XY' 1__
En intégrant par rapport à x', on en conclut que l'on doit avoir
xl-v = -'^ + ^(^'^'
si on attribue à// une valeur déterminée, on voit que X est une fonction de x delà forme
ex' ■\- d De mèuïe Y est une fonction de même forme de y , et, en substituant dans l'équation E , on trouve qu'il faut prendre
Y = — BlLziJl:
cy — d
174. Dans un Mémoire déjà cité ('), M. Julius Konig, en se plaçant à un point de vue tout différent, a été conduit à une méthode d'intégration qui ne diffère pas essentiellement de la méthode de M. Darboux. L'idée qui sert de point de départ et <{ui s'était déjà offerte à plusieurs géomètres, consiste à étendre à une équation du second ordre la méthode d'intégration de Lagrange et Charpit pour une équation du premier ordre. Etant donnée une équation du premier ordre F {x, y, z, p, q) = 0, cette méthode consiste, comme on sait, à chercher une autre équation u [x^ y, z, p, q) ■=■ a, telle que les valeurs de p et de (7 tirées des deux relations F = o, m = a, vérifient la condition d'intégrabilité
\dy) \dx)
De même, étant donnée une équation du second ordre
il parait naturel, pour intégrer cette équation, de chercher deux autres relations F, {x, y, xr, p, q, r, 5, l) = o, Fa {x, y, z, p, q, r, s, t) = o, telles que les valeurs de r, s, t, déduites de ces trois équations rendent complètement intégrable le système d'équations aux différentielles
totales
Idz = pdx -\- qdy^ dp = rdx -}- sdy^ dq = sdx -\- tdy.
Avant de développer les conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions F, et Fj, nous présenterons quelques remarques sur les systèmes de la forme précédente. Supposons qu'on ait trois équations du second ordre résolues par rapport à ?', s, ?,
r, s, l étant supposées remplacées par les valeurs précédentes dans les équations (70), les conditions d'intégrabilité se réduisent à deux
\ .\v+X-^ + ^p ^^^q^---:^x^^zP^^p^^^q ^'
( ') Malhematische Annalen, t. XXIV.
198 (.IIAIMTIIK Vil
Si CCS roMtlitiuns SDnl vérinées idenliquomonf, par (oui élément du proinitM- tirdre .»\,, //„, c„, p^,q^)), il passe une inléj^rale du svslème (71)^ pourvu que les fonctions ç,, •!/, / soient régulières dans le voisinage dos valeurs .«'p, ^q, -Tq. p^, ^^i; .'\, et ;/„ étant regardées comme des constantes numérit|ues, l'intégrale générale de ce système dt'pend de trois constantes arbitraires c^, ^)„, </(,. Il est évident qu'on ne peut pas se proposer de déterminer une intégrale passant par une courbe donnée, lorsque la courbe est quelconque; mais on peut signaler la propriété suivante, qui sera invoquée un peu plus loin. Imaginons que Ion ait une courbe C) et une surface développable (D) passant par cette courbe, en d'autres termes que-, i/,z, p, q, soient des fondions d'un paramètre 9 satisfaisant à l'équation
ff: dx dl/
Tn^^Tn^'^df^
Les deux conditions
dp , dx , f/.v
d<i , , . dx , . . dl/
dH = ■^''^' y^ - ^' '^^ .¥ +^-^^' ^' ^' ^' ^^a' .
ne seront pas en général véritiées ; mais, si elles sont satisfaites par ces cinq fonctions ./■. /y, c, /), q, le système (71) admet une intégrale renfermant tous les éléments de la multiplicité M précédente, c'est-àdire tangente à la développable (Di en tous les points de la courbe (C). Soit, en effet (./ „, ^p, Zq, p„, q^) un élément de M, tel que 3-, /, •} soient dos fonctions régulières dans le voisinage des valeurs ./ „, y^, -o' Pat 9o- (!et élément appartient à une intégrale Si du système (71), et il suffit de montrer que (S) renferme tous les autres éléments de M. En effet, établissons entre .>• et y une relation de forme quelconque 1/ = t: (?•), telle que y^-^r. (.i^i: les équations (71) deviennent
y=T. x), dz = ip-\- qz'{x) I dx,
dp==\-i + '\-^'[^) ! dx, dq = ; 1 + /y (a-) 1 dx,
et elles déterminent une multiplicité simplement infinie d'éléments M,, issue de lëlémenl (./•(,, y^,, z^, /)„, q^).
l/integrale (S) est le lieu de ces multiplicités M,, quan<l on fait varier la fonction 7: (./•) de toutes les manières possibles. Si l'on choisit la fonction r './•* de telle façon que la relation y — -k (.r/soit identique à
LA MKTIloDi: l)K M. DAIUJOLX
celle ({ui existe entre .'• cl // le loiig-fîe la courbe donnée i'.j les équations (liiïérentielles de la multiplieiff' M, deviennent identiques à celles de M et, comme ces deux multiplicités ont un élément commun, il s'ensuit qu'elles sont idenlicpies.
Prenons mainlen.anf trois équations du second ordre de forme quelcon(|ue
(73) j F, la-, y, z, p, q, r. s, 1) = o,
( VJx, y, =,p, 7, r, s, l) = o,
telles que le déterminant fonctionnel
ne soit pas nul identiquement, ni en tenant compte des équations ellesmêmes. On peut alors en déduire les valeurs de
par un calcul rég-ulier, et, enéo^alantles valeui*s de ■^- et dp ^> et celles
^ p ' o i)y } dx
de— et de t~' ^>n obtient les deux conditions pour que le système (73) ^y >>.v 1 1 V
soit complètement intégrable sous la formt^ suivante
\dx)
As-
\dx)
HF
Mi
.\- V dy
2F, /WF,\
c\- V dy )
>r \ dy
AFa
iF
ç(FA dx) d?j dx
Il suffira que les relations (74) et (75) soient des conséquences des équations (73) pour que le système proposé soit complètement intégrable ;
si elles sont vérifiées identiquement, le système F = C, F = C,, F = Cj sera lui-même complètement intégrable, pour toutes les valeurs possibles des constantes C, C,, Cj.
175. Cela pos^, supposons qu'il s'agisse d'intégrer une équation du second ordre de la forme
et qu'on cherche pour cela à lui adjoindre deux autres équations
( r [x, y, z, ;), q, s, t) = aj,
avec deux constantes arbitraires a^ et a^, telles que le système formé par les équations (76) et (77) soit complètement intégrable pour toutes les valeurs des constantes a^ et a^. Les conditions d'intégrabilité deviennent ici, en développant les déterminants (74) et (73) et remplaçant F, F,, Fj par r -{- f, u, v respectivement.
; ^M /dv\ h) (du\ I V i ^ AiH\ ^u ; «tt I
\ Tt \dx) ~ i^t \dx) '^ -^sjTt \dt/) ~ Jt '
du\ dyl ^t \dy/
(78) . ' "•" ^< I ^* \dy) ^s \dy) \ "^ \dy) \ ^5 ^t ~ ^t ^s \ '~ ^'
^^^' ^5 \dx) + ^t \dy) ~~ \dœ) :>s ~ \dy) ^ - ""'
Ces deux équations doivent être vérifiées identiquement, quand on
remplace r par — fa-, y, z, p, q, s, t), puisqu'elles ne contiennent pas
les constantes a^ et ûj- Inversement, tout système d'intégrales (m, v)
D (u v) des équations (78) et (79), pour lesquelles le déterminant ^^^ ' ' ne
sera pas nul identiquement, permettra de déterminer une intégrale complète de l'équation proposée; car, si on tire s et t des deux relations
s= o(œ, y, z, p, q, a^, «j), < = •]/( a?, y, z, p, q, a,, ai),
le système
dz = pdx -\- qdy, dp = — fdx -f çc/y, dq =r orfa; -(- '\dy,
est complôlement intt'-grablo, et l'intégration introduira trois nouvelles constantes arbitraires a.j, a^, a^.
M. Konig discute en détail, dans son Mémoire, le système d'équat ions simultanées ( 78") et (79) ; si l'on élimine l'une des inconnues, u par exemple, on est conduit à une seule équation de condition pour u. Il est aisé de s'en rendre compte a priori. En effet, si la fonction n est telle que les équations (78) et (79) admettent une intégrale commune v pour
laquelle le déterminant -j- V ■' J^ n'est pas nul identiquement, les trois équations
admettent une intégrale commune
et on peut choisir a^, «3, a^, a^, de telle façon que, pour a; = a^Q, ?/ = 2/o, ;r, p, q et une des dérivées s ou t prennent des valeurs données à l'avance. Les deux équations
forment donc aussi un système complètement intégrable, ce qui exige (n" 149) que u vérifie une équation aux dérivées partielles du second ordre
linéaire par rapport aux dérivées du second ordre de u. Réciproquement, si M satisfait à la condition R = o, les deux équations r -(- /"^ o, ti = a, admettent une intégrale commune dépendant de quatre constantes arbitraires
z = ^ [x, y, a^, a^, «3, a^, a^), et les relations
^ ox ^y ^x* iV^y cy^
peuvent être résolues par rapport à «,, 02, «?, a^, a^ et >•, ce qui donne
r + /"= o, « = a,, V = «21 v^ = a^, Uj = ^v ^3 = ^S'
^1 V,, r-i, t'3 étant des fonctions de x, y, z, p, </, s, l\ en particulier, les
2(>'2 CIIAI'ITMK Vil
trois équalions
formonl un syslème complèlemonl inlégrable, puisqu'elles admettent une inic^rale commune dépendant des trois constantes aj, a^, a^. L'équation R =:: o est donc la résultante des équations (78) et (79), lorsqu'on élimine v (,).
L'intégratfon de Tt-quation )• -\- f -z o est donc ramenée en définitive
(») On peut obtenir cette résultante comme il suit. Si tt ne vérifie pas la relation
ou peut résoudre les deux équations (78) et (79 J par rapport à (y|) et (y )• ce qui donne le système d'équations
/i» ) l'x 0; Op Oq es ci
\ l'y cz Ou t'a
'^ t'^ c'S iV
A, B, C étant des fonctions de x, >/, r, p. q, s, l, et des dérivées partielles du premier ordre de ii, qui satisfont à la condition
La combinaison X [Y(i';] — Y [X (i-) ] = o se réduit donc à une équation de la forme
n — +K rr- = 0,
Il et K renfermant les dérivées du premier et du second ordre de u et étant linéaires po' rapport aux dérivées du second ordre. Comme les équalions (78) et (79) et, par suite, les équations (b) admettent l'intégrale v = u. il s'ensuit que l'on doit avoir aussi
Il ^" 1 V ^"
II Y + K -r = o.
Pour que le déterminant ^ . ' ne soit pas nul, il faut donc que l'on ait H = o,
K =r o : ces deux cquaticns admettent un facteur commun qui, égalé à zéro, donne la condition cherchée H = o. On voit de plus que, si u satisfait à cette relation, les équations (78; et (79y forment un système complet, quand on y considère v comme la fonction inconnue.
Lorsque u vérifie l'équation (a), un raisonnement^analogue au précédent montreque l'on doit avoir aussi
/(lu\ ^ /(Ju\ j Y ili' il" * /<l/\ l^y \dx) ,\ "^ Wy/ ( .\ .\ ~ ;\t\~ \d>j) \:\s} " °
pour que les équations (78) et (79) admettent une intégrale commune v telle que
ïj-^- — -jr ne soit pas nul identiquement. C'est le cas qui va être discuté dans le texte.
LA MKTIIODl!: I)K M. DAIUiOl X 20:>
à cello de l'équalion R o. 11 ne semble pas ([uil y ail là un progrès réel, puis(iue la nouvelle équation est, en général, tout aussi difficile à intégrer que la première. Mais Ictudo d'un cas sinj^ulier a conduit. M. Konig à une nouvelle méthode d'intégration, identique en réalité à celle de M. Darboux.
Les deux équations (TH. et (79), considérées comme déterminant r, sont en général distinctes. Pour cpie ces deux équations se réduisent à une seule, il faut et il suffit que la fonction i' vérifie les relations suivantes
:v? Y c\/ Y ^ ((]£\ ^ji K ('In \ ^ Z"^' \ — /'^\ — 4- {'-]
I du V /du\
Soient m^, m.,, les deux racines de l'équation caractéristique
on voit d'abord que l'on doit avoir
— — m, -- = o. ou -— — »io T- := o.
Prenons, par exemple, la première hypothèse ; les deux dernières conditions précédentes se réduisent alors à une seule
fdu\ /''^"\ ^" l'^f
/du\ , /(in\ ôu (a \
U) + '"^ te) - ^ (^) = "■
On voit donc que la fonction n doit satisfaire à l'un des deux systèmes d'équations
j ldu\ . (du . ^// (d^ ,
'te,) + "''te)~^te)=''-
Ce sont précisément les conditions pour que les deux équations
r -[-/'= o, Il = a^ forment »in système en involulion n" 134). Ce résultat s'explique tout naturellement, si l'on remarque que les relations 78' et (79) expriment que les 6 équations obtenues en dilTérenliant r 4- f ^ o, u = a^, V = «j par rapport à .r et par rapport à // se n (luisent à quatre. Or, les quatre premières de ces relations se réduisent à trois lorsque r -\- f .= o, u =- a, form«^nt un système en involution ; il suffira donc dune nouvelle condition pour que ces six relations se réduisent à quatre. '
Lorscjue l'un des systèmes (81) ou (82) admet deux intégrales distinctes, M. Kônig démontre comme il suit que l'on peut obtenir l'intégrale générale de l'équation r -\- f = o. Considérons d'abord une intégrale u^ du système (81 1 par exemple, et proposons-nous de trouver une intégrale de r -j- /" =: o se réduisant pour a- = x^ à une fonction donnée de y, ^ (y), tandis que p se réduit à une autre fonction r (y), les deux fonctiftns C et z vérifiant la relation
"..r^, .'/, ;, t:, Ç', 7:', C") = a^. Soit
fo (y. ^' -. ^'. ^'^ ^") = o
une autre relation à laquelle satisfont les fonctions ^ et tt, telle que j^ ■ ,' 2 ne soit pas nul. On peut trouver une intégrale v (r, y, 2,p, q, s, l) de l'équation
^j \di) "^ :>t \di/) ~ [d^'j :>s ~ \<iy) :)t~^
se réduisant, pour ./• = ./ „, à Ug //, j;, tt, C', tt', C"), pourvu que x^ n'ait pas été pris d'une façon particulière, et les trois équations
dont les deux dernières peuvent être résolues par rapport à s et <, forment un système complètement intégrable. D'après la remarque faite plus haut (n* 174i, l'intégrale de ce système qui passe par l'élément
se réduit, pour x = j-g, à l{i/ , tandis que sa dérivée première^ se réduit
LA MKTHODK I)K M. DARBOUX 203
Lorsque le système (81; admet deux intégrales distinctes ?<, et u,, on peut déterminer une fonction o (?«,, «2), telle que l'on ail identiquement o(«,, M2) = o, quand on remplace j- par .r,,, et z, />, 7, s, / par ^(y), 7:(//i, Ç'(.V), Tc'{!/), V {//) respectivement, et l'application de la méthode précédente permettra d'obtenir une intégrale de r -\- f -.-. o se réduisant à Ç (>/] pour ./■ =rr a-g, tandis que p se réduit à tt (y), (juelles que soient les fonctions C et tt. Il serait facile d'obtenir de la même façon la solution du problème de Cauchy sous sa forme générale.
176. 11 semble que la méthode de M. Konig exige plus d'intégrations que celle qui a été développée plus haut ; mais, en tenant compte des résultais déjà obtenus, il est possible de la simplifier. Rappelons d'abord qu'étant donnée une équation du premier ordre f ./•, >/, ^, p, q] = o, l'intégration de cette équation est ramenée à celle de l'équation linéaire [/", o] ^='- o, z> étant regardée comme une fonction inconnue de ^"» y-, 2", p, 9, si l'on emploie la méthode de Cauchy. Lorsqu'on emploie la méthode de Lagrange, il suffit d'obtenir une intégrale de [/", o] = o,
telle que rr — '-^ ne soit pas nul ; tirant ensuite p et q des deux équations /" = o, o — «,, on a une équation complètement intégrable dz = pdx -j- qdy^ dont l'intégration donnera une intégrale complète et, par suite, les caractéristiques de l'équation proposée. Ces deux méthodes se retrouvent dans l'intégration d'un système en involution
ou dans la détermination des caractéristiques de ce système, ce qui est le point essentiel. La méthode développée précédemment (n° 136), et qui est l'analogue de celle de Cauchy pour une équation du premier ordre, ramène le problème à l'intégration du système d'équations diiïérenlielles
di/ = m^dx, dz = pdx -f- qdi/, dp -^r — fdx -f- sii/, dq = sdx -f- tdy [ix) '^ ^sZc~'^' ■ [di/j + ^
■ ou /dii\ , ^M d.s /du\ , ^M dt 1*1
— := o, OÙ VI, = ^ '
es dx ' On
OU, ce qui revient au même, à l'intégration de l'équation linéaire et du premier ordre
„„ :*u /dc\ ^'u /dv\ /du\ ?y /du\ ^v
^^^ ^ 5; \Tx) + Yt {di,} - \dx) Vs - \d!,) d7 = °'
V étant une fonction inconnue de x, y, z, p, q', s, t.
206 r.iiAPiTRE: vu
Dos idées de M. KiiniiT "H peul déduire une autre méthode, qui est analogue à celle de Lagrange pour les écjuatrons du premier ordre. Kn effet, pour (jue les é(|ualions
r-\-f=o, jtma,, V =z a.j
forment un système complètement intégrable, il suffit, d'après le précédent paragraphe, que v satisfasse à une seule relation, qui est précisément ré<[ualion (83). Si donc on a obtenu une intégrale particulière
de cette équation, telle que -pr^ ne soit pas idenlKiuement nul, en
tirant r, s, t des formules >• -|- Z' = o, » — «,, y = «o, on pourra former un système complètement'intégrable
dz = pdx -f- qc/y, dp = rdx -\- sdi/, dq = sdx -\- tdy,
dont l'intégration introduira trois nouvelles constantes arbitraires O3, a^, a-, et on obtiendra ainsi une intégrale complète
- =-- *(^, y, G,, a.,, a.,, rt^, a^j,
du système en involution proposé, d'où on pourra déduire les caractéristiques par des diiTéronlialions et des éliminations.
Lorsque l'un des systèmes (81) et (82) admet deux intégrales distinctes, la solution du problème de Cauchy se ramenant à la détermination des caractéristiques d'un système en involution, on pourra ♦•mployer Tune ou l'autre des méthodes précédentes. Remarquons que, quelle que soit la méthode choisie, il faut toujours commencer par obtenir une intégrale, autre (jue u, de l'équation (83) ou de l'équation qui joue-le même nMe.
177. M. Kiinig a généralisé sa méthode en adjoignant à une équation du second ordre une ou deux équations d'ordre quelconque. Nous nous bornerons à ((uelques courtes indications. On démontre d'abord <[ue, pour que les trois équations
l >* 4- /■ .-^1 y. -iP. î. «. 0 = O' (84) - M (x, y, 2, p, q, *•, /, . . . pi, ,.--1, Pon) = «n
\ 0[X,)/,Z, /»!,«- 1, Po/.) = «2'
où ne figurent que les dérivées p,, A-iet po.k, forment un système complètement intégrable, il faut et il suffit que m et y vérifient les
LA MÉTHODI-: DE M. DARHOUX 207
équations simultanées
! "*" cV ( c^pi. „ - 1 \flyl ^Pi. « - 1 ' r//// i "^ ' <y,. - ,/ D ip,.„ ,,;9o„); °'
avec la cundition accessoire que tt^ — ■ — r ne soil pas nul ideiili-
D{p,,n-l,Pon)
quenient. Lélimination de v entre les deux relations (83) et (86) conduit encore à une seule équation de condition ([ui est d-u second ordre en Ji et qui exprime que le système des deux équations r -f- /" = o, « = rt, est complètement intégrable (n° 149).
Pour que les deux relations i8o) et (86), où on regarde v comme inconnue, se réduisent à une seule, il faut et il suffit (|ue n vérifie un des deux systèmes d'équations
/du\ , (clu\ hi /d"-'f\
■ ^Po,u ' '>Pl.'<
c'est-à-dire ([ue le système r -|- /' =: o, m = C soit en involulion. M. Kônig en déduit, comme plus haut, (jue l'on peut intégrer l'équation r -\- f = o, toutes les fois ([ue l'un de ces systèmes admet deux intégrales distinctes.
De ces recherches de M. K(inig on déduit encore un nouveau procédé pour intégrer le système en involulion
quel que soit l'ordre -des dérivées qui figurent dans u. Les équations (85) et (86) se réduisant alors à une seule, soit y une intégrale de l'équation (86), telle que -rr-, ^ — — r ne soit i)as identi(|uement nul. I^
tJ IPl H-liPo/l )
trois relations
es
?• -|- /•= o, U-- Cj i* :- a.,,
et celles qu'on déduit de la première jiar des différentialions succès-
sives permettent d'exprimer toutes les dérivées parlieUes de 2 jusqu'à l'ordre n, au moyen de
^, 2/1 -. Pi.O, --M Pt.n-i, Po,l, Po,2. •••» Po,.i-l
et on peut former un système complètement inlégrable où les inconnues sont z, po, 'po.„i, pifi,.... pT.n-î- L'intégration de ce système
introduit 2n — 1 constantes nouvelles «3, «p..., aj„ + i, et on obtient ainsi une intégrale complète
z =:¥ [x, y, C, aj, a^, ...,a.„+j)
du système en involution proposé. Les caractéristiques s'en déduiront comme on l'a expliqué au chapitre précédent (n° 140) (').
('j Parmi les travaux dont les résultats n'ont pu trouver place dans rexposition précédente, je dois citer une note de (1. Miinardi : « Conseiiuenzc a oui conduce il metodo di Charpit e Lagrangc applicato aile e(|uitioni dilferentiali partiali di 2" ordine » {Giornale dell I. R. Istiluto Lomhnrdo di Scienze, Leltere ed Arti t. IX, p. 94-102; 1856), qui, vu la date de sa pubiicalion, offre un certain interdit historique. En dépit de son titre, cette note parait bien plutôt un essai d'extension de la méthode de Caucliy. Après avoir établi exactement les équations différentielles des caractéristiques du second ordre, l'auteur recherche comment on doit associer ces caractéristiques pour obtenir une intégrale et fait l'application à plusieurs exemples.
Définition de l'intégrale générale, d'après Ampère. — Examen de cette définition. — Équations de la première classe. — Proposition de M. Darboux. — Énoncés de dilTérents problèmes auxquels conduit la mélbode de M. Darboux. — Recherches de M. Moutard. — Théorème de M. Mauiice Lévy.
178. Au début de son grand nnèmoire : Considérations générales sur les inlégvales des équations au.r différentielles partielles ! '\ Ampère adopte la définition suivante de l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles d'ordre quelconque : Pour qu'une intégrale soit générale, il faut qu'il nen résulte, entre les variables que l'on considère el leurs dérivées à Vinfini^ que les relations exprimées pa)' l'équation donnée et parles équations qu'on en déduit en la différenliant. Il est relativement facile de voir que la condition énoncée par Ampère est nécessaire pour qu'une intégrale soit générale, au sens que nous avons adopté antérieurement (I, n° 18), mais il faut un examen plus approfondi pour reconnaître si celte condition est sufrisante. Afin de fixer les idées, nous nous bornerons à une équation du second ordre :
et, pour plus de précision encore, nous ne considérerons que les intégrales qui sont holomorphes dans le voisinage d'un point (.rg, yo),et qui sont telles que la fonction /' soit elle-même bolomorphe pour x = Xq, 2/ — i/oi ^ -- ^0' P =Po' 9 = 7oi * = *'oi ' — '(n en désignant par z^, p^, 7o) ^0' ^0 ^es valeurs que prennent z, p, q, s, t, respectivement pour X = .(•„, y = //,,. En d'autres termes, les intégrales ont un élément du
{^) Journal de l'École polytecliiiir/ite, 17' ciliior.
INTÉGnATION KKS KQLATION*. 14
second ordre appartenant, à un certain domaine, àlinlérienr duquel la fonction / (.r, y, z, p, fj, s,-4*i est régulière.
Si l'on diiïérontio riMjualion (I; un nombre ((iiclcoïKiut' dt* fois par rapport à .r et à >/. on obtient deux é(piations contenant les dérivées du troisième ordre, trois équations contenant les dérivées du quatrième ordre, ... et, en j^tun-ral, • n — I^ éipialions renfermant les dérivées d'ordre n; ces relations permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue z au moyen de x, y, z, et des dérivées pi,)i-\. /Jo,A, l'indice k variant de 1 à -j- x. Mais de l'écjuation (1) on ne peut déduire aucune relation ne renfermant que les dérivées partielles /)n'i et;jo,A- ï-a condition d'Ampère est donc équivalente à celle-ci: pour qu'une intégrale de f équation ( l) soit générale, il faut que, de la définition de cette intégrale, on ne puisse déduire aucune relation rf'KGALiTÉ entre les variables (x,g, z, pio, Pt.i, ..., />i,a-i ; Po,u •••i Po,k), aussi grand que soit le nombre entier k. 11 est bien entendu qu'il s'agit de relations ne renfermant aucune des quantités arbitraires qui figurent dans l'intégrale considérée. Réciproquement, toute intégrale de l'équation .1), qui satisfait k la condition précédente, est générale au sens d'Ampère.
Rappelons maintenant qu'une intégrale, holomorphe dans le domaine
du point (j'j, 2/0), est générale, au sens que nous avons adopté, si on
peut disposer des arbitraires <|u'elle contient, de façon que, \)0\\t x=z x^,
^z elle se réduise à une fonction donnée o (y), tandis que r— se réduit, pour
la mémo valeur de ./•, à une autre fonction donnée i/ (y), les deux fonctions arbitraires s y) et •]/ i;/) étant seulement assujetties à être holomorphes dans le domaine du point y = y^. Cela revient à dire que l'on • peut choisir arbitrairement, pour x =z Xq, y=: y^, les valeurs initiales de z et de toutes les dérivées partielles ip,^k-\)Q, (Po,a)o> ces valeurs étant assujetties à la seule condition de rendre convergentes les deux séries :
pour des valeurs de.v — y,, dont le module ne dépasse pas une certaine limite. Nous dirons, pour abréger, qu'une intégrale est générale au sens de Cauchy, si elle satisfait à la condition précédente, le point {x^, y^) étant absolument quelconque ou pouvant varier arbitrairement à l'intérieur d'un domaine limité. 11 est clair, d'après cela, que toute intégrale, qui est générale au sens de Cauchy, est nécessairement générale au sens d'Ampère, cai la condition de rendre convergentes les séries (2) ne
peut enlrainer aucune relation d'égaliié entre un nombre quelconque des coefficients (/),, a i)o, et (Po-A^c aussi grand que l'on suppose l'ordre des dt'iivées qui figureraient dans cette relation.
Mais la réciproque est loin d'être évidente. On peut concevoir, en effet, l'existence d'intégrales de l'équation [i) contenant assez d'arbitraires pour qu'il n'existe, entre .r, ?/, z, et les dérivées Pi,A i et po.A, aucune relation d'égalité indépendante de ces arbitraires, sans que, pour cela, les dérivées j9i.a i el po.k puissent prendre tous les systèmes de valeurs rendant convergentes les séries (2) pour des valeurs données de .v^ et de y^. C'est ce qui arriverait, par exemple, si quelques-unes de ces dérivées étaient assujetties à restercomprises entre certaines limites, ou à ne prendre que des valeurs d'une forme déterminée. Il pourrait se faire aussi que, quoiqu'il n'existe aucune relation de la forme
F (i-, p,o, ..., Pi,A i, po. I. ..., Po.k) = o,
quand" les variables .>• et 3/ sont quelconques, il se présente cependant de telles relations quand on attribue aux variables o) et // des valeurs particulières. De telles intégrales, s'il en existe, sont générales au sens d'Ampère, sans être gt-nérales au sens de Cauchy. De même, étant donnée une équation de la forme
(3) s -\- f[cc, y, z, p, g) r^ o,
une intégrale est générale au sens d'Ampère, si, de la définition de celte intégrale, il ne résulte aucune relation d'égalité entre les variables
/ cV y'z :>z yz\ . , * i^ ■ ,■^
\ ■'■'> I/i ^y ^^' •••> ^^ — j ^' •••) ^^ — ' aiissi grand (lue soitn. Lnemtegraie \ i\r l'.i'" oy '^y" J
est générale au sens de Çaucliy, si on peut disposer des arbitraires
qu'elle contient, de façon que, pour .r = j\,, elle se réduise à une fonction
donnée de y, et, pour y =z y^,à une autre fonction donnée de a\ sous
certaines conditions de continuité.
Quelques exemples montreront, mieux que toutes les considérations générales qu'une intégrale peut être générale au sens d'ATnpère, sans être générale au sens de Caucby.
Exemple I. — Prenons l'équation élémentaire 5 = o; toutes les équations qui en résultent par ladifférentiation sont de la forme
Soit G (.r) une de, ces fonctions analytiques, auxquelles a conduit
Trlude des oqualions différentielles linéaires, et dont le module reste toujours plus petit que l'unité, ([uelle que soit la valeur attribuée à la variable x. Les formules :
t (Tù ç (a) est une fonction arbitraire de a, -l i^ une fonction arbitraire de p, représentent une intégrale de l'équation 5 = 0, qui est générale au sens d'Ampère. On déduit en effet des formules (4j les valeurs sui-
vantes des dérivées — • r-— • .... — » r-^' ... i'./' i'./'- c>/ l'y-
1 /GWa]\ :>z G' fa) ^'- :>a ' z,' { a) )
d'une manière générale r-^ s'exprime au moyen de 9' f^), o"(a), ...,
o^"Hx), et de fonctions connues de a, et -r — s'exprime au moven de
•y (jS), ■}" (P), ..., •I''"^(f5), et de fonctions connues de [3. Les fonctions o et •]/ étant arbitraires, il ne peut évidemment exister aucune relation d'égalité entre x, »/, z et les dérivées précédentes ; ce qui suffit pour prouver que l'intégrale est générale au sens d'Ampère. D'ailleurs, il est clair que cette intégrale ne peut être l'intégrale générale au sens habituel, dans un domaine aussi restreint qu'on le voudra, puisque le module de s est toujours inférieur à 2.
KxE.MPi.E 11. — L'équation linéaire
(5) s — qy — 0
a un invariant nul, et l'intégrale générale est représentée pat la formule
(G) ^ = X J^J\e-ydy,
X étant une fonction arbitraire de x, et Y une fonction arbitraire de y. La suite de Laplace relative à l'équation (0) est terminée, d'une part, à l'équation elle-même, mais elle est illimitée dans l'autre sens, comme on s'en assure en calculant les invariants successifs. Il résulte des propositions établies précédemment (n" 169) que toute équation aux dérivées partielles formant avec l'équation '5) un système en involutionest néces-
sairement de la forme
Cela posé, considérons linlégrale
(8) s = fXe'^ydi/,
/'/ Y dfj,
pour .X = o. Cette intégrale satisfait à la condition d'Ampt-re; en effet, si elle vérifiait une équation, qui ne serait pas une conséquence de ré({uation (o), cette équation, formant avec la proposée un système en involution, serait de la forme (7), et, en attribuant à la variable x une vaU'ur déterminée, on aurait une équation diflerentielle à laquelle devrait satisfaire la fonction arbitraire Y.
Plus généralement, soit
(9) F [u; ij, z, p, ry, r, .V, /) = o
une équation du second ordre, telle q^i'il n'existe^aucune éc(uation-aux dérivées partielles formant avec elle un système en involution. Toute intégrale de léquation (9), dépendant d'une fonction arbitraire ou d'une infinité de constantes arbitraires, satisfait à la condition d'Ampère ; car, si elle vérifiait une équation aux dérivées partielles <1' = o, autre que celles qu'on peut déduire de F = o par des difTi'rentialions, l'équation *= o auraiten commun avec la proposée une intégrale commune dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, sans les admettre toutes. Il existerait donc une é([ualion formant avec F :^ o un système en involution, contrairement à riiypollièsc. Par exemple, si la suite dô Laplace relative à l'équation linéaire :
(10) s -\- ap -\- hq -\- CZ :z^ 0
est illimitée dans les deux sens, il n'existe nous l'avons vu, aucune équation formant avec léquation 10 un système en involution fi° 1G9;. Toute intégrale de l'équation 10 , dépendant d'une fonction arbitraire, satisfait donc à la condition d'Am[)cre. On obtient de telles intégrales si l'on a obtenu, par un procédé ([uclconfjue, une intégrale de l'écpiation (10) dépendant d'un paran\ètre arbitraire -l .r. y, x , en multiplian
21 i CHAPITRE VllI
par une fonction arbitraire/' (ai et en intégrant le produit /(a. J/ ly, y, a) entre des limites déterminées :
3 ~ f-l{:c, ij, cl) f{%) dx\
or cette intégrale, si la fonction -l ne satisfait pas à des conditions particulières, n'est pas nécessairement l'intégrale générale au sens de Cauchy ('i.
Les exemples précédents montrent bien qu'il est nécessaire, pour donner une base solide à la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre, d'adopter la déllnilion de l'intégrale générale que M. Darboux a déduite des travaux de Cauchy et que nous avons prise pour point de départ (2).
179. Le critérium énoncé par Ampère pour quune intégrale soit générale étant une condition nécessaire, les conclusions qu'il en a déduites sont à l'abri de toute objection. Ainsi, pour quune intégrale soit gènérafe, il faut qii elle renferme des arbitraires dont le nombre croit à t infini par des différentiations.
En effet, si les formules qui donnent a?, ?/, z, et les dérivées successives de z ne contenaient jamais qu'un nombre fini K d'arbitraires, quel que soit Tordre n des dérivées considérées, à partir d'une valeur de n assez grande, on aurait
n(n.—i.) et l'élimination des K arbitraires conduiraitcertainenïentà plus de — -
relations distinctes entre x, y, z, et les dérivées de z jusqu'à l'ordre n. Une au moins de ces relations ne serait pas une conséquence de l'équation F — o proposée et de celles qu'on en déduit en la dilTérentiant ;
car on n'obtient ainsi que — —z '1 relations distinctes ne renfermant
aucune dérivée d'ordre supérieur à n.
(• *->n pourra consulter sur ce sujet un arlicle de M. Delassus : Quelques remarques sUr les intéQialea partielles {Bulletin des Sciences )n<il/iéinatiques, t. XiX, p. 37-56).
{-) On doit remarquer que, dans le passage cité plus haut, .Vmpère dit simplement il faut, mais qu'il n'ajoute pas il suffit. Il semble résulter cependant de la suite de son mémoire qu'il considère la condition énoncée comme suffisante pour la généralité d une intégrale.
Il faut elonc, pour qu'une inlograle no renfermant qu'un nombre fini d'arbitraires soit «générale, qu'en calculant les dérivées successives de la fonction :r représentée par celte intégrale, à partir d'un certain moment, il s'introduise de nouvelles arbitraires. Le même raisonnement prouve que, si, en passant des dérivées d'ordre p aux dérivées d'ordre;)-}-!, il ne s'introduit qu'une nouvelle arbitraire, l'intégrale considérée ne peut être générale. Supposons, pour fixer les idées, que les dérivées du premier et du second ordre soient homogènes à l'intégrale, mais qu'à partir du troisième ordre il s'introduise une nouvelle arbitraire à chaque difTérentiation, l'intégrale considérée, que Ion suppose renfermera arbitraires, satisfera alors à
relations distinctes au moins, renfermant les dérivées d'ordre n. Or, si on prend n assez grand, on aura encore
ou n > K — o, et la conclusion est la même que tout à l'heure. On voit donc, par exemple, que des formules de la forme
( cv = F, (a, p,o(a), o'(a), ...,oA'(a)),
^3 (^a,fi,o (ï), o' (a), ...,»/' (a)),
renfermant une seule fonction arbitraire o (a) et ses dérivées en nombre fini, ne peuvent représenter l'intégrale générale d'une équation du second ordre. Enelfet, lorsque l'on sera arrivé à des dérivées dépendant de Œ.f'' + "(a), les dérivées suivantes dépendront de ©'/' + 2>(a), ...,etc.,et il s'introduira une seule arbitraire nouvelle quand on passera des dérivées d'un certain ordre aux dérivées de l'ordre suivant. Ainsi, quand une équation du second ordre est susceptible d'une intégrale générale explicite, cette intégrale doit contenir au moins cfeux fonctions arbitraires. Il en est de même toutes les fois que l'intégrale générale appartient à la première classe, comme cela résultera facilement des considéralions développées un peu plus loin. Mais on ne peut pas en conclure que l'intégrale générale d'une ('-quation du second ordre dépend nécessairement de deux fonctions arbitra'ires, si cette intégrale n'appartient pas à la première classe.
;ii)
Prenons, par exemple, une intégrale où la fonction arbitcaire figure sous un signe d'intégration partielle :
(12) z = j o{x,y, x) fia.) doc,
où 1 désigne un paramètre variable, ç [x, y, a) une fonction déterminée, /'(ï; une fonction arbitraire, et a,, a^ deux constantes. Si la fonction ip [JL\ y y X] satisfait, quel que soit le paramètre a, à une équation linéaire
(13) Ar + 2B* H- C/ + Dp + Kg + Yz = o,
où les coelficients A, B, C, D, E, F, sont des fonctions des variables œ et y, indépendantes de a, on voit immédiatement qu'il en est de môme de la fonction 12 , quelle que soit la fonction arbitraire /'(a). On a, pour cette intégrale,
p = l ^y-'a)^/^, q=f '\yr[x)j<i,
^A^rfx, s=j 3^/-(a)rfa, t=j ^/(ajc/a,
et, d'une manière générale,
Mais la fonction o, satisfaisant à l'équation (13), toutes les dérivées partielles T — r-V sont des fonctions linéaires de quelques-unes d'entre elles ; par exemple, si A et C sont nuls, elles s'expriment toutes au moyen des dérivées ^ ^t-^" H en résulte ([ue toutes les dérivées partielles jus(|u'à l'ordre n sont alors des fonctions linéaires des intégrales
j-rdx,j ^^Jd.y...J^^,J<.)d.^j ^/'(a)c/a,...,J^/(a)rf«, «1 ai a^ a\ ai
dont les coefTicients sont des fonctions déterminées de ./; et de //• Quand on passe des dérivées d'ordre n aux dérivées d'ordre n -f- 1, on voit qu'il s'introduit deux arbitraires nouvelles
Il peut donc se faire qu'une intégrale de la forme 15) vérifie le critérium d'Ampère ; nous avons vu plus haut qu'il en estbiert ainsi toutes les fois que l'équation (13 n'est pas intégrable par la méthode de Laplace, généralisée par Legendre, et que l'intégrale (i2) dépend effectivement d'une fonction arbitraire.
Il n'est pas permis de conclure de ce qui précède que l'intégrale générale, au sens que nous avons adopté, d'une équation linéaire, peut être représentée par une formule de la forme (12). Dans un travail intéressant ' , M. Borel a démontré qu'il en est ainsi, mais l'intégrale 9 (.r, y,a) doit être choisie d'une façon particulière.
180. Il fi été déjà question, à diverses reprises, des équations qui admettent une intégrale générale de la première classe, suivant une expression adoptée par Ampère. L'illustre auteur n'explique pas, il est vrai, d'une façon bien claire ce qu'il entend par là, et il se borne à dire que, dans les intégrales en question, les fonctions arbitraires ne doivent pas figurer dans une intégrale partielle. Mais il est possible de déduire de ses travaux une définition précise, en tenant compte de la propriété fondamentale sur laquelle sont basés les raisonnements. Nous dirons qu'une équation du second ordre :
admet une intégrale générale de la première 'classe, ou,, plus simplement, que cette équation appartient à la première classe, s'il est possible d'obtenir, pour représenter l'intégrale générale de celte équation, des formules de la forme suivante
( a- = V, [a. ?, /-, (oc)./-; (a)...., A (x), n w ?, (p). ?; (P) •••],
(15) y = V, [a, p, f^ (a)./-; («), ..., A (a),/-^ (a), ...,ç, (^), çpj (p) ...], ( z=V,[a,p,/-, («),/-;(a),...,A(a),/'i(x),...,ç>,(P).?;(P)-..]'
(') E. BoRKL, Sur les équations linéaires aux dérivées partielles [Comptes Rendus, 25 mars 1893); Remarques sur l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles {Bulletin des Sciences nialhfn;aliques;i%9o).
21H CHAPITIΠVIII
OÙ V4, Vj, ^'3 si»nl des fonctions déterminées des deux variables auxili lires a et p, dep fonctions de a, fi (a), f.^ (a), ..., fp (»), de q fonctions de B, o, (P), ..., OqiP't et de leurs dérivées en nombre /îni, les p fonctions de a, /",, fi, ..,, fp étant assujetties à vérifier p — 1 équations différentielles d'ordre quelconque, et les y fonctions de p devant vérifier de même q — 1, équations différentielles d'ordre quelconque; les formules [ll\ ne renferment donc, en réalité, que deux fonctions arbitraires, une fonction arbitraire de a et une fonction arbitraire de 3.
Il est évident que les équations précédentes comprennent, comme cas particulier, les équations qui admettent une intégrale générale explicite ; il suffit de supposer p = q := 1. On peut aussi ramener à la forme- 15 les intégrales où les fonctions arbitraires et leurs dérivées figureraient sous certains signes de quadrature, cbacune de ces fonctions n'étant engagée sous un pareil signe qu'avec la variable dont elle dépend, ou d'autres fonctions d« cette variable. Par exemple, si les fonctions V,, V.,, V3 renfermaient une intégrale telle que
fr: 7./- ('^\f; (x) f, {x:,f;, !x .... cu,
il suffirait d'introduire une nouvelle fonction fp + ^ a égale à cette intégrale et d'ajouter aux équations différentielles qui lient les fonctions /^p A »••-, /V la nouvelle relation
f'p+i = ~ '^' fi '»;. f[ i^ ' ■:■■
On "peut aussi faire rentrer dans la définition précédente les intégrales où les fonctions arbitraires figureraient, avec la. même restriction, sous plusieurs signes de quadrature superposés. Si, par exemple, les seconds membres des formules (15; renfermaient une expression telle que
Jl \, f, a , fi .X f^ <x;, f^ (x , ... dy.J- >, /-, (xi. f[ (x), .,.] f/x,
en posant : ^
fp+K Ui =J - >. fi '»;, fi (»;, •••• ^»,
fp^iiV^f'i ^, fi ^].f[-^ . ■•■^ fz ï', fî ^^U ■•']fpn (^) f^ï, no ajouterait aux équations différentielles qui ont lieu entre les
fonctions ^, ..., /),, les deux suivantes
fp^K («) = •^^ f'p+2^^) = 'Hp + i (»j.
et les formules (13) renfermeraient une nouvelle fonction de a, /"p^. j aj. D'après une remarque de M. Maurice Lévy ( Comptes Rendus^ t. 73, 1872) on peut ne laisser, dans les formules 'Jo, que deux fonctions de a, et leurs dérivées, ces deux fonctions étant liées par une équation différentielle, et deux fonctions de EL, et leurs dérivées, ces deux fonctions étant liées par une autre équation différentielle. Ceci tient à ce que, d'une manière générale, l'intégration d'un système de n équations différentielles à une seule variable indépendante et à n fonctions inconnues peut se ramener à l'intégi-ation dune équation différentielle d'ordre plus élevé à une seule inconnue ^ ' .
(') Soient, en effet, x la variable indépendante et y^, y.,, ... yn les fonctions inconnues. On peut supposer que les n équations Fi ^: o, F-v = o, ..., F» = o, ne renferment aucune dérivée d'ordre supérieur au premier, car, s'il en était autrement, il sutlirait de prendre, pour inconnues auxiliaires, un certain nombre de ces dérivées pour être ramené à ce cas. Cela posé, si les équations proposées ne peuvent
pas être résolues par rapport aux dérivées des fonctions inconnues y'i, y'o, y'n,
on en déduira un certain nombre de relations entre x, y^, y^, . . ., y». Si ces relations ne sont pas incompatibles, elles permettront d'exprimer quelques-unes des inconnues en fonction de x et des autres inconnues, et on diminuera l'ordre du système. En continuant de la sorte, si le système proposé n'est pas incompatible, on unira par arriver à un sj'stème que l'tfn pourra résoudre par rapport aux dérivées des fonctions inconnues
dx ~ ^' ^^'^^ -^!J">:, —[^ = fin [x, .vi, ..., >, ,
où m ^ n. Prenons comme inconnue auxiliaire une certaine fonction U = F {x, //i. yj, ..., ?/„,)
et soit X ' = r r - — f. -t- ... 4- - — /■„,. On aura successivement
^.' i^.Vi oym
g X(p^ étant le résultat de l'opération X( ) répétée/) fois de suite. Cette inconnue auxiliaire U satisfait à une équation différentielle d'ordre m et ne satisfait à aucune équation d'ordre inférieur, si la fonction F n'a pas été prise d'une façon particulière. Ayant obtenu l'intégrale générale de cette équation, les m équations
</U (/"'-'U U = F. — - = X Fi,..., : = X "'-'i^lF,
„ . , .• j ,. rfU </»'-'L".
permettent d exprimer //i, //.'■ • . y;» en fonction de x, L, -y;'....' . „^|
Si nous appliquons ceci aux p — 1 équations différentielles entre les p fonctions f\{i), f-.{a.), ...,fp'a.). on voit qu'en considérant lune d'elles, /", a) par exemple, comme donnée, les p — l autres s'exprimeront au moyen dune fonction auxiliaire U (a) et de ses dérivées, cette fonction U (a) étant liée à la fonction /"i (a) par une quation ditférentielle.
2i0 i.HAriTiii: viii
181. .\ la (iii do son mémoire (voir p. 121), M. Darboux annonce que sa niélhotle permet d'intégrer toutes les é(iuations du second ordre qui admettent une intégrale générale de la première classe. La démonstration que nous allons donner s'étend à des équations possédant une intégrale il'uno forme encore plus générale que celle qui est donnée par les formules (15). Soit /' (i une fonction arbitraire de a, et cp (P) une fonction arbitraire do p ; soient ensuite F(, Fj, ...,F/i- un système de k fonctions do a et de {J, définies par un système d'équations aux diiïérentielles totales :
(16) rfF,=*,[a,M«)/'(»).-,/^""(*),î(P)^?'{P) »""(p),F,,F„...,F^]rfa
-f n,[«.p/(a)/(«) /•"«■(o.),cp(p),o'(p),.. ,ç"')(P),F,,F2, ...,F,]rJ^
que nous s\ipposerons complètement intégrable, quelles que soient les fonctions arbitraires /' (zj et z. (["i}. Nous considérons les équations du second ordre dont l'intégrale générale est représentée par des formules telles que
(..=V,[z,p,/T(a),r(a), ..., r""W,?(?),?'(P;, -, ^'''XPl^ï'i.F.,, ..., F,],
(17) y=V.>,p,Ax),A'(»^^ ..., r"')(a),o(p).?'(p), ..., <p"')([i),F,,F,. ..., F,], • {z=y,\,%r{^Kr{7.), ...,/^""(a),9(p),9'(p) '/''(p),F,,F2, ...,F,],
où V|, Vj, V3 sont des fonctions déterminées de a, ,3, F|, ..., F^, de /*(«), s (P), et de leurs dérivées jusqu'à un ordre fini. Pour retrouver les équations de la première classe, il suffit de supposer que les fondions F,,F.^, ..., F^ se partagent en deux groui)es,lps unes no dépendant que de la variable a, les autres ne dépendant que de la variable p. On peut, en eiïet, supposer que, dans les formules (13), les fonctions/., (a), ...,/), (a) figurent seules, sans leurs dérivées ; il suffit d'introduire ces dérivées comme nouvelles fonctions pour être ramenées à ce cas.
Pour des formes déterminées des fonctions /"(a), o (fi), F,, Fj, ..., F/,-, vérifiant les relations 16 , les formules (17) représentent, par hypothèse, une surface intégrale S) de l'équation du second ordre proposée. Les considérations dont on s'est servi précédemment (t. I, n° 98) s'étendent sans difficidté à cette nouvelle forme de l'intégrale, et nous montrent que, sur la surface S;, les deux fannlles de caractéristiques sont précisément les courbes x = C'*, et p — C". Proposons-nous, en efïet, de calculer les dérivées successives de - par rapport à ./• et k j/. Les dérivées du premier ordre pel q se déduisent de lidenlilé d: = pc/j- -\- qdy ; or. si on remplace dans dx, dij, dz les difTérentielles dV i par leurs valeurs 16 , on voit que les coefficients de dx et de c/fi, renfermeront.
LES ÉQUATIONS DE LA l'HEMlÈFŒ CLASSE 221
outre les fonctions qui figurent dans V,, Yj, V3, les deux dérivées nouvelles /'''" ^') (x) et a/"' + <) (p). Les expressions de p ei de q contiendront donc en général a, p, F,, Fj^ •••^ ï^a- A»), ..., /'"'' + ^'(»), =>fpj, .... ;p"' + ''(p) ; si elles contiennent elTeclivcment/'^'"+*^ (a) et {p'" + *' (fi), elles sont /i^/<;Vo- ^èwes à l'intégrale, sinon elles sont homogènes à l'intégrale. Connaissant p et q, on obtiendra les dérivées du second ordre au moyen des deux relations
dp = rd.r -\- soly, dq ^ sd.r 4- Idij
et ainsi de suite. Si, à un moment, la dérivée/" '" + '- (a) apparaît dans les dérivées d'un certain ordre, les dérivées de l'ordre suivant contiendront /^"' + 2) (a), ...,etc., cliaque difïérentiation nouvelle fora apparaître une nouvelle dérivée de /'(a). De même, à partir du moment où la dérivée o"* + ^'(S) fera son apparition dans les dérivées d'un certain ordre, chaque différenliation nouvelle amènera une nouvelle dérivée de o [f). Il peut d'ailleurs se faire que les dérivées /"<"*+ ^Ua) et ç,'""* ''(p) n'apparaissent pas simultanément; c'est ce qui arrivera, par exemple, si les dérivées du second ordre sont homogènes à l'intégrale relativement à a et hétérogènes à l'intégrale relativement à p. Quoiqu'il en soit, à partir des dérivées d'un certain ordre, quand on passera des dérivées d'ordre r aux dérivées dordre r -\- 1, on introduira deux nouvelles arbitraires, 'une dérivée de la fonction /"(a) et une dérivée de la fonction o (Ô'j. Les conséquences sont analogues à celles qui ont été déduites plus haut (n° 98).
Nousconsidéronsa,B,F,,...,Fx-,A'aji--Mr"'*(3t),..., 9 (p), ..., ^""(ri), ..., comme autant d'arbitraires distinctes, quoique ces fonctions ne soient pas indépendantes. Cela veut dire uniquement que, lorsqu'on a choisi pour un système particulier % = a^, p = §„ les valeurs de F|, ..., Y /,, des fonctions /" et o et de leurs dérivées, jusqu'à un ordre délerminé, on peut encore choisir arbitrairement les valeurs des dérivées suivantes pour a = a^,, 3 = p,j, jusqu'à un ordre aussi élevé qu'on le veut. Imaginons que^ l'on ait écrit les formules qui donnent les valeurs successives des dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. Si on élimine a, p, F(, ..., F^-, /" (a), f (a), ..., o (p), 9' (p), ..., on estconduità une infinité de relations entre .r, ^, ;:, p, q, r, s, /, ... La suite de ces relations est identique à celle qu'on obtiendrait en ajoutant à l'équation du second ordre proposée toutes celles qu'on en déduit par des différentialions à l'infini, puisque, par hypothèse, les formules (17) représentent l'intégrale générale de cette équation du second ordre.
Supposons maintenant que l'on prenne pour l'une des fonctions, © (S) par exemple, une forme bien déterminée et qu'on laisse arbitraire la
seconde fonction /* a . Les surfaces intégrales représentées par les formulas 17) ne dépendent plus cpie d'un»' fonction arbitraire f {x\ et ces surfaces vérifient une infinité dé(piations aux dérivées partielles, qui ne sont pas des consérpiences de l'équation du second ordre F=: o. Pour fixer les idées, admettons (|ue la dérivée f"" ■•" ''(a' apparaisse pour la première fois dans les dérivées d'ordre h -\- l; alors /■'"' + ^' (a) figurera dans les dérivées d'ordre h -\- l, ..., etc. Si donc l'on considère les expressions de .r, ?/, -, et de toutes les dérivées partielles jusqu'à celles dordre h -\- i -\- l, ces quantités, au nombre de
renferment m -]- '6 -\- k -\- i arbitraires, à savoir x, ,8, /'ias /" (x), ... /*"" + " (a), F,, Fj, ..., Fa. L'élimination de ces arbitraires conduira donc à un groupe G d'au moins
'- ^ 2 — im + 3 + A- + r,
relations distinctes entre .r, y, ^, et les dérivées partielles de z jusqu'à celles d'ordre /î -f" * 4" ^i d'autre part, si on ajoute à réf{uation du second ordre F = o toutes celles ({u'on en déduit par des difl'érentialions successives, on forme un nouveau groupe (G') de
équations ne renfermant aucune dérivée dordre supérieur k ?i -\- i -{- 1, et toutes les autres relations entre les dérivées que l'on peut déduire de F =: o renferment au moins une dérivée d'ordre supérieur iih -j-i -\- 1. Or, si le nombre i est assez grand, on aura certainement
+2— (m + 3-f A+ej > ! i;
il y aura donc une équation au moins du groupe (G) qui ne sera pas une conséquence des équations du groupe G). Soit (E) une équation de cette espèce ; celte équation admet une infinité d'intégrales communes avec l'éfpiation du second ordre proposée, sans les admettre toutes, et ces intégrales communes dépendent d'une fonction arbitraire/"(a-. Comme la fonction tp (6), que nous avons supposée déterminée, peut être prise quelconque, nous sommes conduits en définitive au tliéorème suivant :
Taules lesfoisquuneéquationda!iecondordreV{ï\y^z, p^q. r, s, /) =: o admcl une iulécjrale (jénéràle de la forme (17), toute intégrale de celte équation vérifie v.no autre équation aux dérivées partielles qui a une infinité d'intégrales communes avec la proposée, dépendant d'une fonction arhUro.ire , sans les admettre toutes.
On conclut de là n" 173! qu'il existe deux combinaisons intégrables pour l'un des systèmes de caractérisques de l'équation F =o, et on peut reconnaître quel est celui de ces deux systèmes, de la façon suivante : ayant attribué h la fonction s jî; une forme déterminée, et laissant arbitraire la fonction f (a), toutes les surfaces représentées par les formules (17) vérifient, d'après ce qui précède, l'équation F = o et une autre équation <i> = o, dont l'ordre peut être aussi élevé qu'on le veut, formant avec F = o un système en involution. Les courbes a = C'*sont les caractéristiques de ce système ; en effet, si on attribue à la fonction f (a) une forme particulière et qu'on pose ensuite x = :/„, en faisant varier j3, on obtient sur la surface intégrale une certaine courbe. Si l'on remplace maintenant /' x par une autre fonction de x prenant la même valeur que la première, ainsi ({ue ses dérivées jusqu'à un certain ordre, pour X = a^, on obtiendra une nouvelle surface intégrale qui aura avec la première un contact d'un ordre aussi élevé qu'on le voudra tout le long de la courbe a = a,,. La démonstration est la même que celle qui a été donnée antérieurement (t. I, n° 98"i. Il faut remarquer seulement que le long de la courbe a = a^,, P',, Fji •••' î^a sont des fonctions de la seule variable Ê définies par les équations diiïérentielles
^= ri, (x,, %f{x,\, f :a„^ ..., /->')(*„), o.f^), ..., o^'')(?),F,. .... F,);
elles ne dépendent donc que de a„ et des valeurs initiales de ces fonctions pour une valeur particulière [3„ de p, et, par suite, restent les mêmes pour toutes les fonctions /'ai, qui prennent les mêmes valeurs, ainsitjue leurs m premières dérivées, pour a = a„. '
En se reportant aux résultats établis dans le Chapitre VI, on conclut de là qu'il existe deux combinaisons intégrables pour les caractéristiques de la famille ^ =z C?^ Si, au lieu d'attribuer à la fonction o i \\\\o forme déterminée, on laissait cette fonction arbitraire en prenant pour/' (a) une fonction déterminée, on démontrerait de la même façon qu'il existe deux combinaisons intégrables pour les caractéristiques de la seconde famille x = O''. Nous 'pouvons donc énoncer"1a proposition suivante :
Toutes les fois qu'une équation du second ordre admet une intégrale
généralede la forme {11), il existe detuv combinaisons intégrab les distinctes poitr ks équations différentielles de chaque système de caractéristiques. La proposition réciproque a déjà été établie fnolSo). On peut déduire de là de nombreuses conséquences. Ainsi nous avons vu que la méthode de M. Darboux, appliquée aux équations linéaires :
conduit aux mêmes résultais que la méthode de Laplace. Une équation linéaire de cette forme ne peut donc appartenir à la première classe que si la suite de Laplace, relative à celte équation, est limitée dans les deux sens. D'une manière générale, une équation linéaire de forme quelconque ne peut appartenir à la première classe que si l'application du procédé de Legenire conduit à une suite d'équations linéaires qui se termine dans les deux sens.
On a vu aussi (n» 170) que l'équation 5 =:.sm z n'était pas intégrable par la méthode de M. Darboux; cette équation, dont dépend la détermination des surfaces à courbure constante, ne peut donc appartenir à la première classe. Il en est de même, ainsi que l'a montré M. Sophus Lie, pour l'équation aux dérivées partielles en coordonnées cartésiennes des surfaces à courbure constante. Les deux faits peuvent du reste être rattachés lua à l'autre au moyen d'une remarque générale. Supposons que deux équations du second ordre (E), (E') soient liées l'une à l'autre de telle façon que toute intégrale de l'équation (E') puisse se déduire d'une intégrale de l'équation (E) par l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires. On peut concevoir analytiquement cette dépendance comme il suit : .'", y, z désignant les coordonnées d'un point d'une surface intégrale de l'équation ( E) exprimées au moyen de deux variables auxiliaii'es a, p, soient H,, Hj, .... H,, i fonctions de a, p définies par un système d'équations aux différentielles totales complètement intégrable :
(18; rfHy = RXj:-,?/,îr,p,7,...,H,,H2....,H,;c/a'-hS/a^,2/,3',23,7,....n, H,)(/y,
les coordonnées d'un point d'une surface intégrale de l'équation (E') s'expriment par des fonctions déterminées de.r, y, z, p, q, ..., et de H,, Hj, ..., K,.
Lorsqu'il en est ainsi, si l'équation (E) admet une intégrale générale de la forme (17), il en sera'de même pour l'équation (E), car, en rem-
plaçant œ, y, z, p, q, ..., par leurs expressions tirées des formules (17), on aura des formules de même forme pour représenter l'intégrale générale de Téqualion (E') avec des fonctions intermédiaires nouvelles H,, ..., H,, qu'il faudra ajouter aux anciennes F^, ..., F^.
Il y a précisément une liaison de cette nature entre les deux équations
(E) rt .2 ^ «2 (1 + p. ^ ^.)2 ^ o, (E') £^ = sin o.
Supposons, par exemple, qu'on ait obtenu une intégrale de l'équation (E), c'est-à-dire que l'on connaisse les coordonnées {x, y, z) d'un point d'une surface à courbure constante en fonction de vieux variables auxiliaires quelconques a et p; d'après M. Lie, on obtiendra, par de simples quadratures, les lignes de courbure de cette surface, et on en déduira ensuite une solution de l'équation (E'j. De même, connaissant une solution de l'écjuation (E'), on obtiendra une solution de l'équation (E) par l'intégration d'un système d'équations différentielles {*).
182. Plus généralement, supposons qifune équation du second ordre admette une intégrale représentée par des formules delà forme (17), mais ne dépendant que d'une fonction arbitraire /"(a),
( zr=\, (a, p, /-(a), r (»), -, r*' («), F^, Fj, ..., F,),
OÙ les fonctions F,, Fa,.., F/t sont définies par un système complètement intégrable de la form9(i6), où les seconds membres ne renferment qu'une fonction arbitraire f [x). Les raisonnements employés plus haut prouvent que cette intégrale vérifie, quelle que soit la fonction /"(»), une équation aux dérivées partielles qui nadmst pas toutes les intégrales del'équatioa du Sicoal o:lc3 proposéa. Il existe donc au moins une autre équation aux dérivées partielles formant avec celle-là un système en involulion. Réciproi|iiement, si l'équation du second ordre forme avec une autre équation d'ordre quelconque un système en involution, linté- .grale générale de ce système est représentée par deux relations de la forme
(') Darboux, Théorie générale des Surfaces. Livre Vil.
INTÉCnXTION DES ÉQUATIONS. 15
les H fonctions /, (a), ..-:, /i„ (a) étant assujetties à vérifiera? — 1 équations dilTérenlielles. Il est clair que ces formules peuvent être ramenées à la forme (19), en prenant pour la variablepune des coordonnées ^"li/, -. On voit donc que, si une intégrale quelconque d'une équation du iecond ordre appartient à un groupe d'intégrales dépendant d'une fonction a^bitraire et représentées par des formules de la forme (19), l'un des systèmes de caractéristiques de cette équation présente deux combinaisons intégrables, et réciproquement. Si deux équations du second ordre iE},(E') sont liées de telle façon (juc toute intégrale de réquation(E') se déduise d'une intégrale de l'équation (E) par l'intégration d'un système d'écjualions différentielles ordinaires, comme on l'a expliqué tout à l'heure, et, s'il existe deux combinaisons intégrables pour l'un des systèmes de caractéristiques de l'équation (E), il en sera de même pour l'équation (El, Lorsque la liaison entre ces deux équations est réciprocjue, on voit donc (|ue, si l'une des deux équations est intégrable ;par la méthode de M. Darboux, il en est de même de l'autre.
183. L'étude de la méthode de M. Darboux suggère un grand nombre de sujets de recherches. Ainsi, il serait intéressant de connaître toales les ■ équations du second ordre auxquelles s'applique avec succès la méthode de M. Darboux, soit pour les" deux systèmes de caractéristiques, soit pour un seul système, ou du moins d'avoir des types de plus en plus étendus d'écjuations auxquelles s'applique cette méthode. Lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, le problème a été complètement résolu (n" 16G); mais, dans le cas général, les solutions que l'on possède paraissent extrêmement particulières. Il y aurait aussi intérêt, en prenant un problème plus particulier, à former toutes les équations pour les(juelles il existe une iulégrale générale e.i'{,licite^ c'est-à-dire telles que x\ //, z puissent s'exprimer par des fonctions déterminées de deux variables auxiliaires x, 3, d'une fonction arbitraire de a et d'une 'fonction arbitraire de |ï, et de leurs dérivées en nombre fini (t. I, n° 98).
Pour bien préciser l'état de la question, nous rappellerons les résultats connus, relatifs au seul type un peu général d'équations de cette espèce qui ait été étudié jusqu'ici. Soient
i .'' = V, "a, [i; -^ ,a,), =,' ,x), ..., o") i a) ; v}/ [p), •}' (p), ..., '^f'^ (fJj],
20; >/ = \, [a, ?; o (x), ^' (a), ..., <pf') (a); •} (?), -V (fi), ..., }("> i^)],
{ z = \, x, fi; o (-x!, ç>' (a), ..., c)'') (al; •>/ (fi), •/ ifi), ..., •}"') (p)],
les formules qui représentent l'intégrale générale d'une équation du second ordre F — o; on en déduira de proche en proche les expressions des
dérivées successives j), 7, ?•, s, /,..., au moyen de a, fJ, des fonctions o (x), •]/ (p) et de leurs dérivées successives. Cela posé, puisque l'intégrale générale de lénuation considérée appartient à la première classe, chacun des systèmes de caractéristiques doit admettre une infinité d'invariants distincts. Soient, par exemple, n et r les deux invariants les plus simples du i?yslème de caractéristiques x = C'*, ceux au moyen desquels s'expriment tous les autres (n° 163). Si on remplace, dans l'un de ces invariants, x, y, :,p, 7, ..., par leurs valeurs, le résultat doitétre indépendant de H ; on a donc, après cette substitution,
u [JC, y, ;, p, <7, ...) = F >, cp (a), o' (a), ...], V (.r, y, -:, p, q, ...) = <I> >, ç> fa), ç' (a), .../,
Uf et r, étant les invariants qui jouent le même rôle pour le second système de caractéristiques ^ = C'*, on aura de même
«^ !.'•, ^, -,p, ç, ...)=F, ■^, ^(fJ), f (p),...],
L'hypothèse la plus simple que l'on puisse faire est évidemment la suivante; chacun des systènnes admet un invariant du premier ordre et, en appelant ii et i(^ ces deux invariants, on a
u ix, y, s,p, g) z= F («),
comme on peut d'ailleurs remplacer u par une fonction quelconque de M, et l(^ par une fonction quelconque de ?/,, il est permis de remplacer ces égalités par les suivantes :
L'hypofhèse que nous faisons revient donc à celle-ci : des formules (20) et de celles qui donnent les dérivées du premier ordre pet q^onpent tirer les valeurs de a et de ,3 en fouclion de .c, y, :r, p, 7.
Pour quil en soit ainsi, il faut que chacun des systèmes de caracléristicjues de l'équation du second ordre admette un invariant du premier ordre. On démontre aisément que cela ne peut avoir lieu que si l'équation considérée est une équation de Monge-Ampère, et ces deux invariants u et M( doivent être en involution, [m, uJ = o. Si on fait une transformation de contact, de façon à ce que les nouvelles variables indé-
!228 CHAPITRE Mil
pendantes soient précisément u ot »<(, l'étiuation prendra la forme
et on aura pour l'intégrale générale de celte équation une fonction renfermant explicitemt>nt deux fonctions arbitraires de u et de /', respectivement, avec leurs dérivées jusqu'à un ordre fini. On est donc ramoné au problème suivant, qui a fait l'objet des recherches de M. Moutard ('):
Trouver toutes les équations du second ordre admettant u»e intégrale générale de la forme
(2i) = rr-r.r^,j,\,\' X'"; Y, y, ..., Y-'
X désignant une fonction arbitraire de ./■, et X', ..., X^'^Kses dérivées, Y désignant une fonction arbitraire de y, et Y', ..., Y'"' ses dérioées.
Les théorèmes énoncés par M. Moutard ont été démontrés par M. E.Cosserat dans une note élégante (''), à laquelle nous renverrons le lecteur en résumant seulement les résultats. On voit directement qu'une équation qui admet une intégrale générale de cette espèce est nécessairement de la forme
ce qui résulte aussi des raisonnements précédents. Mais le calcul direct montre de plus que la fonction f doit être linéaire par rapport à p et |)ar rapport à q séparément, c'est-à-dire que l'équation précédente doit être de la forme
(22 s -f- ^pq -\- ap -\- bq -\- c ^=. o,
p, a, ^, c désignant dos fonctions d& .c, y, z. Si l'on prend comme nouvelle inconnue, au lieu de z, une fonction 6 de .r, y, -, assujettie uniquement à vérifier la relation
^ = eh'-.
Ci,
l'équation définissant 6 sera encore de la forme (22), mais ne contiendra
f ; liecfiercfies sur les équations aux dérivées partielles du second ordre à dfux variables indépendantes [Comptes Rendus, t. LXX, p. 834).
{'-] Note ajoutée au tome IV de la Théorie générale des Surfaces <le M. Darboux, p. 405-422.
LKS ÉQUATIONS IJK LA l'HEMIKIlE CLASSE 229
pas de terme en pq^ et admettra une solution de môme forme que l'équation (22). II suffit donc de traiter le problème pour une équation de la forme
(23) s -\- ap -\- hq -^ c ^ o^
où a, 6, c sont des fonctions de a\ y, ;:.
Cela posé, pour que l'équation (23) admette une solution de la forme (21), il faut, abstraction faite de deux cas particuliers dont il sera question tout à l'heure, quô l'équation soit linéaire, ou bien qu'elle soit de la forme
m, n, rUf, »,, oj étant des fonctions de x et de ?/, et c une fonction de ^•, î/, z. Si l'équation (23) est linéaire, pour qu'elle admette une intégrale générale de la forme (21), il faut et il suffit que la suite deLaplace relative à cette équation soit terminée dans les deux sens, et nous retom- ' bons sur une question déjà traitée. Si l'équation est de la forme (24), en prenant pour nouvelle inconnue ;ro>, il faudra qu'elle appartienne au type suivant :
;— . T- (Ae- + —
[25) ^;-^(Ae=) + f (Be-^) + C=.o,
l'y ox - hj
A, B, C étant des fonctions de x et? de y. Nous verrons au chapitre suivant comment une transformation simple permet de ramener l'intégration de cette équation à celle d'une équation linéaire. Pour que l'équation (23) admette une intégrale générale de la forme (21), il faut et il suffit qu'il en soit de même de l'équation linéaire correspondante, et on est ramené au même problème.
Si l'équation (23) n'est ni linéaire, ni du type (24), elle doit être de l'une des trois formes suivantes, dont la seconde se déduit de la première en échangeant le rôle des variables .r, y,
m, n, m^,n^ désignant des fonctions de x, y elc une fonction de .r, j/, - Pour que l'équation (26) admette une intégrale de la forme (21), il faut
230 CHAIMTRK VIII
qu'en prenant pour 'nouvelle inconnue une expression linéaire par rapport à ;:. ef remplaçant y par une fonction choisie convenablement de y, on retombe sur l'équation intégrée déjà (n" 47) :
On a une conclusion analogue pour l'équation [tl). Knfin, pour que Téquation (28 admette une» intégrale de la forme (21), il faut qu'on puisse la ramener à l'équation de Liouville on prenant pour nouvelle inconnue une fonction linéaire de ;. En définitive, la solution du problème de M. Moutard est ramenée à la formation de toutes les é(|uations linéaires pour lesquelles la s'.iite de Laplace est terminée dans les deux sens.
Considérons l'ensemble des équations qui admettent une intégrale générale de la forme (21) et de toutes celles que l'on en déduit par toutes les transformations de contact possibles. Nous avons ainsi une famille d'équations du second ordre admettant une intégrale générale explicite, qui sont caractérisées par la propriété énoncée plus haut : les variables auxiliaires a et ^ sont des fonctions délenninéesde .r^y,z^p, q. La plupart des équations dont nous avons obtenu l'intégrale générale sous forme explicite appartiennent à cette famille, mais ce ne sont point les seules. Par exemple, l'équation [x -f- y) s = 2y/p^ intégrée au n"!?! ne peut être ramenée à la forme (23) par une transformation de contact, comme on le démontre facilement, en remarquant que cette transformation serait forcément de la forme
.-/•' = X ix), y'=Y{y), z'=Z {x, y, r),
ou de la forme
Cependant cette équation admet, comme on l'a vu, une intégrale générale explicite; mais on a, dans ce cas,
de sorte que a et fl, tout en ne dépendant que de./; et de y respectivement, sont des fonctions dont l'expression varie avec l'intégrale considérée. Cette remarque conduit à poser un problème plus général que celui de M. Moutard et dont voici l'énoncé : Trouver toutes les éc/xalions du
second ordre rpii admettent une i)Uégrale générale de la forme
X ne dépendant que de a, o (a), ..., 9'"" (a), e/ y ne dépendant que de p, '} (p), •]/' (p), ..., -y"' (p). Il est clair que l'équation doit être de la forme
« + f{^^ 2/1 -S"- Pi Ç-) = 0-
Il peut aussi arriver qu'une équation du second oi'dre admette une intégrale générale explicite, sans que les deux systèmes de caractéristiques admettent une combinaison intégrable du premier ordre. Prenons, par exemple, l'équation
(30) s -h tz^ + 2î^r = o ;
il existe, pour l'un des systèmes de caractéristiques du premier ordre, deux combinaisons intégrables distinctes:
dx =: o, d{p -\- qz^) = o,
tandis qu'il n'en existe aucune pour le second système. L'équation (30) admet l'intégrale intermédiaire
p -\- qz^-- «!> (j-),
dont l'intégration se ramène à celle du système
/Qi\ dx dy dz
si on pose «I) (j;) = X", l'intégrale générale du système (31) est donnée par les formules
On fera disparaître tout signe de quadrature en posant X'=r a, ./; = ^"(a), ce qui donne
X =/X' dx = ao" (a) — çp' (a), fX'^-d.r =r ^y (ï) — 2ia>' (a) -f 2p (a). Pour obtenir l'intégrale générale de l'équation du second ordre, il
faut établir uno relation arbitraire entre C, et Cj ou, ce qui revient au même, poser C, = fj, Cj = } {^^ ; finalement, on trouve que l'intégrale générale est donnée par les formules
y = ^y (,) 2aç' («) + 2ç (a) + 2 (ao»' (a)) - ,p' (a)) p + <p>)p»+<f (p).
Il est facile de trouver, d'après ces formules, les invariants du second système de caractéristiques. On a, en effet,
et, en différentiant plusieurs fois de suite par rapport à p, on a successivement
de sorte qu'inversement r^? rr^i rr^j ..., s'expriment au moyen de
7< ^ Pu3' ••• Mais, à partir de la dérivée troisième tt^? ces dérivées
ne dépendent que de p. On a. donc un invariant du troisième ordre et un du quatrième ordre pour le second système de caractéristiques.
184. Lorsque la méthode de M. Darboux réussit pour les deux familles de caractéristiques d'une éuqation du second ordre, l'intégration est ramenée à celle d'un système d'équations aux différentielles totales de la forme
\ chi=Oi {x, y, X, X', ..., X<^); Y, Y', ..., Y^; z,, z„ ..., z„) dx ^ ■'( +|,(a:,y, X, X', ...,X<'');Y, Y',....Y"');.-,,z„....z^)rfy, {i= 1, 2, ..., m),
qui ne diffère que parles notations du système (16]; X désigne une fonction arbitraire de x, Y une fonction arbitraire de 1/, et le système est complètement intégrable pour toutes les formes possibles de ces fonctions arbitraires. Le système le plus simple de cette espèce, où n'entre qu'une seule fonction inconnue z, et où ne figure aucune ' dérivée des deux fonctions X et Y,
d2 = <f {x, y, z, X, Y) c/^ -f 1 ( X, y, z, X, Y) dy.
a déjà été étudié au n" 42, sous une forme un peu différente. On a vu qu'en prenant pour nouvelle inconnue une fonction convenablement choisie de a:, y, -, on pouvait ramener cette équation à la forme canonique
rfZ = Xô {a:) dx'-{- Y6^ {y) dy.
Nous ne connaissons aucun travail sur les systèmes les plus généraux de la forme (33). Lorsque les fonctions inconnues c,, 2^, ..., z„, ne figurent pas dans les seconds membres, la proposition suivante permet de ramener les équations à une forme simple (').
Si l'expression
S o (a-, 2/, X, X' X'p\ Y, Y'..., Y'^)) dx
^""^^ \ + ^ (a-, y, X, X', ..., X^PK Y, Y', ..., Y'/'^) dy,
oit X est une fonction arbitraire de ce, Y une fonction arbitraire de y, et où.'^et'if renferment X et Y et leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé^ est une différentielle exacte pour toutes les formes possibles des fonctions X et Y, on a
Jcp dx + •]. dy =fF {x, X,X', ..., \<P^)dxi-fF, U,Y,Y', ...,Y'/') dy + F,(a-,2/,X, ...,X"'-", Y,Y', ...,Y"'-')),
F ne renfermant que X, X, X', ..., X^^; F, ne renfermant que ?/, Y, Y', ..., Y'^', et Fj étant une fonction déterminée des variables qui y figurent {•).
Supposons, po^r fixer les idées, que les dérivées de Tordre le plus élevé des fonctions X, Y, qui figurent dans ç et <]/, sont celles d'ordre p, de telle sorte que l'une des dérivées X'^\ Y"'' entre dans Tune au moins des fonctions o et '|, mais qu'il n'y entre aucune dérivée d'ordre supérieur à p. Par hypothèse, on doit avoir, pour toutes les formes possibles des fonctions X et Y,
dy dx
(') Bulletin de la Société malhémulique, t. XXV, p. 39: 1897. {■-') La proposition s'étend sans difficulté aux expressions
çirfr, 4- ifida-o 4- ... + 55;if/.r,i
OÙ fi, »2, ..., ç»i, renferment n fonctions arbitraires Xj.Xo ..., \n de.r,.i:.2, ....r,i respectivement, et leurs dérivées en nombre fini, qui sont des différentielles totales exactes pour toutes les formes possibles des fonctions arbitraires.
234 CHAPirnK viii
en posant
cfx ~ c\v ^ .^x ^ ••• ^ cW'/--') ^ c^X"»;
on voit que -~ ne contient pas Y'''+'' et que -^ ne contient pas X'''^'>. Il faudra donc que Ton ait
-' f'' ttt;;; ~ o.
c'est-à-dire que 5. ne contiendra les dérivées de la fonction Y que jus- «ju'à celle d'ordre ji — 1 au plus, et de même •]/ ne contiendra les
dérivées de X que jusqu'à celle d'ordre p — \ au plus. Alors -f-^ et par suite -^-i doit être une fonction linéaire de X""'. On doit donc avoir
ou, ce qui revient au même,
JL [ ^^'9 "1 dy [WSji^'] ~ ®'
ce <jui montre que ,>^y(^w est indépendant de y. Y, Y', ..., Y'^'",
On en déduit que o est de la forme
ç> = *(.r,X,X',...,X"'))-f4., (a-,v,X,X', ...,X"'-'), Y,Y', ...,Y'''-'OXw + 1>2(^,y,X,X',...,X"'-^),Y V"-'>),
et l'un démontrera de la même façon que -l doit être de la forme
,f=V ,y, Y, Y', ..., YWj; -f >i\ (./;, y. X, X' \'p-'\ Y, Y' Y'/--*') Y</"
Le coefficient de X'/" Y /" est r^^, dans ^, et r|^, dans ^; on
doit donc avoir
ce qui montre que 4», et V^ sont les dérivées partielles par rapport à
\(p-*) et Y'^~*' respeclivoniont d'une fonction
U (a-,^,X,X', ..., X"'-*\ Y, Y', ..., Y'/»-") =J*h^clX<p-'' -{- ^\ dY^P-'K La différenlielle totale de cette fonction U a pour expression
