OZ
c'est-à-dire que l'on ait
c'y oi/oc oc^
de sorte que le coefficient de p doit être indépendant de //, et que ^, doit être de la forme B [x) i -\- C {x^ y). En définitive, léquation (Ri doit appartenir au type suivant
X et X, étant deux fonctions quelconques de x et F une fonction de •r, y, </, s, /,de forme arbitraire.
Le raisonnement ne s'applique plus aux équations qui ne renferment pas la dérivée seconde r. Étant donnée une équation de cette espèce, supposons d'abord qu'elle dépende de p, on peut alors l'écrire
et, en différentiant par rapport à x et par rapport à //, il vient
Ces deux équations, jointes à la relation
(6) 4> (./■, /y, ry, s, ^ p.y^. p^.,, p^,.^} = O
que nous supposons exister, forment un système de trois équations renfermant les dérivées partielles du troisième ordre. Ces trois équations doivent se réduire à deux, puisque deux des quatre dérivées du troisième ordre peuvent toujours être prises arbitrairement. Comme r ne figure que dans la première relation i 4), cela ne peut arriver que si les équations o) et iG^ ne diffèrent pas l'une de l'autre, ce qui exige que l'équation (o) ne renferme pas z. On en déduit, comme tout à l'heure, que l'équation (3) doit être de la forme
Xj étant une fonction de x seulement.
•1\\ ( MA II 1 r.i: i\
Ijiliii, si une tMinalidii du second ordre no ronfcrmo ni )\ ni p, en éliminant - entre Celte éqnalion et sa dérivée par rapport à y, on obtient bien une relation entre •>•. //,</, ,v, /, p^^, y), 3, p^^.^. Si l'équation ne renferme aucune des rpiantités :;,;), /•, elle est de la forme/' x, //. 7, v, /) — o et la dérivée '/satisfait à une é({uation du premier ordre.
Kn résum('', /ou/e équation d ( sccouf/ orJre, t-iUe r/u en prenant j^oitr nouvelle inconnue la (lérivee r- on soit condmi. à une nouvelle équation ihi xecoud ordre, peut être ramenée à la forme
(S) Xr -f X,y) + X, - + V '■•\ .'/, V. ^ 0 ^- 0,
X, X,. X.> dési(/iianl trois fiiwiions quelr-^nques de .r ('i.
En d'autres termes, les variables z, /j, r ne doivent figurer dans celle équation (juc dans une combinaison linéaire où les rapports des coefficients ne dépendent que de la variable .r. Toutes les équations qui ne renferment qu'une des trois lettres ?•, p, r, satisfont évidemment à cette condition, quelle fjue soit la façon dont y entrent les autres lettres '*i .'/. 7. •'. f- On verrait de mc-mr; que toute équation du second ordre,
telle que la transformation r = - conduise à une nouvelle équation du ^ ex '
second ordre, peut être ramenée à la forme
^^ +^k'1 + ^1^ + 1^ '•''1 .'/, t>^ s, r) = o, V. Y,. Y., désignaiit trois fonctions ([uelconques de //.
188. Klant donnée \me é(|uation quelconque de la forme (81, il vient,
ITT •• . 1 i*- ^i(^
en uillerentiant par rapport a '/ et remplaçant r— par w, s par r— 5 •^ ■ ' l'V '^ ^ ex
/ par — .
test une équation linéaire du second ordre à laquelle satisfait la fonction ?/. A toute intégrale do l'c'-piation Hj correspond évidemment
' I-a proposition sélend aisément aux t-qualions d'ordre qnelconqur.
TRANSFOHMATIO.NS DES i:uLAlln.N> DL >K(;uM) oKDlU-: "J'i.'i
une seule intégrale de rtMjuation D). Inversement, soit k une ink'grale de léquation (li ; proposons-noub dexauiiiier s'il lui conespond une intégrale de l'équation '8\ Une telle intégrale devant satisfaire à la relation
est nécessairement de la l'orme
y (10) . ^ = f,(dt/ + <t> U),
'Jo
<I» (x) désignant une fonction de x, etyQune constante que l'on choisira de telle façon que h soit holomorplie dans le voisinage. Si on remplace c par l'expression (10) dans le premier membre de l'équation ^8 , le résultat de la substitution est indépendant de //, puisque la dérivée de ce premier membre par rapport ù y est identiquement nulle, d'après la façon même dont on aobterm l'équation en h. Pour que ce résultat soit identiquement nul, il suffira donc (ju'il soit nul quand on y remplace y par j/^, c'est-à-dire que l'on ail
" -^ S + ^. ^^ + --^^ + ^ [— V (^.); Gl] —
!(,., (-^1 5 i^i désignant les fonctions de x auxquelles se réduisent
respectivement u, —■' ^ pour y = //„. En définitive, si u [x, y) est une ex oy
intégrale de Véqualion (9), la formule
refiréaenle une inlégrale de Ccquation i8), pourcii que '\>-[x) soit uneintcgrnle de fcqualion \i .
Si X n'est pas nul, à toute intégrale de l'équation en ?< correspondent une infinité d'intégrales de l'équation en -r, dépendant de dcii.r constantes arbitraires, qui s'obtiennent par une quadrature et parlinlégralion d'une écjuation dilTérentiidle linéaire du second ordre, où le second membre seul est variable avec ?r. Si X est nul et X, différent de zéro, à toute intégrale de léqualii n en u correspondent une infinité d'inlé-
^2W* (IIVPITKK IX
grales de r«'Mjuafiun en », dt-pondant d'une constante arbitraire, qui s'obtiennent par des (juadratures. Si X et X, sont nuls et X.^ dilTérent de zéro, les intégrales des deux é(|uations (8) et (9) se correspondent une à une ; à toute intégrale de l'équation en u correspond une seule intégrale de l'équation proposée qui s'obtient sans aucune quadrature, car cette équation nous dunnc
Enfin, si l'é'qualion (Si ne renferniail ni r, ni p, ni -, la dérivée m ^-^^
vérifierait une écjuation du premier ordre et à toute intégrale de cette équation en n correspondraient une infinité d'intégrales de l'équation en ;;, représentées par la formule (10), où* [xj est une fonction arbitraire de X.
189. Un grand nombre de transformations connues se ramènent à la précédente. Prenons, par exemple, une équation de la forme
^^ PU prenant pour nouvelle inconnue ti z= —^ la métbode conduit à l'énua-
' .'/ tion
où on suppose s et t remplacés par r- et r— Cette équation peut ellemême se ramener à une équation linéaire par la transformation de I.egendre. L'ensemble de ces deux transformations revient à prendre pour nouvelles variables s,teiv=:q — s.r, — /y, ce qui ramène l'intégration de l'équation proposée à celle de l'équation linéaire
c'est précisément la méthode employée par Legendre ('). Etant donnée une équation linéaire
(12) ^J^a^:^ + b^^ + cz=-.o,
(•) Histoire de l'Académie des Sciences; 1787.
TRAN>I'(>ltMATlONS DES KOIATIONS DF SECOND OBDRE 247
pour pouvoir applnjuer l'une des transformations précédentes, il suffira de faire disparaître l'un des trois coeflicients a, b, c, en changeant d'abord xr en X (j?, y) z, la fonction X (.i\ y) étant choisie convenablement. Par exemple, en remplaçant z par z^eJ"''" et prenant pour nouvelle inconnue -^e-'""', on retrouve précisément une des transforma-
lions de Laplace. Pour pouvoir faire disparaître le terme en z de l'équation (12), il suffit de connaître une intégrale particulière z^. En effet, si on pose d'abord z = xr,Z; la nouvelle équation en Z, devant admettre la solution Z =: 1, est de la forme
fl3)
.VZ . . cV/ , ,, cV/
xoy c'a; oy
et on peut prendre pour nouvelle inconnue r^ ou — •
Si, par exemple, on prend pour nouvelle inconnue r— ' ^^ sera
conduit à une nouvelle équation linéaire de même forme que l'équation (12), pourvu que A ne soit pas nul. Pour l'obtenir facilement, il
suffît d'éliminer ^ entre la relation (13) et sa dérivée par rapport à y.
Mais on peut aussi se dispenser de former l'équation (13i ; on a, en effet,
yZ ^' c^v ~ ^ hj
et, comme on peut toujours multiplier la fonction inconnue par une fonction déterminée de x et de y, on en conclut que le produit
"< .V --"' hj - :^y
satisfait aussi à une équation linéairo du second ordre. Par conséquent, s/ z, est une intégrale ^particulière de l'équation (12), V expression
