Xf"'c/.r + U', Y'^-'f///, et l'on peut écrire

/^ (fx + 1 cfy z=U dx -\-Jw di/.-\- U -\-Co^ dx -\- •\^ dij, en posant

^' ~ ^ V^ ^^Y ^ ■•■' ^ cn''/'-=«J /

Remarquons maintenant que ç, , r/ r -f- f ( <^',y doit être une différentielle exacte pour toutes les formes possibles des fonctions arbitraires X et Y', et que s, et •lf^ ne renferment les dérivées de ces fonctions que jusqu'à l'ordre p — 1 au plus. En répétant les mêmes opérations sur

/(p,r6;-f-']'«'^''.'/. et poursuivant l'application du procédé autant de fois

qu'il est possible, on finira par arriver à une intégrale de la forme

J?P i-*-'. y y X ) c^x -f J/p ix, y, Y) dy,

où l'expression ^pdx -\-'\pdy doit être une différentielle exacte pour toutes les formes possibles de X et de Y. Ou doit donc avoir

23<> , CHAPITRE Mil

or, z.p ne contient pas Y, il doit donc en être de même de ^j c'està-dire que '\>p est de la forme P (y, Y) + Q (.r, y). On voit de même que z>p doit être de la forme M (w, X) -f- N (a-, y),

et la condition d'intégrabililé devient ^ -= ■-^•

L'intégrale en question peut donc s'écrire

f:,,.<Lr + -Ipfh/ =/M ^r, X I ./.r +yP (y, \) f/y +y*Nf/a- + Qf/y.

En réunissant tous les résultats obtenus, on obtient bien pour l'intégrale / z>(Li: -{- 'hily une expression de la forme aimoncée.

On voit de même que, si les fonctions ç et} renferment une seule fonction arbitraire, X par exemple, on peut écrire

J^dxJr'\dy=f¥ [X, X, ...X'-P') dx + F,{œ, y, X, ... X'/'-<)) .

Remarque. — Si l'on suppose que les fonctions cp et •]> soient linéaires par rapport aux fonctions X, Y, et à leurs dérivées, on retrouve le théorème démontré par M. Darboux (\, et qui est d'un grand usage dans l'étude des équations linéaires. En effet, les fonctions cp et <]< sont alors de la forme

a>=:A„X + A,X'+ ... +A^X'/') + BoY-fB,Y'+... + B;,,Y"'-<), .i = CoX + C,X'-f-...+C^,X>-<)-}-D,Y + D,Y-f-... + D^Y^,

A,, B/, C/, D, étant des fonctions déterminées de x et de y; si l'on pose

U =-^ApX>-')+DpY'^-*), on peut t'-crirt'

Jlf/u- + Ir/y = U -fi, cb- + ■}, f/y,

o, et ■}, étant des expressions de même forme que a et -i, qui ne renferment plus que les dérivées de X et de Y, jusqu'à l'ordre p — 1 au plus. En continuant ainsi, on arrivera à une expression

aX'/.r -\- fA'di/.

qui devra tir»- uuo diflérenliellf exacte pour toutes les formes possibles des fonctions X et Y, ce qui exige (jue a ne dépende que de la variable

(') Leçons sur la T/iéorie générale des Surfaces, t. II. p. loi.

./•, et ([ue b ne dépende que de la variable .y. Si ces fonctions ne sont pas nulles, on fera disparaître tous les signes de quadrature, en rem-

plaçant X par '—^ et Y par -rp, X, et Y, désignant deux nouvelles fonctions arbitraires de x et de ?/ respectivement.

La proposition est encore vraie si les fonctions s et \j; ne renferment qu'une seule fonction arbitraire, car cela revient à supposer que tous les coefficients A, et C,, ou tous les coeflicients B, et D,, sont nuls simultanément.

185. On a vu, d'après l'exposition précédente, que la méthode d'intégration de Monge, celle de Laplace et les méthodes plus ou moins particulières proposées pour des équations spéciales, sont comprises comme cas particuliers dans la méthode d'intégration de M. Darboux, qui nous apparaît ainsi comme le moyen le plus puissant pour intégrer une équation aux dérivées partielles du second ordre, ou, d'une façon plus précise, pour ramener le problème à l'intégration d'un ou plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires. Dans la note citée plus haut ('), M. Maurice Lévy énonce sans démonstration une condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse obtenir l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du second ordre, moyennant l'intégration de A systèmes successifs d'équations différentielles ordinaires, comprenant chacun un nombre quelconque d'équations avec un pareil nombre d'inconnues; et il est facile de voir que le critère de M. Maurice Lévy est identique à celui que l'on déduit de l'application de la méthode de M. Darboux. Cette proposition est restée longtemps sans démonstration, et ce n'est que dans ces derniers temps que M. E. von \Veber(-) a donné du théorème de ^L Maurice Lévy une démonstration que nous allons reproduire, en la modifiant sur quelques points.

D'après une remarque déjà faite (n" 173), pour qu'une équation du second ©rdre F = o soit intégrable par la méthode de ^L Darboux, il faut et il suffit que toute intégrale de cette équation appartienne à une autre équation *V = o, dont l'ordre peut être quelconque, qui a une infinité d'intégrales communes avec la proposée, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, sans les admettre toutes. On peut remplacer ce critère par le suivant^ dont l'énoncé a un caractère plus géométrique. Prenons d'aliord une équntion ayant ses deux systèmes de

(') Comples Rniflus, t. ""i, p. lO'Jl.

(-) E. vox Wkiifu, Ueber partielle Ditlerenti.ilgleichiingen. Il Onlnung, diesicli dnrch gewohnliclie Dillerentialgleiciiungen Integrieren lassea [Sitzungsberichlr der malheinath<h-phiisik(iHsche Classe der k. bai/er. Akad.d. Wissensrhaften. Bd. XXVI, 1890, p. 425-437;.'

238 r.ii Ai'i I IU-; viii

caracloristinucs dislinoU, ot adiiu'ttanldeux invariants u et i% pourTun des systèmes de cai'aclérisli([ucs d'ordre »j (Cj'). Soit (C/) une caractéristique d'ordre n de l'autre système ; le long de (C"), u et y sont des fonctions d'une seule variable indépendante, et la relation « = jp (v) détermine la forme de la fonction s. Toutes les surfaces intégrales de rc(ïuation du second ordre, qui admettent tous les éléments de la caractéristique vG'j ', sont donc des intégrales du système en involution

dont les caractéristiques ne dépendent que d'un nombre /ïni de paramètres. Or, ces caractéristiques sont précisément les caractéristique de F =: o du môme système que (Cy), qui appartiennent aux intégrales passant par (C'/). On voit donc que, si une équation du second ordre F = o est intégrable par la méthode de M. Darhoux, il e.ciste au moins un des syslùmes de caractéristiques d'ordre n, tel que, si l'on considère une quelconque des caractéristiques de ce stjstcme (C"), toutes les autres caractéristiques du même système, qui appartiennent à une même surface intégrale que (C'Jl, ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres.

Comme les caractéristiques d'ordre n qui renferment une caractéristique du second ordre no dépendent elles-mêmes que d'un nombre fini de paramètres, et qu'une caractéristique d'ordre n contient une seule caracléristi(jue du second ordre, il s'ensuit que li^ propriété précédente s'applique aussi à l'une des familles de caractéristiques du second ordre d'une équation intégrable par la méthode de M. Darboux. 11 en est encore de même pour une équation dont les deux systèmes de caractéristiques seraient confondus; en effet, si cette équation est intégrable par la méthode de M. Darboux, il résulte des résultats obtenus (n° 166) que les caractéristiques qui engendrent les surfaces intégrales ne dépendent que d'un nombre (ini de paramétres.

La condition ([ui précède est suffisante pour cpiune équation du second ordre soit intégrable par la méthode de M. Darboux. Soit (C'f) une caractéristique du second ordre de la famille qui jouit de cette propriété; considérons toutes les surfaces inlégralcs (S) qui admettent tous les éléments du second ordre de (Cf). Ces surfaces dépendent d'une infinité de constantes arbitraires, et, par hypothèse, toutes les caractéristiques du second ordre de la même famille que (C?), qui sont situées sur ces surfaces, ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres. On peut donc les regarder comme engendrées par des courbes (F), qui ne dépendent «[ue do k paramètres, associées suivant une loi convenable,

or, si Ton considère toutes les surfaces engendrées par les courbes (F), associées d'une faron absolument arbitraire, ces surfaces vérifient une équation aux dérivées partielles d'ordre k — 1,

quia ainsi une infinité d'intégrales connnunes avec ré([uation proposée, dépendant d'une fonction arbitraire. D'ailleurs, l'équation (36) ne peut admettre loxUes les intégrales de l'équation du second ordre ; s'il en était ainsi, les caractéristiques de l'un des systèmes, se composant des courbes (r), ne dépendraient que d'un nombre tini de paramètres, ce qui est impossible si les deux systèmes de caractéristiques sont distincts. Lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, il pourrait se faire que l'équation (36) admette toutes les intégrales de l'équation du second ordre,^ mais la conclusion serait encore la même. En effet, l'équation d'une surface intégrale s'obtiendrait en éliminant le paramètre a entre les deux relations

'h (<*), '\ï['^-i •••> «l'A- («) l'taïït des forrclions convenablement choisies de a; en écrivant que la surface ainsi obtenue est une intégrale de l'équation du second ordre proposée, on trouvera évidemment un certain nombre de relations entre les fonctions •\^ \'^}i--- '\k (x,),et leurs dérivées, de sorte que l'intégrale générale de l'équation du second ordre serait de la première classe. On peut donc remplacer le critère du n" 173 parle suivant : Pour qu'une équation du second ordre soit intégrable par la méthode de M. Darboux, il faut et il suffit que, (Cjfi élayit une caractéristique quelconque (le l'un des systèmes (convenablement choisi i, toutes les autres caractéristiques du même système, qui peuvent être situées sur une inème surface intégrale que [Q'^), ne dépendent que d' un no7nbrev\T:ii de paramètres. Lorsque la propriété appartient aux deux familles de caractéristiques, la méthode de M. Darboux réussit des deux côtés.

186. — Revenons maintenant à la proposition de M. Maurice Lcvy. Etant donnée une équation du second ordre F =^ o, intégrer cette équation revient à trouver toutes les multiplicités composées de oc- éléments du second ordre vérifiant F =: o et les relations

(38) dz = pdc -f qdy, dp = rd.v -j- sdy, dq = sdx -\- tdy.

Si toutes ces multiplicités peuvent être obtenues par l'intégration de plusieurs systèmes successifs d'équations différentielles ordinaires, mal-

210 CH.VIMTRE VIII

gré l'ononcé un peu vague du problème, on ne peut guère concevoir la marche des opérations à effectuer que de la manière suivante. Après l'intégration d'un ou plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires, on sera conduit à un système définissant des multiplicités simplement inlinios d'éléments du second ordre vérifiant les relations (38) et l'équation F = o; soient

/ dy dt d-v

ces équations différentielles. Les fonction3 &, dépendent de constantes arbitraires ou de fonctions arbitraires introduites par l'intégration des systèmes rencontrés antérieurement, elles multiplicités à une dimension obtenues par l'intégration du système (39), en les associant convenablement, donnent une surface intégrale. De plus, toutes les intégrales, sauf les intégrales singulières, peuvent être obtenues de cette façon.

Si l'on a fixé la valeur des constantes arbitraires ou la forme des fonctions arbitraires qui figurent dans les fonctions ç>,, l'intégration du système '39: nous donnera, par hypothèse, des intégrales de l'équation F = o. M. E. von Weber admet, et c'est là le point le plus délicat de sa démonstration, que les intégrales (Si que l'on peut déduire d'un même système '39 forment un ensemble dépendant d'un nombre infini de paramètres ('). Si l'on admet ce point, la démonstration est immédiate En effet, les intégrales (S) appartiennent à une famille de surfaces engendrées par des courbes qui dépendent d'un nombre fini de paramètres, et vérifient, par conséquent, une équation aux dérivées partielles qui n'est pas une conséquence de l'équation F — o. Comme ces intégrales dépendent d'une infinité de constantes, il s'ensuit q'ie le critère pour que lîi méthode de M. Darboux soit applicable est toujours satisfait. On voit do plus que les multiplicités à une dimension définies par les équations 39 sont précisément les caractéristiques du second ordre de l'un des systèmes.

(') Voici lextiiellcment le passage du mémoire de M. E. von Wcber : V Je ot' liitegralstreifea dièses Systems iiijssen sich zu einer Inte^îr.ilminnigralligkeit von l, zusamriienordnen und die (ileictiungen (3; m issen allgemein geniig seia. iim aile nicht singul:iren, Intégrale von li in dieser Wcise zu liefern. Damit aber dnrch Rinr.itirung des Svstems'(;i; in die Hechnung eine wirklifhe Vereinfschung des Intejrrationsgeschâfts erzielt werde. d. h. damit die Ermittelun» des Systems'S' nicht ein Problém von ebenso hoher OrJnunif sei als dij nerstelliin" des (von zwei arbilriren Fimktionen eines arguments abh;ingenden/ allgemeinen Intégrais von '1.. werden wir verlinijen. dass in die liniien Seiten von i'i) ausser einer éndlichen Zabi vnn Paranietern nurnoch die Coerficienlen hochtens einer ârbitrâren Fiinklion eine? Arijuments eingehen. Aus dt^r ondlichgliedrigjn Schdar von Integralstcifen des einzelnen Systems 'i'i, mus» si.-.li somit eine unf^nfllichgliedrige Schanr zweifacli ausgedchnter Integralmannigfaltigkpiten von (l) aiirbauen iassen, da sonst die (lesamtlieit der Système 3«rnicht hinreicbin warJe, uiu das allgemeine Intégral von (I in dieser Weise entstehen zu lasjen.

ciiAriTHi': IX

thansfokmations-dp:s k()Uations du skcond ohdhk

Hoilieiclie dos ('•([u;ilii)ii,-> du seiniul ordre, IoIIps (|ue l'nnp des di'iivécs prciiiirres de la fondioii inconiiiio vériric une s«nilo ('qualion du setond ordre. — Applicalion à divers exemples. — (iiMiéialilis sur les systèmes de deux éciualions du |)i eiuier ordre à ilcux fondions inconnues. — ('as où rélimination de l'une des inr.ounues rouduil à une équation du second ordre. — Exemples de Lransformalious. — Cas îles éipialions linéaires. — Kqnalion adjointe. — Transformation de .M. Mtuilard. — Transforinalionsde M. Backlund. — Kxemple de M. E. Cosserat. — Comparaison avec la méllioile de M. Darhoux. — Ct'-néralités sur les lransformalious des ('-(pialions du second ordre.

187. On a vu, dans Télude des équations aux dérivées partielles dii j)remier ordre, le rôle important que jou^ la théorie des transformations de contact ; intégrer une équation du premier ordre, à une seule fonction inconnue et à un nombre quelconque de variables indépendantes, revient au fond à déterminer une transformation de contact permettant de ramener cette équation à une forme immédiatement intégrable, par exemple y>, =0. Cette théorie ne permet point une étude aussi complète dos équations du second ordre; nous avons déjà rappelé (1, chapitre II) que dans certains cas, étudiés par Ampère et, après lui, par Imschenetsky, une transformation de contact permet de ramener une équation du second ordre à une autre équation du second ordre d"nne forme plus simple, mais on ne peut jamais passer ainsi d'une é(iualion non intégrable par la métlinde de M. Darboux à une équation intégrable. D'une façon plus précise, lorsque deux équations du second oi-dro se déduisent l'une de l'autre par une transformation de contact, si l'une d'elles est intégrable par la méthode do .M. Darboux, la même méthode réussira pour la seconde après le même nombre d'opérations, (^ar une transformation de contact change évidemment les caractéristiques en caractéristiques et conserve l'ordre du contact.

Nous avons déjà eu l'occasion, dans le courant de ces Leçons, d'ap-

IXTÉGBATION DES ÉQIATinXS. — I. II. 1 (i

îii C.IIAl'ITKK IX

pliquor d'autres Iransforinations. <|ui ne réussissent que grâce à la

forme particulière des équations auxquelles on les appliijuc. Telle est la

transfurnialion de i.aplacc; telle est aussi la Iransforiualion qui permet

d'iiilégror l'écjuation (]o Liouvillc t. I, n" iTi. Nou< allons passer en

revue, dans ce cliapiirc. quelques-unes des transformations les plus

employées, en essayant di' les ramener à quelques types généraux.

i*roj»osons-nous d'abord de trouver toutes les équations du second

ordre 1-' ./•, y, z, p, 7, r. s, t) = o aux(|uelles s'applique la transforma-

tion u = T-} c est-a-dire telles au on puisse en déduire une relation

entre r, ?/, ç, ,v, /. p^^^ p^.^, p^^^ et une seule, s'appliquant à toutes les intéfjrales de celte écpialion. Si l'éciuation proposée renferme la dérivée seconde /•, on peut l'écrire

en prenant la dérivée par rapport à y, il vient

Comme il ne peut y avoir deux relations distinctes entre c, y. -, p, 7, s-, /, p,2' P-2i' Pos^ puisque les valeurs initiales des variables ce, y, z, ]), 7, s, t,p^.■,, yj,,^ doivent rester arbitraires, il s'ensuit que la relation 1 1 ne doit renfermer ni z ni p et être identique à la relation chercbée, ne renfermant que les quantités x, y, q, s, /, i>,2'i'2p Po3- Autrement l'élimination dey<^, entre ces deux relations conduirait aune érpiation de Cfuidition entre j\ //, -, p, 7, s, t, p^^, i^oa» ^^ "l"^ ^^^ impossible. Pour (jue l'équation 1 ) ne renferme ni p, ni z, il faut d'abord que 1 on ait

c"esl-H-Jire (jue /"soil de l;i fcriue

/■ r '•' .'/, -■ !'• 'il -T- •7' ■'% .'/; 7. •">■' '■) ;

en remplaeanl /' par celle expression, on trouve ensuite (|ue l'on doit avoir

yji>z ~ c>c\ ~" ^jî^ ~ cYa>- " ^'

e't ç- est de la forme

<? = ?i (-^'i y^ -) + A X, yi p -\- ■:ji \x, y, g).

ÎKANSl OHMAl IONS l)i:s KOi: A TU >.NS bL SKCOMJ OIUJRÉ 2^3

Il faut enlin que V^ + '-^ 7 + t~ P ^oit indépendant de p et de j,