W PY
;) = -^^' (2X + Y2), ry=:Y;
Les équations différentielles des caractéristiques deviennent
U\ = o, c/Q — Pd\ = G.
La nouvelle îéquation aux dérivées partielles sera donc
par suite, linlégrale gcnéralu de l'équaliuii (40; est représentée par les formules (41), où Z désig^nel'inlégiale générale de léquation (42) et où oh pose
On verra plus loin comment on peut intégrer l'équation (42), au nwyen de quadratures partielles.
Exemple IL — Prenons encore l'équation (')
(43) r -f -2 (<i —Jr)s'\-{q — x)- < — (/ = o.
IjOS équations différentielles des caractéristiques sont
<') AuPKKE, local., p. I3t.
80 CMAPâTRK ÎI
011 a une seule intégrale intermédiaire
qu'il est facile d'intégrer et qui admet l'intégrale complète
La transformation de contact déduite de la relation
est définie par les fe)rmulei>
Appliquons-la à l'équation (43); les équations dillérentielles des caractéristiques deviennent
et la nouvelle équation est, par conséquent,
On la ramène à l'éiiuation (4'2) en cbangcanL X en — X. Ampère applique encore sa mélliode ù ré«)ualiu/i
[x -f- ry )2 >• -f 2 ;a.' -j- q] \y -f- i/. * -}- 'y + pY ^ -r '^ -^ -t 5) ly + Z') = "» que l'on peut ramener à l'équation
par une transformation de contact \*).
M) Ampère simplifie ensuite celle c-quatiorien posanl X — x', Y = yx'e'f; ce qui cnnduit à l'équation r— t^ — 2j' r— = o.
LES KOI ATIONS I)K MONtVK RT I)' VMPkRK RI
41. liOrsqiic les dnix sysl(";iiies de ('arart<;risli(|up.s <lo 1 équation 1) sont distincts, chacun d'eux a<linet au plus deux combinaisons int.>gniblfts dislitïclcs. ou, ce (jui revient au inêine, chacun des systènios d'équations linéaires (33} et (34) admet au plus deux inté«rralfts. OMisidéroMh d'alxinl le cas où ce nombre maximum est atteint pour chaeui: des sy;'tèmes. Soient : n et y, deux intégrales distinctes du systèn.' (ÎW) ; m,. et i\ deux intégrales distinctes du système (34). l^'éiiuation nu second ordre proposée est équivalente à chacune des équations
elle admet donc deux intégrales intermédiaires du premier ordre, renfermant chacune une Foncti«)n arbitraire
(44) M =?(w.), Ui — t'i'i);
ces deux équations (44) sont, d'ailleur.s. compatibles, quelles que soient les fonctions •* et à, à cause des relations (n" 34)
qui entraînent la suivaîite
Si donc on tire les valeurs de p et q des équations (44), et qu'on les porte dans la relation
d2 — pdx — fj[d>/ -= o
on est conduit à une équation complètement intégrable, quelles que soient ^ et •\. Comnic on ne peut pas, en général, tirer;) et q des équations '^44), lorsque les fonctions 3> et J/ sont quelconques, nous prendrons deux nouvelles variables indépendantes * et S m posant
de ces quatre équations, on peut tirer quatre des variables a*, y, z, p. ;
on de a, fi, » (a), •} (P) et de la cinquième. En portajit ces
ns la relation dz -- pdx -\- qdy, nous sommes conduitsàune
où A B C"!*''^''^'^^^"'' •nlPg''''^^''^' quelles «pjc soient les fondions ^
premier syî^''^"^ montrer que V intégration de celte équation se rumène
admet une {^i'^yc^-
ON DES KyuATioecs, <»
Hi Chapithe ii
Nous nous appuierons pour cela sur le lemme suivant, qui sera souvent utile par la suite :
I.i HMK. — Pour (jn'unc cquatian de la forme (l) puisse être ramenée 'i la forme
],or une h ans formation de contait, il faut et il suffit que les deux systèmes de caractéristiques soient distincts, et que les équations de chacun d'eux adniellcnt au moins une combinaison intègrable.
D abord, ces conditions sont nécessaires, car les deux systèmes de caractéristiques de l'équation (45) sont distincts, et admettent respectivement les combinaisons intogrables r^a: = oe\ dy = o. Il en sera donc de mrme de toute écuialion déduite de celle-là par une transformation de conta<l. hiversem^'n!. soient du z=z o, dv = o, deux combinaisons ijifcprables des équalions différentielles des deux systrnies de caractéristiques, supposés distincts, d'une équation du second ordre. On a vu que I on avait [t/, v] =- o. On peut donc tiouver trois autres fonctions tr, f , c de JT, y, z, p, q donnant lieu à l'identité
dw — çidu — <jdo =■ k (dz — pdx — qdy]
et les formules
c' = u, //' := V, z' — te, p' =: p, q' z=z n
détinissenl une transformation de contact. Si on l'applique à l'équation con*;idérée, elle se change en une nouvelle équation, pour la(|uelle les équations dilTérenlielles des caractéristiques admetlent respectivement les deux combinaisons intégrables
dx = o, dy' =■ o.
Cette nouvelle équation est nécessairement de la forme fi3). Revenons maiutenaul aux équations qui admettent les deux intégrales intermédiaires
si on applique à cette équation une transfoimation de cont^ tj el v^ se changent en x el y respectivement, la nouvelle
LES EQUATIONS DE MOWGF. ET D AMPÈRE 8^î
de la forme (45) et admet deux intégrales intermédiaires
Les deux fonctions U et Y doivent satisfaire aux deux conditions
c*» qui montre que U ne dépend pas de q et que V ne dépend pas de p. On doit avoir aussi
c esl-à-dire
ou
dp èq
U ne dépendant pas de q, et V ne dépendant pas de p, la valesir commune de ces rapports est une fonction linéaire de p. et une fonction linéaire de q . Elle est donc de la forme
Mpy -h Hq + N> -^ P, M, N, N', P ne dépendant pas de p et de q, et on doit avoir
- = -,Mp-hN), T, = :^ ^^'' ^ ^^-
On d-édirit aisément de là que U et V sont respectivement de la forme
U = F (Ap -j- B, X).
V = F, C7-hD, y),
où A,B, C, D ne dépendent que de x, y, - Prenons, par exemple, le premier système; il admet l'inté^frale U =: x. Pour démontrer qu'il ta admet une autre qui est de la forme Ap -\- B, remarquons que ce S)s-
84 CHAHTRK II
tetn»? complet est équivalent à l'equaiioii coinplèleinent iiilc^grable
,ip z= — (N'y) -f- P) dy - (Mp -f N) rf-,
dont l'iiilcirration se ramène a riiitégralioii de Jeux équations linéaires successives, et dont l'intégrale générale est, par conséquent, de la forme
hp -{- H = consl.
Les deux équations (46) peuvent donc s'écrire
I A/> -f- B ^ F La;, '^ (.c)l = .1. f.r).
'^ . ! c^-f n = F, Lv, -f (.vj] - '\r[y).
La condition d'intégrabilité
[Kji -f B, G/ -f- Di -= »
nous donne alors les reintions suivantes
dz Jj dx àz ôz dy ôx ày
la première montre que le rapport ^ ^^t indépendant de r. . Posons C = Ac' ; les suivantes deviennent
2L> . è\ dz èy
DifTérentions la setwmde [»ar rapport à j?, la troisième par lapport
a ^ et elimmous -— -' il vient
'd.rdy ' ?!)/ 'àx oyez
Infin. si l'on diiîérentie la première par rapport a y et qu'on compare à cflle-ci, il reste
A — = a dxhj
LKS EOrATIONS DK MONGE ET D AMPÈRE .85
On voit «lonc que le rappoil -r- fst de 1» l'orme r^ ' '' {^) »c dépen-
dahl que de .r. et 0, fv) ne dépendant que de y. Multiplions la première des équations ! 47) par 0 (.r), la seconde par 0, //), on a deux nouvelles équation!* de même fonnc où A = C
l A,)-fB = Of.r)'t. (.r), ^^ I A7-f-D^0.(.v)T(y),
et les. conditions dinl«*g'rabililé sont
àjr ^^ d^ by l>x Tijf
On voit que A, B, C sont les trois 3ériv<*es partielles d'une nième fonction W f.r, y, z)
W (.r, y, ^) =:r f ^'l^ + Brfa: -f- D^Zy,
et les équations (Wj peuvent s'écrire
L'inU'fjra/e générale est donc d07iné(* par la formidu (49) W ix. ;/, i) =j\ [x) «I» (x) tfx -f- J^O, (3/) H' (3/) </// ;
on est bien ramené à des quadratures, couirne nous l'avions annoncé.
42. Si on veut obtenir une surface intégrale passant par une c<»urbe doniiée et tangente à une developpuhie donnée le \oi\g de celte courbe, les fonctions -j et ']> sont détfrniinees par là inètno, et les équations (Iti) auxquelles le problème est ramené en delinilive s'integienl parties quadratures. Donc, pour les équations du second ordre considéi'ées ici, la solution (ht proèlt-me de (.auchy se ramené à d>>s quadratures. On suppose, bien entendu, que l'on a obtenu les deux intégrales intermédiaires V — »',v), w, =^ f *-'()' ^"6 M"i **xi[^e l'intégration préalable .le deux systèmes complets.
86 CHAPITRE Tî
Mais il est possible d'ohienir, pour l'intégrale générale de l'équation du second ordre, des formules où les fonctions arbitraires ne figurent sous aiu un signe d'intégration. En effet, s cl «f étant des fonctions arbitraires, il en est de même de ft (a,*) 4> (x), et de 0, (y), W (i/V et on peut poser
X étant une fonction arbitraire de a;, et Y une fonction arbilrairede y; l'intégrdle générale des équations (48) est alors
f\ renferme explicitement Ifs deux fonutions arbitraires X et Y. Il en •^ora, par conséquent, de même pour les formules qui représentent l'in- Icgrale générale de l'équation du second ordre.
43. 0«i peut arriver au même résultat par une étude directe des équations de la forme (43)
(45 his) s — X (x, y, z, p, q) = o.
Les équations dilîérentielles des deux systèmes de caractéristiques sont respectivement
ici: — pdx — qdy = o, ( dz — pdoc — 'fdy := o,
du- = 0, / c/y ■= o,
c//j = X dy^ (</</= X dx.
Les équations linéaires, qui déterminent les intégrales intermédiaires correspondEintcs, sont
PreTions. par exemple, le premier système. Il doit admettre une intégrale différente de V = y. La première équation montre que cette intégrale ne dépend pas de p ; il en est donc de même de
àV ^ ?V
LKS KOIIATIONS DE MONOE ET DAMPkRE 87
et, par suite, X doii ètrp une fonction linéaire d(^ /). On verra de m^ms que, si le second système admet une autre intégrale que V = //, À doit être une fonction linfjaire de q ; ) doit donc élre de la forme
X = Apr/ -f- B;> -|- C7 -|- D,
A, B, C, D étant des fonctions de x. y. i s'^ulemenl. Rnmplagons > piir celte valeur dans le premier système : la seconde équation dev ient
et, comme V ne dépend pas d«; />. on doi! avoir séparément
- + (Cç -h D) - = 0, ^ -^ (A5 + B) - = o.
Pour que ces deux équations forment un système complet, il faut que l'on ait
c'est-à-dire
dx dx ÛX ' iz
En exprimant de mèrae que le second système admet une autre intégrale que V = ic, on trouve les conditions
on a donc à la fois
m m: ^i!B ^î[B ^x es iy iz 2y J.r
ce qui montra que A. B, C sont les trois dérivées partielles d'une foiiction ■— U (x, y, ^)
^=-Tz' ^' = 'Yy' ^' = -i^'
88 CRAPITRK II
on a ensuite
d'où on lire
L équation (45) iw est donc de la forme
^au .au .au , ^,1^, ^ . /u/^uau , a^UN , <
U étant une fonctiou de x, y, z, et VV une fonction de a; «rt do y.
Soit maintenant V (a?, //, z\ uni fonction indéterminée de «•. y, z. Prenons-la pour nouvelle lonction inconnue ; on a
av av a»z a^v , a-^v , a^v , a^v , av
L'équation ^r-^ — o sera donc identique à. 1 équation précédente, pourvu que l'on ait
?iY 1!Y 1'^
^^ ^ ^y}i ^ ^iT^ iy
^ ■" a^ ' jay^ ~ a.v ' M^ ~ a.r '
as a^ 'hz
Il suffira de prendre pour cela
V r:=.Je'Ulz^^,{x.y).
V| (a?, y) étant une intégrale de l'équation
LRS EQUATIONS DE MONC.E ET d'aMPKRE 89
On voit Jonc qu'il suffit d'un simple changement de fonction inconnue pour que l'éqnalion prenne la forme
Nous pouvons, par conséquent, énoncer le lliéorème suivant: Tontes les équations du second ordre qui admellent deux inlêgrales intermédiaires du premier ordre, contenant chanme une fonction arbitraire et appartenant à des caractéristiques différentes^ peuvent se ramener^ par une transformation de contact, à Véqualion s := o (').
