XY,?, ^ = X.Y

X et X| étant deux fonctions de a-, et Y, Y, deux fonctions de t/, ou, en

remplaçant ^ par .. ^ ~, puis changeant X, (^n rr- et "^ 1 en r:-: A I 1 ( A , 1 (

c'a: c'a; cy c'y

iSi r.HAPl"'RE IX

ou encore

c\\,Y.^' Y, ht :^ (X,Y,;i ^ Xj lii^

Al- ~~ X ^.1-' ^1/ Y ^y

Les deux fonctions c et (/ vérifient une même équation du second ordre

(^^' .V^ - XX, - YY, :^.r + XX, - YY, ?y ' °'

et, si l'on connaît l'une de ces intégrales, on aura la seconde au moyen d'une quadrature

^69) „ =Jx l^ cU + Y ^ c/y,

^ X,\,J X cV ^ ^ :^î/ ^

étant donnée une équation de la forme (68 , si l'on connaît une intégrale particulière, l'emploi répété des formules '^69) et (70) permettra, en général, de calculer une infinité d'autres intégrales de la même équation. L'équation i68) peut encore s'écrire

■ F, (y) F (jc)

' -f- ,1. .rj - 1., y i'-^ <i, a:) - *, (y ) '^ " "^ '

si aucune des fonctions * ^), *I>,,yj ne se réduit à une constante, et qu'on prenne «I» i.r) et <P, (y) pour nouvelles variables indépendantes, l'équation en 0 prend la forme suivante

les équations de cette espèce ont été étudiées par M. Le Roux dans sa thèse (').

202. Les transformations des équations du second ordre que nous venons d'étudier In" 194 et suivants) appartiennent à une classe plus générale de transformations considérées par M. Backkuid (■'). Étant

(') Annales de l'Ecole Sonnrde, 189.j. . (-) Bâckllnd, « Zur Théorie der partiellen Differcntialgleichung erster Ordnung » {Mathemalische Annalen, t. XVII ; 1880; et « Zur Théorie der Flachcntransformalionen » (Ibid., t.XIX : 18821.

TKANSFORMATIONS DES ÉQUATIO.N'S DU SFXONl) OIIDIU: 283 données deux équations siimdlanées du premier ordre

. (71) Y^{x,y,z,z\ji,q,p\q'\ — o, F2 'x,y,z,z\p,q,p\q') = o,

où z, z' sont les deux fonctions inconnues, p' et q les dérivées partielles de z\ et un système d'intégrales

considérons les deux surfaces (S) et (S') représentées par ces deux équations respectivement. Si nous faisons correspondre les points de ces deux surfaces qui sont situés sur une même parallèle à l'axe des -, les équations proposées (71) établissent deux autres relations entre les éléments correspondants du premier ordre de ces deux surfaces. En généralisant la question, on est conduit au problème suivant, que s'est proposé M. Backlund : (S) el (S') désignant deux surfaces distinctes^ peut-on établir entre les points de ces deux surfaces une correspondance telle que les éléments correspondants du premier ordre des deux surfaces (x, y, z, p, q) et {x\ y\ z\ p\ q) vérifient quatre relations distinctes données à l'avance ? Soient

(72) ¥i{x,y,z,p,q,x\ij\z',p\q')=o (i = l,2, 3,4)

ces quatre relations. Lorsque deux d'entre elles se réduisent à x ^x, y ■=.y^ on retombe sur un système de deux équations simultanées du premier ordre à deux fonctions inconnues, et on voit qu'aucune des deux surfaces (S) et (1'^ ne peut être choisie arbitrairement . Il en estde même dans le cas général. Si on suppose, en effet, que z, x'. y\ z' aient été exprimées en fonction des deux variables indépendantes x et y, on déduit p et q des relations

D-' , 'dx' , , ^>/

et en remplaçant p'et»/' par leurs valeurs tirées de ces formules dans les équations (72), on est conduit à un système de quatre équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre, entre deux variables indépendantes x, y, et quatre fonctions inconnues z, .<•', y', z'. L'élimination des trois inconnues .r', y\ z', conduira donc à une ou plusieurs

2Sl ClIAI'lTHi: 1\

oqiialions aux di'rivées parliellcs auxquelles devra satisfaire ^, considérée comme fonction de x^ y. Ce sont ces é»|uali(tns c|uil s'agit de former.

Nous supposerons que du système des quatre équations (72) on peut tirer les valeurs de qualre des variables x\y\ z\ p\ q\ en fonction de .r, »/, z, p, q et de la cin<juiènie variable du même groupe; autrement, lélimination de ir',j/', z\ p\ q' conduirait à une ou plusieurs relations (Mitre X, y, «, p, q, cas que nous écarterons. 11 peut encore se présenter deux cas ; si les équations 72 peuvent être résolues par rapport à p', 9' et deux des variables x', y\ z\ on peut supposer ces équations résolues par rapport à p\ q\x\ y\ car, si elles étaient résolues par rapj)ort à p\ q\x\ z\ par exemple, il suffirait de prendre x et z' pour variables indépendantes et de regarder «/' comme fonction inconnue de ces deux variables pour être ramené à ce cas. Si on ne se trouve dans aucun des cas précédents, on peut tirer des équations (72) .r', y\ z en fonction de x,y, z, p, q. et il reste une seule équation renfermantp' et q'.

on voit facilement que, dans ce cas particulier, qui est l'analogue du cas traité plus haut (n** 194), 5, considérée comme fonction de x et dey, doit satisfaire à une équation du second ordre. En efîel, des formules qui donnent .'•', y\ z\

74) a;' = o, 'x,y,z,p,q}, y' = ^2[x,y,z,p,q), z = 'iz[x,y,z,p,q),

on tire, en porlant dans la relation dz' -.= p'do:' -\- q'dy\

OÙ

y'dbjJ^'hj-^yz'i^Tp'-^T^j''^

si on porte maintenant les valeurs de x\ y', z\ p\ q\ déduites des formules (74) et (75/ dans l'équation * = o, on est conduit à une équation du second ordre pour déterminer z comme fonction de a-, y. A toute surface il les formules 7-4 font correspondre une seule surface (i]').

Prenons le cas g'énéral où les équations 72i peuvent être résolues par rapport à x\ y', p\ q\

y' = fi (-ï*, y, -, /'< (i\ ^')i p'=A l-*-, ... : -').

H = fi, y-^ • • • ; -') ;

en remplaçant a-', ?/', ;/, </' par /", , /",, /s, /", dans la relation ds = p'rfa;' -f- q'dy', on arrive à une équation aux différentielles totales

(76) Pc/:;' + Odu' -f R</?/ = 0,

où P, Q, R sont des fonctions de .r, ij, -, j', p, q, ?% 5, <. De plus, les dérivées du second ordre r, 5, ^ne figurent que dans Q et R et y entrent linéairement; en formant la condition d intégrabilité de celte équalion

on vérifie aisément que les dérivées partielles du troisième ordre de s disparaissent, et F est linéaire en r, 5, t, ri — .s-. Il peutencorc se présenter deux cas :

1" Si réi|uation F = o contient z\ en écrivant que celte valeur de z' vérifie l'équation aux différentielles totales (7G), on est conduit à deux équations simultanées du troisième ordre pour z. Toute intégrale deces deux équations donnera une surface (S), à laquelle correspondra une seule surface (il');

2° Si l'équation F = o ne contient pas z\ on a, pour déterminer z, une seule équation du sccondordre linéaire en r, s, <, ri — s'-. Toute intégrale de cette équation donnera une surface (S), et il lui correspondra une infinité de surfaces (S'), dépondant d'une constante arbitraire, qui s'obtiendraient par l'intégration de l'équation aux différentielles totales 70).

203. Pralicpiement. il n'est pas nécessaire de résoudre les équations (72) par rapport à p', q\ cc\ y\ et on peut obtenir la condition d'intégrabililé (77) par un procédé plus élégant ('). En différentiant les équations proposées (72), il vient

(') DAttfiOLX, Théorie générale des Surfaces, l. III, p. 439 et suiv.

ces é<jualions, résolues par rapport à (Lt\ rfy, (fp\ dq, nous donnent pour dp et dq des résultats delà forme suivante

N(/p' = Wdx' -f- Kdy\ Ndq' = Ldx 4- Mr^y',

où H, K, L, M, N sont des fonctions linéaires de >■, 5, /, ri — 5^. Pour que p' et q soient les dérivées partielles 'd'une même fonction inconnue par rapport à x et y', il faut évidemment que l'on ait K =: L. En développant les calculs, on arrive à la condition suivante, qui a été donnée par M. Backlund,

j (i2) [F3F,;: + fl3) [F,F2] -f (14) [F2F3]

ou on a pose

et où le crochet [F,Fa^] a le sens habituel

'^•^*^ = V^^' + ^ Tz') -Y^-\W^i'lI') Tp'

L'ensemble des cinq équations (72) et (78) forme un systèpie équiva lent aux équations (72)et(77). Si on peut résoudre ces cinq équations par rapport à a', y\ z\ p', q\ en écrivant que les valeurs trouvées satisfont à la relation

dz' = p'dx -\- q'dy' ,

on est conduit à deux équations du troisième ordre en z ; si on peut éliminer x\ y\ 2', //, q', ce qui arrivera si, en tirant quatre de ces variables des relations (72) et les portant dans la condition (78), la cinquième variable du même groupe disparaît du résultat, on trouve pour 2 une seule équation du second ordre linéaire en r, s, t, ri — s'.

204. On voit donc (jue, sous certaines conditions que nous venons de préciser, On déduira des équations (72) une seule équation du second ordre pour déterminer z comme fonction de x, y. Cela peut arriver dans deux circonstances différentes, qui se distinguent de la façon

suivante : dans un cas, à une surface (S) correspond une seule surface ( E') qui se réduit de (S) sans aucune intégration; dans l'autre cas, h une surface (S) correspondent une infinité de surfaces (S'j, dépendant d'une constante arbitraire, qui s'obtiennent par l'intégration d'une équation aux différentielles totales.

Les deux circonstances s'étaient déjà présentées dans la discussion du système (29) (n" 194).

Lorsqu'on trouve aussi pour z' une équation du second ordre, on a obtenu de cette façon deux équations du second ordre, en général très différentes l'une de l'autre, telles que l'intégration de l'une conduit à celle del'autre, et la transformationdéfinieparlesformules '72) s'appelle une transformation de Bocklund. Remarquons que, lorsqu'à une surface (2) correspondent une infinité de surfaces fS'), dépendant d'une constante arbitraire, l'équation du second ordre en z est une équation de Monge-Ampère. Lorsqu'à une surface (Si correspond une seule surface (S'), on voit aisément que l'équation qui définit 2- représente, quand on y considère a?, ^, z, p, q comme des paramètres et r, s, t comme des coordonnées courantes, une surface réglée ayant pour cônedirecteur le cône s^ — rf= o. En efîet, avec ces conventions, les relations (7o)représentent bien une droite parallèle à une génératrice de ce cône, cette droite dépendant de deux paramètres p et q liés par la relation (73). L'élimination de p' et de q conduira donc à l'équation d'une surface réglée. Une équation du second ordre provenant d'une transformation de Bcickhind admet donc au moins un système de caractéristiques du premier ordre.

Remarque. — Si l'on se donne a priori les fonctions F,, F^, Fj, Fj, les formules (^72) ne définissent pas, en général, une transformation de Bàcklund entre deux équations du second ordre. Mais il est facile d'en former autant qu'on voudra ; il suffira, par exemple, de prendre pour F,, Fj, F3, ¥ ^ des fonctions où ne figurent pas une des trois variables X, y, z. ainsi qu'une des trois variables x\ y\ z' . En effet, l'élimination de ;>', q et des deux variables (a;', y'\ ou (x', z), ou [y\ z') entre les cinq équations (72) et (77), conduira dans ce cas à une seule équation du second ordre en x, y, z \ et on trouvera de même une seule écjuation du second ordre en x\ y\ z'.

205. En dehors des cas examinés plus haut (n° 194 et suivants), on n a étudié jus([u'ici qu'un petit nombre d'exemples de la transformation générale. M. Bàcklund a appliqué sa théorie à la recherche de deux surfaces (S), (S'), se correspondant de telle façon que la distance de deux points correspondants M. M' soit constante, et que les deux plans

288 r.iiAPiTRf: ix

langenls en M et en M' passent par la droite MM' et fassent un angle constant f ), M. Darboux a ensuite généralisé le problème, en cliercliant les couples de surfaces se correspondant de telle façon que les plans tangents en M, M' et la droite MM' forment un système invariable; ce qui conduit à des surfaces parallèles à des surfaces à courbure constante ou à des surfaces minima. On doit à M. E. Cosserat (^i un autre exemple remarquable, qui se rattache à la théorie de la déformation des surfaces. Considérons la transformation définie par les quatre équations

( c>lO lie:

où te est une funelinu duiinée des seules variables x', y' . Ces formules définissent bien une transformation de B.icklund , car elles ne contiennent pas z\ et. si l'on prend pour variables x, = a: — ij et y^ =a'-(-^ à la place de ./■ et y. la lettre //, n'y figurera pas non plus.

Pour former l'équalioii du second ordre en z\ romarquon* qu'on tire des éqjiations (79)

si. dans la relation

dz = Pd-r -f qchj = ^^ d {X + 2/) + ^^ d {.V - y).

on remplace z, p -\- q, p — q, .>' — y par leurs expressions, il reste l'équalion aux différentielles totales

(') BÂCKi,f5D, « Om ytar nied konstant neg.itiv krOkriing » [Lu'mh Universilets Arsskrift, t. XIX; 1883).

(-) Cosserat (EiGtyz), a Sur la déformation de certains paraboloïdes et sur le tliéorénie de M. Weingarten 9 {Comptes Rendus, t. CXXIV, p. 741-744; avril 1897).

qui définit x -\- y en fonction de x', y' . En écrivant la condition d'intégrabilité, on est conduit à une équation du second ordre définissant z' en fonction de x\ y\ et on trouve qu'elle est identique à l'équation bien connue à laquelle satisfait le résultat de la substitution, dans le premier membre de l'équation d'un plan isotrope, des coordonnées cartésiennes rectangulaires d'un point d'une surface dont l'élément linéaire est déterminé par l'équation

(80) ds"- = du^ -f 2 ^ dudv + 2 ^ c/y^

' ou ' dv

OÙ II et V désignent les variables indépendantes x' et y' {*).

Pour obtenir l'équation du second ordre en z, on tirera des équations (79) les valeurs de x\ y\ p', q

oz "" Dp ^ X — y ^ X — y

où on a posé

z^ -f {x — yYpq

et où ç est une fonction des seules variables z et p. En portant ces valeurs de x\ y\ p', q' dans la relation dz' = p'dx' -f- ç'dy', et écrivant la condition d'intégrabilité, on obtient pour z l'équation du second ordre

(82) Ur H- 2K5 -j- L; -f M + N {rt — s'^) = o,

où on a posé

2K=.(.-^)Y:+(--//)\4'M^(.-y)Vî3^,+2.^>^: + -^?

^^ - 4 :)pa

Cette dernière équation peut se ramener à l'équation considérée par M. Weingarten par une transformation de contact. Si l'on considère, en

(') 0. Bonnet, Journil de l'Écjle pohj technique, XL1I° cahier ; Darbolx, Théorie ffénérale des Sui-faces, t. III, p. 261.