SI
f^Yi*. J|Vi*. ... ft^^r.
] d'ailleurs, on peut écrire, en intégrant par parties,
et, en appliquant le même procédé aux autres intégrales (31 ), on ramène ainsi les (n -}- 1) intégrales (30) à n intégrales de même forme renfer* mant une fonction arbitraire Y|. En répétant n fois de suite la même
LA MÉTHODE DE LAPLACE
transformation, il est clair qu'on fera disparaître tous les signes d'intégration, et les (n -|- i) intégrales considérées s'exprimeront de la façon annoncée (•).
Il est essentiel de remarquer que, si les fonctions a?|, a*,, a?3, ...,a?«4| ne sont pas linéairement distinctes, la suite de Laplace relative à Téquatiou (25) se terminera avant n opérations. Si on a, par exemple, une relation de la forme
où C,, Cj, ..., Cn sont des constantes, en remplaçant Xn^^ par cette valeur dans Texpression de a, il vient
» = ''^'i (yi + C,y» + j) + ... + œ^ (y. + C„y»+|) ;
on voit qu'on a une expression du même genre que la première, où entrent seulement n fonctions de .v et n fonctions de y. On pourrait obtenir ime réduction analogue si les {n -^i) fonctions y|,y|, ..., y«^| n*ctaient pas linéairement distinctes.
108. Pour donner au moins un exemple de la théorie générale, reprenons Téquation aux dérivées partielles des surfaces minima. On a déjà remarqué qu*on peut ramener cette équation à une équation linéaire de la forme considérée ici par une transformation de contact convenable (I; n® 50). Cette transformation de contact revient, au fond, à prendre les variables introduites par M. Ronnet dans la théorie des surfaces (*)• Lcrivons l'équation d*un plan tangent à une surface
(32) (1 - ap) a? + I (1 + flt?) y + (a + p) ^ + ç = 0,
\ étant une fonction des variables a, p ; d'après la formule qui donne les rayons de courbure principaux, la somme de ces rayons de courbure sera nulle, pourvu que la fonction l vérifîe l'équation
Pour appliquer à cette équation la méthode de Laplace, écrivons-la,
(1) Pour plus de détails sur les équations linéaires dont la suite de Laplace est terminée dons les deux sens, ainsi que pour l*bistorique, Je renverrai le lecteur 4 Touvrage de M. Darboux. Je dois cependant rappeler que le problème a d*abord été résolu par M. Moutard, dans un Mémoire inédit présenté, en 1870, 4 TAcadémie des Sciences.
(^) Darboux, Théorie générale dtê $urface$^ t I, p. 211.
en divisant par (« — p),
et posons
l'équation devient
?pT^(.-p)'
L'élimination de ; conduit à une équation en l, ■
^ac^p a p + (a — p)i = ^^
OU
dont Tintégration so ramène à celle des deux équations^ du premier ordre
= ti.
De la première on tire
ti = (x-p)4,{p),
«I» (P) étant une fonction arbitraire de p, et Ton a ensuite
ii =
f (s) étant une fonction arbitraire de «.
En remplaçant <|> (p) par <|*" (p), on peut cHcctuer la quadrature, et il Tient
LA MÉTHODE DE LAPLACE
on a ensuite
= {»- P) j I' (?)-?'(«) I + 2? («) + s-HP);
on en déduira aisément les expressions de x\ y y z en fonction de a et de p, (âr, y y z) étant les coordonnées du point où le plan variable (32) louche son enveloppe.
11 était évident a priori, d'après la symétrie de l'équation (33) en (x, p) que, si la suite de Lsiplace se terminait d'un côté, elle devait se terminer aussi dans l'autre sens, après le môme nombre d'opérations.
109 • Ëtan t donnée une équation 1 i néaire de la forme considérée, on peut, en parlant des invariants A et k de celte équation et en appliquant les formules de récurrence établies plus haut, calculer.de proche en proche les invariants des équations successives que Ton obtient par Tapplicalion répétée de la méthode de Laplace. Mais les expressions de ces invariants en fonction de h et de k deviennent très rapidement compliquées, de sorte <pi'il parait très difficile de reconnaître a priori^ sur une équation déterminée, si l'application de la méthode de Laplace conduira à une é^iuation intégrable. Dans un grand nombre de problèmes do la théorie des surfaces, lapplication de la proposition suivante permet d'affirmer d'avance que certaines équations linéaires sont intégrablos par l'application de cette méthode.
Si j entre n'\-' i intétjrales linéairement distinctes de F équation
+ flr~ + 6»T-+cj'==o,
il existe une relation linéaire et hotnof/ène dovt les coefficients sont des fonctions d'une seule des variables x^ y, la suite de Laplace relative à cette équation se tennine dtvis un sens après n — 1 transfonnations au
Nous disons que h -f* ^ intégrales sont linéairement distinctes^ 8*il nVxiste entre ^cs intégrales aucune relation linéaire et homogène à coefficients constants, où quelques-uns des coefficients sont différents de
. (>) Voir mon Mémoire Sur les équations linéaires et la méthode de Laplace {Ame^ rican Journat of Mathtmaticê^ vol. XVIIi). M. Darboux avait déjà traité quelques CAS particuliers et posé la question générale dans le tome 1 Y de la Ttkéorie générale des Surfaces*
zéro. Lorsqu*il exisle entre n -|- 1 inlégralcs linéairement distinctes une relation linéaire et homogène dont les coefficients ne dt*pondent que d'une seule des variables, de y, par exemple, on peut 5:iipposer cette relation résolue par rapport à Tune des intégrales et Técrire
^if ^r •••« ^«-hi étant les n -|- I intégrales dont il s*agit, et ?4 (y)i ?i (y)t -«M ?" (y) ^^^ fonctions de y, que Ton peut aussi, sans diminuer la généralité, supposer linéairement indépendantes. S'il existait, en eiïet, une relation telle que
où C|, C,, ..., Cji sont des constantes, Téqualion (34) pourrait s*écrire: '* + ! — C«5r. = 9, (y) {z^ + C^J^) + ... + <p«-, (y) {s^.^ + C,«,t,) et Ton aurait une relation de même forme entre n intégrales seulement
On peut aussi supposer qu*il n*existe, entre les intégrales ^if ^11 •••! ^Ji * i« qu'une seule relation de la forme ;3I ; car, 8*ii en existait deux, Vélimination de jr^ ^ | conduirait à une relation de même forme entre n intégrales seulement.
Cela poséyVérifions d'aboi*d (|ue la loi est vraie pouni = 1 et pour n = 2.
Si n = I, la relation (3i) s*écrit
^t = Ti (y) 'i ;
en posant, dans Téquation proposée, z = T|ti, on est conduit k une équation en u qui doit admettre les deux intégrales u^ = 1, u, = f ^ (y),
ce qui exige que le coefficient de u et le coefficient de ^ soient nuls. Un
des invariants est donc nul pour cette équation en u et, par sutt6| pour r^uaiion en jr.
Si n = 2| la relation (34) est de la forme
ft = ?4(y)^i+?t(y)^t5
Cette relation exprime que s^^ jt^, t^ sont trois intégrales ptrticu-
LA MÉTIIODK DE LuVPLACE
lièrcs d'une équation du second ordre de la forme
où X et a sont des fonctions de x et de y, et nous avons à rechercher les conditions pour que Téquation (35) et Téquatlon proposée
admettent Irois intégrales communes linéairement distinctes. En différentiant Téquation (35) par rapport à y, on trouve :
iȣ , ^ ^ ' ^Jl
iV»iV "*" ^ c>a?Dy "^ ^ 5y + ;)y 5a? "^ 5^ ^ "" ^ • en différentiant de même Téquation (36) par rapport à a?, il vient
" îa?% + ^ t>j?» "*" c^rDy "+" î^o? V "^ 5a?y + 2»a? 5y + ba? * ~" ^V En égalant les deux valeurs de ^ ^^ et en remplaçant ensuite ^ par
nouvelle équation
a une
+ J5j + «î*-^^ + *<^-âh =
qui doit être vérifiée par toute intégrale commune aux deux équations (35) et (36). Si le coefficient de ^ n'est pas nul, on en déduira, A el B
étant des fonctions de x el de y,
cette équation et celles qu*on en tire par des différentiations succès*^ stves permettent d'exprimer toutes les dérivées wT^ *^ moyen de s.
r-f •••! ;5-;;« ••• D*autre part, Téquation (35) et celles qu*on en déduit
en diiïérentiant par rapport à x donnent toutes les dérivées r-3; au
moyen de. a?, y, r, —• Il suit de là que, pour une intégrale commune
aux équations (35) et (36), on connaSt les valeurs de toutes les dérivées
en un point {x^^ y^), dès qu'on connaît les valeurs de c et de ^ en ce
point. L'intégrale générale de ce système ne dépond donc que de deux constantes arbitraires au plus; et, comme les équations sont linéaires, elles ne peuvent admettre plus do deux intégrales communes linéairement distinctes.
Si le coefficient de v~ est nul, sans que celui de ^ soit nul, Téquation
(37) est de la forme
iz .
rinlégrale générale de cette é4|uatton est do la forme js ss ^'Y, Y étant une fonction arbitraire de y, et z' une fonction déterminée de x et de y. Il y aurait donc entre les trois intégrales jr,, z^^ x,, deux relations telles que
et nous retombons sur le cas qui vient dV*lre examiné.
Il faut donc que Téquation (37) se. réduise à une identité, ou que Ton ait
rélimination de X et }& entre ces trois équations conduit à une équation de condition entre a, ft, c.
Pour faire cette élimination, considérons Tinvariant k de Téquation linéaire
on a
?i=riî^4.a — + » — — —•
lOBSBI
LA MÉTHODE DE LAPLACE 25
Des équations (38) on tire
vxoi/ Oy 01/ oy ' oy
ox
D'autre part^ on a aussi
Oy 00? ' cy oy
<^l, par suite,
If
, i)'ft ^a ^b ^c , , .. i'
et, en remplaçant t-^t"» ;:"» c~» t" par leurs valeurs, il reste, toutes '^ cœoy ex. Ox vx '^
réductions faites
if
Or, celle relation exprime précisément que rînvariant^^i de Tcqua- l
tton (C . i), obtenue par la transformation '
est nul. La suite de Laplace se lermine donc d*un cùlé après une seule f
opération.
110. Passons maintenant au cas général et supposons, comme on peut le faire, qu'entre les (h-[- t) intégrales ^i, i'j, ..., ^« + o il existe une relation et une seule de la forme (^3i). Dans ces conditions, les n -{- t intégrales 5',, x„ .,•, z« + I vérifient une même équation linéaire d'ordre n
où les coefficients A|, ...,A«.|, A« sont des fonctions de j? et de y, et ne vérifient aucune équation de même forme et d ordre inférieur à.n. En diflërentiant Téquation proposée (30) par rapport à co^ plusieurs
fois de suilCi on peut exprimer ^-^i r-jr-» •••»r-j^ en fonction do ^« y» -1 V*' T"* "''5SÎ* ^^ iwéme, en dilTérentiant Téquatîon (39) par
rapport à y, il vient
^— ÎJ.A — ^!£J- L^ 2^0?% "*" • c>a;— «;)j/ "^ ••• + 3y ^ — <> ^
si Ton remplace ensuite dans celle relation r — r— » •••» r— r- et enSn r-^ par leurs valeurs, il rcsle une équation de la forme
Co s^r:7 + c, jpriî + ... + c,»,^ 4. d ^^ = o,
j qui est vérilice par toute intégrale commune aux équations (36) et (39).
Si D n*cst pas nul, cette équation (40) et celles qu*on en déduit par des diiïércntialions successives permettront d*exprimcr toutes les dérivées partielles de z au moyen do z et de ses dérivées prises par rapport à la variable x seulement. L*équation (39) et celles qu*on en déduit au
I moyen de difTérentiations successives par rapport à x donnent
d'ailleurs toutes les dérivées par rapport k x en fonction des (n — 1) premières. Il suit de là que, si z est une intégrale commune aux équations (36) et (39), toutes les dérivées partielles de cette fonction en un point [x^^ y^ sont connues, dès qu'on connaît en ce point les
valeurs de z^ ^» "m ^ ^ LHnlégrale générale du système formé par
les é(|uations (36) et (39) dépend donc de n constantes arbitraires au plus, et, comme ces équations sont linéaires, elles ne peuvent admettre n -|- 1 intégrales linéairement distinctes.
Il faut donc que Ton ait D = o, et alors Téquation (40) doit se réduire à une identité; s'il en était aulrement, les intégrales z,, jr,, ..., z^^. | vérifieraient une équation linéaire de môme forme que Téquation (39) et d*ordre inférieur à n ; ce qui est contraire àThypothèse.
Si la relation (40) est vérifiée identiquement, comme cette relation a été obtenue en combinant linéairement Téquation (36) et ses n — 1 premières dérivées par rapport à x, l'équation (39) et sa dérivée par rapport à y, on a une identité de la forme
en posant, pour abréger,
LA MÉTHODE DE LAPLACE . 27
la nouvelle inconnue u doit satisfaire à Téciuation
et Ton a identiquement
da i»
a,, «2, ...| «A. I, ^i, ps désignant des fonctions de a? et de y, dont nous il
n*écrirons pas Texpression, qui nous sera inutile. On dit alors que les • : h
équations (36) et (39) forment un *y«/c»»îtf €?« ï'/ipo/w/ion. . '.
Cela, posé, nous allons montrer que, si une équaiion linéaire (36) \\
forme un système en involiiiion avec une équation linéaire (Tordre n * telle que téqualion (39), une des équations obtenues par tapplication de la transformation de Laplace forme un système en incolution avec ure équation linéaire d'ordre n — 1.
Si on remplacez par z'e"!^'^ l'équation proposée (36) se change en . \
"bx' il
une équation de mémo forme, ne renfermant pas de terme en ^ — .Pour i|
ne pas multiplier les notations, nous supposerons qu'ion a eiïectué d'abord cette transformation de telle façon qu'on ait
Dans l'identité (il), le coefficient de , ,^ est S, 4- i ; on doit donc ;
avoir pj = — i ; il n'y a qu'un terme en ^ provenant de — r^? dont jj
le coefficient est — A«. U faut, par conséquent, qu'on ait A« = o, >
et F {z) ne renferme pas de terme en x
Appliquons maintenant a l'équation ^ (^) = o la transformation de ^
Laplace |
bx S
L*équation F (j-) = o devient de même
^« (") = S^TTi + A| jpirri + ••• + A,-,ti = 0.
En dilTérentianl Téqualion (42) plusieurs fois de suite par rapport
.., . f/*(-) im{z\ (/*-«» (^) . .
a jp, on en déduira /^ > ""TTt ' *"' — ■ ^^| exprimées au moyen
de * (r), *, (tt), ^^^^^» •••> '^"^L^'^^ i rîdentitë (41) devient, après la substitution,
Si Ton y remplace u par ^i le seul terme en s est yc\ il faudra donc que Ton ait y = Oy c'est-à-dire que les deux équations
forment aussi un système en involution. Le raisonnement suppose toutefois que c irest pas nul, c'est-à-dire que rinvariant k de Téquation proposée n'est pas nul. Mais, dans ce cas, la suite de Laplace s'arrêta* rait à l'équation elle-même.
En répétant la même transformation sur la nouvelle équation ^i(ti) = o ou (E . |1, et ainsi de suite, ou bien on arrivera à une équation (E .y), Tindice^ étant inférieur à n — I, pour laquelleTinvariant A.y sera nul, ou bien on arrivera à une équation (E| .«) formant un système en involution avec une équation du premier ordre. L*invariant A|.« sera évidemment mil, car cette équation pourra s'écrire
U étant le premier membre d'une équation linéaire du premier ordre. Dans les deux cas, la suite de Laplace est limitée du côté des indices négatifs, après n — 1 transformations au plus. . .
m, La réciproque de la proposition générale, qui vient d*étre établie, esta peu près évidente. Si la suite de Laplace, relative àréquatioa(E), 80 termine à réquation(E| . «), elle admet pour intégrale une expression
LA MÉTHODE DE LAPLACE
de la forme
