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oii Z est l'intégrale générale de l'équation (12), l'eprésenle l'intégrale

•1\H CHAIMTKK I.\

générale cf une éif nation Nnèairc de même forme [')

à toute intégrale de l'équation en u correspondent une infinité d'intég^rales de l'équation en ;:, dépendant d'une constante arbitraire, qui s'obliei\draient par une quadrature. On serait conduit à une autre équation du second ordre en prenant pour nouvelle inconnue

Sil'on connaît plusieurs intég'ralesparticulièresz,, z.^, ...,3-, de l'équation (12 , on peut appliquer plusieurs fois de suite des transformations analogues, et les combiner avec des transformations de Laplace. En partant d'une équation linéaire telle que ( l^), on peut donc former une infinité d'équations linéaires de même forme dont l'intégrale générale a pour expression

6 = A,- + B, jj + - + B„ j^ + C, jy^ + - + C„ j,-.

A, B,, ,.., B„., Cp ..., C„ étant des fonctions déterminées de x- et de?/, et z l'intégrale générale de l'équation (12) . Une étude très complète de ces transformations a été faite par M. Darboux (').

La transformation par laquelle on ramène l'équation de Liouville

s =^ e^- à l'équation ^ ^ = ku —■> ainsi que la transformation de Laplace, se rattachent au cas où les intégrales des deux équations se correspondent une à une. Ainsi, dans le cas de l'équation de Liouville, on a les deux relations

qui donnent u en fonction de z et inversement.

190. La transformation précédente conduit, dans certai!:s cas, d'une équation linéaire à une équation non linéaire ou inversenieul. Reprenons

'/) Lévy i'LLaE>), « Sur quelques équatinns linéaires aux dérivées partielles ilu sccùud ordre n {Journal de l'Ecole polytec/mique, LVI' cahier, 1880,. {-) Théorie générale des Surf(tces, f. Il, chap. vui.

TltA.NSKOl^MAl'lo.NS DKS KOlATlONS DC SKCO.M) OHDliK "iiO une é(|ii;ilinii lincnirc :

■('^) ^riT, + "?:; + '' 57, + " = "•

et prenons pour nouvelle inconnue o le logarithme de 3- ; il vient, en divisant par e'\

„ . . . . yh-> . y^v

La nouvelle équation ne contenant ni i\ ni ^p-j; ni -r—^: on peut

prendre pour inconnue une des dérivées r-? r-- Posons, par exemple, y, = ^ 5 on tire de l'équation (IG)

— -{- av^ -^ c

et l'élimination de v conduit à une équation du second ordre en v^ ; cette équation prend une forme plus simple si on pose encore v^ -\~ b = e-", u étant la nouvelle inconnue, et il reste, toutes réductions faites :

h et k étant les invariants de l'équation (15)

h = — 4- ab — c, k ~ '-r- 4- a'j — c.

ox i\/ '

La correspondance entre les intégrales des deux équations (loj et [il] est résumée par les formules

I ^ loff :r

11' loufZ OU , ,

-V^ = T- + kc" — a.;

à toute intégrale de l'équation en z correspond une intégrale et une seule de l'équation en u, tandis q-i'à une intégrale de réc[uation en u

oorresj)on<ltMit uiie infinilé dinti^g^rales de Icquation en ::, qui s'obtiennent par une quadrature.

On peut ramener à la forme (17) toutes les équations

(19) rr- -f f '^^"i - f iBt?- "j + C = o,

A, B, C étant trois fonctions quelconques des variables x, y. Si, en effet, on remplace dans cette dernière équation te par u -j- log B, elle devient

T-r- + — (ABe"j — - (e-") + . J" + C = u ;

c'est une équation de la forme [11) où on aurait

A = AB, k-h= ^-^^ + C.

L'intégration de l'équation du second ordre

T-^ + r- !Ae" — r- (B^-"; + C = O, i>Xi}y C'j- ' oy '

où A, B, C sont trois fonctions quelconques de x et de y, se ramène donc à l'intégration d'une équation linéaire dont les invariants h et h ont pour valeurs

h = AB-C- ^-^^, k = AB.

ôj.-dy

Les caractéristiques des deux équations (lo) et (17) se correspondent et chacun des systèmes admet une combinaison intégrable. Si la méthode de M. Darboux réussit pour l'une des deux équations, elle s'applique aussi à l'autre. Supposons d'abord qu'il existe deux combinaisons intégrables pour l'une des familles de caractéristiques de l'équation en u

dx = o, c/oj.r,y,u,^,-.,3^„^ = o,

d'après les formules (18;, u s'exprime au moyen de x,t/, z, r-> et on déduira de z> ix, y, u, ...) un invariant d'ordre n -\- l pour les caractéristiques du même système de l'équation en z. Réciproquement, si la

TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS Dl' SEr.OM) OKDRE 251

méthode de M. Darboux s'applùjiK' à l'cMiuatioii en s, c'est (jiie la suite de Laplace, relative à cette équation, est terminée dun côté, et l'intégrale générale de cette équation contient une fonction arbitraire et ses dérivées débarrassées de tout signe de (juadralure, tandis que l'autre fonction arbitraire figure en général sous de pareils signes. 11 en est de même, d'après les formules (18), pour l'intégrale générale de l'équation en M, ce qui suffit à prouver que cette é([uation peut être intégrée par la méthode de M. Darboux (n° 181).

On voit de même que, si la suite de Laplace relative à l'équation linéaire est terminée dans les deux sens, la méthode de M. Darboux s'applique aux deux familles de caractéristiques de l'équation en u, et réciproc[uement. Dans ce cas, l'intégrale générale de l'équation (17) est de la forme

X étant une fonction arbitraire de ce, et Y une fonction arbitraire de y [n" 183).

ReMAtiQUE. — Onpeutramenerfacilementréquation(19)àlaformecanonique indiquée par M. Moutard. Si on change d'abord w en w -|- /(a;, y), on fera disparaître le terme C {x, y) en prenant pour /^{x, y) une solution

de l'éqtiation ■—- -\- C (x, y) = o. En changeant ensuite A en — A et oxdy

B en — B, on pourra écrire l'équation

^y t)a7 ^' Dy

Les invariants de l'équation linéaire correspondante ont pour valeurs :

/( — AB — -T-v— ' A = AB ;

oxdy

l'équatitfn linéaire

^"^z D logB '^z .„

^ ' lix^y ^y ^x

a précisément ces invariants, et la correspondance entre les intégrales des deux équations est définie par les formules

^u î) loo"

D logz

tîS'i (.11 Al'ITIU-: IX

On pourrait aussi raïuoncr l'équation ['iO) à l'équation linéaire

>2- ,> lo«>- \ v'^;

on passe du reste de l'équation i;21) à l'équation 23) par les formules