ES

est convergente dans le voisinage de l'origine et représente une fonction satisfaisant aux conditions voulues.

LNTKGIIATION DES ÉQLATIO.NS. — T. II. 20

306 r.iiAiMTnE x

t'origine et satisfaisant aux conditions suivantes

- -- °' 57/ = ®' •■■' ,^7^ = O' P""'' 2/ = o, z = 0, r- =■■ o, '••j ■ — • = o, pour X = o.

Le développement de la fonction F est, en n'écrivant pas les termes de degré supérieur au premier,

«o+«i^+«2y+«î-+*«oP),o^"- + ^"-A-i-/< + iP/i-/,-),/*+(+-"+*o.«Po,«+---

les coefficients des dérivées /)„,), pn-{,i, ..., p„^/,+,,/;, étant tous nuls. On peut encore faire disparaître le terme constant a^^ en remplaçant

z par z -\- a,, -tt-, , , , • Toutes ces réductions faites, la fonction F

admet pour fonction majorante une fonction de la forme

INI

Xi I I i Pn.n 4- ■•• -\- Pn.-h-i- {.h- \ /

M, p, R étant des nombres positifs convenablement choisis ; si, dans

OC

cette fonction, on remplace a: par -» a étant un nombre positif moindre

que l'unité, on augmente tous les coefficients, et la fonction ainsi obtenue est, à plus forte raison, majorante pour F. Le théorème en question sera donc établi, si on montre que l'équation

Pn.-li.n -

admet une intégrale holomorphe dont tous les termes sont divisibles par x''y'^~'^ et, à plus forte raison, si on montre que cette équation admet une intégrale représentée par une série entière dont tous les coefficients sont réels et positifs. Pour démontrer ce dernier point, cherchons une intégrale qui soit fonction de la seule variable

u = X -\- ay,

on a

z = f{x -\- ay ) ; et l'équation devient

' g ' ^^>/ ' '^ M. ;)"-3-l-t-a-f-...+x^'''-La/'- ' — ■■■4-2''/

OU encore

(») ^ s? - 1^ (s?) = *■ («• - ?:,' - 5ïï^)'

W désignant une série entière dont tous les coefticients sont réels et positifs et sans terme constant, et les coefficients A et B ayant les valeurs suivantes

Le coefficient B est toujours positif et, en prenant a assez petit, il en est de même du coefficient A ; a étant choisi de cette façon, l'équation (14) admet une intégrale qui est nulle, ainsi que ses n premières dérivées, poup u =3 o, et dont tous les autres coefficients, comme on le démontre aisément de proche en proche, sont positifs. Le théorème énoncé est donc établi.

211. Pour appliquer ce théorème général à la théorie, des caractéristiques, effectuons d'abord une transformation ponctuelle, comme au n" 83, de façon que les équations de la caractéristique considérée soient

y = 0, 3 =^ o,pa- = o, [i -\~ k ^ >'),

et choisissons lorigine des coordonnées de telle façon que le premier membre de l'équation proposée

30H t.H AIMTIIR X

soit holomorphe clans le voisma<:^e des valeurs précédentes. Pour (jue Taxe des x soit une direction de caracleristi(|ue, il faut dabord que lun ail P„,o = o. et, si celte caracléristique provient d'une racine simple de lêquation (9), comme nous le supposerons, on doit avoir au contraire r„,,, diffi'rent de zéro. On peut donc résoudre l'équation proposée par rapport à la dérivée p„,,, et lécrire sous la forme

le second membre étant developpable en une série entière ordonnée suivant les puissances croissantes de x^ y^ c, pi^. Ce second membre doit d'ailleurs être nul, quel que soit x, pourvu que y, z et toutes les dérivées p/t soient nulles; il faut, pour cela, qu'il n'y ait aucun terme en j'"'. D'autre part, les dérivées Pa+,,o, P«,)î •••, P),« doivent être nulles le long de l'axe nx\ si on différentie l'équation précédente par rapport

M'' ^F à ./• et par rapport à y, on voit que — et -r doivent aussi être nuls,

quel que soit x, de sorte que le développement du second membre ne doit contenir non plus aucun terme en yx"\ ni en Po./i-^:^'"-

Cela posé, soit ^ [y] une fonction holomorphe dans le domaine de l'origine, nulle, ainsi que ses n premières dérivées, pour?/ = o. D'après le théorème général qui vient d'être démontré, l'équation (15) admet une intégrale, régulière dans le domaine du point a; = o, y = o, se réduisant à ^ y\ pour x = o, et nulle, ainsi que ses n — 2 premières dérivées, pour ?/ = o. On démontre, comme au n° 83, que le développement en série de cette intégrale est divisible par y"^', de sorte que tous les éléments de la caracléristique considérée appartiennent à cette intégrale, quelle que soit la fonction •{/ y ]. Tous les éléments d'une caractéristique d'ordre », correspondant à une racine simple de C équation A (À) = 0, appartiennent donc à une infinité de surfaces intégrales dépendant dune infinité de constantes arbitraires. Ces constantes arbitraires sont précisément les coefficients de la série entière •} (y), à partir du coefficient de y"**- On en conclut encore que l'on peut trouver une infinité de surfaces intégrales, ayant un contact d'un ordre aussi élevé (ju'on le veut avec une [surface intégrale donnée le long d'une caractéristique.

Les théorèmes qui viennent d'être établis vont plus loin que les théorèmes correspondants du chapitre iv. En effet, dans ce chapitre, on s'est borné à établir qu'une intégrale dune équation du second ordre est déterminée quand on se donne une caracléristique du second ordre et une autre courbe admettant un élément du second ordre de cette

caractéristitjue vl langciile à la seconde caractéristique située dans cet élément. Ici, au contraire, nous voyons qu'une intég, - 'o dune équation d'ordre n est déterminée par une caractéristique d'oruic n, et une autre courbe quelconque admettant un élément d'ordre n de cette caractéristique. Nous disons, pour abréger, quune courbe admet un élément d'ordre n lorsqu'elle a un contact d'ordre n avec toute surface admettant cet élément.

Bien qu'il y ait une grande analogie, dans les raisonnements et les résultats, entre le cas d'une équation d'ordre n et le cas d'une équation du second ordre, nous devons signaler cependant une différence essentielle. Nous avons reconnu que deux caractéristiques de systèmes différents dune équation du second ordre, ayant un élément commun du second ordre, appartiennent à une môme surface intégrale. Au contraire, dans le cas d'une équation d'ordre n > 2, deux caractéristiques d'ordre n, de systèmes différents, ayant un élément commun d'ordre w, n'appartiennent pas en général à une même surface intégrale. Nous verrons une confirmation de ce fait un peu plus loin.

212. Etant donnée, sur une surface intégrale (S), une caractéristique (C), il existe, nous venons de le voir, une infinité d'intégrales ayant un contact d'ordre n au moins avec la surface (S), tout le long de la caractéristique. Il est naturel de se demander s'il n'existe pas des équations possédant des caractéristiques d'ordre n — 1, comme cela a lieu pour les équations du second ordre, de lelle sorte qu'il existe une infinité d'intégrales, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, ayant un contact d'ordre n — 1 seulement le long de la caractéristicjue. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que le problème de Cauchy, relatif à cette multiplicité d'éléments d'ordre n — 1, conduise à une indétermination pour lune des dérivées d'ordre n. Supposons que a?, ij, z et les dérivées p,,A^ soientdes fonctions connues d'un paramètre ). {i-\-k^n — 1) vérifiant les relations

dpi,k = Pi ^ ij.do' -f- PiM ^ \(hj ; a -^ k^n ~ 2)\

on a, pour déterminer les dérivées d'ordre w, les « -]- 1 équations

(^Pn-^,Q = jo„,of/.r -f pn-fy'.'/, ... o^Po."-! ~ Pi.><-> f^'' + Po,n dy .

Si on tire.n des dérivées d'ordre n des dernières relations et qu'on les porte dans F = o, on doit arriver à une identité, pour avoir une

caraclérislique. On obtiendra des équations admettant une famille de caractéristiques «l'ordre n — 1 de la manière suivante ''parlons de deux relations de forme arbitraire

'l U,>f.r.(fu: dp„^^Q, (fPn-2^^^ -■, (^Po,n~t) = o,

où H et n, sont lioniogi-nes par rapport aux difTérentielles et renferment en outre les variables x, y, -, p,o' •••♦ Po./i-i t' ''ne façon queleon(iue. Si l'on remplace ^/p,,x ^^^ Pt-^.kdJ^^ -\- Pi.k^^(^y^ P^iis qu'on élimine le

rapport -j^ entre les deux relations obtenues, on aboutit à une équation

d'ordre n, admettant une famille de caractéristiques d'ordre n — 1, définies par les formules (16) et les suivantes :

dz = p^f^dx -\- Po.,di/, dpi^^ = p,^ t,kdx + p,, a- . idy {i + k^n — 2).

Nous nous bornerons au cas où les formules (16) sont linéaires par rapport aux différentielles, et, comme nous n'écrirons que les relations entre les dérivées d'ordre n et d'ordre n — 1, nous modifierons un peu la notation employée en posant

Les formules (l(jy étant linéaires en dx, dy.d-r.f, ..., <:/?:„, examinons dabord le cas où elles sont de la forme

17 \ ) dy = y^dx,

' I a,<:/-, -j- «2^7:2 + ... -f- a„dizn = acte,

«0 «2 ^"1 '•' H- étant des fonctions de x, 3/, z et des dérivées partielles de z jusqu'à celles d'ordre n — 1. L'élimination du rapport -fconduit ù léquation linéaire par rapport aux dérivées d'ordre n

(18j fl, (ry, + 9j>) -f a.^[q^ -f q.;,) + ... -^ a„ fç„ + ry„ + /a) = ;/. Inversement, étant donnée une équation linéaire d'ordre n, (l'J) A<9, + Ao^a + ••• + A;, + <'7„ + < = A,

OÙ A, A,, Ag, ..., A„ + , (Jt''|)('ii(Ient de x, ?/, z et des dérivées d'ordre

inférieur à n, pour qu'elle provienne de l'élimination de -j^ entre les

relations (17), il faut pouvoir déterminer a^, a.^, ..., a„, X, ix par les conditions

et l'élimination de a,, a^, .... a„ conduit à l'équation de degré n en X

(20) A,X" — A.,X''-' + AgX''--^ ... + (- 1)« A„ + , =0;

c'est précisément l'équation qui détermine les caractéristiques, comme on devait s'y attendre. Une équation linéaire d'ordre n admet donc, en général, n familles distinctes de caractéristiques d'ordre n — 1, qui sont définies par des équations linéaires par rapport aux différentielles. On peut donc étendre immédiatement aux équations linéaires d'ordre n la méthode employée par Monge pour les équations du second ordre ('). Nous n'insisterons pas sur cette méthode, qui sera généralisée tout à l'heure.

Lorsque le coefficient A, est nul, l'équation (20) en X a une racine infinie, et les formules (17) sont remplacées par les suivantes

dx = 0, A^d-K^ -f ... 4- A„a'-„^, -j- A„ + ,f/::„ = Ady.

Passons au cas où les caractéristiques d'ordre n — 1 sont définies par des formules linéaires (jiielconques

(21] • ^^^^* "^ a./lT.., -f- ... + a„di:n -f Ifdx -\- l^dy = o, ' b^d■K^ -\- b-^dr:.^ -\- ... -\- b„d-!:„ -\- !/.,</./; -|- ij..^dy = 0 ;

l'élimination du rapport -^ conduit à l'équation suivante

(22) ^{a,b/, — Ma,! ,7,(//.^ , — '/-x l'/A-j + {f-i^a^qi — l-iEbiq,qui est de la forme

(23) ^B,.a(^.î;i.+ ,— 7A7/+,;i-A,r/, + A.,q., + ... + A„,^q,,,^ = A. (1) Natani, Die hohere Aiialysis, p. 380.

Inversement, élanl donnée une équation de cette espèce, pour qu'elle

provienne de l'élimination de -r^ entre les deux relations (21), il f;mt

pouvoir l'identifier avec l'équation (22). On voit que l'identification n'est pas toujours possible, dès que n est supérieur à 3, en remarquant que,

les 2/j inconnues a^, a.y n„, h^, h^, ..., b„ sont déterminées par les

■(•(tndilioiis

afik — hia^ — B,, ^,

Jes quantités B,/. vérifiant les relations

pour que les équations précédentes soient compatibles, il faut en outre ■que l'on ait, comme on s'en assure par un calcul facile, les relations suivantes, bien connues dans la théorie de la droite, entre les quantités B,,,.

B,.aB/,./ + B/ /- Bu, + B.wB,,/, := 0, (i,k,h,l=i,% ...,n).

Pratiquement, on peut s'assurer si l'identification est possible et calculer les coefficients de la façon suivante. L'une au moins des quantités B, /, n'étant pas nulle, supposons, pour fixer les idées, que B,j ne soit pas nul; comme B, ., = a^b^ — b^a^, il s'ensuit que les équations (2i i sont résolubles par rapport à d^:^ et à ^712 ; on peut alors, «ans diminuer la généralité, supposer

Si l'un fait i =^ \ dans la rel-ation générale

il reste b^ =: B, ;; ; si l'on fait, au contraire, A = 2, il vient ai =^ B/, 2, et il n'y a plus qu'à examiner si ces valeurs des coefficients a,-, i^^ satisfont •aux autres conditions.

Lorsqu'il en est ainsi, il reste n + 2 équations pour déterminer les quatre coefficients >,,, Àg, ij.<, lîj, w -j- 1 de ces éf[uations étant linéaires, et la dernière étant du second degré. Il faudna encore que ces équations soient compatibles, ce qui na pas lieu, en général, lorsque n est supérieur à 2. Les équations de la forme (19) peuvent être considérées comme une généralisation de l'équation d'Ampère, maison voit, d'après

GÉNÉRAUSATIONS DIVERSES 313

<!e qui précède, qu'elles n'admettent de caractéristiques d'ordre n — 1 ■que si les coefficients satisfont à certaines conditions (').

213. La méthode d'intégnation de M. Darboux s'étend sans difficulté aux équations d'ordre quelconque à deux variables indépendantes. L'extension de la méthode de Monge, quand elle est possible, est comprise comme cas particulier dans l'exposition qui va suivre. Etant donnée une équation de la forme

(24) p„,o + AG^'". 2/> - ;P<,o. Po.n ■■■ ', Pn-ut^ ■■■^ Po,»)= o,

cherchons d'abord s'il existe des combinaisons intégrables pour les équations différentielles des caractéristiques d'ordre n. Soit ch = o une combinaison intégrable, o ne renfermant pas Pn,o'i si, dans ch, on remplacée/?/, dz, dp^^, ..., dpQ^„^, et dp„^^^ par leurs valeurs tirées des équations (8), il vient

"^^ = hl + ^/'^ + H (P''" + ''^«•<^ + ^ ^^^0 + ^'- '''^ + ••• \L\o l'y 1.2 W-'i.o

+ \—^ ^"-( (>\) f^Pn-2.2 — ^"-2 PO C?P,.3,3 + •••