i)«A, (aic/;v

11 faudra donc que les coefficients de d.c, «'p,t o.a» •••' '^Po-n soient nuls séparément, c'est-à-dire que l'on ait

„ Ifej + 'C^J c>„-,,, \dy)

f i'/)„ „ 2- 2 'Pn - I , ) ^^/»0, " 'Pn-i-i

et on aura à rechercher si ces équations linéaires simultanées admettent une solution cqmmune. Les relations de la dernière ligne ont une signification importante. L'é(juation (^ui détermine les caractéristiques de léciualicn -^ = C est, en divisant par d.r et posant dy = jj.o'a',

(') Cette extension de l'équatinn «lAnipére ^ été aussi indiquée par Natani (Die hdhere Anahjsis, p. 387).

31t r.U.M'ITME X

c'est-à-dire, en se reportant à lexpression de A,, A,^, ...,

■Mal

On voit que l'équation * = C doit admettre comme directions de caractéristi<iucs les n — 1 directions de caractéristiques dv. l'équation proposée, autres que celle (jui donne les caractéristiques considérées.

De même, pour qu'il existe une combinaison intégrable pour une famille de caractéristiques d'ordre ti -\- h,

la fonction •]/ ne renfermant que les dérivées /3,,a pour lesquelles l'indice i ne dépasse pas n — 1, on trouve que la fonction <\i doit vérifier les équations simultanées

5^^ -hA„,(;x)^-— =0,..., ^-^+(-i)«A,(À) — ^^ =0,

dont les dernières ont la même signification que plus haut. On opérerait de la même façon pour reconnaître si les équations dillérentielles des caractéristiques d'ordre n — 1, quand il en existe, admettent des combinaisons intégrables.

Cela posé, considérons une équation d'ordre n admettant n systèmes de caractéristiques différents, et soient

dUf = 0, du.j, = 0, ..., dUn-^ = o

n — 1 combinaisons intégrables appartenant respectivement an — 1 de ces systèmes, u^, u^, ..., «„, renfermant les dérivées de z jusqu'à l'ordre n -^ h qm plus. Les n équations

OÙ C^, Cj, ..., C„^ sont des constantes quelconques, forment un système en involution. Par toute orientation d'éléments d'ordre n -(-: A, dont les coordonnées vérifient ces équations et celles qu'oti. déduit de P/i.0 -\- f ^= ^ psr <^6s différentiations, il passe une intégrale commune. En effet, l'intégrale (S) de />„.„ -\- f = o, qui passe par cette multiplicité d'éléments, peut être considérée de n — 1 manières différentes

comme un lieu de caractéristiques. En particulier, on peut la regarder comme le lieu des caractéristiques de la famille qui admet la combinaison intégrable f/», = o, ces caractéristiques étant issues des divers éléments de l'orientation précédente. Comme u^ est constant tout le long de chacune de ces caractéristiques, il s'ensuit que l'on a bien Uf = C^ en chaque point de la surface (S), et on démontrerait de la même façon que cette surface (S) satisfait aux autres relations

Cotte intégrale commune (S) peut être obtenue par l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires. D'après ce qui précède, en chaque élément de (S), les n équations

^".0 ~r~ /-— 0» ^(^^Co Mo^^Co, ..., , w„ ) = Cn— j

ont une direction de caractéristique commune, de sorte que (S) est aussi un lieu de caractéristiques communes à ces n équations, et il nous suffira de déterminer ces caractéristiques communes. Soit X„ la racine de A (À) = o qui correspond à ces caractéristiques ; on a, pour déterminer les valeurs des dérivées d'ordre n -\- h le long d'une de ces caractéristiques, n équations

j dpn-i,h~i — ^n-i {K)clpa-2,h + 2 -{-■■' + {— ^)"~* ^l {'>^u)dpo,n + h ••■ = 0,

/ dp,^^J, + ^ — A„^(X/)a!p„■2,/J + 2^-...-f-( — l)"-'A<(^,)û?/Jo.« + /f- = 0'

dont la première n'est autre que l'une des relations (10) et dont les autres se déduisent de m, :=C,, ..., w»-, = C„,, en tenant compte des conditions (26). On vérifie sans peine que ces équations peuvent être résolues par rapport à dp,l^J^J^^^ ..., £^i3o.«+/M ^^ ^^^ racines X,, Xj, ...., X„ sont distinctes, comme nous le supposons. En ajoutant les relations

dy = Indx, o?3- = (p^.o + po, Cf^n)dx, dpi^ k = {Pi + ,,A + Pi, k + iK)dx,

on forme un système d'équations différentielles ordinaires, permettant de déterminer complètement ces caractéristiques communes, quand on en connaît un élément d'ordre n -f- A. L'intégration de ce système donnera l'intégrale. cherchée [S).

Plaçons-nous toujours dans le cas où les n systèmes de caractéristiques sont distincts et supposons, de plus, que, pour n — 1 de ces systèmes, il existe deux combinaisons intégrables distinctes. On peut reprendre sans modification les raisonnements qui ont été faits pour le

second ordre; réqualion proposée admet n — 1 intégrales intermédiaires distinctes

et la solution du problème de Cauchy est ramenée à V intégralion d'un système d'équations différentielles ordina'res.

Lorsque les « systèmes de caractéristiques admettent chacun deux combinaisons inlégrables distinctes, on a n intégrales intermédiaires

distinctes

u^ = cp, (r,), ..., H„ = »„ (y„),

et on pourrait démontrer, par des considérations analogues à celles qui nous ont servi pour le second ordre, (|ue ces équations, jointes à F = o, forment un système complètement inlégrable,

Remakql'e. — Nous avons dit plus haut (n" 211) que deux caractéristiques d'ordre n, de systèmes différents, n'appartiennent pas en général à une même surface intégrale. 11 est facile de le vérifier. Soit (C), (C) ces deux caractéristiques ; supposons que les équations différentielles d'un des autres systèmes de caractéristiques admettent deux combinaisons intégrables distinctes d'ordre n, du = o, dv = o, de sorte que l'équation proposée admette l'intégrale intermédiaire

Le long de la caractéristique (C), u et v sont des fonctions d'une seule variable, et toutes les surfaces intégrales (|ui admettent les éléments de celte caractéristique satisfont à une même équation u = cp^ (u), où la fonction o, a une forme déterminée. De même, toutes les surfaces intégrales qui admettent tous les éléments de la caractéristique (C) satisfont à une équation u = ^^ r,, où la fonction -^j ne dépend que de cette caractéristique. Pour que la même surface intégrale contienne à la fois les éléments des deux caractéristiques, il faudra donc que l'on ait », = ^2' ce qui n'aura pas lieu évidemment, si ces caractéristiques sont quelconques.

214. .Nous étudierons encore rapidement un système de n équations du premier ordre à deux variables indépendantes a;, ^, et à w fonctions inconnues z^, z., z„,

'^zi ':>z/

On (Jélinit les caractéristiques en se posant un problème analogue au problème de Caucby. Donnons-nous les valeurs de c,, s.^, ..., ;;„ pour une suite de valeurs des variables vérifiant une relation '^ (a?, y) =0, et proposons-nous de trouver un système d'intégrales prenant les valeurs précédentes; en langage géométrique, cela revient à cbercher n surfaces associées

^1 = /"l {^, y}y -2 = A (^' y)^ •■•, Zn= fa {x, ?/),

passant respectivement par n courbes données (F,), (Fj), ... (F„) situées sur un même cylindre ayant ses génératrices parallèles à oz. Le long de ces courbes, x, y, z^, ..., z„ sont des fonctions connues d'un paramètre variable, et les valeurs dep,,p2' •••1 Pn-, îp Q^^ ••■1 <in s'obtiendront par la résolution des îLn équations

i dz^=Ji^dx -[- q^dy4z^=p.^dx + q^dy, ..., dz,^=pndx-\-qndy\

les valeurs obtenues pour les variables Pj et g^^seront aussi des fonctions régulières du paramètre variable, à moins que le déterminant fonctionnel des 2n équations précédentes par rapport ap^Pj' ■••' p„, q^, ^21 --M (7" ne soit nul. Ce jacobien a pour expression

^Pn ^qn

^Vn

dx,

f/rc,

dy, .

en multipliant toutes les colonnes d'ordre impair par c?y, celles d'ordre pair par dx, et retrancliant chaque colonne d'ordre pair de la précédente on remplace, à une puissance de dy près, ce déterminant par le suivant

^F, , ^F, " DF, , ^F. , r — > du — r — ^ dx. r— ^ dy — r— ^ dx,

T— * dy — r — ' dx

<^Pn

DF„ , .^F„ . :>F„ . c^F„ . :)F„ , ^F„ ,

-T-^ du — r — dx, - — r/f/ — ^— dx, ... , -r — dy — - — dx

^Pi ^ ^9i ^>2 ^92 ^P" ^9n

318 ciiaimthf: x

Clola posé, nous drlinintus U's caractéristiques comino il suit. Etant donné un systônio d'intéirralos

■". = l\ V • .'/, > ^2 = A {^y y)y •■•' • 2n= fn [x, y),

nous appollerons élémenU associés du premier ordre les éléments do ces ■n inli'^rales

•'Ny> -nPc?i)i {x>i/, ^-i^Pî, q^)^ "M (^, z/. -'M p«, 9«).

qui correspondent à un même système de valeurs pour x et y. Une caractéristique du premier ordre de ce système dintégrales est une suite simplement infinie d'éléments associés du premier ordre, définie par l'équation différentielle du premier ordre

où l'on suppose qu'on a remplacé s^^ z^, ..., «n, p,, ... P/i,9p Qi, ■■iqu

par leurs expressions en fonction de x^ y. On voit que tout système

d'intégrales possède n familles, en général distinctes, de caractéristiques.

Le rôle important de ces caractéristiques tient toujours à la propriété

dy suivante. Soit a une racine de l'équation A = o, où l'on regarde -^

comme l'inconnue ; le long d'une caractéristique correspondant à cette racine, on a, entre les éléments associés du premier ordre, les relations

,gQ^ \ F, = o, F2=:o, ..., F„ = o,

\ dy = ^dx, dZf=Pfdx-\- q^dy, ..., dz„=Pndx-]-qndy.

Nous allons montrer que l'on peut ajouter à ces relations évidentes une autre écjuation indépendante du système d'intégrales qui nous a servi à définir les caractéristiques. On a, en effet,

\dx)^ .>, ^x "^ "• "^ c>„ ^x "^ ^q^ 1>X "^ ••• ^ :>q„ ^x en posant

si on remplace -p- par "^ et -^ par -^ > il vient,

en multipliant par (hi\

"^ > \dx) ^ ^:>p^. "-^ ^ cV / ^/A- ^Pk ^ \

Imafjinons écrites ces ?i relations où l'on aurait fait successivement 1=1,2, ... n ; on peut éliminer de ces n relations les termes qui

contiennent les dérivées du second ordre ;r— • En effet, si le rapport -f-

satisfait à l'équation A = o, on pourra trouvern coefficients ).,, Xg, •.., ^^i différents de zéro, satisfaisant aux n conditions

f X , r— *■ dx — r— ^ rfy + . . . + A„ -r — dx — T — du] = o \

si on ajoute les n équations (31), après les avoir multipliées respectivement par X,, Xj, ... X„, il reste

(33)h.(f) + '.(^) + -^>..(f')|- On verrait de même que l'on a

en posant

On peut donc définir les caractéristiques comme une suite simplement infinie d'éléments du premier ordre satisfaisant aux équations simultanées (30), (33) et (34). Ces 2« + 3 équations entre 3n + 2 variables se réduisent d'ailleurs à 2/i + 2 équations distinctes, car, en ajoufant les relations (33) et (34), il vient

X,rfF, + X.rfF^ + ... + X„ d¥„ = 0,

de sorte qu'il y a n variables de plus que d'éc[ualions. Par exemple, si les équations proposées (27) peuvent être résolues par rapport à P^^ P21 ••■> Pn^ O" pourra ne laisser dans les équations différentielles des caractéristiques que les variables a?, y, s-,, Zj, ..., ;:„, </,, q^, •.•■, qn-

Cela posé, l'extension de la méthode de Mongc et d'Ampère se fait toujours d'après les mêmes principes. Si les 11 systèmes de caractéristiques sont distincts et si chacun deux admet une combinaison intégrable, les n équations

où dni = o est la combinaison qui correspond au i"^ système, forment un système complètement intégrable. Si on résout ces tn équations par rapport à p,, jJj, ..., jo„, 9,, ..., (/„, les conditions d'intégrabilité du système d'équations aux différentielles totales

dzi =pidx + qtdy (i .= 1,2, ..., n)

sontvérifiéesidentiquenient,quellesquesoientlesconstantesC,,C2,...C„. Je renverrai, pour la démonstration, au Ménioire de M. Han)burger ('). Lorsque chacun des systèmes de caractéristiques admet deux combinaisons intégrables distinctes, le système proposé admet n intégrales intermédiaires distinctes

"< = ?« {'^^)^ "2 = Î2 ("2)1 •••> W„ = cp„ (v„)t

et l'intégration du système proposé est ramenée à celle d'un système complètement intégrable

F, = o, F2 = 0, ..., F„ = o, U^ = ^f (Vf), ...,U„ = <fn{Vn)

avec n fonctions arbitraires o,, -^.^^ •■■■> 9"-

Si n — 1 seulement des systèmes de caractéristiques admettent deux combinaisons intégrables distinctes, la solution du problème analogue à celui de Cauchy se ramène encore à l'intégration. d'un système d'équations différentielles ordinaires. Pour plus de simplicité, supposons les équations (27; résolues par rapport à p^, ,.., p„, et soient •{/< {yj, -l^ (y)r ,.., •}„ 'y) les fonctions auxquelles doivent se réduire z^, z.^, ..,, 2,, respectivement pour X =■ Xq.

Les valeurs de 3n fonctions ?/, /),, qi, étant coimues pour x = j7^, on en déduira, comme on l'a déjà expliqué plusieurs fois, la forme des

(1) Journal de Celle, t. XCllI, p. 103 et suivantes.

n — 1 fonctions tp,, z,.,^ ..., cp,,.,, de sorte que le système d'intégrales cherché doit satisfaire aux 2» — 1 équations

F, = o, Fo =0, ..., F„= 0, u^ = (j,, (y,), ..., w„, = (p„, (y„,);

on obtiendra ce système d'intégrales en cherchant les caractéristiques du syslt-me qui n'a pas encore été employé. Ces caractéristiques sont déliiiies par le système d'équations connues, au([uel on ajoutera les n — 1 relations

u, = cp, {v^), ..., u„.^ -= ^„^ (i-„,),

de façon que le nombre des variables ne dépasse que d'une unité le nombre des équations.

215. Telle est, dans ses grandes lignes, l'extension de la méthode de Monge aux systèmes d'équations simultanées du premier ordre. Celte extension suggère un grand nombre de questions ; nous examinerons quelques-unes des plus importantes. Remarf[uons d'abord que le déterminant A, qui joue le rôle fondamental dans cette étude, est un invariant, relativement à un changement quelconque des variables indépendantes. Soient x', 3/' un nouveau système de variables indépendantes, définies en fonction des anciennes par les Çormules

les dérivées p',-, ç, de c, par rapport aux nouvelles variables ont pour valeurs

l/équation F,- = 0 se change en une nouvelle équation

et l'on a

^Qk ~~ hi'k 'V Wk ^/

d'où l'on déduit l'identité

-— du — :r— dx = ( - — di/ — r-7- dx fTr '■\' ^Pk ^ ^<Jk Vp k ^Çk / D (x', y )

INTIUIlAllON DES Kyt ATIO.NS. — T. II. 2l

Quand on effectue le changement de variables précédent, uji élément quelconque de A est multiplié par le jacobien fTfJ-^x j on a donc, en désignant par A' le nouveau déterminant,

CeUe remarque nous permet de montrer que le problème de Cauchy, tel qu'il a été posé plus haut pour un système de n équations du premier ordre à n inconnues, admet une solution lorsque le déterminant A n'est pas nul. Supposons que l'on connaisse la suite d'éléments associés du premier ordre, correspondant aux valeurs de a-, y, vérifiant une relation donnée •!» (a;, y) = o, et satisfaisant aux équations proposées (27). Les éléments appartiennent à un système unique d'intégrales holomorphes, pourvu ([ue A ne soit pas nul pour tous ces éléments. Prenons, en effet, pour nouvelles variables indépendantes, a?' = * (a?, y), y' =,W [cr, y), la fonction W étant distincte de 4> ; on aura djo' n= o, et le nouveau déterminant A' se réduira à

ce nouveau déterminant étant différent de zéro, comme le premier A, on pourra résoudre les nouvelles équations par rapport à />'<,P2' ■••iPn et appliquer au nouveau système le théorème de Cauchy sous sa forme habituelle.

Remarque I. — La méthode d'intégration qui fait l'objet du paragraphe précédent ne s'applique pas aux intégrales telFes que le déterminant A soit identiquement nul, quels que soient vLv et dy, pour tous les éléments de ces intégrales; Jious les appellerons des intégrales singulières.

Remarque 11. — 11 peut se faire (|ue le déterminant A soit identiquement nul, pour toutes les intégrales du système (27;, alors même que les équations du systènrie ont été mises sous la forme la plus simple. La llféorie des surfaces nous offre des exemples remarquables de pareils syslémes singuliers. Tel est le système

p? +pl +pî=u (^, y), fit9i+P292+P39z=^ '>' 3/).î?+5'2+93=î'-' ^^> yj ;

qui se présente dans la recherche des surfaces applicables sur une

surface donnée ; tel est aussi le système

Pi+P^^ = o, 7.4-^2 + ^35^ + ^35-^0, 9-2 + ^35^ = 0.

que l'on rencontre dans la théorie de la déformation infiniment petite.

Un système non singulier peut toujours, d'après ce qui précède, être ramené à un systèjne de forme normale

{Pi + fi K 2/1 ^n ^2> •••) 2-,,; q,, q.i, ••., 7„) = o, (36)

( Pn + fn (^, y, 2",, 2'i^ ••■, Zn\ Hx.'l'i^ •••, Qn) =0,

résolu par rapport à p^, p.^, ..., p„, au moyen d'un changement de variables, tandis que cela est impossible pour un système singulier.

216. Pour obtenir les équations dilTérentielles des caractéristiques, nous avons eu à déterminer les coefficients X^, À,' •-■i^^n par les n équations linéaires et homogènes (32), qui sont compatibles quand on remplace -7^ par une racine ja de l'équation A = o. Revenons à la discussion de ce système. Si [t. est racine simple, cette valeur de it. ne peut annuler à la fois tous les mineurs du premier ordre de A, et les équations (32) déterminent complètement les rapports mutuels des coefficients X,, Xj, ...,X„, de sorte que l'on ne peut éliminer que d'une façon les

dérivées du second ordre ^ des relations (31), Mais, si u. est racine

multiple de A = 0, il peut se présenter des circonstances toutes différentes. Supposons, pour prendre le cas général, qu'une valeur de fi annule tous les mineurs à r lignes et à r colonnes de A, sans annuler tous les mineurs qui ont moins de r lignes ; cette valeur de ;x sera d'après une théorie bien connue, racine de A = o d'un ordre de multiplicité au moins égal à w-»- ?• -}- !• Oa pourra, dans ce cas, déduire des équations (31) n — r -}- 1 relations distinctes ne renfermant pas les dérivées du second ordre. Si on suppose, par exemple, que l'on n'ait laissé dans les équations difîérenlielles des caractérisli([ues (pie Jes 2n -|- 2 variables a-, y, ^,, -j, ..., z„, p^, p.,, ..., p„,*iious aurons 2n — r -\- 2 équations, et la différence entre le nombre des variables et celui des équations sera égale à r seulement, au lieu d'Otre Tgale à //, comme dans le cas général.

Nous n'examinerons pas les modifications (pie doit subir la Ihéorio générale dans tous les cas particuliers qui peuvent se pi'èsenler, et nous nous bornerons à considérer le cas limite où r := 1. Si un tel cas se

j)it's»Mile. le système proposé n'admet qu'une famille de caracléristitjues, et ces caractéristiques sont définies par un syslèitie d'équations difîérenlielles, dont le nombre n'est inférieur que d'une unité au nombre des variables, c'est-à-dire par un système d'équations différentielles ordinaires. Ces caractéristiqiies ne dépendent donc que d'un nombre fini de paramétres, et l'intégration du système proposé doit présenter la plus grande analogie avec celle d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre à une seule fonction inconnue.

Pour déterminer les systèmes qui jouissent de la propriété précédente, on. peut toujours les supposer ramenés à la forme normale :

(37) Fi=pi-^fi {:c, y, z,, z.^,...,z„; ?<, 93, ...,<?„) = o, (i = 1,2, ...,n);

tous les éléments de A

c>F, . :)F, . r — dy — r — dx

doivent être identiques à un facteur de proportionnalité près. Or, si on

DF . . . ^Fi

suppose i et k dilîérents, on ar— ^:^ o; on doit donc avoir aussi r — =: o, ^^ ^Pk ^<Ik

et le système est de la forme

(38) Vi = p,-{-ri{x,y,2^,z.^,...,z,„qi)=o, (î=l, 2, ..., n).

On a maintenant

^F ^F dfi

-— ' dy — T— ' (^^ = dy — -:■— dx\ ^pi ^qi oqi

il faut donc que l'on ait

el la valeur commune des dérivées précédentes est nécessairement indép». iidanle de 7,, q.y, q,,- I-«i forme générale des systèmes cherchés est dune la siiivanle

A,. \.y B,, .... B„ étant d«'s fonctions de x, y, z^, z.^ ..., z,i%

GÉNÉRALISATIONS DIVRRSES 325

Si on applique à ce système la théorie gi-iuTale, on voit (luil possrdc une seule famille de caractéristiques pour la(|iH'll.' on a

dx d;/ ^

en tenant compte des équations elles-mrnies. les relations

dzi = pidx 4" Çicli/

nous donnent un système de « -|- 1 équations différentielles ordinaires

dx__dy dz^ dz„ ^•^^^ A, -â;- B, -• B„'

entre x, y, -,, ...^z„ seulement. On voit que l'on peut négliger ici les équations qui renferment les dérivées p, et (/,. Convenons, pour abréger, d'appeler caractéristique à.'ordre zéro toute suite simplement infinie de valeurs de (a-, ?/, 2-,, ...v Zn) vérifiant les relations (39,. ; le cafl'ul précédent prolive que tout système d'intégrales des équations proposées s'obtient en prenant une infinité simple de caractéristiques d'ordre zéro.

Soit

l'intégrale générale des équations (39). Toute intégrale des équations proposées satisfait à des relations de la forme

et inversement, quelles ([ue soient les fonctions ï.,, cp2i •••» '^n^ "" calcul direct prouve que les fonctions r,, z.^, ..., c„, définies par ces formules, satisfont bien aux équations (38) (').

217. Lorsque les équations du système (27, sont linéaires j)ai' rapport aux dérivées p/, ^,, on peut déduire des équations différentielles des caractéristiques deux relations au moins ne contenant r|ue x, y, s,,

(') Le résultat précédent est dii à Jacolii {Journal de Crelle, t. M, p. 321). (|iii n aussi étendu la méthode aux équations siuiuitanéc-j

Al T^ + ... + Arr-i-= B,-, («•= 1, 2, .... h),

t'x, t'.Tr

à un nuinbrc quelconque de variables indépendantes.

CHAriTRE X

3'j, ..., 2„. Du reste, il est facile d'établir directement ces équations. Considérons le système linéaire

«nP< + ^itPî + ••• + Û/mP" + *HÎ< + ••• + ^niÇu = «,, "iilU H- ''22P3 + ••• + ««aPn + *n?4 + ••• + *"29« = «2'

I «p. Pi + f2"P2 + ••• + ^nnPn + *<„y, + ••• + */>"5''« = «"1

OÙ les coefficients Oa-, ^tk ^t les seconds membres sont des fonctions de ar, V, Zn ..., Xn seulement. Si on pose dy = [>.dx, l'élimination de Pu Pji •'•■> Pn entre les équations proposées et les relations

dz^ = {p^ + q^u.) dx, ..., dz,, = {Pn + q„\>-)dx

conduit au système

a^^dz^ -\- ... + a„^dz„ + [ (^h — «<.M-)5'< + •••

+ {b,,^ — a„^(x)5'„ ] dx = e^dx.

a\ndz^ + ... + a,„4zn + [ (6,„ — a,,,u) 5-, -j- ...

pour qu'on puisse éliminer q^, q.^, ..., q„ entre ces relations, il faut et il suffit (pie u soit racine de l'équation

*H ^wV-i •••> *«) — ^n\V-

a«n}A •••, ^n/i «/j/iW-

Si on a pris pour a une racine de cette équation, on en déduira une relation au moins de la forme

\^{a^^dz^ + ... J- a„//z„> -f- ... + X„ {a^„dz^ + ... -|- «„„</-„) = (X,e, + ... + À„e„) dx,

ou encore

A,rfz, -f- ••• -f- ^ndzn = Bdx,

A,,..., A„, B étant des fonctions de x,y, z,,... z„. Lorsque cette valeur de ixn'annule pas simultanément tous les mineurs du premier ordre de A (u), ce qui aura lieu certainement si (x est racine simple, on n'obtiendra qu'une relation de cette forme. Nous appellerons cavaclérisiiques d'ordre nul tout système simplement infini de valeurs de x, y, z,, ..., z„ satis-

GÉNÉUALISATIONS DIVFRSES 327

f&isant aux dpux équations

^ ' I A , ^^ + . . . 4- \ndz„ = Bdv ;

un système linéaire possède donc, on p^énéral, n systèmes de caractéristiques d'ordre nul, correspondant aux n racines de A (u) = o, définis par des formules analoofues aux précédentes (44).

Les équations (44) admettent au plus deux combinaisons intégrables distinctes. Lorsqu'il en est ainsi, le système proposé admet une intégrale première de la forme

n et i' étant des fonctions de x, y, z'f, ..., z„. Si le même fait a lieu pour les n systèmes de caractéristi(|ues, on a n intégrales premières distinctes

?/, = o, (y,), ..., u„ = cp„ (y„),

et l'intégrale générale est représentée par les formules précédentes, cp^, Oj, ..., On étant des fonctions* arbitrairps4 Si l'on a en tout r intégrales premières (r < n)

u^ = o, (y,), ..., î/,. = cp,. (y,.),

on pourra exp^imer z,, z^, ..., z„ au moyen de.r, ?/, et de n — r inconnues nouvelles, et on ramènera le système proposé à un système linéaire de n — r équations, dépendant de r fonctions arbitraires.

Lorsque a est racine multiple d'ordre v de A (a) = o, on peut déduire des formules (42) s équations au plus indf'pendantes de//,, rj^, ..., cy„. Les caractéristiques correspondanles sont df'linies jiar '• -f- 1 é(jiia(ions

lA") ^ '^y ~ !^^''''

^ ""^ I A'\rf,, -\- A',r/-, + ... + A-„dz„ r=: B'-

où ^■ = 1,2. ..., /•, i:^r^s.

Ces équations admettent au plus «f -f ' combinaisons intégrables distinctes, dans le cas le plus favorable où /• =r .ç. Par suite, les caracl»'ristiqnes correspondant à une racine multiple d'ordre .v de A (y.) =0 fournissent au plus .s intégrales premières du système proposé. Si ce nombre maximum est atteint pour cliaque famille de caractéristiques, on aura l'inli-grale générale du système; sinon, on pourra en diminnrr l'ordrf.

328 c.n.MMTnK x

On voit donc que, dans cfilains tas, un système d'équations linéaires admet un certain nombre ilinté^j^rales premières de la forme

Vi =fi{ui), i = 1,2, ...,r,

les fonctions 5, étant arbitraires, et les fonctions Uj n'étant pas nécessairement distinctes. Mais celte propriété n'est pas spéciale aux équations linéaires ; elle appartient aussi à certains systèmes d'équations de la forme

^iiPi + ••• + a„ip„ -f b^iq^ -f ... + b„iq„ -\- ^ C;'.., (p,.*/, — p,r/,) = e,;

On trouvera la discussion complète de cette question dans le mémoire de M. Hamburger (').

218. La méthode exposée dans les paragraphes précédents, identiqaie au fond à celle do M. Hamburger, constitue en réalité l'extension de la méthode de Monge aux systèmes d'équations simultanées du premier ordre. Pour étendre la méthode de M. Darboux, il faut commencer par définir les caractéristiques d'ordre supérieur au premier. Afin de simplifier les calculs, supposons le système proposé ramené à la forme normale

(46) ) ^a + A ''^' 2/' -f ••• ^'M Yn 9a' --M 9n) = 0.

' P>, + fn (a;, y. z,, ..., z„, q^, q^, ...,q„)= o.

Les équations (40; et celles qu'on en déduit par des différentiations successives permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles des fonctions inconnues au moyen de a:, y, z,, ...,4r„ et des dérivées partielles prises par rapport à la variable y seulement. Nous supposerons toujours qu'on ne laisse que ces variables dans les formules qui vont suivre.

Cela posé, étant donné un système d'intégrales, nous appellerons caractéristique d'ordre m la suite simplement infinie des éléments associés d'ordre »i le long dune caractéristique. Entre lès variables

X, y,z^,z^, ...,z,„q^,q.^,...,qn\ ,V ' '"' V^

[>) Journal de Crelle, t. LXXXI. p. 261-272.

On pourra consulter aussi un .Mémoire de M. Kœni^sberger : Ueber die Intégration simultaner parlieller Differenlielijleiclninrjssysleme [Matlieinaliscfic Aiinalen. t. XI^I, p. 260-285).

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES on a d'abord les relations

dy := [i.dx, dzi = — fidx -f- qidy,

où u. est l'une des racines de l'équation

Aux formules (47) on peut en ajouter au moins une autre, indépendante du système d'intégrales qui a servi pour la définition. En différentiant m fois de suite par rapport a y la. première des équations (46), il vient

Xdy'") ' ^^Dî/'" "^ ^q^ ;>y'" + ' I ■ ■ I :\rj^^ :\y'n+^ multiplions par dx et remplaçons ^ ^ J dx par

nous trouvons

dy'"J ^ /c^z/"*t LV^^7. '/cV'"^'^ ^^\„V'J

En opéranV de même avec les autres équations (46), on arrive à n équations, entre lesquelles on pourra éliminer les dérivées d'ordre

JH-f-l

Du'" ^^ ' i^v'""*" '

pourvu que a soit racine, de l'équation A uj =: o. dette élimination

330 cnAPiTr X

nous fournit \ine ou plusieurs équations io la forme

oO)

que l'on devra ajouter aux équations (47). Dans le cas général, où [^est racine simple de A (a) = o, cette élimination ne peut se faire que d'une façon, et le nombre des variables qui figurent dans les équations différentielles des caractéristiques dépasse toujours de ti unités le nombre des équations. On montrera encore de la même façon qu'une caractéristique d'ordre m est contenue dans une infinité de caractéristiques d'ordre m -\- 1, dépendant d'une constante arbitraire.

Une fois les caractéristiques d'ordre supérieur définies, l'extension de la méthode de M. Darboux se fait toujours d'après les mêmes principes, et son application ne présente que des difficultés de calcul, du moins lorsque les n systèmes de caractéristiques sont distincts.

219. On voit donc qu'en définitive toutes les méthodes développées dans cet ouvrage reposent sur la considération de certaines multiplicités à une dimension, ou multiplicités caractéristiques, qui jouissent de propriétés particulières relativement à une équation donnée. Pour étendre ces méthodes aux équations à plus de trois variables indépendantes, il semble donc que le premier pas à faire consisterait à étendre d'abord la notion si féconde des caractéristiques. Cotte extension peut se faire de plusieurs façons, suivant la propriété des caractéristiques que l'on regarde comme la plus importante. On peut, par exemple, partir du problème de Caucliy généralisé ; c'est ce (|u'a fait récemment M. Beudon puur les équations du second ordre à un nombre quelconque de variables indépendantes ('). 11 arrive ainsi à définir des multiplicités an — 1 dimensions d'éléments du second ordre, appartenant à une infinité d'intégrides, et qui sont les analogues des multiplicités caractéristiques à une dimension pour une équation à deux variables. Mais ces multiplicités sont définies par des relations quadratiques par rapport aux dérivées, ce qui ne permet pas l'application de la méthode de M. Darboux.

On pourrait partir d'une autre propriété pour essayer cette extension. Étant donnée une équation du second oidrc à deux variables indépendantes

'/, J. Bei;dox, « Sur les caractéristiques des éf[uations aux dérivi'cs parliflles » {Builelin de lu Société malhémaligue, f. XXV, p. 108-120).

soit {S) une surface intégrale ; si on considère sur cette surface une famille de courbes définies par l'équation différentielle

dy = u.dx,

où l'on prend pour u. une fonction convenablement choisie de x^ y, z, p, g, r, s, t, nous avons vu qu'on pouvait ajouter à l'équation précédente une autre relation de la forme

Adr 4- Bds + Cdt + Ddp + ... = o,

différente de dF = o et indépendante de l'intégrale considérée. Tous les raisonnements que nous avons faits sont basés sur l'existence de cette nouvelle équation linéaire en dr, ds, dt, dp, dq, dx, que l'on peut ajouter a dy = ^dx. Étant donnée alors une équation du second ordre, à trois variables, par exemple,

(51) F [x^,x^, x^, Z',pt,p2,p3; p,,, p,2, ...,P33) = o. où on pose

p^ = t; p''=Sx; o-,^-i,2,3),.

et une intégrale de cette équation, considérons, sur cette intégrale, une famille de multiplicités à une dimension définies par deux relations

(52) dx^^dx^^dx^^

Aj Ag A3

OÙ Xp Xj, X3 sont des fonctions de x,, X2, x^, ..., P33. Si, en choisissant convenablement ces fonctions X,, Xo, X3, on pouvait déduire de l'équation proposée une relation linéaire en t/p^,, ..., dp^^, autre que r/F = o, indépendante de l'intégrale considérée, l'analogie serait complète avec une équation du second ordre à deux variables indépendantes, et les méthodes employée^dans ce cas particulier s'étendraient d'elles-mêmes. Mais il est facile de vérifier que la chose n'est pas possible, du moins si la fonction F est quelconque ; de sorte qu'on ne sera conduit par cette voie qu'à des équations à trois variables d'une forme particulière. Natani (') avait déjà indiqué une extension possible de la méthode de Monge à des équations linéaires du second ordre à un nombre quelconque de variables, en se plaçant à un point de vue analogue. Bornons-nous toujours, pour fixer les idées, à une équation à trois variables

(1) Natam. Die hôhere Analysis, p. 388.

Mil CHAPITRE X

iiKJt'pcntlunles:

(53) A,,p,, + A,2P,2 + A,3P,3 f Aj2P22 + AjsP-ja + A33P33 = I^.

où A,,, ..., B sont dos fonctions de a;,, .Tj, 0:3, s-, p,, Pj, Pa", par analogie avec l'équation de Monge

A;- + 2Bs + C^ + D = o,

cherchons si l'équation (53) ne proviendrait pas de l'élimination des

rapports -7-*' -p-^ entre trois équations de la forme :

dx^ dx^ dx^

X, Àj X3

II faut pour cela lidontilier avec l'équation

/ H- ('!'>-3 + cXj) P23 + CX3P33 + A, = o ;

on en tire :

rtX, = A,,, aX2 4" ^^1 = A<2' ^^3 ~l" *^^« ^^ A<3' ^^'2 = ■^221 éX, + cXj = Ayg, CX3 = A33, /l^ = — B.

Supposons (jue A,, nest pas nul; on peut alors prendre X, = 1, et on tire des conditions précédentes :

a = ^^^, b = \^.^ — ^^^A^, c = A,3 — A^/aj, /" = — B, A22 = Xj A, 2 — A,,X;\ A33 = X3 (A^3 — A^^Xg), A23 = A, 2X3 H- A,.;a2 — 2A,^X2X3 ;

pour que l'identification soit possible, il faut donc que les trois dernières relations' soient compatibles en Xj, X3, ce qui exige que les coefficients A/;tde l'équation <53; vérifient une certaine condition('). Plus généralement, en partant de trois équations linéaires quelconques on dx^, t/.-r„ dx^, dp^,dp.2, r/p3,

a,,dp, -\- a^fdp^ -\- a^/Jp^ -j- b^^dx^ + b^fdx.^ + b^^dx3 = o, ^i2^Pi + ^v/^Pi -f- ^32'^/*3 "h ^si'^^s + b^.^dx.^ -\- bj^.^dxj^ = o, a^3<^P^ + 0.ri'h>'i + «ss^/'s + ^u^^'^'i + *23«^^2 + ^3:»c^^3 = O,

{'; Cette condition s'obtient en égalant à zéro le discriminant de la forme quadratique :

Aii.r,- -f- Avj'/- + AojJ-s^ -f A,2j;,j,., -f AisXiXg + A23X-jJ:3.

réliniination de dx^, dx.^, du-^ conduit à une équation du second ordre analogue à l'équation d'Ampère.

A eette catégorie appartiennent, comme il est facile de s'en assurer, les équations qui admettent une intégrale intermédiaire du premier ordre

u^, Mj, W3 étant des fonctions déterminées de x^, x^, x^, z, p,, pj, 2)3, et cp une fonction arbitraire. On pourra consulter sur ce sujet un travail récent de M. G. Vivanti : SuUe equazioni a derivate parziali del second'ordine a Ire variabili independenti [Mathemalische Annalen, t. XLVIII. p. 474-513; 1897).