SUR L'ÉQUATION AUXILIAIRE

Soient

(1) ¥{cc,y, z,p, q,r,s,l) — o

une équation du second ordre, et z^ une intégrale non singulière de cette équation. Il existe, comme on sait, une infinité d'intégrales infiniment voisines de celle-là, et dépendant d'autant do paramètres arbitraires qu'on le veut. Prenons, en particulier, une famille d'intégrales dépendant d'un seul paramètre arbitraire e ; ces intégrales sont représentées par un développement en série de la forme

(i) z = z ^ -{- tz' -\- i^z" 4- ... = <\>[x, y, e),

qui se réduit à z,, pour e =: o. Si on substitue cette expression de z dans l'équation proposée et qu'on développe suivant les puissances croissantes de e, en égalant àOle coefficient de e, on obtient, pour déterminer z\ l'équation linéaire suivante :

(3 V~'^ +v~i^+T~y +T~'' +S~* +Tr^ =0»

ou on a pose

'Ji

"^^ - -ex'

Iz'

SUR l'équation auxiliaire 335

L'équation (3) a été considérée pour la première fois par M. Darboux('), qui lui a donné le nom d'équation auxiliaire de l'équation proposée. Nous nous proposons de montrer comment on peut utiliser cette équation dans l'application de la méthode de M. Darboux.

Prenons d'abord une équation de la forme

et supposons cette équation intég-rablepar la méthode de M. Darboux. Toute intégrale 2^ satisfait à une relation, telle que

ou à une relation analogue, obtenue en remplaçant;),, p^, ..., p„, x par q^, <^2) •••■) 9'ii y respectivement. (Les notations employées sont celles du n" 145.) Dans cette formule f{x, y, z, p^, ..., p„) est une fonction déterminée, et* (a7)une fonction arbitrairedontlaforme varie avec l'intégrale que Ton considère. Une intégrale infiniment voisine de la première doit vérifier une relation de même forme, où & [x] est remplacée par une autre fonction

Si on remplace dans /"l'intégrale z par l'expression (3) et qu'on égale les coefficients de e dans les deux membres, cvn voit que z' doit satisfaire aussi à l'équation

ce qui montre que l'équation auxiliaire

^6) ' =-z' +Tpi' +Tq'^

est intégrable par la méthode de Laplace (n°'110, 168],

Pour reconnaître si l'équation (4) est intégrable par la méthode de M. Darboux, on peut donc procéder comme il suit : on formera les invariants successifs de l'équation linéaire (6), où on considère z comme

(") « Sur les équations aux dérivées partielles » {Comptes Rendus, t. XCVI, p. 766 ; 19 mars 1883-.

Voir aussi la note XI du t. IV des Leçons sur la Théorie rjénérale des Surfaces, p. -JOo.

une foiKtidii dea', y, satisfaisant à rt'tiualion (-4). Grâce àcette équation, on peut exprimer tous ces invariants successifs au moyen de x, y, z, et des dérivées p/ et Çi. Il faudra qu'en allant assez loin dans un sens ou dans l'autre on arrive à un invariant identiquement nul. Ce procédé de récurrence offre l'avantage de permettre d'utiliser les calculs déjà faits pour pousser les essais plus loin.

Comme vérification, reprenons l'équation de Liouville,s = e-, l'équation auxiliaire est ici s' = e'z' ; on a pour les invaViants

^'loo-/j ?'z

et par suite h. = 2 fi —h ^ -T =^ e- — r-^^ = o. Plus générale-

^ ' ùxoy ûxoy °

ment, cherchons à quelles conditions l'invariant h de l'équation auxiliaire sera nul. On a pour expression de cet invariant

;, = ^ ,. — — — -^ i — -^ F 4- — — 4- — • '^p* Ix'dp i>p^z ^p^q c^p Dç """ t)z '

pour que cet invariant soit nul pour toute intégrale de l'équation (4), il faut d'abord que l'on ait ^l = o- c'est-à-dire que F soit de la forme

F = C{x, y, z, q)p -\-D (a;, y, z, q), et la condition h =: o devient

c^D , ^ c^D i)C , r, DC

c'^ ' ôq ox cq

comme on l'a déjà obtenu directement (I, n*" 46).

On démontrera de la même façon que, si une équation du second ordre de forme quelconque est intégrable par la méthode de M.'Darboux, l'équation auxiliaire (3) est intégrable par la méthode de Legendre (n"" 113-115).