OH OU

la condition d integrabilite -p = -r-f? ou

nous conduit à une relation de la forme

^ ' \ ox 07/ Ox^ 0X0 y oy^J

d'où on tirera z et, en écrivant que cette valeur de z vérifie les deux équations proposées, on a deux équations simultanées du troisième ordre auxquelles doit satisfaire la fonction u ; à toute solution de cesys-

lème correspond uno seule valeur de z qui est donnée par la formule (31).

On s'est borne, dans cet aperçu sommaire, aux circonstances les plus générales ; il nous faut maintenant examiner les cas particuliers qui peuvent conduire à une équation du second ordre. Nous supposerons d'abord que les équations (29) peuvent être résolues par rapport aux dérivées partielles de z ; oivpeut toujours écrire la condition d'intégrabilité (31). Si celte condition renferme l'inconnue z et quelquesunes des dérivées du second ordre de u\ nous retombons sur le cas qui vient d'être examiné. Si la fonction <l) ne renferme pas z, mais contient quelques-unes des dérivées du second ordre de n, on voit que la fonction inconnue u (hit satisfaire à une seule équation du second ordre ^ et qu'à toute intégrale de cette équation correspondent une infinité de fonctions z, dépendant d'une constante arbitraire. Ce sont les deux seuls cas qui puissent se présenter lorsque la condition d'intégrabilité renferme quelques-unes des dérivées du second ordre de u (').

Remarque. — On peut former la condition d'intégrabilité (31^' sans

avoir à résoudre les é(iuations (29) par rapport à r^ et r-- Si, en effet,

on différentie ces relations par rapport à a; et à y et qu'on élimine les trois dérivées du second ordre de z entre les quatre équations obtenues,

(') Pour qu'aucune dérivée du second ordre de u ne figure dans la condition d'intégrabilité (31), il faut et il suffit que le système (30) soit de la forme

si la condition d'intégrabilité renferme z, eh écrivant que la valeur de z ainsi obtenue vérifie les deux équations (30), on a, pour déterminer m, deux équations du second ordre. Si la condition d'intégrabilité ne contient pas :, l'inconnue u doit satisfaire à une équation du premier ordre. Nous laissons de côté le cas exceptionnel et facile à examiner où la condition d'intégrabilité des équations (30) serait vérifiée identiquement.

Pour que les équations (29) puissent être ranaenées à la forme (30)', il faut que le

jxi • 1 • j • .. . , , .. , ^z ^z ^u ^u

déterminant ci-dessous, ou I on a mis p. q. p , q , au lieu de ^^ —, —, —,

^x tiy jx j)y

i>p Oq op i^q

soit nul identiquement, quels que soient ). et /i. Les systèmes (29), pour lesquels ce déterminant est identiquement nul, forment une classe toute particulière, auxquels on ne peut appliquer les théorèmes généraux de Gauchy.

TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE 261 on aboutit à la relation suivante, en supposant que le déterminant fonctionnel de F, et de F2 par rapport à ^ et — n'est pas nul.

ou on a » = r— » q = r— >

d\ ^ . ? , '^ lu , 'è ?2„ ;) ^2,,

dx) "~ :^a; "^ ?^ ^ + Dm :)x "*" . /?m\ D.x-2 +

V/.v/ "~ D.y + D^ ^ + Dm Dî/ + ^ /c\<\ Da;Dy "^ ^ /Dm\ Dy^"

L'élimination de p et 5* entre les trois équations (29) et (32) conduira à la condition d'intégrabilité (31) ; si on peut éliminer à la fois les trois quantités p, q, z, on trouvera une équation du second ordre pour déterminer M.

Passons au cas où les deux équations (29) ne peuvent pas être résolues par rapport aux dérivées partielles de z. On en déduit alors, par l'élimination de ces dérivées, une nouvelle équation de la forme

Dm Dm'

si celle relation ne contient pas z, rii..égration du système (29) est ramenée ainsi à l'intégration de deux équations du premier ordre successivement et, en particulier, la fonction inconnue u satisfait à une équation du premier ordre. Si la relation (33) contient z, on peut l'écrire

/ Dm Dm\

= ? V^' ^' "' D^' Yy}

et le système (29) peut être remplacé par un système de la forme suivante

Dz Dz Dit Dm^

r, / cz cz Dit Dm\

F, 1 ar, y, z, m, r-» .— > r-» — ) = 0, ' \ "^ ex dy ex lyj

/ Dît Dm\

262 niAPiTRK IX

réliniiiiatioM do. : conduit iiniiii'dialemont à une équation du second ordre en ?/, à moins que o ne déponde pas des dérivées de », et à toute intégrale de l'équation en ii correspond, d'après la seconde des formules (34), une fonction z l»ien déterminée de .r, y.

On voit donc que, ilans certains cas que nous venons de préciser, l'élimination de l'aune des fonctions inconnues entre les deux équations (29i conduit à une équation du second ordre pour l'autre inconnue. Il peut arriver que le fait ait lieu, quelle que soit celle des deux inconnues que l'on élimine, et Ion a ainsi deux équations du second ordre liées de telle façon que l'intégration de l'une entraîne celle de l'autre. Plusieurs cas sont encore à distinguer : 1" il peut se faire que les intégrales des deux équations se correspondent une à une ; 2" il peut se faire qu'à une intégrale de l'une des équations, la première, par exemple, corresponde une seule intégrale delaseconde, tandis qu'à une intégrale de la seconde équation correspondent une infinité d'intégrales de la première, dépendant d'une constante arbitraire ; 3" enfin, la correspondance peut être telle qu'à toute intégrale de l'une des deux équations correspondent une infinité d'intégrales de l'autre équation, dépendant d'une constante arbitraire. Nous donnerons des exemples de ces trois cas.

195. Lorsque les intégrales des deux équations du second ordre se correspondent une à une, les équations (29) peuvent être mises sous la forme

quelles que soient les fonctions /"et ç, il est clair que l'élimination de zconduit à une équation du second ordre en u et l'élimination de m à une équation du second ordre en z, à moins que l'une de ces fonctions ne renferme aucune dérivée, et que les intégrales des deux équations se correspondent une à une. Par exemple, supposons que les fonctions /* et (p soient linéaires

, , iu , "du

X z= au -\- b r: \- c — '

ox ôy

"èz 'iz

a, J, c, a,, J,, c,, étant des fonctions de x, y ; en éliminant successivement les deux inconnues, on est conduit à deux équations linéaires du

TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS l)V SECOND ORDRE 263

second ordre, et la lransforinati(tn[);irla([uolleon passn de l'une àl'autre est identique, en réalité, à lunt' des transfornnlions de Laplace, sous sa forme la plus générale (n" 14i . Pour avoir une transioriualion de Laplace proprement dite, il faudrait que les formules précédentes se réduisent à l'une des formes ci-dessous

z = au-+-OT-i n = a,::-\-T

Z = aU-\-b —, M=r a,C--}-r-

De même, en partant du système

où log désigne le logarithme népérien, si on élimine z on trouve l'équati on de Liouville, et si on élimine ??, l'équation

— = Âz ^-

Prenons un cas un peu plus général ; si les formules (33) sont de la forme

A-, !/, ^, ^^ l'élimination de u conduit à une équation du second ordre

qui, résolue par rapport à s, peut s'écrire

(37) M* + Np -f- P = o,

M, N, P, étant des fonctions de a;, y, z.q. Inversement, étant don née une équation de la forme (37), cherchons s'il est possible de la rattacher à un système tel que (36). On voit d'abord, d'après la façon même dont on a obtenu l'équation (37), que la fonction -p \r, y, z, q) doit satis-

2ft* (.HAPITRE IX

faire à la condition

supposons qu'on ait obtenu une fonction 9 satisfaisant à cette condition, ce qui revient à intégrer l'équation dilTérenlielle du premier ordre M^/ç H- NV- = o, et soit fx la valeur commune des rapports précédents, de telle sorte que Ton ait

oq ôz ^

Si on pose u = ^ [x, y, z, q), il vient

et l'équation (37) résulte de rélimination de m entre les deux équations

si on substitue dans la seconde la valeur de q tirée de la première, on a une nouvelle relation

Lorsque z ne figure pas dans cette équation, on a une équation du premier ordre pour déterminer u, et l'équation proposée est intégrable par la méthode de Monge. Ce cas particulier écarté, on voit que le système (38) est équivalent à un système analogue au système (36) ; l'élimination de u conduit à l'équation proposée, tandis que l'élimination de z donne une équation du second ordre en u

' i^xoy t'y

où M,, N^, P, sont des fonctions de x, y, u, — (')•

(i) La transformation précédente, a été indiquée par Imschenetsky (p. 259 de la traduction de Hoùel ; Archives de Grûnert, t. LIV).

Cet exemple aété généralisé comme il suit par M. Gomes Teixeira('). Prenons le système suivant

(39) -' = ^(-'^'"'r.'rJ'

l'élimination de z conduit à une équation du second ordre en i<, linéaire par rapport aux dérivées du second ordre

A, B, G étant des fonctions de a;, y, u, <-? r-j tandis qu'en éliminant u

on parvient à une équation en z

qui, résolue par rapport à s, peut s'écrire

(41) .MsH-Np + '}(a;, ?/,.', ç?, 0= o,

M et N étant des fonctions de x, y, z, q. Inversement, étant donnée une équation de la forme (41), pour qu'on puisse la rattacher à un système tel que (39), il faut d'abord que la fonction cp {x, y, z, q) vérifie la relation N r^ — M ^ = o, ou que Ton ait

Soit <f [x, y, x-, q) une fonction satisfaisant à cette condition. Si on prend pour nouvelle inconnue u = ^ (a-, y, z, q), il vient

(>) Comptes Rendus, t. XCIII, p. "02 ; 7 novembre 1881.

et l'équalion (4P résulte de réliminalioii de u entre les relations