cV

mais de la première on tire

q =zb{x, ij, z, w),

et, en remplaçant ç et < par ces valeurs dans la seconde, elle devient

Si cette dernière relation contient z, on en tirera

et on aura bien un système de la forme (39), de sorte que u vérifiera une équation telle que (40). Si F ne contient pas z, on voit que u vérifie une équation du premier ordre, et l'équation proposée admet une intégrale intermédiaire du premier ordre dépendant d'une fonction arbitraire. On peut énoncer ce résultat comme il suit Soit Véquation

M5 -f Np -f- 1 [x, y, z, q, l) = 0, ou M et N sont des fonctioiis ch x^ y, z, q \ si on pose

où 3. désigne une solution de Véquation

ôq oz

u satisfait à une équation du second ordre, linéaire par rapport aux dérivées du second ordre, dont Vintégration entraîne celle de la proposée, ou à une équation du premier ordre.

TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS DL SECOND ORDRE 267 196. [.orsque le système (35) est Je la forme générale, c'est-à-dire

lorsque /" contient les deux dérivées r-' t— et «^ les deux dérivées r^» r-»

^ ex CI/ ' ox oy

les équations du second ordre auxquelles conduit l'élimination de l'une des inconnues sont encore d'une forme particulière. D'une façon un peu plus générale, étant donnée une équation du second ordre

proposons-nous de reconnaître si elle résulte de l'élimination d'une inconnue auxiliaire v entre deux équations de la forme

( ^z Ds" '^u DiA-

il> à', y, z, —1 —5 r-? r- = 0.

\ -^ Do; ?y ^x oyj

Il suffit, pour cela, do remarquer que, quand on élimine u, les dérivées du second ordre r, 5, l ne figurent dans le résultat que par les deux

combmaisons r^r-j-T^s, r-^s+T^^'l équation proposée (42), quand

on y regarde x, y, s, p, q comme des constantes données et r, s, t comme des coordonnées courantes, doit donc représenter un cylindre ayant ses génératrices 2^ciraUèles à une droite située sur le cône qui a pour équation s^ — rt = o. Cette condition est suffisante; en effet, si elle est remplie, l'équation proposée peut sécrire

(44) F, (Mr + N5, Us + N/, X, y, z, p, q) = o,

M et N étant des fonctions de x, y, ::, p, q. Déterminons une fonction cp {x, y, z, p, q) par la condition

et posons u = :j, \x, y, z, p, q) ; on aura ^u Ds i)»

^t>8 . CHAPITRE IX

u étant une fonction de x, y, j, p, 7, et l'équation M4"i prend la forme

de sorte que léquation 44) provient bien de rélimination de u entre les deux relations

(45) I / :)u ;>iA

Il pourra maintenant arriver, dans.des cas très étendus, que rélimination de z conduise aussi à une équation du second ordre en »; c'est ce qui aura lieu si on peut éliminer p et q entre ces deux relations, ou p, q, z entre ces deux équations et la condition d'intégrabilité établie plus haut. 11 en sera ainsi, par exemple, si léquation proposée ne contient pas z et si on prend, ce qui est possible, la fonction ç indépendante de z.

Une équation linéaire par rapport aux dérivées du second ordre

(46) Hr -f 2Ks -f IJ 4- M = o

peut être considérée de deux manières différentes comme l'équation d'un cylindre ayant ses génératrices parallèles à une droite située sur le cône s' — rt = 0. Pour appliquer la recherche précédente, soit X une racine de l'équation du second degré

À2 2KÀ-f-HL = o;

léquation (46 peut s'écrire

(46)' Hr -f }5 -f r ,H« + U) -f- M = o,

et il faudra déterminer la fonction & (a*, y, z, p, q) par la condition que l'on ait

La fonction tp ayant été choisie de celte façon, si on pose H = <f.{x, y, z, p, q),

TRANSFOHM.VTIONS DES ÉQUATIOiNS DU SECOND ORDRE 269

rôqualion linéaire (40)' résulte de réliminalion de w entre les deux équations

cU' Ox oz ' 1 \oi/ ôy oz ^ J

et on aura à examiner si l'élimination de z conduit aussi à une équation du second ordre en u (').

197. Lorsque les équations (29; peuvent être résolues par rappor t

aux dérivées partielles r— » — » et ne peuvent pas l'être par rapport aux

dérivées de z, en négligeant les cas exceptionnels que nous avons laissés de côté plus haut, le système (29) pourra s'écrire sous l'une ou l'autre des formes équivalentes ci-dessous"

. / ht 7>u\

l'élimination de z conduit toujours à une équation du second ordre en M de la forme considérée tout à l'heure. Si l'équation

cl y dx

ne contient pas u, on aura aussi pour z une équation du second ordre qui sera linéaire en r, s, t. C'est ce qui aura heu certainement si les fonctions /"et <p ne contiennent pas j. A toute intégrale de l'équation en u correspond une seule intégrale de l'équation en z, tandis qu'à une intégrale de l'équation en z correspondent une infinité d'intégrales de l'équation en u, dépendant d'une constante arbitraire.

(i)Le cas particulier où 11. K, L, M ne dépendent pas de :, et où on prend aussi la fonction ^ indépendante de z, a été considéré par M R Liouville {Comptes Rendus, t. XCVIII, p. 216,569,723; 1884). On trouvera daulres cas particuliers étudiés dans un mémoire de M. (Joiues Teixeira : « Sur lintégration dune classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre » {Bulletins de l'Académie de Belgique^ 3* série, t. III, p. 486; 1882).

270 c.hapitkf: IX

A ce cas se rattachent les formules (18), qui établissent le passage de l'équation (15) à l'équation (17) (n" 190). 11 en est de même des formules

qui conduiraiont de l'équation [2i] à l'équation (2o). Lorsque les équations (29) peuvent être résolues, soit par rapport à

T— et -—1 soit par rapport a ;— et r-i si I élimination de chacune des

deux inconnues conduit pour l'autre à une équation de second ordre, ces deux équations sont nécessairement linéaires par rapport aux dérivées du second ordre, et à toute intégrale de Tune d'elles correspondent une inlinité d'intégrales de l'autre, dépendant d'une constante arbitraire. On obtient des transformations de cette espèce en partant des deux

relations arbitraires entre x, y, :r-7 t-5 ^ît-j

^ ^r ?y ^x hj

' \ ^ ^./• c\ :>j' :>yj

Ci X, y, T— 5 — î — ? — ) = o, ' \ -^ ^x ^11 ^x ^yj

pourvu que ces relations puissent être résolues, soit par rapport à

r— et — 5 soit par rapport a r— et r— • ^Jr ôy ^ '^^ Ox cy

Un exemple remarquable et bien connu de cette dernière classe de

transformations est fourni par le système

^ + — = sin fz— M ,

ex C,C

— — — = sin iz + Mj,

qui se présente dans l'élude des surfaces à courbure constante ('). Quand on élimine n. on est conduit à l'équation

(50, ^ = |,in2.,

[}] Dabboix. Théorie f/énérale des Surfaces, t. III, p. 432 et suivantes.

TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE 271 et, quand on élimine ;;, on est conduit de même à l'équation

^'" J . „ ;--r- = - sm 2u ;

de toute solution z de l'équation (50) on peut donc en déduire une infinité d'autres, dépendant d'une constante arbitraire, par l'intégration du système (49), où l'on considère u comme la fonction inconnue.

198. Après ces généralités, nous allons étudier plus spécialement le cas où les formules (29) sont linéaires par rapport aux deux fonctions inconnues z et u et à leurs dérivées. Nous pouvons tout d'abord écarter le cas déjà examiné (n" 195) où ce système ne pourrait être résolu par rapport aux dérivées partielles d'aucune des deux fonctions inconnues, et écrire ces équations

a, p, Y, •••) S,, Tj, étant des fonctions de x, y. Pour que l'élimination de u conduise à une équation du second ordre en z, il faut et il suffit, comme on le voit facilement, que l'on ait

— =-r-^? ou a = — ja, =r-;

ùy ox o.r ôy

si on multiplie les deux équations {a\\ par e-^, on peut les écrire, en posant co = e^,

les coefficients S, y, S, .... -r), n'ayant plus les mêmes valeurs que plus haut; l'élimination de u conduit toujours à une équation linéaire du second ordre en :: ; si on suppose qu'on ait fait disparaître le terme indépendant de z dans celte équation, en changeant .7 en - -f" -«. on

aura r-* = -r^-, ou

et en remplaçant ?/ par « + ^'■'^' o" f^ra disparaître t) et 7),. On peut donc toujours, sans restreindre la généralité, supposer les formules qui définissent la transformation ramenées à la forme

Pour que l'élimination de - conduise aussi à une équation du second ordre en ?«, on a deux cas à distinguer suivant que yS, — Sy, est nul ou ne Test pas.

Si y5, — 8y( = o, il en sera toujours ainsi, car on pourra tirer z en

foftction de h, ^7 î:- et, en remplaçant z par cette valeur dans l'une des

deux équations, on sera conduit à une équation du second ordre en u. Étant donnée une équation linéaire du second ordre en z

(54) Ar -\- Es -]- Cl i- Dp -\- E(j -\- Fz = o,

pour trouver toutes les transformations de cette espèce qui conduisent de cette équation à une autre équation du second ordre en m, il faut l'identifier avec l'équation du second ordre

obtenue par l'élimination de u entre les formules (53) ; ce qui donne les relations

lA

z=zV,

auxquelles il faudra joindre la condition y^i — ïi^ = o- On tire de là

Y, = Ar, 8^ = Y ~h ^^^ ^ = — ^"

et par suite

Y^ + Bvî? 4- ACu' = 0,

ce qui nous donne les valeurs de y, S, Yo «o

— B dz \JB'

— -iAC

y, 8 = — Lu,

B =t v^B2 — 4 AC

TRANSFORMATIONS DES EQUATIONS DU SECOND ORDRE 273 les signes ± étant pris en même temps dans y et o,. Il vient ensuite

'^' 17/ ox '^ ôx oy

ef, en portant ces valeurs de p, [3,, y, Y), 0, 5, dans la dernière relation :^ — S^ ^= 1' '^i il reste une équation linéaire pour déterminer linconnue auxiliaire r,

^ cx^ cxdy ' dy' dx ^y

à toute intégrale de cette équation correspondent deux transformations distinctes de l'équation proposée (54).

L'équation (ooj est appelée l'équation adjointe de l'équation linéaire (54) ; elle exprime que le produit

V iXr + B5 -f Cj -I- Dp 4- E^ + F^)

peut être mis sous la forme

P et Q étant des fonctions de .r, y, z, p, q; on auraR pu l'écrire immédiatement en remarquant que le produit précédent doit être égal à

Ou; .V

Dans le cas d'une équation linéaire de la forme de Laplace

(06) a + ap -f- bq -\- cz = o,

on doit faire A = C = 0, B =: 1, D = «, E =: i. F =: c, et l'équation adjointe devient

^ ' 0x0 y i>x 0// \ t'a; ly/

Celle é([ualion joue un grand rJlc dans l'étude des équations linéaires, et nous renverrons le lecteur au chapitre iv du tome II de l'ouvrage

INTÉCnATlON DBS ÉQfATIOX?. — T. II. 18

!i74 (.HAIMTRE IX

de M. Darboiix. Je rappellerai souloment la propriété suivante qui se vérifie immédiatement; les invarianls de l'équation adjointe sont les mêmes que ceux de l'équation proposée, pris dans l'ordre inverse, de sorte que, si la suite de Laplace relative à l'équation (56) se termine d'un côté après un certain nombre d'opérations, la suite de Laplace relative à l'équation adjointe se termine dans l'autre sens après le même nombre d'opéi'ations.

Revenons au problème proposé ; dans le cas de l'équation réduite (56), si i', est une intégrale particulière de l'équation adjointe, on a pour [ï, Y, 5, p,, Yn ^( *îeux systèmes de valeurs

P = ^ — fty,, p^ = av^, v = v, = 5 = o, o, = y, ; ? = — *i'n P. = av^ — ^, v = — y,, v, = g = 5, = o,

et la formule qui donne n a Tune des formes suivantes

l =J- '' {^' + ^) ^^^ + (^^'< - Jif) '"^^^

d'où l'on déduit facilement que u vérifie une équation de même forme

que z (').

199. Supposons maintenant que, dans les formules i53i, yo, — y, 5 soit différent de zéro ; on peut alors résoudre ces équations par rapport

à r— et-r-î et former la condition pour nue l'élimination de z conduise ex Oy ^ '

à une équation du second ordre en u. Celle condition peut s'obtenir très simplement comme il suit; si, en éliminant z, on obtient une équation en u du second ordre, il est clair que cette équation doit admettre l'intégrale particulière u. = o). A cette valeur de n correspond une valeur de c, dépendant d'une constante arbitraire, qui doit satisfaire aux deux équations

(' Ces Iransfornialions ont été indiquées par M. Darboux {Théorie f/éurrale des Surfaces, t. II. p. 181), ainsi que des transformations beaucoup plus générales.

TRANSI (iK MATIONS DÉS KOIATIONS DU SECOND ORDRE 275

il faut (Jonc ((ue la condilion dinlé^rabilité de ce système soit vérifiée identiquement. Celle condition est suffisante ; en effet, soit z, une i^^tégrale de ce système différente de zéro : si on remplace z par zz^ les coefficients p et p, de z disparaissent dans les nouvelles formules de transformation; on peut donc écrire léf. formules (o3) sous la forme

^x \ioJ ' ^x\zj ' h/ \zi

oi"i Y, 5, y,, ô, n'ont plus la même signification. Il est évident, d'après ces formules, qu'en éliminant z on arrivera à une équation du second ordre en ii.

Étant doimée une étjuation en z telle que [M), pour trouver toutes les transformations de l'espèce précédente que l'on peut appliquer à cette équation, il faut l'identifier avec l'équation obtenue par l'élimination de i( entre les deux relations (o8). Pour faciliter le calcul, nous ferons d' abord le changement dé fonction inconnue z = :r, z', et, en désignant par p\ q', r', s', /' les dérivées de z', et par p,, q^, r^, .v,, /, les dérivées de s^, les deux équations à identifier sont les suivantes

(59) xr,(A/+Bs'+Cn-h(D-2-. + 24;;, + Bry,ip'+:E^, + Bp, + 2C(7,)g' + (Ar, + B., + O, + Dp;+ Eg, + F.-,) z' = o,

il faut d'abord que J( soit une intégrale particulière de l'équalion pro-

posée (^54) et, de plus, que l'on ait

A-, B.-, C:^, 'l\p,-{-\iq,i-Dzr Bp, +2(:^,+E.-, On en tire

Y, = Ac,u, 5, = Y + 1^-1^'. 0 = — Cj,r,

«> (A-g)U) i>Y ,a* in I r> \ Ou c'y

-V + Tt + -^ = >B;,, + 2C9, + E.,) .,

ir-h cX cl/

;276 ciiAiMTiu-: ix

cl réliminalion de y conduit à une (Mjualion du second ordre en v

nous retrouvons encore l'équation adjointe de l'équation proposée. Connaissant r, on aura y par "•^'e quadrature, et on en déduira ensuite Y,, S, 8,. Ainsi, pour pouvoir appliquer une transformation de la forme (38) à une équation linéaire donnée, il suffit de connaître une infé(/rnie particulière de T équation proposée et une intégrale particulière de Véquation adjointe.

A tout couple de solutions {z^, v^) de l'équation proposée (54) et de son adjointe '55) correspondent encore une infinité de transformations diiïérentes, dépendant d**une constante arbitraire, car y est donné par une quadrature. Dans toutes les équations en u que l'on peut ainsi déduire d'une équation linéaire donnée, les rapports des coefficients des dérivées du second ordre sontles mêmes que les rapports des coefficients homologues dans l'équation en z, de sorte (|ue les caractéristiques sont les mêmes pour toutes ces équations. Si 1 on suppose que les deux familles de caractéristiques de l'équation proposée sont distincte?, quand on ramène cctle équation à la forme

(fil) s -\- ap -\- hq -)- cz = o,

par un changement de variables, l'équation en u prendra elle-même la forme

et les formules (58j seront rcmjjlacées par des formules analogues, où l'on aura o z= y^ = o. Si la suite de Laplace relative à l'équation se termine d'un côté après n transformations, il résulte d'un théorème rappelé plus haut 'n° 184) que la suite de Laplace relative à l'équation (62; se terminera dans le même sens après n -f- 1 transformations au plus ; mais il peut se faire aussi que cette suite se termine après n transformations seulement, ou môme après moins de n transformations (*).

(') On pourra consulter sur ce sujet un Mémoire de M. R. Liouviile : « Sur les formes inli-grablcs des équations linéaires du second ordre » {Journal de l'Ecole polytechnique, LVl* cahier, p. 7; 1886).

Voir aussi le Mémoire déjà cité de M. Burgatli {Annali di Matemalica, t. XXIII, 2» série).

TRANSlOItMATIONS DKS ÉQCATIONS DU SECOND ORDRE 277 Exemple. — Etant donnée une Oqualion de la forme

si 5, est une intégrale particulière, r, = x^-y- est une intégrale de l'équation adjointe, comme cela résulte de l'identité

cVcV ''' "^ '*- ~ ^r i ^x:>y ^ ^~ .V=^ ^ i .V / ^^^' -^^ ^•^^'^i/ 7 i '

il suffit donc de connaître deux intégrales particulières ou même une seule de léqualion (63) pour pouvoir en déduire une transformation de la forme (58).