INTÉGRATION DES KOL'ATIONS. — T. II

•±90 CHAI'ITRK IX

oiïol, la surfaco-onvoloppe du |»lan

(l — .'7/ X -f J il + -ry Y + i./- + 1/} L — (.r — y) z = o,

<iù X, Y, Z sont les coordonnées courantes et où z désigne une solution de l'équation (82j, on trouve pour ces surfaces l'équation aux dérivées partielles

^pôq

dont M. Weingarten (') a fait dépendre la recherche des surfaces admettant rt'lément lin<'aire donné par la formule (80); p', p" sont les rayons de courbure principaux, p est la distance de l'origine au plan tangent, et q la moitié du carré de la distance de l'origine à un point de la surface.

Si l'on ('(insidt'Tc, de inrme, la transformation définie par les quatre équations

^io , ce ^r y

elle conduit pour z à la même équation (82) que la précédente ; z' est également définie par une équation aux dérivées partielles du second ordre, qui n'est autre que l'équation connue, à laquelle satisfont les ^coordonnées cartésiennes rectangulaires d'un point d'une surface dont l'élément linéaire est défini par l'équation (80). L'équation de M. Weingarten se trouve ainsi relrée aux équations établies par 0. Bonnet et par Bour dans le problème de la déformation.

206. F-itant données deux équations du second ordre (E), (E') qui se déduisent lune de l'autre par une transformation de Backlnnd, et deux surfaces intégrales correspondantes (S), (S'), les caractéristiques se correspondent sur les deux surfaces.

Prenons d'abord le cas où à la surface (2) correspond une seule surface (S ), dont les coordonnées s'expriment en fonction de a;, ?/, z^ p, q par les formules

<84) x' = Vf^{x,y,z,p,q], y' = o^{x, y, z,p,q), z' = <^^{x,y, z,p, q).

(') W'ei5ciarte5. « Sur la théorie des surfaces applicables » {Comptes Rendus, t. CXII, p. 601 et 706; 1891;.

TRANSFORMATIONS DKS KQL'ATIONS DU SECOND ORDRE 291

Soit (r) une caractéristique de la surface '^Sl, et (F') la courbe correspondante de (S'). Des formules (8ij on déduit les valeurs de p', q' en fonction de x, y, z, p, 7, r, s, (, et, d'une manière générale, les dérivées partielles d'ordre n de z' par rapport à x' et y' s'expriment au moyen de 37, y, z et des dérivées partielles de z par rapport à a; et y jusqu'à celles d'ordre n -\- l inclusivement. Or, la courbe (P) étant une caractéristique de la surface (S), il existe une infinité d'intégrales de l'équation (E) ayant un contact d'ordre m avec la surface (2) le long de- la courbe (F), aussi grand que soit le nombre entier m. A chacune de ces intégrales correspond une intégrale de l'équation (E') ayant un contact d'ordre m — 1 avec la surface (2') le long de (P'), ce qui prouve que cette courbe (f) est bien une caractéristique.

Lorsqu'à une surface (S) correspondent une infinité de surfaces (S'), ces surfaces s'obtiennent (n" 202) par l'intégration d'une équation aux différentielles totales

(80) Pch' + ClJx -f ndy = o,

où P, Q, R sont des fonctions de x, y, z, z\ p, q, r, s, /, et il suffit de se donner la valeur z^' de z' qui Correspond à un point particulier (a?o, t/q, Zq) de (S) pour que la surface '2'i soit complètement déterminée. Soit (r) une caractéristique de (S); comme le point (x^, y^, z„) est arbitraire, nous pouvons supposer que cette caractéristique passe parle point (^Tq, y^, z„). La courbe (F') correspondante de la surface (S') s'obtiendra en intégrant une équation dilTérentielle du premier ordre

dz' r= f (a;, z') dx,

que, Ton formera en remplaçant dans l'équation (85) x, y, 3-,p, 9, ?•, 5, t, par leurs valeurs en fonction de x le long de (F), et en se servant en outre des formules qui donnent a?', y', p', q' en fonction de a", y, z,p, q, z' (p. 285). Remarquons que cette courbe (F'), ainsi que le plan tangent en chaque point, ne dépend que des valeurs de .r, y, z,.p, g-, r, s, t le long de (F) et de la constante d'intégration z\.

A toute intégrale de l'équation (E) ayant un contact du second ordre avec (S) le long de (F) correspond, par conséquent, une intégrale de l'équation (E'j ayant un contact du premier ordre avec (S') le long de (F') ; on en conclut, comme tout à l'heure, que la courbe (F'} est une caractéristique.

Le même raisonnement prouve que, si l'on sait résoudre le problème de Cauchy pour l'une des deux équations (E), (E'), on saura aussi le résoudre pour la seconde.

Î92 ciiAriTHK i\

bi 1 u[ii u< -> u.u \ ..ju. liions osl inti'grable par la mi'thodo <le M. Darboux, il résulte d'une proposition générale déjà établie (n° 182) qu'il en est de môme de la seconde. Mais il est à remarquer que les invariants des deux équations" ne sont pas nécessairement du même ordre. Ainsi, étant donnée une équation linéaire iiilégralde par la méthode de Laplace, une suite de transformations de [.aplace, c'est-à-dire de transformations de Backlund particulières, permet de la ramener à une équation qui admet deux invariants du premier ordre, pour un même système de caractéristiques. Le même fait a lieu aussi pour l'équation de M. Beudon (n° 192). On peut encore ajouter la remarque suivante : Étant donnée une équation linéaire pour laquelle la suite do Laplace est terminée dans les deux sens, l'application de la transformation de Laplace diminue l'ordre d'un invariant d'une unité, mais augmente d'une unité l'ordre d'un invariant de l'autre système de caractéristiques. Il existe aussi des transformations qui permettent de diminuer l'ordre d'un invariant dans chacun des systèmes. Ainsi, étant donnée une équation à invariants égaux s = l(x,y)z, pour laquelle la suite de Laplace est limitée dans les deux sens, une suite de transformations de M. Moutard permet de la ramener à l'équation élémentaire s = o.

11 serait intéressant d'examiner si ces propriétés ne peuvent pas être rattachées à une théorie générale, et de rechercher à quelles conditions une équation intégrable par la méthode de M. Darboux peut être ramenée, par une suite de transformations de Backlund, à une équation intégrable par la méthode de Monge.

207. Les transformations de Backlund ne sont pas les plus générales que nous ayons eu l'occasion d'appliquer. Ainsi nous avons vu (n^'lS?- 188) que l'équation

(86) r 4- X,p + Xa^ 4- F {x, y, q, s, t) = o

se rarnone a i équation

en posant rj = u. La transformation précédente n'est pas une transformation de Backlund, puisque les intégrales de l'équation en z (pii correspondent à une intégrale de l'équation en u dépendent de deux constantes arbitraires. Ce n'est pas non plus, au moins en général, une combinaison de transformations de Biiiklund, puisque toute équation

TRANS1-()1{.MA1 lO.NS DKS IJJCA IlONS 1)1 SKCU.M) ni;i)f!l. -"J,i

provenant d'une pareille (ransfcirnialion doit représenter, quand on regarde r, s, t comme des coordonnées courantes, une surface réglée ayant ses génératrices parallèles à celles du cône s^ — 7t = o ; ce qui n'a pas lieu évidemment pour l'équation (86;, si la l'onction F est quelconque.

On peut remplacer l'équation (86) par un système de trois équations du premier ordre à trois inconnues, analogue au système (29),

Si on élimine v et k, on retrouve l'équation (86), tandis que l'élimination de r et de z conduit à l'équation (87;.

Ceci nous conduit à envisager d'une manière encore plus générale les transformations des équations du second ordre. Considérons un système de m équations du premier ordre

entre deux variables indépendantes .r, y et n fonctions inconnues ir,, z.^, ...,Zn {n ^ m) . L'élimination de toutes les fonctions inconnues, sauf l'une d'elles, conduira en général à plusieurs équations simultanées pour déterminer la dernière. Imaginons que toiftes les dérivées partielles de ^2, ^3 ...,z„ puissent, au moyen des équations (89) et de celles qu'on en déduit en les différentiant, s'exprimer, à partir d'un certain ordre, au moyeu des dérivées partielles d'ordre inférieur et des dérivées partielles de -,. Si, en écrivant les conditions d'intégrabilité, on est conduite une seule équation du second ordre en z^

,90) G(<-.//.--,.7J'35;'^7^'Âî$;;-77) = "'

l'intégration du système (89) est ramenée à l'intégration de l'équation (90). A toute intégrale de cette équation correspondent des intégrales du système (89;, dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires, qui s'obtiennent par «l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires. Maintenant, il peut se faire que cette réduction du système (89) à une équation du second ordre puisse être effectuée de plusieurs façons essentiellement distinctes. Par exemple, imaginons qu'après avoir effectué au besoin un changement de

variables clans les équations (89) l'élimination de n — 1 des inconnues nouvelles conduise, pour la dernière inconnue, à une équation du second ordre

on a ainsi établi, entre les deux équations (90) et (91), une correspondance telle que l'intégration de f une entraîne celle de l'autre. D'une façon plus précise, à toute intégrale de l'une d'elles coriespondent des intégrales de l'autre dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires et sobtenant par l'intégration d'un système d'équations difTérentielles ordinaires. Si l'une des deux équations est intégrable par la méthode de M. Darboux, il en est de même de la seconde (n°182). Il est clair que toutes les transformations que nous avons étudiées ne sont que des cas très particuliers de la transformation générale qui vient d'être définie.

Les transformations dont il s'agit constituent un moyen de recherches beaucoup plus puissant que les transformations de contact. Nous avons déjà fait observer qu'on pouvait, dans certains cas, ramener ainsi une équation, intégrable parla méthode de M. Darboux, aune équation intégrable par la méthode de Monge. Mais ces transformations s'appliquent aussi avec avantage aux équations non inlégrables, au moins dans certains cas, en permettant de les ramener à une forme canonique. Par exemple, étant donnée une équation du second ordre linéaire par rapport à la fonctipn inconnue et à ses dérivées

Ar -f- 2B5 -f- C/ 4- Dp 4- Eî + Fz = 0,

cette équation admet toujours un groupe tordre infini de transformations de contact, car, si on remplace z par z -(- z,, z, étant une intégrale particulière quelconque, l'équation ne change pas. Il en est évidemment de même de toute équation du second ordre qui se déduit d'une équation linéaire par une transformation de contact. Une condition nécessaire pour qu'une équation du second ordre puisse être ramenée à une équation linéaire par une transformation de contact est donc la suivante : cette équation doit se reproduire par une infinité de transformations de contact, -dépendant d'rne infinité de constantes arbitraires. Mais, si l'on emploie des transformations de Bàcklund ou çles transformations plus générales, cette condition n'est plus nécessaire. Ainsi, nous avons pu ramener à une équation linéaire l'équation s* = ^H'iy 6t il est facile de voir que les transformations de con-

tact qui reproduisent celte cfjuation ne dépendent que d'un nombre fini de constantes, lorsque À n'est pas nul. (Note de la page 19G.)

Prenons encore l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courbure totale constante. M. Sophus Lie a démontré (jue les transformations de contact qu'admet celle équation ne dépendent que d'un nombre fini de paramétres ; il est dune impossible de ramener cette équation aune équation linéaire par une transformation de contact. Mais rien ne nous permet jusqu'ici d'affirmer qu'une transformation de Bâcklund, par exemple, ne pernjettrait pas de la ramener à une équation linéaire.

On a pu voir, par cet exposé rapide, combien nous sommes loin de posséder une théorie vraiment générale de ce sujet, et combien de questions encore obscures restent à élucider. Je n'ai pu qu'indiquer sommairement l'état actuel de nos connaissances sur ce sujet difficile.

Problème de Cauchy pour une équation d'ordre n. — Caractéristiques d'ordre n et d'ordre supérieur. — Extension des théorèmes établis pour le second ordre. — Caracléristiquesd'ordre n — 1. — É(jualioiis linéaires. — Éciualions de Xatani. — Généralisation de la méthode de M. Darboux. — Systèmes du premier ordre à n inconnues. — Caractéristiques du premier ordre. — Extension de la méthode de Monge. — Systèmes singuliers. — Équations de Jacobi. — Systèmes linéaires. — Caractéristiques d'ordre nul. — Caractéristiques d'ordre supérieur. — Cénéralités sur les équations à plus de deux variables indépendantes.

208. La notion de caractéristiques s'étend sans dilliculté aux équations d'ordre supérieur ou aux systèmes d'un. nombre quelconque d'équations, pourvu que le nombre des variables indépendantes soit égal à deux. La méthode d'intégration de M. Darboux, qui repose sur la théorie des caractéristiques, s'étend aussi, comme on peut le prévoir, sans autre difTiculté f[ue la complication croissante des calculs. Pour plus de netteté, je me l)orne, dans ce chapitre, à deux cas particulièrement importants, celui d'une équation unique d'ordre n *et celui d'un système de n équations du premier ordre à n inconnues. M. Hamburger a consacré à celte étude deux importants Mémoires (/]; la marche que j'ai adoptée est tout ;i fait diiïtTi'nte de celle suivie par ce géomètre et me paraît plus

(' /Ziir Tlieorie (1er Ivlegraiion eines Systems von niinearenpartiellen Di/ferenlialf/leiehuiif/en ersler Ordniinçj mil zuei unahhânrjifjen und n abkànf/if/en Verdnderlichen {Journal de d'elle, t. LX.XXI. p. 243-280j.

Zur Théorie der Inlef/rafion einea Systems von 7i nichl linenren parliellen lfi/f'<!renlialgleichungen erster Ordnunf/ mit zuei unabhingiyen und n abhàngirjen Verànderltchen 'Crellc, t. XCIII, p. 188-214).

Je n'ai pu utiliser pour la rédaction de ce chapitre deux mémoires rûrents de .M. E- vonWober Mathematische Annalen, t. XLIX et Journal deCrelle, t. CXVlIIJdont je n'ai eu connaissance qu'au moment de la correction des épreuves.

naturelle et plus féconde. Le point de départ est toujours le problème de Cauchy, ou le problème analogue, qui conduit immédiatement à la définition des multiplicités d'éléments, pour lesqiioUos ce problème n'admet plus une solution unique, c'est-à-dire ;i lii définition des caractéristiques.

Étant donnée une équation aux dérivées partielles d'ordre n

(I) F {œ, y, ^, P,,o, Po,P --v Pn,o, îhi-ti, ■■■,Po,n) = O,

le problème de Caucby généralisé consiste à déterminer une intégrale de cette équation admettant tous les éléments d'une orientation d'ordre n — 1 donnée, et régulière dans le voisinage de l'un de ces éléments. En d'autres termes, supposons que x, y, z, p, ^i Po^t^ •••' et toutes les dérivées partielles jusqu'à celles d'ordre « — 1 inclusivement soient des fonctions connues d'une variable auxiliaire X :

ces fonctions satisfaisant aux conditions

dZ = R,,of^X -f Ro.,rfY, rfR,^ = R, , ,,, dX. +' R,-,,^, f/Y, [i-\-k^n-2);

il s'agit de déterminer une intégrale (S) de l'équation fl), passant par la courbe C) représentée par les formules

x = X{X), 2/ = Y(X), xr = Z(X),

et telle en outre que les dérivées partielles de z par rapport k x et k y, jusqu'à celles d'ordre n — 1 inclusivement, aient en chaque point de la courbe (C) les valeurs données par les formules (2).

Les n -\- i dérivées d'ordre n de la fonction inconnue en un point de la courbe (C) doivent satisfaire à l'équation proposée et aux n relations linéaires

dpn 2, < = P" -M f^^ + Pn - 2.2 f('/, ^PO, « - < = Pi," - « ^-^ + Po. n f^.'/ ;

ces n 4" i équations déterminent, en général, un ou plusieurs systèmes de valeurs pour les n -|- 1 dérivées p„ o, p,i(,(, •••, Po.»- Prenons un de ces systèmes en particulier et proposons-nous de calculer ensuite les

valeurs des dérivées d'ordre » -|- 1 pour le même itoinl do la courbe (C). Ces dérivées satisfont, dune pari, aux deux équations obtenues en dilTérenliaiit l'équaliun proposée par rapport à x et par rapport à y, d'autre pari aux n relations

dWn - 1 = Pi./. - « d^-^ -\- Pu.» <^^!/ + PiM - i f^^^ + 2p,,;, dxdy -|- p^,,„ + , rf^/^

les différentielles se rapportant toujours à un déplacement le long de la courbe (C). On a ainsi, pour déterminer les n -\- ^ inconnues, P/«+<,oi ••• Po'i^ii un système dé n -f-2 équations du premier degré où le déterminant des coeflicients a pour expression

dx- 'idxdy dij-

0 dx"- Idxdtj

0 0 0 . . . dx- Mxdy dy"^

en posant

En développant ce déterminant, on obtient un polynôme homogène de degré 2n en (U, dy, où le coefficient de rfy^" est (P„,o)'* ; d'autre part, si on multiplie tous les termes de la première colonne par dy'^ + \ ceux de la seconde par — dxdy'^, ceux de la troisième par dx'^dy'^~*, ..., ceux delà dernière par ( — 1)"-' dx'' + *, puisqu'on ajoute, on reconnaît que ce déterminant est divisible par

(P^.o^'y" - l'u-,.,dxdy-~^ + ... =b P,,ndx-y- ;»

il est donc égal à ce polynôme, puisque les coefficients de c/y-" sont les mêmes. Si l'expression

H = P,.,,dy" - \\,.,^,dxdy--' + ... ± P,,„ria?«

n'est pas nulle, on aura donc pour les dérivées d'ordre n -\- V wvt système unique de valeurs, et, en procédant comme au n° 16, on démontrera que toutes les dérivées suivantes sont aussi déterminées

GÉi\ÉR.\J.ISATIONS DIVERSES 299

sans ambiguïté. Pour établir la convergence du développement en série entière ainsi formé, on procède encore comme au n° 17, en effectuant une transformation ponctuelle de façon à ramener la courbe (C) à une courbe plane située dans un plan parallèle au plan des yz ; le théorème à démontrer n'est plus alors qu'un cas particulier du théorème classique de Cauchy. On voit donc qu'en général une orientation d'éléments d'ordre n — 1 donnée détermine des systèmes formés de une ou plusieurs intégrales de l'équation d'ordre n, et que, s'il existe plusieurs intégrales, elles n'ont qu'un contact d'ordre n — 1 le long de la courbe (C). Mais le raisonnement ne s'applique plus, lorsque le polynôme H est nul, et nous sommes ainsi conduits à étendre aux équations d'ordre n la notion si importante des multiplicités caractéristiques.

209. Sur une surface intégrale (S) de l'équation proposée, considérons les courbes définies par l'équation différentielle du premier ordre

(4) ?„,,dy- - V„^,,dxdy—^ + P„2,20?^V3/«-3 ... ± ?^,,dx- = o,

où on suppose que z et. ses dérivées partielles ont «té exprimées en fonction des variables indépendantes x et y. Par chaque point de la surface (S), il passe en général n courbes distinctes de cette espèce; nous appellerons caractéristique de l'équation (1) la suite simplement infinie d'éléments d^ordre n de la surface (S) le long de l'une de ces courbes. On peut, sans connaître la surface (S), ajouter à l'équation 1 4) une autre relation indépendan 2 de l'intégrale considérée. Le long d'une caractéristique on a, en effet,

dp„-^,^ = p„,idx -\- p„-^.,dy,

dPM,n = Pundx + PQ,n+tdy,

et on en tire, en supposant que dx n'est pas nul pour cette caractéristique,

^EsLJL — n ^.

dx ^''" ' ' dx

Pi," — ^; ' Po," t- 4

Pi-"-*- dx dx dx^P^-"^' \dx)

dp^,„-^^ dpt^n-t dj^ dp^n fdyy fdi/Y

^'•"-^- dx dx dx'^ dx [dl') ^^•"^'\dx)

dpnj,dpn-^,^dj^.dp,,^^^.^ldy\\ /dy\

- dx dx dx^ dx \±c) ^^ ^^ P''"^*\dx)

Pn+ 4,0 —

Transportons ces valeurs de P,,/m ^^a.'»-!» •••> P" + ^.^> ^'^^^ les deux relations

\ \di) "*" ''" ^^"^ '0 + f*"- i.t^^'M + ••• + 1V"P(." = o» ( l^-^) + i'",oP".. -|-P"-i..i^« -1.2+ ••• + lV"Po.« + ) =o; il reste, en tenant compte de la condition (4),

en posant, pour abrégi-r,

A (X) = P„>" - Pn-M^"-' + P„-2,oX"-2 ... f ( ,)„ p^^^^

A, (X) = P„,„X''-*-P„,,,X''-2 + P^.^.oX''-^» ... -t- (- 1)"-'P,,„,,

Par la suite, nous appellerons caractéristique toute suite simplement infinie d'éléments d'ordre n vérifiant les équations

F = o, dz =Pt,adx + Po.tdi/, dy = Idœ,

l dp,,ii — Pi+i,kdx -\- pi^k+idy, {i -\~ h^n — 1),

^' ' f^)''^'+'^'/> V/'''.o-^'.-.^>0^iî.-.,.4---+(-l)"-'A,(Xy/p,,„ ., = 0,

où X est une racine de l'équation A (X) =: o. Une équation d'ordre n possède, en général, « systèmes distincts de caractéristiques, correspondant aux n racines de A (X) = o.

, n [n 4- 1) . - 1-.. • n{n-\-i) . Les '■ -j- 4 équations (oj se réduisent en réalité a -^ — '■ -j- 3

équations distinctes, car on obtient d¥ ^ o en combinant les deux

(«4-1) 'n 4- 2) dernières relations. Il y figure en tout - — ■ — — ' — ■ 4" - variables,

de .sorte qu'on a n variables de plus que d'équations ; une caractéristique dépend donc de n — 1 fonctions arbitraires d'une variable.

Pour simplifier l'exposition, nous supposerons que l'équalion aux dérivées partielles proposée est résolue par rapport à la dérivée j3„,o, ce qui lie diminue pas la généralité des résultats. Soit

(7) P«,o + /'(-^, y. -,P),05 2^0.1' •••; Pn-^^^ •■■,P,),n) = o

cette équation ; en la différentiant un nombre quelconque de fois par rapport à a? et à ?/, on fjourra exprimer toutes les dérivées partielles de 2 au moyen des dérivées pi^^, où l'indice i ne dépasse pas n — 1. Nous supposerons, dans la suite, qu'on n'a laissé que ces dérivées dans les formules. Les caractéristiques sont alors définies par les équations

[ Pn,o + / = o, dz = p^f^dx -f- po, ^dy, dy = \dx, /ON 1 <iPi, k = Vi^ ukdx -'rPi,k + fCly, {i-\- k^n — l), ^' J /df\

X étant une racine de l'équation caractéristique

(9) A (X) = X- - P„^,,X«-^ + Pn-,,'^^-' ... + (- irPo,. = o,

ou P,,A- = C

^Pi,/c

On peut aussi considérer la suite des valeurs prises par toutes les dérivées partielles jusqu'à un certain ordre le long d'une caractéristique, et définir des caractéristiques d'un ordre quelconque supérieur à n. En opérant comme tout à l'heure, on voit que les caractéristiques d'ordre n -f- A sont définies par les équations

dy = Idœ, dz = p^,f^dx +Po,idy, (10) ( ^A-A-=P,>r.c^-fP..Mrfy, {i^k%l + i-l}

auxquelles il faut, joindre les relations qui permettent d'exprimer toutes les dérivées où l'indice i est supérieur à w — 1 en fonction des autres. On remalrquera qu'il y a toujours n équations de moins que ৠvariables.

Toute caractéristique d'ordre n -\- h -{■ i renferme une caractéristique d'ordre n + ^i ^^ ^^^ caractéristique donnée d'ordre n -f- h appartient, en général, à une infinité de caractéristiques d'ordre

30i CHAPITRE X

n -{- h -{- i, dépendant d'une conslanle arbitraire. Démontrons-le, par exemple, pour h = o. Les dérivées jusqu'à celles d'ordre n inclusivement étant supposées des fonctions connues d'un paramètre, on a, pour déterminer les dérivées d'ordre n -f- 1, les relations

dPn~2,2 = Pn-\,idx -f- Pn-^.i^y,

dPo,n = Pi, „ dx + Po, „ + , <?/.

On tire de ces dernières :

dPo, »

^■''"-* - dx dx ^^^'o.»-.' .

et, en substituant dans la première équation, on arrive à une équation différentielle du premier ordre pour déterminer /3o,« + «> ^^ ^^ coefficient

de - ' ^-"^^ est, au signe près,

Par conséquent, si X est racine simple de l'équation A ().) =: o, on voit bien que Po.'« m dépend d'une constante arbitraire; on peut se donner la valeur de cette dérivée en un point de la caractéristique d'ordre n, et la caractéristique d'ordre n -|- 1 est alors complètement déterminée. Les conséquences sont analog-ues à celles qui ont été établies pour les équations du second ordre (1, n" 81) :

Si À est racine simple de l'équation A (À) = o : 1° une caracléristique d'ordre n -\- h [h"^ o) est renfermée dans une infinïlé de caractérisliques d'ordre n -\- h -\- i, dépendant ctuae constante arbitraire; 2^ une caractéristique d'ordre n •\- h est renfermée dans une infinité de caractéristiques d'ordre n -\- h -\- i, dépendant de i constantes arbitraires ; 3* si deux intégrales admettent tous les éléments dune caractéristique^ tordre du contact est le même tout le long de la caractéristique commune.

GÉiNÉRALISATIONS DIVERSES 303

210. Pour établir qu'une caractéristique d'ordre n appartient à une iufinilé d'inU'g-rales, nous commencerons par généraliser le lliéorème du n» 82. Soil

01) ;>«-/,,/, = F (a-, î/, -, p,.o, ... ; P«,o, P«-),), •■■,Po,n)

tine équation d'ordre n résolue par rapport à la dérivée Pn-hj,- Supposons connues les valeurs initiales .r^, y^, 5^, (/),,;i;o, où l'on a i^n h — 1, ou bien k ■^. h — 1 ; si la fonction F est régulière

pour ces valeurs initiales, et si de plus, en posant P, t -— ? on a

pour ces valeurs initiales, on peut calculer de proche en proche les Araleurs, pour x = a'„, // ^^ î/^, de toutes les autres dérivées, par les «eules opérations d'addition et de multiplication. En eiïet, les dérivées d'ordre n -\-J -]- i sont déterminées par les relations

P»+J + t-/t.'i =■ l n - /i~t,h-nPn^J-h./i^ i T" • • • "T "o,nPj+ {,n 4" •••

Pli +j~/i,/iJ- \ —^ i- n~/i~ h/i + iPii -i j — /t—t,/t + 2 H" ••• r '^0<itPj^ii + i ~\~ •■•

Pn-/i + \,h + j ^==^ "n-h-\,h + \Pii-/i,/i ~ J . i -T ••• "T *0."P|.'i + y "T ••• Pn-li,hJrj + \ "^ ^ n-h-\,h+ \Pn lt~{.li- j + % H~ • • • ' 0."Po." - > -^ ( "T • • •

les termes non écrits ne rcnfcrnienl que les dérivées d'ordre inférieur àn-f-/ + l- I-a dernière équation donne pn-hji + j+{ en fonction de dérivées connues et des dérivées d'ordre inférieur à n -f-y+ 1 ; l'avant dernière équation donne ensuite /)„/( j.i,//4.y, et ainsi de suite. En faisant successivement y = 0, 1, 2, .... on vérilie bien que toutes les dérivées successives peuvent se calculer au moyen des dérivées supposées connues par des additions et des multiplications seulement. Cela posé, le théorème du n" 82 peut être généralisé comme il suit : Soit

(12) P„-A,/, = F (j',2/,.2-, p,.o,/io., .".v.oW^- -I.., •••WV"^

une équation (Vordve n o '' le second membre est -'nlomorphe dans le voisinage des valeurs

^0'> Vùi •^0' iPi.n'o' vPo.i)oi ••• \P".o)o' IP«-m)(1' ••• \P(\.ii\\i

30 i CHAPITRE X

ei oi< os (fcrivccs partic//i's de la fonction F par rapport à

P'i. 01 Pn — t, il -"i Pn — h ^ \,h- t

sont nulles pour ces valeurs; soient de plus

h fonctioiis dex, holotnorphes dans le voisinage du point o-q et telles que Von ait, pourx = XQ,

soient de même

n — h fonctions de y, holomorph.es dans le voisinage du point y^, et telles que Von ait, pour y = y^,

Il existe une intégrale de l'équation proposée, régulière dans le domaine du point [x^, y^), et telle que, pour y = y^, on ait

et, pour X = X(^,

^ = 4'o iyh ^ = -f . (y), ••• ^^n-^~i = '^n-n-i (y).

La connaissance desn fonctions cp^ {x), o, [x], ..., !p/,, [x), 'j'o fy) •••> •fn A< (y) entraîne la connaissance des valeurs initiales de toutes les dérivées partielles (p/,a)o, où les indices satisfont à l'une des conditions it^n — ?i — i,k:^ h — 1. Nous venons de voir comment on peut en déduire de proche en proche les valeurs initiales de toutes les autres dérivées partielles de la fonction inconnue, pour x = Xq, y = y^, et cela au moyen d'additions et de multiplications seulement. On peut donc, pour démontrer la convergence du développement ainsi obtenu, employer la méthode des fonctions majorantes. Mais on peut auparavant remplacer les conditions initiales par des conditions plus simples. D'abord, il est permis de supposer x^ = yQ = o, car il suffit de rempla-

cer X et y par x^^ -\- x ot ^o + ^ respectivement pour être riuiirm'" à ce cas. Si nous remplaçons ensuite^ par «I> (a;, y) -|- m, m élanl lu nouvrlli; inconnue, et * (a;, xj) une fonction lioloniorplio dans le doiuaine du pointa:= 0, 7/= 0, qui satisfait aux mêmes conditions initiales (pie z (')

* = 'fo(y)^ 5;^ ='^(y)' ••• ^^^.,-A-i = •K-/.-,(yj. poura; = o,

la nouvelle fonction ii devra être nulle, ainsi que ses h — 1 premières dérivées par rapport à x pour y = o; elle devra être nulle également, ainsi que ses n — /t — 1 premières dérivées par rapport à y pour x = o, de sorte que tous les termes du développement de u en série entière devront être divisibles par x''y'^~'^. L'équation proposée est donc remplacée par une équation de même forme, où, pour ne pas multiplier les notations, nous conserverons la lettre z pour désigner la fonction inconnue

(13) Pn^i,.u =F ix,y. z.p^,,,Pot, ..., p„.o. "mPo.");

le second membre est holomorphe dans le voisinage des valeurs

et les dérivées partielles de la fonction F par rapport à

Pii.oy Pn- {.{) •••■> Pn -h - \.li - \

sont nulles pour ces valeui-s. Tout revient donc à démontrer que cettenouvelle équation admet une intégrale holomorphe dans le domaine de

(') Il fxislf ('videniment une indtiité de fonctions <1> », y satisfaisant à ces conditions. Pour en former une, imaginons un tableau à double entrée dont le ternie ::énéral u,k sera pris égal à {pik), si l'indice i nest pas supérieur a n — h — 1 ou linlice /c supérieur à /i — 1, et sera nul si aucune de ces inégalités n'est vérifiée. La série