f- ap -\- bq -\~ cz ^ o
dont on connaît une intégrale particulière z^ ; soit de même v^ une intégrale particulière de l'équation adjointe (E)',
(j.rJ?/ J,/; 01/ \ Oj: ôy/
En appliquant la transformation considérée qui correspond aux deux solutions z^^ y^, et en fixant la constante d'intégration qui entre dans X := Yî on parvient à une certaine équation (E,). Supposons maintenant que l'on applique la transformation à l'équation adjointe en échangeant le rôle des deux solutions c,, y, ; la nouvelle valeur Y(de y est, comme le montre tin calcul facile,
et on aura de même, pour la nouvelle valeur de ô,,
(') MoiTARD : « Recherches sur les équations aux dérivées partielles du second ordre à deux varialiies indépendantes » {Comptes Rendus, t. LXX, p. 834; 1810) ; « Sur la
constructioa des équations delà forme - . . =). U'.y), qui ailiuetlent une intégrale
générale explicite » [Journal de l'Ecole polytechnique, \L\° cahier, 1878).
Voir aussi le chapitre sur les équations à invariants égaux dans le tome 11 de la Théorie fiénérale des Surfaces de M. Darboux.
La nouvelle équation en u s'obtiendra donc en changeant À en [i et (x en X dans les formules (66^ qui conduiraient à la première ; elle aura pa> conséquent les mt^mes invariants que l'adjointe de la première. Ainsi, quand on échange les deux équations (E), (E)', ainsi que les deux intégrales z^, r^, les deux équations en u auxquelles on 'parvient sont telles que l'une d'elles est équivalente à l'adjointe de t autre.
Par exemple, si l'équation (E) est identique à son adjointe, et si on prend r, = z,, les deux transformations sent absolument identiques et conduisent, par conséquent, à la même équation en i< ; cette équation, devant être équivalente à son adjointe, a donc ses invariants égaux. Nous retrouvons, sous une autre forme, le théorème de M. Moutard. L'équation étant de la forme
T^y + '' = "' soit z^ une intégrale particulière ; si on prend r, =: z^, il vient
fi
^z dx -{- z^ r-' dy. û, = Y + ^?i
et, en prenant pour y la valeur — -^: il reste S, = ■—-' Les formules de
transformation deviennent alors, en remplaçant ti par — ex \(o/ ex \zj
ce sont précisément les formules qui définissent la transformation de M. Moutard.
La proposition si curieuse de M. Moutard se trouve ainsi rattachée à une propriété générale de celte classe de transformations.
201. On peut se proposer, sur les transformations précédentes, un grand nombre de problèmes. Cherchons tous les cas où les deux équa-
tions que l'on ramène ainsi l'une à l'autre ont les mêmes invariants. Comme on peut multiplier les deux fonctions u et z par des fonctions
quelconques dex, y, sans changer les invariants des équations linéaires
TRANSFORMATIONS DKS ÉQUATIONS Dl SECOND ORDRE '281 correspondantes, on peut écrire les formules de transformations
OX OX oy ^>J
soient
les équations (E) et (E)) ; on a
A — |JL a — A A a
et, pour que les invariants soient les mêmes, il faut et il suffit que l'on ait
c'est-à-dire que a^ — a soit une fonction de y, et 6, — b une fonction de X. On en déduit, pour À et a, les relations
ce qui montre que ). et a sont de la forme suivante
)/= F l'a-; <!' y , a = F, {.c) *< iy).
Ces, conditions sont sufïisantes ; on peut en effet écrire alors les formules (67)
— — Al, ^
