Consi^léroiis encore ré([ualion (M

['2i) s^ — M {x, y) pq = o,

où À a?, y) est une fonction quelconciue de x, y; on pourrait prendre pour nouvelle inconnue p ou q, mais, pour arriver à une équation plus simple, nous poserons p =:u^, q = v^, ce ([ui nous donne

i)y ox

L'élimination de c conduit à réfiuation linéaire

oxcy 1 ex oy et celle de » à une autre équation linéaire

^-y 1 ^ losrÀ i)r i>xi\(/ -1 ^y Reconsidérons, par exemple, l'équation (25;; si u (a-, ycsi l'intégrale générale de cette équation, l'intégrale génfi-iK' de l'éiiuation prop<jsé • est donnée par une (|uadraturc

Les invariants de l'équation (^23) ont pour valeurs

y- og X

('; Bulletin de Ut Suciélé tiiathémiUUjue. t. \XV, p. 30-48.

TlîANSI (HOIATIONS DKS KQrATlo.NS Dr SRCONI) ORDRK ^Y.i

ct'ux (|uo \\)\\ m (Ji'duit pnr l'iipplicalion de la première transformation de Laplace, et qui sont les mè-mes (|uc eeiix de l'iMpialion en ».\ ont pour valeurs

on voit qu'ils sont identiques à ceux de l'équation ;2o) pris dans l'ordre inverse. I.a suite de Laplace relative à cette équation linéaire ne peut donc se terminer dans un sens sans se terminer dans l'autre sens, d'après les formules de récurrence (pii donnent les iiivnrianls des équations de la suite (n" lOi). Lorsqu'il en est ainsi, l'écpialion proposée (24) appartient à la première classe (n" 184^ Reprenons, par exemple, l'équation intégrée plus haut

on a ici X [X, u\ = -, ; r,- et l'intégrale t^énérale de l'équation (25)

est

X et Y étant deux fonctions arbitraires de x et de y respectivement. On en tire

j \ ' X \y \ '( ' X -Yy \ •

comme on l'a déjà obtenu directement.

192. Il peut arriver, dans certains cas, que la transformation qui consiste à prendre pour nouvelle inconnue une des dérivées partielles du premier ordre de la fonction inconnue primitive réussisse plusieurs fois successivement. Ainsi, dans l'équation de M. Beudon (n" 172),

s- qz = '?-7'(^,y, -

qui ne contient ni ;), ni r. on peut poser q — c', r étant la nouvelle

inconnue, ce qui nous donne a — e' —" t =■ e v- • i. cfiualion propo- * ex oy

^o\ CMWITWE IX

sôe peut s'écrire, en divisa ni par c'\

et en difTéronlianl par rapport à t/ on a une équation du second ordre en V qui est de la forme

étudiée également au n" 167. On peut applitjuer la même transformation à la nouvelle équation en posant — z^ u; l'équation s'écrit en effet

et, en éliminant e'' entre celte équation et sa dérivée par rapport à y, il reste une équation de la forme

qui admet une intégrale intermédiaire du premier ordre dépendant de deux constantes arbitraires (t. I, n° 92).

193. En combinant la transformation qui vient d'être étudiée avec une transformation de contact, on est conduit à des transformations d'apparence beaucoup plus générale.. Pour en donner un exemple, considérons une équation linéaire quelconque

(27; A/- + iB.v + Ç^ + D;) + Eç + F- = o,

où A, B, C, ..., F sont des fonctions de x, y, et proposons-nous de trouver tous les systèmes de trois fonctions x, fi, ^ de r, y, telles qu'en prenant une nouvelle inconnue

fiSj » = ap + fl9 + Y-,

u vérifie une équation du second ordre. On peut d'abord, en changeant z en À^, supposer qu'on a ramené u à la forme

(28; H ■= OLP + fJry ;

TRANSFOHMATIONS DES ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE 2oo

si on choisit eiisiiilc deux nouvelles variables indépendantes rj, ;, telles (|ue l vérifie la relation

l'équation (27) se clian^^e en une autre équation linéaire

(27)' A. 1F.+ ^-JB, If + -=o,

et l'on a (f, n" 51)

A, = Af' — 2Bap + C7.2,

tandis que la formule (28 >' prend la forme

On peut évidemment négliger le facteur K 1 ;, r, , et tout revient à cher-

cher dans quel cas la transformation y = — ? appliquée à l'équation

(27j', conduit à une nouvelle équation du second ordre. Pour quil en soit ainsi, il faut et il suffit (n** 187» que les rapports des coefficients de

r^l' rr> j soient indépendants de r,. Supposons d'abord que A, ne soit

pas nul; en cherclianl les intégrales de l'é([uation (27), qui sont .indépendantes de r,, on est conduit à une équation linéaire du second ordre dont les coefticienls sont indépendants de ■r\. Il existe donc deux intégrales distinctes de l'équation (27)' pour lesquelles on a « = o ; et inversement,

cela ne peut arriver (pie si les rapports des coefficients de r^^ » — > z sont

indépendants de y,. En revenant à l'équation (27), on en conclut que, lorsque A[i- — 2na[i -f- Cx^ n'est pas nul, pour que 'a fonction u = X)) -{- ^q -\- Y^ vérifie une é(juation du second ordre, il faut et il suffit que l'équation %p -{- Py + ;: = o admette deux intégrales distinctes de l'équation 27). La forme générale de u est donc

À {j\ y étant une fonction quelconque de x, //, et ;:,, z.^ deux inté-

'2M\ rii M'iTUF. i\

prairs tli>liiiclf!> tic \'l'i}. I.cs l'onrlicnis a, [J. •; t'Ianl donnoos, on peut

rofonnaUro sans aucuni' inlégration si u est de celti* formo. I\:)ur qu'il

<>n soit ainsi, il faut en oiïet que les deux équations i27) et » = 0

admettent une intégrale commune C^z^ -\- C.^-o. «lépendant de deux

conslanics arbitrain-^. c'esl-n-dirc qu'elles formcnl un syslcnu' comjdè-

(emenl intégrable.

Si l'on a A, = A[i-' — 2lia[i -f" ^*" = *^'' '' ''•"•'•'■i '1'"^'- <lii">^ 1 "(lualion

î)z (27)Me rapport des coefficients de — et de z soient ind(''|)endanls de y). Si

le coefficient de ^v: n'est pas nul, lécpiation (27)' admet une intégrale pour

laquelle on aura ?' = o; l'équation 27; doit donc admettre aussi une intégrale povir laquelle on aura xp -\- ^q -\- yz = o, et les rapports des coeflicients seront définis par les deux relations

Ap> - 2Ba? + Cp2 .= o, «;,, + ?7, -f- r--^ = o,

s^ étant une intégrale quelconque de l'équation linéaire.

On a une troisième espèce de transformations en supposant que les

coefficients de r^ et de rr sont nuls dans l'équation (27 '; on retrouve

ainsi, il est facile de le voir, les deu.x transformations de Laplace, généralisées par Legendre n" H3i.

HEMAriQf^I. — Il peut arriver (iuc,dans certains cas, la trausformation 28) ramène à l'équation f27j elle-même ; de toute intégrale de ré(|uation linéaire on peut alors déduire, par l'application répétée de la formule de transfoimation, une infinité d'autres intégrales. Par exemple, étant donnée une é(piation

.V + ap 4- bf/ =. o,

si on prend pour inconnue q = n, l'équation en n est en général différente de l'équation en z; pour que les invariants des deux équations pris dans le même ordre soient les mêmes, il faut et il suffit que ré([ualion proposée soit de la forme

s + \Yy* -f X,7 =-. o.

X, X, étant des fonctions de x, et Y une fonction de j/ . Si z est une intégrale, -rr -^ est aussi une intégrale. Une écjuation du second ordre

s -\~ ap -\- hq -\- cz -= 0

peut être ramenée à la forme précédente, pourvu que les invariants h et À soient de la forme :

h = YF [x], k = Y* (.t),

et inversement.

Remarque II. — Les transformations précédentes des équations linéaires ramènent, dans certains cas, l'intégration d'une équation linéaire à colle d'une équation plus simple, ou possédant des propriétés toutes différentes de celles de la première. L'exemple suivant offre un grand intérêt dans la théorie des surfaces. Etant donnée une équation de la forme

si on la rapporte à ses caractéristiques, c'est-à-dire si on prend pour variables indépendantes deux fonctions p (j;, y), pj (a;, t/), telles que l'on ait

ôx cy co: ' oy

la nouvelle équation a, en général, ses invariants h ei k inégaux . Mais si, auparavant, on a pris comme nouvelle fonction inconnue une des dérivées partielles p ou q, puis qu'on rapporte la nouvelle équation à ses caractéristiques, on est conduit à une é([uation à invariants égaux. Le calcul se fait très simplement de la manière suivante ; de l'équation r := >^, on tire

et, si on prend comme variables indépendantes p et p^, ces relations deviennent *

^p t)a7 Dp, Do; VÎ^p ^y ^p\ ^y )^

^ ^ i ^^ - ^ ^? , ^'/ ^?t . :)p ^y + Dp, hj '- J-tr-^^^^-''

en remplaçant 'y^ par \/x ^ ei^ par — \^ï -^, on en tire

Dp Dp

D/) f- Dy

IXTKGIUTIOX DES KIJLATIO.NS. — T. II. 17

cl lolimination de lune des fondions p et q conduit à une équation à invariants égaux pour déterminer l'autre fonction inconnue. Toute éijuation linéaire de la forme

r — < + 2Bs = o,

dont K'S caractéristiques forment sur le plan des .r, vun réseau orthofijonal, se ramène à la forme ;• = X<, en prenant pour nouvelles variables X -f- »j/ et a: — iy^ et par suite à une équation de Laplacc à invariants égaux.

RE.MAnQii: 111. — 11 peut aussi arriver que l'on puisse combiner quelques-unes des transformations précédentes. Ainsi, étant donnée une équation linéaire

s -|- rtp -\-hq = o,

si Ion prend comme fonction inconnue le rapport des dérivées u := ^t

cm en déduit pour xi. une seule équation du second ordre. La valeur de u peut, en effet, s'écrire, en tenant compte de l'équation elle-même,

or, on a vu (n" 189) que, si on prend pour inconnue p, on a encore une

équation linéaire de la forme de Laplace. Si, dans cette seconde équation,

? lof ï) on prend ensuite comme inconnue — ^^^^^ (n" 190), on trouve une troi-

s ième équation du second ordre non linéaire. La suite de ces deux transformat ions est évidemment équivalente, en négligeant une transformation

ponctuelle, à celle qui consiste à prendre ^ pour nouvelle inconnue.

On peut arriver plus simplement à l'équation en u ; de léquation proposée et de la relation 7 = pi*, on tire en effet

rf log/î = — ^ -^^ ■\- — -^ — \ dx — (a-\- buj dy,

et la condition dintégrabililé donne une équation du second ordre en »'

^^ log n . ^ l'a -\- bH\ 7> ig -f- bu) ^x^y "^ ^y y H )~ :>x ~ ^•

A toulf-' intt'gralc de l'écjuation en z correspond une seule intégrale

de l'équation en <', tandis qu'à une intégrale de léquation en ii correspondent une infinité d'intégrales de l'équation en z, dépendant de deux constantes arbitraires; si ^, est l'une d'elles, toutes les autres sont de la forme Az^ -|- B, A et B étant les deux constantes arbitraires.

194. L'étude des systèmes formés de deux équations simultanées du premier ordre à deux fonctions inconnues conduit aussi, dans certains cas, quand on élimine lune* des fonctions inconnues, à deux équations du second ordre qui s'intègrent en même temps. Soient

j ^ / .V :>z :>ii :>i(^

deux équations simultanées du premier ordre à deux fonctions inconnues z et î(. Pour éliminer l'inconnue z, imaginons les deux équations (29) résolues par rapport aux dérivées partielles de z,