a
|=» = A-), |; = i = rwp„
D'une manière générale, appelons poids du produit
la somme a, + ^a^ + ••• + ^^^/î ^ ^st un polynôme entier Pa-< en Po Pi. •••' Pa-1 dont tous les termes sont de poids k — 1,
Q;r., ne renfermant que p,, pj, ..., Pk-r Si le système de caractéristiques considéré admet une combinaison intégrable d'ordre n, rfo = o, o doit être une fonction de x, y, z, p^, p.^, ...,P/i sati^aisant à la condition
et, comme o ne contient pas 7,, il faut ([ue l'on ait séparément
/Ci \
^V tVi ^ ^Pi — ^ '^P/
Les équations (61) entraînent la suivante
18i (HAFMTRK VU
ol les doux équations B (s) =o, C (cp) = o sont équivalentes, en supposant que f"^ — ff" nost pas nul, à celles-ci
,,]î+,r r..^+i:|rwp,-,-A(.-)'^(\^ = o,
On remarquera que le coefficient de-^ dans la première équation est de la forme
tandis que dans la seconde équation il est de la forme S/,, en désignant par H/, etS,, des polynômes de poids i — 1 ne renfermant que p,, Pj, ..,, pz-j. On peut encore écrire les équations précédentes
a;, et fl/ , étant des polynômes en yj,, P2, ■•■■, pi-i de poids i — f Formons la combinaison
nous obtenons une nouvelle équation
OÙ ^jL'i' est un polynôme de poids i — 5J. On aura de même
LA MÉTHODE DE M. DAnBOUX 18o
/1\ étant de poids / — 3, et d'une manière générale
Mk if) = L [Mk-, (o)] - Mk-. [L (ç)] =: 2 P/J^'. ^ = 0,
^i-\ étant de poids i — K — 1. Il s'ensuit que Mk (») est de la forme Mk (<?) = flK d^- + h^py -p- 4- ...,
i'^K + l t^PK+2
Ak et ^K étant des constantes. Pour avoir la valeur du coefficient «k, remarquons que Ton a :
«K + i = L (6kPi) — Mk (;5k -f ïk) = — ^K,
et comme ai =: 1, il s'ensuit que l'on a ûk = ( — 1) *'"'^'. Au bout de « — l opérations, on arrivera donc à l'équation
M„,{,) = (-ir^=o;
en remontant de proche en proche, on en concluera successivement que Ton doit avoir aussi
Il n'y a donc pas d'autre solution pour le système (61) que o = j?. Par sw\\.e^'Vé<iv.ation
ne peut êlve inlégrée par la méthode de M. Darboux, lorsque f"^[z) — f[z)f"{z) est différent de zéro.
Lorsque /"* — ff" est nul, on a Z' i>^ = Ae'^^, A et K étant des constantes. Si K est nul, l'intégration est immédiate; si K n'est pas nul, on est ramené à l'équation de Liouville (n° 47). Pour toute autre forme de la fonction f{z)^ l'intégration est impossible par cette voie; on en conclut, en particulier, que l'équation
^= sin^,
'dx^y
à laquelle se ramène la détermination des surfaces à courbure constante, n'est pas inté|xrable par la méthode de M. Darboux (*).
171. ExEMPLK XI. — Appliquons encore la méthode à l'équation s (x -\- !/) = 2 \Jpf/ ; on trouve deux intégrales intermédiaires du second ordre
' ■ V(L = .f iy).
Posons p =z H-, Q = v^ ; te et v s'obtiennent par lintégration d'un système d'équations aux différentielles totales
du =z \ z, ix] — — ; — dx -\- — ; — du, dv = ; dx 4- '1 (y) ; — \dy,
dont l'intégrale générale est, en remplaçant o (a?) pai' X", et •]/(^)parY",
m X désignant une fonction arbitraire de >r, et Y une fonction arbitraire de y ; on a ensuite z par des quadratures
z = / X' + -^—-^ Jx + Y' + ^^-i dy.
ce qui peut encore s'écrire :
= fx" dx + l^y^dy - ^
(') M. Sophus Lie a démontré aussi qu'il en est de même de l'équation
a» («î - rt) = (1 -f- P" + 9-)-.
qui définit les surfaces à courbure constante en coordonnées cartésiennes [Ztir Théorie der Fldchen conslanler Krtimmiing ,.
Pour faire disparaître tout signe d'intégration, il suffira d'exprimer
.r et X en fonction d'une variable auxiliaire a, de telle façon que / \'^dx
s'exprime aussi explicitement, et de même pour // et Y. Nous n'avons pour cela qu'à poser
X' = a, a; = dj" (a),
ce qui donne
X =fX'dx =foLo"' (a) dx = <iz." (a) — o' (oc), JX'^dx =fy-Y {^) dx = xY (a) — 2aç>' (a) + 2ç> (a);
de même, en posant Y' = p, y = ■]/" (^), on aura
V = pf (p) - f m
/Y'Vy = (^Y (P) - W (P) + 2 f (S).
En définitive, l'intégrale générale de l'équation s [x -\- y) = ^ \f]ïq est représentée par les formules suivantes, où s. et -j/sont deux fonctions arbitraires, » et p deux paramètres variables,
, z = ry (a) - 2af (a) + 2 o (a) + ff (?) - 2p-f' (?) + ^ (?)
172. Dans ce qui précède, nous avons supposé l'équation du second ordre ramenée à la forme r -{- /'=o,on s-\-/' [x, y, z, p, q) = o. Théoriquement, on a toujours le droit dt faire cette hypothèse, et les théorèmes établis plus haut sont vrais, quelle que soit la forme de l'équation à intégrer. Mais, dans la pratique, il peut arriver qu'il soit impossible d'effectuer la résolution indiquée ; on peut alors diriger les calculs comme il suit. SoitF = o l'équation du second ordre; en ajoutant toutes les relations que l'on obtient par des différèntiations successives jus-
qu'à l'ordre n — 2, on a en tout — ^^ relations entre les variables x,
y, z et les dérivées de - jusqu'à celles d'ordre n^ c'est-à-dire entre
IHS CIlAriTRE VII
variables; on pourra donc les exprimer loutes au moyen
1 «' + 3n 4- fi nu — i) ^ , .-, . r^
<le ■ — — = zn -\- S paramètres, hn portant ces
expressions dans les 2« -|- 1 étjuations dilTérenlielles des caraclérisli([ues d'ordre n, il restera un système de "lu -\- l équations entre 2n -f- 3 variables; il y aura toujours deux éiiuations de moins que de variables.
Prenons, par exemple, une équation de la forme
/"ne contenant pas r. On reconnaît aisément que toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue peuvent s'exprimer au moyen des dérivées pk,Q et ;)o,i; on pourra donc ne laisser que ces dérivées dans les équations différentielles des caractéristiques. Prenons en particulier le système qui correspond à la racine
de l'équation caractéristique; l'équation proposée différentiéew — 1 fois par rapport à y donne
ou, en multipliant par dx,
C'est la dernière écjuation des caractéristi(iues d'ordre n de ce système ; les autres s'écrivent immédiatement.
KxEMPLE XII. — Appliquotis cette méthode à l'équation (')
— fjz— qy(u,-\ = o;
t un des systèmes de caractéristiques est défini, en posant ii =: - et
[}) Beloos, Comptes Rendus, t. CXX. p. 902; 1895.
LA MKTIIDDK 1)K M. DAMItOUX 189
poussant jusqu'aux dérivées du Iroisiéme ordre, |»ar les relations
dy = -q ;^ d.,; ,}z -^ (p - q' ;^Q dx, dp --- ]r-qf^{rj= + qY) \ d-V, dq ,(^y=-{-q^r-(q f^^d.r,
dr = pm.dx + 2h.\d>/, dt = puidx -f Vo.idy, , __\d-^\qz + 9'fiy.u)\\
( <fr )
ou on a
V,, = 1-- + (-■ + 2'/'/- +'r%-''fu + ''ïc P"- V2i = P'i +- (-■ + 29/-- f^ i) (q^ + gV) + î ^ p...
Tout invariant du troisième ordre ç. (r, y, z, p. 7, r, /, p^,^, Pcai^ doit donc satisfaire aux deux équations
Des combinaisons faciles donnent successivement, en remplaçant Jhi et ;)ji par leurs valeurs,
i\- Op i^^- cq i^t iV)„3
ce ([iii montre que o est de la forme
PiVi .
190 CHAPITKK VU
il reste ensuite les deux équations
pour déterminer la fonction F. Si on suppose cette fonction indépendante de r, il reste la condition
il y a donc un invariant du second ordre et un invariant du troisième ordre.
173. Une équation du second ordre inlégrable par la méthode de M. Darboux est caractérisée par la propriété suivante : Toute intégrale de^ cette équation appartient à une autre équationaïuc dérivées j^artielles qui a une infinité d'intégrales communes avec la proposée^ dépendant dCune fonction arbitraire, sans les admettre toutes. Pour (ju'il en soit ainsi, il faut en effet qu'il existe une équation 9 = 0, dépendant d'une fonction arbitraire, et formant avec la proposée F = 0 un système en involution; ce qui ne peut arriver que si l'une des familles de caractéristiques admet deux invariants distincts. Lorsque chacune d'elles admet un invariant au plus, on ne peut obtenir par cette méthode que des intégrales dépendant d'une seule fonction arbitraire, mais non l'intégrale générale. 11 peut arriver aussi qu'il existe des équations formant avec F = 0 un système en involution, sans qu'il existe aucune combinaison intégrable pour les équations difTérenlielles des caractéristiques. Nous en avons vu un exemple plus haut avec l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courbure constante (n° 126). Ces équations ne peuvent dépendre d'aucune constante arbitraire.
La théorie des groupes d'ordre infini de transformations permet de former des équations aux dérivées partielles du second ordre, intégrables par la méthode de M. Darboux ('). Nous considérerons seulement, pour fixer les idées, des transformations ponctuelles.
(1) SoPHLs Lie, « Zur allgemeinen Théorie... » (Bericide der Koniffl. Suchs. Gesen^ chaft, 1895, Kopitel IV).
BEI-D05, -Comptes Rendus '1894-189o).
Les formules
qui font correspondre au point (.r, //, -) le point {x\ y\ z') définissent une transformation ponctuelle dans l'espace à trois dimensions. Lorsque les fonctions P, Q, K dépendent en outre d'un nombre fini de constantes arbitraires, ou d'une ou plusieurs fonctions arbitraires, on a ainsi un ensemble de transformations. Cet ensemble de transformations forme un groupe, si la suite de deux transformations quelconques de cet ensemble donne une nouvelle transformation appartenant au même ensemble. Nous ne nous occuperons que du cas où on a un groupe d'ordre infini, c'est-à-dire dépendant d'une ou plusieurs fonctions arbitraires. Par exemple, les formules
(I) .r' = X ix), y = Y (;/), z' z= z
définissent un groupe infini dépendant de deux fonctions arbitraires X et Y; il en est de même des formules
(II) x' = X {x), y' = Y {y), z' = z — log X' — log Y'.
Les systèmes de formules ci-dessous définissent des groupes infinis dépendant d'une seule fonction arbitraire Z [z) ou X {x),
(III) x' = X, y' = y, z' = Z {z),
(IV) x' = X {x), y' - .y, z' = z\' [x),
(YI) x = X ix), y' = II, z' = ^^ , . — — T-^'
Quand on applique une transformation définie par les formules (62) à tous les points d'une surface (S), le point correspondant décrit en général une surface (S'). Si on désigne parp', q, r ,s',t',...,\esàér'\sées successives de z' par rapport à x' et à y\ on tire des formules (62) des relations qui expriment/)', q', ?•', s', /',...,aurhoyendea', y, z.p, q, r, s,l,
l </' = fi {-^'^ y^ -, p, 9),
' r = <p, [x, y,z,p,q, v\ s, t), j s' = ^2 (x, y, z, p, q, r, s, t), I t' = or^ ix, y, Z, p, q, r, s, t).
lOi CHAPITRK VII
Lors(|ue les formules 02' iléfinissent un groupe, les formules (62) et (63) délinissent également un groupe, qui est dit le groupe prolongé du premier. Cela posé, on dit, pour abréger, qu'une équation du second ordre F — - o admet le groupe de transformations ponctuelles (62), lorsque celle équation ne change pas par toutes les transformations définies par les formules (62) et (63;.
Par exemple, le groupe prolongé du groupe (I) est donné par les formules
, V ' X' ' ' P ' 9 ' r\'—p\" , s t\' — qY' x=\,l/=\,: =c,p=^,yq=y,^r= ^^ •s=:^,,t = ^^ i
on en déduit legralité —r-, = — > qui montre que toute équation de la ^ pq pq ^
forme
admet le groupe (I) de transformations. Des tormules (TT) on tire de même, en posant X = X [x), Y = Y [y],
p X" , o Y" ^^ = X' - X^"^ = V - Y^'' ,rX'— pX" X"X— ^X'^' , s ,tr—qY' Y'"Y'— 2Y"2
s s on a-^=: — et, par suite, l'équation c- e- ^
(63) s = he-
admet le groupe (II) de transformations. Prenons encore le groupe (III) ; on a
p ^ Z>, q = ZVy, r' = Tr + 7:p\ s' = Z's + Z"pq, t' = Z't + Z"q^ ... l'élimination de Z' et Z" nous donne
ff' q q'r — T)V qr — m q's — n't' r/s — fil
ce qui montre que toute équation de la forme
/ yi ■ <n' — T)5 (n — pA,
admet le groupe (III) de transformations. On verra de même que les équations
admettent les groupes de transformations (IV), (V) et (VI) respectivement.
Lorsqu'une équation aux dérivées partielles admet un groupe de transformations, toute transformation de ce groupe, appliquée à une intégrale, la change évidemment en une nouvelle intégrale. En particulier, lorsqu'une équation du second ordre admet un groupe conmi de transformations ponctuelles dépendant de deux fondions arbitraires, on pourra déduire d'une intégrale particulière une intégrale dépendant de deux fonctions arbitraires, c'est-à-dire l'intégrale générale. Prenons, par exemple, l'équation (64), qui admet le groupe (I) de transformations ponctuelles; en cherchant une intégrale de cette équation qui soit de la forme /"(x -|- y), on trouve que la formu,le
e ^ dz = .r -j- y
définit une intégrale de cette espèce; l'intégrale générale s'obtiendra en appliquant à celle-là toutes les transformations du groupe (I). Elle est, par conséquent, donnée par la formule
e •^''''''"dz = X(xj + \{y).
L'équation (65) admet de mèms l'intégrale particulière
^'- h (.r+ yj^'
l'intégrale générale est, par suite,
Considérons maintenant une équation du second ordre admettant un
INTÉGRATION DES KQUATION». 13
194 cnAi'iTUK VII
groupe infini de transformations dépendant (Tune seide l'onction arbitraire. Nous supposerons ^ue les formules {(S'I) qui dtMinissent ce groupe renferment explicitement une fonction arbitraire et ses dérivées jusqu'à un ordre déterminé. D'après les théories générales de M. Sophus Lie, il existe pour ce groupe une infinité d'invariants différentiels, c'est-à-dire de fondions u [x, v, c, p, 7, r, 5, /,...,) renfermant les dérivées de z jusiju'à im ordre aussi élevé qu'on le veut, qui.se reproduisent par toutes les transformations du groupe prolongé. Soient w, y, ?o, trois invariants différentiels distincts, tels que l'équation proposée F = o ne puisse pas être mise sous la forme <I» (m, r, w) =^ o. Soit alors (S) une intégrale quelconque de F = o ; choisissons la fonction <1» de telle façon que cette intégrale vérifie aussi la relation * (», r, te) = o. Les deux équations
F =:t). <I> [u, r, îo) = o,
admettant toutes les transformations du groupe considéré et ayant déjà une intégrale commune (S\ ont une infinité d'intégrales communes dépendant d'une fonction arbitraire, celles que l'on déduit de (S) par toutes les transformations du groupe. Toute intégrale de l'équation du second ordre proposée appartient donc à une autre équation qui a une infinité d'intégrales communes avec F = o, dépendant d'une fonction arbitraire, sans les admettre toutes. L'équation F = o est donc intégrable par la méthode de M. Darboux.
Prenons, par exemple, l'équation
„ / p c/r — ps qs — pt \
F [X. IJ, -r ^—-H » ^ ^ — 0,
qui-admet le groupe infini de transformations
n X, V et - sont trois invariants différentiels de ce groupe. q
Toute intégrale de l'équation du second ordre vérifie donc une équation du premier ordre
qui admet une infinité d intégrales communes avec F = o, dépendant d'une fonction arbitraire. Il faut pour cela que l'équation du premier
LA MKTIInDF, DH M. DAHHOIX lOj
ordre soil une intc<i^ralc intermédiairo de l'éaiialioii du second ordre, et cello-ci doit admettre une inlég'rale inlerint'diairt,' du premier ordre dépendant d'une fonction arbitraire. Il est facile de le vériller, car, s»
on pose H -, l'équation du second ordi*c peut s'écrire
y. II, r—î — Considérons encore l'équation
<iui admet le groupe infini
,V, -' - sont trois invariants différentiels de ce groupe. Tonte intégrale
de ré([ualion du second ordre appartient donc à une équation de la forme
formant avec la première un système en involution. Pour appli([uer la méthode de M. Darboux, il faudra donc chercher une intégrale intermédiaire du second ordre.
Il en est de même de l'équation F (//, «y, t,^) ^= o, qui admet le
groupe de transformations (V) avec les trois invariants dilVérenliels ^, q, L Pour l'équation
il suflira de pousser jusi|u"aux dérivées du trcjisième ordre ;n''lT!2), car le groupe (VI) admet les invariants dillerenlicls
Tout ce que nous venons de dire s'applicjne aussi aux équations admettant nii groupe infini de transformations de contact ; mais il est essentiel de remarquer (jue la théorie des groupes ne donne pas toutes
les équations du second ordre inlég^rables par la mtHliode de M. Darboux. Ainsi 1 équation (.r -f- y)-s^ — A pq = o intégrée plus haut (n* 171) n'admet aucun groupe infini de transformations (').
(') On peut déterminer comme il suit toutes les transformai ions de contact qui ne changent pas la forme de l'équation (.r -f- //)*5^ =: Apq. Soient
les formules qui délmissent une de ces transformations. Les deux familles de caractéristiques admettent respectivement une seule combinaison intégrable du premier ordre, dx ^ o et d;/ ^= o. Les caractéristiques de léqnation transformée admettront donc les deux combinaisons intégrablcsdu premier ordre d\ := o, rfY — o. Pour que l'équation transformée soit identique à la première, il faudra donc que l'on ait
x-^\{x), y = Y{y), ou x=Y{y), y = \{x};
la seconde forme se déduisant de la première en échangeant x et y, nous pou\'ons nous borner à considérer le premier cas. Comme on doit avoir [X, ZJ =• o, [Y,Z] =0, il s'ensuit que Z ne doit pas contenir p' et g', et la" transformation est une transformation ponctuelle
a- = X (x'), y — Y (//•), z = Z (x\ y\ z). Les valeurs de p et de y sont données par les formules
et la nouvelle équation du second ordre est
(x-4-Yv-M^z , , y^z . , tVz . , ^--iz , . , ^-'Z j*
^ /?z ^ ^z \ nz
Pour quelle soit identique à la première, il faut d'abord qu'elle ne renferme que les deux termes en s* et en pq , c'est-à-ùire que l'on ait
^ , . = 0, r-rr— =0, r-— = o, -, . — o, rr-, = 0, —7=0;
ity i^; ox OC i>r - ùx oy ôx dy
Z est donc de la forme Z = A: -|- B, A et B étant deux constantes arbitraires, et il reste à déterminer les deux fonctions X (x') et Y {y'), de telle façon que l'on ait
