SUR LES CARACTÉRISTIQUES DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES
1. Nous établirons d'abord le théorème auxiliaire suivant Soit un système de n équations^
p, = f^ (,r, y, z^, ..., z„ ; pi + ^, ..., p„ ; î,, q^, •••, 5'<).
-> , i3. = A- (^, î/, ^p .-M ■3'"; P. + n •••' P»; 9p 5^2' •••' 9/), ^' ' ^, + 4 =/; + , (a?, y,3',,....2^„;p, + ,, ...,p»; înîa» •••»?/)>
(jr„ = /•„ (a;, y, z,, ..., z„;p, + ,, ..., p„ ; g,, Çj' ••' ^')»
OM fes seconds membres fi, fi, ■■■, f,, sont des fondions holomorphes dans le voisinage d'un certain système de valeurs
ef ow /es déridées partielles
sont nulles simultanément pour ces valeurs initiales. Soient, déplus,
?< (2/)i Ta (y)^ •••> ?/ (y).
t fonctions de y, holomorphes pour y = y^, et telles que
?4 (yo) = (*«)o. Ta (yo) = (^a)o' •••- T' (^0) = (^«^o»
tI (yo) = (v<)o^ Ta (yo) = (?a^o> •••- t'« (yo) = (?/)o.
INTÉORATION DBS ÉQUATIONS. — T. II. 22
et
;j — i fonctions de a;, holoi7wr}ihes pour j' = oc^, et telles que
+/+« (-^'o) = (-1+1 )oi ••■■> 'h' (^o) = (^")oi
Yi + . (-'^o) = (P/+ ) )oi • • • ' •]'/< (>''o) = (P»)o-
Zfts équalions [i] admcUent un système ^intégrales z^^ ..., ^„, Ao/omorphes dans le voisinage du point [x^, j/p), et telles que^ pour x = a'^, z^, c,, ..., zi se réduisent respectivement à <ff {y), cpj {y), ..., tp,- (î/), /anrfw 9«e. poury = yf^,2i+^, ...,z„ se réduisent à ■]/, + , (rc), «j/y + j {x), ..., 'f,, (a;).
Les fonctions & et •}/ étant données, on connaît par là même les valeurs initiales lie toutes les dérivées partielles par rapport à y des i fonctions 2^, -3, ..., i,, ainsi (pie de toutes les dérivées partielles par rappoit à x des n — i fonctions 5-,+ ,, ... z„. Les valeurs initiales de toutes les autres dérivées partielles s'en dédiiiiont ensuite de proche en proche, comme on le voit facilement, par les seules opératit)ns d'addition et de multiplication. Il est donc permis d'employer la méthode des fonctions majorantes po.ir établir la convergence des développements en série entière ainsi obtenus. Kn procédant comme on l'a déjà fait plusieurs fois (n<" 82 et 'HQj, on est ramené à démontrer que le système auxiliaire
Pi+t + ... + p,.\
où M, p et K sonfdes nombres positifs déterminés eta un nombre positif quelconque inférieur à l'unité, admet un système d'intégrales holomorphes dans le domaine du point a; = y = o, et représentées par des développements en série dont tous les coefficients sont réels et positifs. Cherchons, pour cela, à satisfaire à ce système en posant
u=x-^xy,z^=z^=... = î,- = /-'./; -fa?/), z,+, = ...=z„= -fi^ + ccy);
on en lire
;>. =y>2 = ••• =Pi = qi+\ = ■■■ ='?" = 5^'
ry, = q^ = ... = q, = a ^-, p, + , = P„ - - jj^'
SUR LES CARACTÉRISTIQUES DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES 339 et il reste, pour déterminer la fonction /"(u), l'équation unique
iu
qui peut encore s'écrire
en posant :
xir („^ ^) ^ ^! îvi.
Le coefficient B est positif; il en sera de même de A, pouivii cjue Ton
prenne a inférieur à rr^- Quant au développement do M^", il ne renferme
pas de terme constant, et tous les coefficients sont réels cl positifs.
L'écjuation (4) admet une intégrale qui est nulle, ainsi (pie sa première dérivée, pour u = o] on vérifie, de proche en proche, que tous les coefficients du développement de celte intéi>-rale sont des nombres réels et positifs (n" 8:2). D'où résulte l'exactitude du théorème énoncé au début de cette note.
2. Cela posé, considérons un système de n équations du ])nMnier ordre à n inconnues et à deux variables indépendantes :
I F, (.r, 7/, z^, ..., z„; Pt, p^, ••.,:P„; rJ^, q.,, ..., q„) = o, l F„ {x, y, s-,, ..., z„; p^, p.^, ..., p„; 7, ; 7.,. ..., q„) =0.
Nous dirons qu'une racine [x de réquation caractéristique
^F, , W, , ?F, ^ DP, ^ •T— ' ay — :r- ^ ax ... r — ' rf ?/ — r— ' cr^ Dp, ^ dq, dp,, * c>9„
