Appliquons les méihodf^s p4'écédentes à l'équation

(oO) ',\ -^ q^) s -- pqt - o,

qui définil les surfaces, pour lesquelles les sections faites par des plans parallèles au plan dfs ifz sont des lignes de courbure. T^es deux systèmes de caractéristiques sont définis par les équations

dz — pdx — qdy = o. dz — pdx — qdi/ =: o,

d.r = o. pqdx -{-'{ -j- 7- ) c/y = o.

il -f- 7^. dp — pqd'i — o, dq =r o.

On aperçoit immédiatement deux combinaisons intégrahles danschacun de sos systèmes, sans qu'il boit nécessaire de form<^r les systèmes complets correspondants. Os ccmihinaisons sont, pour le pren)ier système

cir = o,

et, pour ie second système

dq = 0. d{if -\- qz) = o:

lequation du second ordre admt^t donc les deux intégrales intermédiaires

(') Ce rôsullat a été obtenu par M. Sophus l.ie et jiar M. Darboux dans les inéoioires qitt-s plus \\mi\.

Ponr appliquer la première méthode, prenons pour variables indépendantes .V et q ; on tire des éqnations précédentes

p = Vl + q^ \'> (.r), y = 4. (q) — zq,

et en le» portant dans l'équation

d^ •=. pdT -\- qdy, il vient

ou

dz = \fl -f- 7' ^^ (a-) rfa- -f- çvf' (7) rfç — qhiz — zqdq,

diz >jrr?) = V^} dx + 4== <iU-

Comme o et •} sont deux fonctions arbitraires, on peut remplacer f {x\ par <^'' {x) et effectuer le changement de variable

en posant <]/ (ç) = •'(''). La formule qui donne z devient

Celte formule, jointe à la relation

oa

représentent l'intégrale générale de l'équation proposée.

Pour ramener l'équation TSO) à la forme canonique s = 0, il suffit do lui appliquer la transformation dAmpère

le premier système de caractéristiques devient

dx' = 0, (1 + y ') dp — jiy'dy = o.

LES ÉQUATIONS I)K MONOE ET d'aMP^IHE 91

f*a nouvelle (équation est donc

(1 -\- y'*^ s' — pV = o.

et il suffit de poser / = \/i -\- i/- u pour avoir léquation

ih^

45. L'équalion .t = o admet les deux intégrales intermédiaires

Soient X, Y, Z, P, Q, cinq fonctions de x, y, z, p, q donnant lieu 4 l'identité

dZ — P</X — Qc/Y = p (rfz — pdx ~ qdy) ;

la transformation de contact

appliquée à l'équation s = 0 conduit donc à une équation qui admet les deux intégrales iitterniédiaires