Bornons-nous maintenant au cas d'une équation réduite

(64) 5 -f- ap -}- bq -^ cz =^o\

Soient z^ une intégrale particulière dé cette équation et v^ une intégrale particulière de l'équation adjointe

(6o) T-^— — ac- — 6 — -f-e— — — — )u = o;

dx:>y :^x :>y ' \ :>x :>yj

on a

Y = / xr, ( iy, — -y^j d.r — y, (q^ + azt) dy, V, — o, ô| = Y -j- v^z^, 5 = 0,

et u est donné par une nouvelle quadrature

ce qui peut encore s'écrire, en remplaçant 5, par v + i^-i et intégrant par parties,

- ^zy'"""' — /^( ^^'-'i — V^ \ dx — r, q -f- oz) dy.

278 CMAI'lTnK IX

Posons

z \z (bo, — ^ j lU^ — v^ [q + az) ch/\

d'après ce qu'on a vu au paragraphe précédent, îo satisfait à une équation linéaire de même forme que z, dont y est une intégrale particulière ^c^, correspondante à l'intégrale particulière -, de l'équation proposée, et la formule qui donne î^ peut s'écrire

io,

u 10, z — tcz^

la transformation par laquelle on passe de l'équation en ^ à l'équalion en u est donc une combinaison de deux transformations déjà étudiées. A tout système de deux solutions particulières, l'une de l'équation en ^, l'autre de l'é juation adjointe, correspondent, comme on l'a déjà remarqué, une infinité de transformations de l'espèce précédente, dépendant d'un paramètre arbitraire, puisque y ou ^c^ dépend encore d'une constante arbitraire.

Ktant données deux équations linéaires telles ([ue l'on passe de l'une à laulre par une transformation delà forme

où, pour plus de symétrie, nous remplaçons y et 8, par X et fx, soient (E; l'équation en z, (E)' son adjointe, (E,) l'équation en u et (E/) son adjointe. Les invariants de l'équation (E) ont pour valeurs

) T^x \o)J ix \z^/'

<)a Da

:)xôy - ,.. - X

ces invariants ne changent pas quand on multiplie À et |>. par un même facteur constant ou qu'on leur ajoute une même constante. Remarquons maintenant que, si l'on échange X et [j., ces deux invariants

ne font que s'échantjer, et il en estévidemniînl de même pour les invariants de l'équation en u. Donc, si dans les formules (06; on échange X et a, les deux équations (E) et (E,) sont remplacées par deux é([uations respectivement équivalentes à leurs adjointes; nous disons que deux équations sont équivalentes quand on passe de l'une à l'autre en multipliant la fonction inconnue par une fonction de a?, y, C3nvenablement choisie, c'est-à-dire quand elles ont les mêmes invariants.

En particulier, si on suppose y. = — X, les invariants de l'équation (E) ne changent pas quand on permute X et ix ; elle est donc équivalente à son adjointe, c'est-à-dire à ses invariants égaux. Il en est évidemment de même de l'équation en h. Cette propriété est le point de départ des belles recherches de M. Moutard sur les équations à invariants égaux (').

La remarque qui précède conduit à une conséquence intéressante. Soit (E) une équation linéaire