X = BY + B, V + ... + B..,V
B, B|, ..., Ba . I étant des fonctions déterminées de x et de y, et Y une fonction arbitraire de y. Remplaçons Y successivement par (it-f- l)fonc* lions Y|, Y|, ..., Yiv+ i, choisies de telle façon que les intégrales corres* pondantes z^^z^^.,.^z^^^ soient linéairement distinctes. Entre les (n -|- 1 ) équations qui donnent ^|, jr,, ... ^« ^ |, on peut éliminer B^ B|, ... B «. |, de sorte que ces n -\'\ intégrales particulières vériGent la relation
z^ I, I3 ... Ij
dont tous les coefficients ne dépendent que de la variable y.
Si la suite de Laplaco relative à Téquation (E) se termine a une é(|uation (E . |i), où ;& < n — i, elle admet une intégrale de la forme
^ = BY + B,Y' + ... Bp,Yn
B, B|, ..., B|i étant des fonctions déterminées de x et de y, et Y une fonction arbitraire de y. Soient, en outre, r|, r^, ..., ^«-|&-i dea^ intégrales de Téquation (E) qui ne rentrent pas dans la forme pré-» cédente. L'expression
z = C,r, + ... + C..^-, r.-p,., + BY + B,V + ... B,,YW
est aussi une intégrale, quelles que soient les valeurs des constante» C|, ..., Cj,.|L~|. Si Ton attribue à la fonction Y* successivement (n -|-1) formes différentes et que Ton prenne en niùme temps pour les cons* tantes C|, ..., C«.|il-|9 0> -|- i) systèmes de valeurs difTérentes, on obtient {n •\' l) intégrales z^^ x^i "m -''«•^it entre lesquelles existe une relation linéaire de la forme
1, Cj
••• ^«-tt-4 *| *l ••• *l
^• + •^4 ••• ^«-fl-l ■•"! I *•+!••• yS^ 4
donl les cocflicients ne dépendent que de y. Il est clair qu'on peut toujours choisir les constantes Cî et les fonctions Y,, Y,, ..., Y« + „ de telle façon que les (n + 1) intégrales z^, t„ ..., x.+ , soient linéairement distinctes et que les coefTicients de la relation précédente soient différents de sAro.
112. Pour donner une application du théorème qui précède, reprenons le problème de la détermination des surfaces à lignes de courbure planes dans un système et supposons qu'on se donne sur la sphère de rayon 1 une famille de cercles, qui sont les images sphériques des lignes de courbure planes de la surface cherchée (I, p. 136-145). Si Ton écrit Téquation du plan tangent à une surface sous U forme (*)
(*+»* + • (P-«)y.Kap-l)^ + î = o, l'équation diiïércnticlle des lignes de courbure est
et les cosinus directeurs de la normale à la surface ont pour valeurs (44) c= P-*-«, y-,- P — «, -> «g — t
I La détermination des surfaces admettant une représentation sphérique
donnée pour leurs lignes de courbure se ramène donc à Tintégration d*une équation de la forme
on a déjà remarqué que, si Ton prend deux nouvelles variables p, p|, telles que les courbes p =: C^, p, '= O* représentent respectivement les deux familles de courbes sphériques orthogonales qui sont les images sphériques des lignes de courbure (I, p. 141), Téquation (4S) prend la forme
(1) Damoox, îhé&rU deê Surfactê^ 1. 1, p. IM.
LA MÉTHODE. BS LAPIAGR 31
a cl 6 étaDtdes fonctions de p et de p,. Cela posé, si le3 courbes c = C* sont des cercles, il existe deux combinaisons intégrables pour les équations diiTcrentielles de ce système de caracléristi(iues (I,{p.|li4 145) ; Tune d'elles est r/p = o, et par suite Téqualion (46) admet une intégrale inlermédiaire de la forme
«5j + Pî=?(p)- .
. Il en résulte que l'invariant A = ^ — [- ab relatif à Téquation (46) doit
être nul, et la suite de Laplace relative à celte équation est limitée d'une part à Téquation elle-même.
D'autre part, lorsque p reste constant, le point de coordonnées (c, c', c") décrit un petit cercle, et par consé({uent on a une relation de la forme
c?i (?) + ^'tj (p) +• <^yt (p) + ?4 (p) = o,
?i (f)» ?a (p)? ?3 (p)i ?4 (?) ^^ dépendant que de p ; en remplaçante, c', cT par leurs valeurs (44), on obtient une relation de môme forme
(47) «p-f, (p) + «.t, (p) + PI, (p) + 4,, (p) = o.
Or, quelle que soit la fonction X (a, p), l'équation (45) admet les quatre intégrales «p, a, p, 1 ; il en est évidemment de même de l'équation (46)« Par conséquent, d'après le théorème général qui vient d'être démontré, la suite de Laplace relative a cette équation doit se terminer, après deux transformations au plus, à une équation d'indice positif. En réunissant ces résultats, on voit que l'intégrale générale de l'équation (46), dont dépend le problème, a pour expression
5 = A+ (p,) + Bf (p) + B.f (p) + B,ï' (p),
A, B, B|, B3 étant des fonctions déterminées de p el de p|, f (p) une fonction arbitraire de p, ^ (pi) une fonction arbitraire de p|. 113. route équation linéaire de la forme
(«) Ar + 2B«*+C/ + Dp + Eg + F^ + G = o, où A, B, C, D, E9 F, G sont des fonctions quelconques de a et de y,
pcul être ramenée à la forme
+ « AT. + * ÏI + «' + M = o.
.îu^o
ht
pourvu que B* — AC ne soil pas nul (I, n* 51). Il sufTil de prendre pour nouvelles variables u et v, deux fonelions de x, y, satisfaisant respectivement aux deux relations
V" + ^1 T" = Ot T" + ^« >" = ®«
vw ' * cy ojj * ' i>y
X| et X^ désignant les deux racines de Téqualiou
AX« — 2BX-|-C = o.
Legendre a montré (*) qu^on peut appliquer directement à loquation (48) une méthode analogue à celle de Laplace, sans t^tre obligé de faire la transformation qui précède. M. Imschenetsky a présenté le procédé de Legendre sous une forme très simple.
L*un au moins des cocriicients A, C étant dilTérenl de zéro, supiiosons, par exemple, que A ne soit pas nul. On peut alors diviser par A et écrire Téquation
(50) r + (X, + X,) M + X,X,/ + D|j + Ej +.F^ + O = o,
D, E, F) G n*ayant plus la mémo signification. Posons alors
xw
do?
iy
«Vo
d'où on tire inversement
3jp X« — Xi
On aura aussi
XW)] = g + (X, + >.) ^ + ^.X. 5^ + g X(X.),
Ytx(r)] = ^ +(>. + >.) ^ + M» V + 1 "^^^
(1) Wêtùirû d0 r Académie des Seiencee; 1787. — > Mémoire eur rinié$raîiûm de ^ueiqueê équ^tione aux di/féreneee pariiellee^ | IV, p. 319 à 3i3.
LA MÉTHODE DE LAPLACE
de sorte que p,qetr-\- (ï, + X,) * + X,X,f peuvent s'exprimer linéairement au moyen de
et Téquation proposée peut être mise sous la forme
X [Y(x)] + aX {z) + b \{z) 4- c^ + M = o.
a, b, c, M étant des fonctions de x et de y. On peut encore écrire cette équation
X I y{x)+a:: \+b\ Y(») + a.- \+z \ e-ab-\{a) | + M = o; si le coeflicient de z est nul, . ^
l'inlégralion de celte équation revient à l'intégration de deux équations du premier ordre successivement,
X (»0 + ftt« -f M = o.
et l'équation (52) possède une intégrale intermédiaire dépendant d'une fonction arbitraire.
On obtient un nouveau cas d'inlégrabililé en inlervertissant l'ordre des opérations X et Y ; des relations (51) on déduit
en posant
Y[X(/ÎJ = |X(X,)-Y(X,)j| = !* fi' (/-)- X (/•)],
X(X.)-YfX.l
et l'équation (52) peut encore s'écrire
(53) Y[X(z)l + (a-^)X(») + (i + p,)Y(*) + c# + M=ro,
oa :>
irtCcîkatiox du Cqvatioxi.
BB
HMHH
MMâMi
■ « hMwj li< a 1 1J w «««^^
Si la quantité
k = \{b + ^) + {a - yt) (& +PL) -c
est nulle, Tintégration de Téquation proposée se ramène a Kintégration de deux équations du premier ordre successivement,
Les quantités que nous avons désignées par Jk et A
,A=:Y(» + ,.) + («-ri(* + ri-c
jouent donc le même rdle que les invariants qui sont désignés par les mêmes lettres dans la théorie de Téqualion réduite
M^ap'{' bq -^-ez =zo.
114. Si h n*est pas nul, on est conduit à une équation de même forme que la première en prenant pour nouvelle inconnue
réquation proposée peut, en effet, s^écrire
X (z^) + ftx, -f- M — Ajt =: o, et rélimination de s conduit à une équation du second ordre en z^^
OÙ Ton a :
l «, = « + n — Y (log *), *, = >-- ^,
I c, = c- X (a) + Y (*) - 6Y Oog A), l M, = Y (M) + M [a -. Y (log A)].
Les valeurs des quantités analogues à A et A pour la nouvelle équation sont respectivement ^
liiA\ ) A|=î*-*-X[Y(logA)]+XW+Y(«) + KY(logA)-V et ne dépendent, par conséquent, que de A, A, (a.
ài«*>iirt.llli*ii urgiiiii" ■ rni
LA MÉTHODE DE LAPLACË 3S
De même, si k n'est pas nul, en appliquant à Téquation proposée la transformation
on est conduit à une équation du second ordre pour déterminer jr.i, (37)X[Y(T,)J + a,X(T,) + 6,Y(j-,)+c,x,+M,=o,
avec les valeurs siiivanlcs de a.,, 6„ e-^, M-|,
I a-, =« — (», 6, = 6 4-j(i — X(logA), c, = c + X («- i»)- Y (6 + H^) - (a - ,t) X {log A), M-, = X (M) + |6 + jt .— X (log A)| M.
On a pour la nouvelle équation :
^^*) \k.\ =2i^A-Y[X(logA)]+^X(logA)+X(sx)+Y(!*)-V.
Si à chacune des équations (54), (57), on applique la même méthode, oh forme une suite linéaire d'équations
et, pour obtenir Tintégrale générale, il faudrait intégrer successivement les deux équations du premier ordre
XH-HM + Ml =^ 4- X, |^ + M + N!i = o,
les quantités A/ et A/, relatives à Téquation (E/j, se calculeront de proche en proche par Temploi répété des formules (36) ou (59), suivant que rindice t est positif ou négatif. ^ :
On peut donc reconnaître directement, sans avoir à effectuer aucune *;
intégration ni aucun changement de variables, si, au bout de n trans* .[
formations de ce genre, on sera conduit à une équation intégrabte, ;
Supposons, par exemple, qu'au bout de t transformations, on arrive à ,j une équation (E/) d'indice positif, pour laquelle A/ est nul. Cette équa* ^ ['
lion peut s'écrire : . ^ j
L*intégralion de ces équalions aux dérivées parliclles du premier ordre se ramène, à son tour, à Tintégration des deux systèmes d'équations différentielles
dx ^dy ^ —dsi ,
on est donc toujours obligé d'intégrer les deux équations différentielles du premier ordre
djf — \€fx = 0, dy — Xjcto = o,
c'est-à-dire de déterminer les caractéristiques de Téquation linéaire (48) qu*il s*agit d'intégrer. Le seul avantage du procédé de Legendre, c'est qn*il permet d'appliquer la transformation de Laplace avant d'avoir effectué la détermination des caractéristiques.
115. Les formules de récurrence établies plus haut pour calculer A/, k^^ de proche en proche, sont d'une forme plus compliquée que dans le cas
d'une équation ramenée à la formé réduite, où ne figure que y~>"
parmi les dérivées du second ordre. Ceci tient à la présence dans ces formules du facteur ^, ou encore à cette circonstance que les deux opérations X (/) et Y (/*) ne sont pas, en général, permutables. Mais il est facile de voir que cette différence est plus apparente que réelle et qu*on peut remplacer, sans rien changer à l'exposition précédente, X (/) et Y (/) par deux opérations permutables. Posons, en effet :
X,(/^ = .X(r), Y, (r) = pY (T),
« et p étant deux fonctions quelconques de x et de y; on aura
X, [Y, (/)] = .X (W Y (A) + «pX (Y (/)% Y,.[X, (/)] = pY («) X (/) + apY [X (/-)].
et, par suite,
.X.[Y, (/)]- Y, [X, (/)] = »X (p) Y (/)-pY (.) X (^-«p:» I X (r)-Y(/)|
puisque Ton a, par hypothèse,
X[Y(r)l-Y[X(/)] = KlY(^)-X(r){.-
LA MÉTHODE DE LAPLACE
Pour que les deux opérations X| {f) et Y, (/] soient permutables, c'est-à-dire pour que Ton ait identiquement
X, [Y, ir)] = Y, [X, (/)],
il suffira de prendre pour a et ^ deux fonctions satisfaisant respectivement aux deux relations
X (log P) = — 1*1 Y (log fli) == — (1 ;
les fonctions a et p étant ainsi déterminées, Téquation du second ordre proposée peut 8*écrire aussi
X, [Y, {z)] + aX, (z) + éY, (0 + ox 4- M = o,
a, bj c, M n'ayant plus la même signification que plus haut, et Ton peut répéter sur cette équation tous les raisonnements qui ont été faits sur Féquation
+ ar--|-6r--f-CJr-f.M=0,
en rem
plaçant partout r£ par X| (/*) et ^ par Y| {f) (•).
116. Tous les raisonnements qui ontété faits jusqu'icis*appliquentaussi bien aux valeurs imaginaires des variables qu'aux valeurs réelles* Lorsque les coefficients de Téquation (48) sont des fonctions réelles de X et de y, et qu'on ne veut employer que des transformations réelles, il y a lieu de distinguer trois cas*
1*. — Si B' — AC est positif, les caractéristiques de Téquation pro» posée sont réelles, et on dit qu'elle appartient au type hyperboUque.On peut, par une substiluiion réeUe^ ramener cette équation à la forme
on peut ensuite, en remplaçante par Xjt -f m a et ji étant des fonctions convenablement choisies de x et de y, faire disparaître le terme indé-
(1) Au lujet dei inirarianti de réquaUon linéaire de forme générale, on pourra coniulter deux notei récenlei, de M« Cotton {Compitê llttiduê de tAcadémie dee Sciencfa; 30 novembre 1S96) et de M. Burgattl [Rendiconii délia A. Aeeademim dei Uneei; 20 décembre 1896), ainsi que le travail Inséré par ce dernier, en ItOS, an tome SI des AnnaU di Siatematica^ S* série.
" ii i m ^' . ji^->j l ' i- J
