II
1^ «an ».
CUAPITRB Y
pendant M el un des coefficients, et prendre pour forme réduite une des trois formes
+ ^yZ + ^^ = ^^
Mais on ne peut pas, en général, faire disparaître plus d*uu des coeflicients <i, ft|C.
2*. — Si B' — AC est négatif, les caractéristif|ucs sont imaginaires, et Féquation appartient au type eliiptiquê. On ne peut plus la ramener à la forme précédente par une substitution réelle, mais on peut prendre pour forme canonique
les nouvelles variables u et v étant des fonctions réelles de x et de y» En effet, si ces fonctions u et v satisfont aux relations
on vérifie aisément ([, n* 51 ; p. 103) «pie la nouvelle écpuition aura la forme voulue, pourvu (pron ait
A* + B = o, A»p» = AC — B>;
comme AC — B' est positif, « et p sont réels, et on peut, par conséquent, prendre i>our h et r des fonctions réelles de x et de y. Une transformation telle que x = Xx' -}* {x permettra ensuite de faire disparaître M et un des coefficients a, 6, c.
3*. — Enfin, lorsque B* — AC = o, il n^y a plus qu*un système do caractéristiquesi qui est nécessairement réel, et Féquation appartient au type parabolique. Si Ton choisit un nouveau système de variables u et o, telles que les caractéristiques soient les courbes v = C**, Téqua* tion prendra la forme
^^ I ^* I IL ^-^ I I mi
LA MÉTHODE DE LAPLACE
en changeant ^ en Xz -\- {x, on peut ensuite faire disparaître le terme indépendant M et le coefficient de jr, et il reste une équation
hi
dp
Mais on peut iei pousser plus loin la siinplifîcation, comme on Ta déjà remarqué (I, note de la page 1S2). En elTel, prenons pour variables indépendantes o et une intégrale u, de l'équation elle-même; l'équation ne change pas de forme, et, comme elle doit admettre la solution
X = u,, le coefficient de c — doit être nul. On peut donc adopter comme
forme réduite d*ane équation linéaire du type parabolique Téquation
on voit de plus que celte forme réduite n'est pas unique, mais peut être obtenue d'une infinité de façons.
REMAngcE. — Soit
une équation du type elliptique ; les deux expressions
sont deux invariants relativement à la transformation z = Xz. Si H et
K sont nuls, on peut ramener Féquation proposée à Téquation de
^z 2^z Laplace r-;; 4-^ = 0. Si H est nul et K différent de zéro, on peut
^z V^x ramener Féquation à la forme* r-j -}- y^ -|~ <^^ = <^ î si K ^^ J***'» Téqua-
tion peut s^écrire
a et B étant des fonctioiis de a; et de y (*)* (1) BuROATn, /oc. cU. AnnaU di Maiemaiicûf t. Î3, S* térid.
Généralités sur les équations simultanées dont Tintégrale générale dépend d* un nombre fini de constantes arbitraires. — Intégrales communes à une équation du premier ordre et & une équation du second ordre. — Intégrales communes aux deux équations r-fr=o, t + ? = o. — Systèmes en in- Tolution. — Multiplicités caractéristiques. — Systèmes linéaires. — Exemples divers. — Étude du système formé par deux équations du second ordre de forme quelconque. — Recherche des întégniles communes à une équation du second ordre et à une équation d'ordre n. — Extension des résultats précédents. — La méthode de M. Sophus Lie. — Remarque de M. de Tannenberg. — Théorèmes de M. i. Kônîg sur les systèmes complètement intégrables.
117. Depuis les travaux classiques de Cauchy, de M. Darboux et de M^ de Kowalewski sur les équations aux dérivées partielles, les systèmes d^équations simultanées, entre plusieurs fonctions inconnues et plusieurs variables indépendantes, ont été Tobjet d^un certain nombre de recherches. Nous signalerons, parmi les Mémoires les plus importants, ceux de M. Julius Kônig (*), de M. Hamburger ('), de M. Sophus Lic('), de MM. Méray etRiquier(^),de M. Riquier seulO^de M. Bourlet (•), de M. Beudon(7), de M. E. von Weber (•), de M. Tresse(^), de M. Delassus (**), etc. En particulier, le Mémoire de M. Riquier,
(1) Ueber die Intégration, etc. (Mathemaiiêehe Annahn^ t XXIII).
(S) CrtUe, t. LXXX1, XCI11, CX.
(') Zar allgemeinen Théorie dér partiellen DilTcrentialgleichungen bélieblger OfànvokgiBtrichteder Kà'nigl Sache GeselUchafl der Wi$9enêchafien zu Leipzig; ISI5)
(«) AntMLUê de tEcùU normale; iSSS.
(») Annales de tScole normale; 1893. Mémoiree dee SavanU étrangère ; t XXXIIL.
(•) Thèse de Doctorat (Paris, tSSi).
n Thèse de Doctorat (Paris, fSM).
(•) Ueber gewiste Système Pfaffscher Glelchungen iSUznngeherkkie der à» teytr Ahad. der Wieeemehafien. MOnchen; IISS).
(•) Thèse de Doctorat (Paris, 1893).
(>•) Annalee de rScole semuifo (1896, 1891).
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publié dans le tome XXXIII des Mémoires des Sacanls étrangers^ et les travaux de M. Delassus contiennent des résultats tout à fait généraux. Comme notre but n'est pas d'écrire une théorie générale des équations aux dérivées partielles simultanées, nous n'emprunterons que peu de chose aux travaux précédents, et les résultats dont il sera fait usage seront établis directement.
Un système d'équations aux dérivées partielles, entre m fonctions jTi, jTj, ..., jtm et n variables indépendantes a?|, â^^, ...'Xt^^ est dit ùUi^ yrahle^ s'il existe au moins un système de fonctions
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