Parmi les systèmes d'équations aux dérivées partielles

à n variables indépendantes et i m fonctions inconnues Tg, jr^, •••, t«i, ily a lieu de dis tinter tout d'abord ceux qui sont tels qu^en poussant asset loin la différentiation des équations (1) on puisse exprimer toutes les dérivées d'un certain ordre des fonctions inconnues au moyen des

telles qu'en remplaçant s^^ z^^ ..., s^ par ces fonctions dans les pre* miers membres des équations proposées les résultats soient identiquement nuls. Soit p l'ordre des dérivées de l'ordre le moins élevé qui figurent dans ces équations ; si toute équation, d'ordre égal ou inférieur à p, qui admet toutes les intégrales du système, est une conséquence algébrique de ces équations, on dît que le système est complè" tentent intégrable {unheschrânht integrabet).

11 peut arriver qu'un système de m équations, renfermant moins de m inconnues, admette des intégrales dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. M. Sophus IJe a proposé d^appeler systèmes de Barboux les systèmes qui possèdent cetle propriété. 11 y aurait encore lieu de les distinguer en plusieurs classes, la classe la plus importante étant formée par les système!! de Darboux, dont Tintégrale générale possède le plus haut degré de généralité possible, ou systèmes en inoo» hition. Nous donnerons un peu plus loin une définition plus précise des systèmes en involution, pour le cas qui nous occupe. Par intégrale générale d'un pareil système, nous entendons toujours l'ensemble des |

i ntégrales dont Texistence est démontrée par les théorèmes généraux 1

qui vont suivre. « >

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CilAPITRB VI

variables, des fonctions inconnues elles-mêmes et des dérivées d'ordre inférieur. De pareils systèmes ont été considérés par M. Sophus Lie (*) et par M. Bourlet ('). 11 est clair que Tintégrale générale d*un pareil système ne peut dépendre que d'un nombre fini de constantes arbitraires ; en effet, si toutes les dérivées d*ordre p, par exemple, des fonctions inconnues s'expriment au moyen des dérivées d*ordre inférieur à p^ il en sera de même de toutes les dérivées d'ordre supérieur à p. On connaîtra donc les valeurs de toutes les dérivées partielles des fonction» inconnues en un point [x\^ ... x%)^ où ces fonctions sont supposées régu* Hères, dès qu'on connaîtra les valeurs en ce même point des fonctions inconnues et d'un nombre fini de leurs dérivées ; les coefficients des développements de ces m fonctions ne peuvent donc dépendre que d'un nombre fini de constantes.

Il ne s'ensuit pas qu'un système de cette espèce soit toujours iutégrable, ni que l'intégrale générale dépende d'un nombre de constantes égal au nombre des fonctions inconnues, augmenté du nombre desdéri* vées d'ordre inférieur à p au moyen desquelles s'expriment toutes les dérivées d'ordre p et d'ordre inférieur ; il faut, en outre, que certaines conditions d*intégrabilité .soient vérifiées. Nous renverrons pour ce point au travail de M. Bourlet, en rappelant seulement le résultat essentiel, qui est le suivant : Etant donné un tystème de fespèce précédente^ on peut to^jourt^ par dee diffirentiations et des opérations algébriques^ reconnait}*e si ce système est incompatibte^ ou trouver le nombre de cons^ tantes arbitraires dont dépend tintégrale générale; la détermination de cette intégrale est ramenée à t intégration dun système d'équations diffé^ rentielles ordinaires.

Nous ferons seulement, relativement aux conditions d'intégrabilité, une remarque à peu près évidente, et qui sera utile par la suite. Soit jr une fonction inconnue de n variables indépendantes a?|, âP|, ... 4?., devant satisfaire à un système de (1 équations d'ordre r,

jji étant égal au nombre des dérivées partielles d'ordre r ; nous supposons que le déterminant fonctionnel des ^ fonctions P|, F|, ...«Pyi* I^^lt rapport aux dérivées d'ordre r, n'est pas identiquement nul, de telle sorte qu'on puisse tirer des équations (â) les valeurs des dérivées de cet ordre au moyen des dérivées d'ordre inférieur. En introduisant comme inconnues auxiliaires toutes les dérivées partielles pc| 04, ..., ««

(>) Théorie der TranêfermatieHSQruppen^ 1. 1, chap. x. . (*) Thète de Doctorat (f paitie).

d*ordre inférieur à r, on peut former un système d*équations aux différentielles totales

la somme S| -{- ol^ 4~ --• 4* ^« étant égale ou inférieure à r — 1, qui est équivalent au système proposé (â). Il y a un certain nombre de conditions d*inlégrabilité de ce système qui sont vérifiées identiquement ; ce sont celles qui sont du type

^Pai, +i,a,i«.a^ ^Pa,aj 4 !,...«

où la somme S| -f" a^ "}•••• + «« ^st inférieure à r; les seules conditions d'intégrabilitc qui ne sont pas toujours vérifiées sont donc celles do la forme précédente où la somme 0C| 4~ ••• + ^» ^^^ égale à r. Ceséqu a* tiens de condition peuvent s*écrire

j (4) . ixk ^t

En différentiant les ja équations (2) par rapport à .r^, on peut calculer les valeurs des a dérivées

puisque, par hypothèse, le déterminant fonctionnel des fonctions F|, ...t

F,ftn*est pas nul. En faisant successivement A = 1, 2, ..., n, et en imagi -

nant qu'on substitue les valeurs obtenues dans les équations de con - j

dition, on voit que ces conditions expriment que les relations obtenues

en différentiant les |a équations (2) par rapport a Tune quelconque des

variables x^^ •.M^«i<iui sont en nombre na, permettent de déterminer

un système de valeurs unique pour les dérivées d'ordre r -f- i d® 1*

fonction inconnue.

Donc^ pour que le Sjfstème fornii par tés équations {VjMoiicompièiemeni . iniégrabte^ it faut et il suffit que les n^ équations obienueten difféi-entiani ces équations par rapport à chacune des variables se réduisent à fL^ équations distinctes {\k' étant le nombre des dérivées d'ordre r -f- !)•

Ceci peut avoir lieu en tenant compte des équations (2) elles-mêmes, ou identiquement; dans ce dernier cas, les équations

F| = C|, Fj = C|, •.., Fji = Cm .

forment elles-mêmes un système complètement intégrablo, quelles que soient les valeurs des constantes Q.

119. Considérons maintenant en particulier une fonction s de deux variables indépendantes x et y, et soit

un élément dWdre n ((, p. 181) est un système particulier de valeurs {x^ y, '^ïPiO'Pfii Ps»9 ••'*P»») attribuées à â:, y, ;, et à toutes les quantités

Pi^ pour lesquelles la somme t -)- ^ ne dépasse pas n. Deux éléments infiniment voisins d*ordre n

(ar -f- </a?, y + rfy, -y + rfff, ..., Pi* + rfp,*, ...)

sont dits tfHÛ lorsque Ton a

dz = p,^ rfa? + p^,rfy,

rfPMc=P*n,*rfj^+P/.*+irfyt (i + A^>i— I).

11 est clair qu*une surface quelconque détermine une double infinité d'éléments unis d'ordre n ; une courbe située sur cette surface déter* mine une infinité simple d'éléments unis d'ordre n ; nous appellerons une telle multiplicité une onenlaiion d'éléments d'ordre n, et nous dirons que la courbe considérée sert de support à cette orientation d'éléments.

Étant donné un système d'équations aux dérivées partielles

Fi = 0, F, = o, ..., F|L= o,

où les dérivées d'ordre le plus élevé qui figurent sont celles d'ordre fi, il est naturel, en adoptant les idées introduites par M. Lie pour les. équations du premier ordre, d*appelertn(^rtffe tout système doublement infini d'éléments unis d'ordre ti, vérifiant ces équations. Cette définition s'applique à des intégrales qui ne représentent pas de surfaces, ni même des multiplicités doublement infinies d'éléments du premier

ordre. Ainsi soit

Hr + 2K*+L<-f M + N(r<— ««) = o ,j

une équation du second ordre, cl soit M, une multiplicité caractéristique du premier ordre (I, n* 27) représentée par les équations

Si on ajoute aux équations précédentes les relations

dp = rcUc •{- sdjf^ dq = tdx -f- idy^

on peut en tirer y, z^ p, 9, r, f , /, exprimées au moyen de deux variables indépendantes, x et t par exemple. On a donc ainsi une multiplicité doublement infinie d*élément$ unis du second ordre; cette multiplicité est une inléfjrale de l'équation (5), au sens plus étendu du mot. En elTet, la multiplicité M, étant une multiplicité caractéristique du premier ordre, si on tire des relations

dp = rdx -f- *dy^

dq = tdx -f- ^dy

r et f en fonction de l^ et qu*on substitue dans Téquation proposée (5), on est conduit nécessairement à une identité (t. I ; n^ 22). Soit

une équation du second ordre de forme quelconque. Quand on se propose de détenniner une intégrale de cette équation admettant une multiplicité simplement infinie M| d'éléments du premier ordre donnée, c'est-à-dire passant par une courbe C et ayant un plan tangent donné en chaque point de cette courbe, on a vu déjà que Ton pouvait, par des dilTérentiations et des calculs algébriques, calculer de proche en proche les valeurs des dérivées secondes, des dérivées troisièmes, etc., de la fonction inconnue en tous les points de la courbe C (t. I, n* 16), sauf dans des cas exceptionnels, et en particulier dans le cas où la multiplicité M| appartient à une caractéristique. En d*autres termes, la connaissance d*une courbe C située sur une surface intégrale et du plan tangent en chaque point de cette courbe permet de déterminer Torientation d'éléments d ordre n de la surface intégrale tout le long de cette courbe, quel que soit le nombre entier n. .•■

^mM

CHAPITBB VI

Nous (lirons, pour abréger, qu'une orientation d'éléments d^ordre n {n > 2) appartient à Téquation (7), lorsque les coordonnées de Ions les éléments de celte multiplicité satisfont à cette équation et à toutes celles qu'on en déduit par des dilTércntiations successives. Toute orientation d éléments d ordre n, appartenant à IVqualion (7), détermine une intégrale et une seule de cette équation, sauf lorsque cette orientation est une caractéristique*

420. Nous nous proposons, dans ce chapitre, dVtudier les systèmes formés par une équation du second ordre et une ou plusieurs équations d'ordre quelconque.

Considérons d*al>ord un système formé d*une équation du second ordre

P (^î y. ^f Pf q. r, », /) = o

et d'une écpiation du premier ordre

On déduit de ré(|ualion (9), en différentiant successivement par rap- ]K)rt kx cl par rap^iort à y,

et, en portant ces valeurs de ^, f , t dans Téquation du second ordre, il reste une relation entre x, y, x, p, r.

♦ («1 y» «f Pt r) = o.

Plusieurs cas peuvent se présenter : si la relation (10) se réduit à une identité, Téquation (8) est une conséquence de Téquation (9) et admet, par conséquent, toutes les intégrales de cette équation du premier ordre. Si la relation (10) contient r, on voit que f , r, f, / et, {Uir suite, toutes les dérivées d'ordre supérieur au second s'expriment au moyen de X, y, z, p, La solution la plus générale du système formé par les équations (8) et (9) dépend donc au plus de deux constantes arbitraires, si toutes les conditions dMntégrabilité sont vérifiées; en supposant, par exemple, que l'intégrale soit liolomorphe dans le voisinage d*un point (^•« y«)t clî® est complètement déterminée, si on connaît les valeurs ini-

'^"Y-"" "^ '^T if-—-" ' •^rfiffuif ■riiiiiyiii«aiiifrnfirii' "ut ^ - ^'*rrr''

■r:7r:VTT^-'^i^

liales z = z^,p = p^^ pour x =■ .r^, y = y^^ Sî la relation (10) ne contient pas 1% mais contient p, on aura p et 9 exprimés au moyen de Xf y, 'S'; [^intégrale commune ne dépend donc que d*une constante arbitraire, si la condition d'intégrabilité est vérifiée.

En résumé, lorsque Téquation du premier ordre (9) n*est pas une intégrale intermédiaire de Téquation du second ordre (8), l'intégrale générale de ce système d*équalions dépend de deux constantes arbitraires au plus.

on peut admettre que f ne contient pas /, car autrement la dernière équation donnerait /, et on serait ramené au premier cas. Lorsque f ne contient pas /, en faisant le changement de variables

121» Prenons maintenant un système de deux équations du second t

ordre {*) que nous supposerons résolues par rapport à deux des trois dérivées du second ordre r, s, l. Pour que cette résolution fût impos- - !

sible, il faudrait, en eiïet, que Ton pût déduire des deux équations proposées une nouvelle é(|uation ne renfermant plus de dérivées du second ordre, et on serait ramené au cas qui vient d'être examiné. On peut donc supposer les deux équations résolues par rapport à Tun des couples de dérivées (r, 4), (r, «), (f, /), et, comme le troisième cas se ramène au second en permutant x et y, on peut le négliger. Sî les \

équations sont résolues par rapport à r et à t

les deux équations précédentes deviennent :

•' - <» + ^ « «' 4. y', X, j»' - g', ïO = «.

où '

cl peuvent être résolues par rapport à 1* et /• On peut donc toujours supposer, sans diminuer la généralité, que les deux équations du second

E. vox Wemr, Mathemalisehe AnnaUn^ U 47. Bimui, Tkiêt de DeciemL

ordre considérées sont résolues par rapport aux dérivées r et I

»• + /*(«» y^ -^. P» îi ^) = o.

' + ? (^» y» ^* Pt î» «) = o.

Nous nous proposons de rechercher les intégrales de ce système qui sont holomorphes dans le voisinage d'un point {sn^^ y^)^ et qui sont telles que les fonctions /"et f soient elles-mêmes holomorphes dans le voisi* nage des valeurs correspondantes {x^^ y^, jr^, p^^ q^^ s^). Les dérivée» du troisième ordre de la fonction inconnue sont déterminées par les quatre équations

lis)

ob on a posé

W - à» "*■ iV '' ~ îp ^ + 5f ''

I^s deux équations intermédiaires (12) peuvent être résolues par rapport A p et y, pourvu que le déterminant

ne soit pas nul ; la première et la dernière des équations (12) donnent ensuite « et i. Dans ce cas, toutes les dérivées successives de la fonc* lion inconnue peuvent être calculées de proche en proche, dès qu'on connaît les valeurs de z, p, 9, «. L'intégrale générale du système (li) dépend donc an plus do quatre constantes arbitraires, et il n'en esl ainsi que si toutes les conditions d'intégrabilité sont vérifiées. Si

I — 1' t][ = o, on pcul éliminer p el y enlre les équalions (12), et on est conduit â la nouvelle relation

qui est vérifiée par toute intégrale commune aux équalions (il). Nous avons encore à distinguer plusieurs cas : 1** lorsque la relation (13) contient f, les équations (11) et (13) donnent r, «, t en fonction de or, y, jr, p, q^ et on peut, par conséquent, calculer toutes les dérivées de la fonction inconnue dès qu'on connaît x, p, q : riutégrale générale du système (il) dépend au plus de 3 constantes arbitraires; 2* si la relation (13) ne contient pas «, sans se réduire à une identité, elle constitue une équation du premier ordre, et on retombe sur le cas qui vient d'être examiné ; 3^ il ne reste donc plus à étudier que le cas où Ton a à la fois identiquement

\dy) is \dxj

Nous dirons alors, avec M. SophusLie, que les équations (II) forment un système en involution. Un système de cette espèce admet une infinité d*intégrales dépendant d'une infinité de constantes arbitraires.

122. Remarquons d'abord que les équations (12) se réduisent h trois équations distinctes seulement

(.«)A=.+2^+(|f)=..B=,+if,+(g)=..C=H4h+(|)=-.

puisque la relation

est équivalente à réquation B = o; on peut donc choisir arbitrairement la valeur d'une des dérivées troisièmes o^ p, f, t. îl en est de même pour chaque ordre de dérivées. Les dérivées d'ordre n -f- 3 véri* lient, en effet, les 3ft -f- 3 équations obtenues en différentiant les trois équations A :s o, B s o, C =: o, n fois de suite par rapport à a el nrtoaAnea ms fQUAiMWS. 4

* '* ^» 1^ •«■^ %■». » ■ ..^y * i^'-jh-N r «rfrf jb. . « . «.i^

rf"A rfo?"

rf-A

<!»•-• dy

rf>B

et celles-là seulement, car la difTérentiation de Téquation

■'. = T+âP + (â) =

donne des relations comprises dans les précédentes. Or, diaprés la dépendance qui existe entre A et B, les 2n -|- 2 équations des deux premières lignes précédentes se réduisent i n 4- 2 équations distinctes. Pour la même raison les 2ii -f- % équations

d*B, rf»"

rf'B, rf"C

se réduisent à tir}- 2 équations seulement, et comme le système

rf'B

rf'B.

est équivalent au système

rf'B

en tenant compte des relations qui lient les dérivées précédentes, on voit donc qu'on n*a en tout que n -^ 3 équations distinctes entre les n -^ 4 dérivées d'ordre n -)- 3« Ainsi on aura quatre équations seulement entre les cinq dérivées du quatrième ordre, cinq équations entre les six dérivées du cinquième ordre, etc. On peut donc, dans chaque ordre, choisir arbitrairement la valeur d'une dérivée partielle, par exemple

se donner les valeurs initiales de toutes les dérivées r-^« ou tr^ Ceci

prouve qu*on peut former une infinité de séries entières, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, qui satisfont formellemeni aux

équations (il}. Il reste à démontrer que Ton peut choisir ces constantes arbitraires de façon à obtenir une série convergente. Pour établir ce point, nous mettrons les équations (il) sous une

forme un peu diiïérenle. D'après la relation 1 — ^ ^ = o» la dérivée

^ ne peut être nulle, pour des valeurs de .r, y, z,p^ 9,*, pour lesquelles

les fonctions /"et 9 sont régulières. On peut donc supposer les équations (il) résolues par rapport aux dérivées s et tj et écrire ces équa* tions

pour que ce système soit en involution, il faut que les quatre relations qui lient les dérivées du troisième ordre se réduisent à trois équations distinctes. On déduit des équations (16)

JF , JF , 5F , 3F „ , JF ox ' ^z op ' tq ' Jr

JF , ?F , Î>F „ , >F ^ , 3F „ 3;^ + 3T« + 3?P+37*+3TPî

si on tire les valeurs de p et de y de la première et de la troisième équation et qu^on les porte dans la seconde, on devra être conduit à une identité. Il faut pour cela qucPon ait '

3; + 37^ + Jïr'" + 37^ = 37-»-î7« + 3Ïr*'+37*

Si ces conditions sont vérifiées idenliquemeni^ on a le tlicorènie sui- V ant : êoierU âr^, i/^^ jr^, p^, 9^, r^, unsystènie ffe wûeun des voinaMei x^ y, jr, Pi 9v ^* clans le voisinage desquelles les /bnciions Fet^ sonlholomorphes; soit^ de plus^ H {x) une fonction hotomorphe dans le voisinage du poini œ^^ telle que ton ait ïl {a^) = jr^, II' (a? j = p^, II* {x^) = r^. // existé

CHAPITBE YI

une intégrale des équations (16), régulière dam le voiiinage des valeure ^•9 y%% '^ réduisant à U [x) pour y = g^^ et pour laquelle la dérivée

T- prend la valeur q^ pour x=zœ^^y z=z y^.

Les conditions procédentes reviennent a se donner les valeurs ini* tiales

pour X = j*^, y =z y^. I^s équations (16) et celles qu^on en déduit par les diflerentiations successives permettent de calculer de proche en proche lés valeurs initiales de toutes les autres dérivées. Le système (10) étant en involution, on a, en effet, pour calculer les n dérivées inconnues d*ordre n, un certain nombre d'équations linéaires, qui se réduisenl à n équations distinctes. On peut, par exemple, procéder comme il suit: en différentiant Téquation

ez=F {x,y,z,p,q,r)

un nombre quelconque de fois [xir rapi>ort àx, on calcule de proche en proche les valeurs initiales

Connaissant les valeurs initiales

•' Gx); w);

Técpiation

et celles qu*on en déduit par des différenttations successives permet • tront ensuite de calculer de proche en proche les valeurs initiales de toutes les autres dérivées, absolument comme dansle théorème classique deCauchy. •

Pour établir la convergence du développement ainsi obtenu, nous décomposerons la démonstration en deux parties. Démontrons d'abord

que la série

80 réduisant à II {x) pour y = y^, tandis que ^ se réduit à % (x). On saii.

est convergente pour des valeurs de a? — x^ de module suffisamment

petit. En eiïet, d'après un théorème établi antérieurement (I, n* 84) l'équation

* = F (x, y, jr, p, y, r)

admet une infinité d'intégrales holomorplies dans le voisinage du point (or^, y^). se réduisant à II {x) pour y = y^^ et telles que Ton ait

^r~ = f/^ pour X = .r^, ^=:if^; car ces conditions reviennent à se donner •>y

une courbe C

située sur la surface intégrale et le plan tangent en un point [x^^ y^^ z^ de cette courbe. La tangente à la courbe C en ce point coïncide avec la tangente ii Tune des caractéristiques, car Téquation qui détermine les tangentes aux deux caractéristiques est ici

Soit X = «j; ,(a% y) une de ces intégrales; pour y = y^, ^ se réduit à \

une fonction de x^ holomorphe dans le domaine du point x =: x^^ qui est précisément représentée par la série (19). La première partie de la proposition est donc démontrée. Nous remarquerons en passant que toutes les intégrales de Téquation s — F = o, satisfaisant aux conditions initiales, sont tangentes le long de la courbe C, qui est une caractéristique pour chacune d^elles.

Cela posé, soit / {x) la somme de la série (19); les calculs qu'il faut effectuer pour obtenir les autres coefficients du développement de la fonction inconnue sont identiques a ceux qui donneraient les coefil« cients du développement en série entière d'une fonction régulière pour

x'=x^^y == yg, satisfaisant à Téquation

mita

CHAPITRB VI

diaprés le théorème général de Cauchy rappelé plus haut, que le développcment ainsi obtenu est convergent. La proposition énoncée est donc complètement établie.

Rbmarqcb. — Les conditions imposées à l'intégrale reviennent à se donner une courbe plane, dont le plan est parallèle au plan des yx, située sur cette surface, et le plan tangent en un point de cette courbe. Plus généralement, une intégrale du système (16) est complètement déterminée, en général, si on se donne une courbe, plane ou gauche, située sur cette surface et le plan tangent en un point de cette courbe. Nous verrons un peu plus loin comment on peut obtenir cette intégrale.

128* L*intégration d'un système en involution se ramène à rhitégration d'un système d équations diiïérenlielles ordinaires par une méthode qui n'est que la généralisation de la méthode de Cauchy, pour l'intégralion d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre. Pour plus de symétrie dans les calculs, nous supposerons d'abord qu'on a mis le système en involution sous la forme (11), les relations (14) étant vertliées identiquement.

L'équation de condition

exprime que les deux équations du second degré*

rfy* — ^ rfxrfy = 0, ^ ffxdjf — rfr*== o,

ont une racine commune

Par conséquent, si l'on considère une intégrale de l'équation r +f=s o, et une intégrale de l'équation / -|" ? = o« Ayant un élément commun du second ordre, les deux surfaces ont en cet élément une direction de caractéristique commune. Toute intégrale du système (11) est donc un lieu de caractéristiques communes aux deux équations r -{- ^ = b, I -f- f = o. Ce sont ces caractéristiques que nous allons d'abord déier* miner.

Soit ^ == F (â9, y) une intégrale du système en involution; sur cette 'surface (S) . considérons une famille de courbes définies par réquation

MnHaBi^MH»ÉMBaKaiaiHBSK»£i!£«^

LES SYSTÈMES EN tNVOLUTION 65

du premier ordre .

où on suppose ^, p, 9, «, remplacés par leurs valeurs en fonclion des variables a?, y, déduites de Tcquation de la surface. Le long d'une de \

ces courbes 07^ y, x,p, 7, «, sonl des fondions d*nne seule variable indé* |

pendante, satisfaisant à un système d*équations différentielles ordi- \

naireSf que Ton peut form3r sans connaîtra l'intégrale F {x^ y). On a, .

en elTet, le long d'une de ces courbes,

du if dz . du dp , dy

djo dé dx '^ ^ ^ dx dx ^ dx

ou, en tenant compte des équations (il) et (12),

(te '3»' <te Wy/

Les équalions différentielles (âO), jointes aux équations (il) ellesmêmes, définissent une famille de multiplicités à une dimension d'éléments du second ordre, dépendant de cinq constantes arbitraires ; nous appellerons ces multiplicités les caraclérisliqu$s du système en involu* tion. Toute caractéristique renferme, sauf des cas exceptionnels, une multiplicité ponctuelle à une dimension qui sera appelée courbe carae^ téristiquê du système. Une caractéristique est définie, en général, quand on se donne un élément initial du second ordre (a?^, y^, x^, p^, 9^, r^, ^f V O satisfaisant aux relations

r^ + r (a?0, y^, jr^, p^, 9^, *^) = 0, 'f + T (*f t yt 1 ^ê* P#t ?•» *f ) =0»

pourvu que les fonctions ^ et f restent holoinorphes dans le voisinage. On en conclut que, $i deux intégraUê du système en involution oni un élément commun du second ordre^ elles ont en commun une infinité d^éU* ments du second ordre^ qui constituent la caractéristique issue de cet iU* ment. Do tout élément du premier ordre {x^^ y^, jr^, p«, q^), il pari une r

infinité de caractéristiques, car on peut choisir arbitrairement la valeur - ;

SiB CHAPITRE VI

iniliale $^ de «. Les courbes caractéristiques correspondantes forment, en généra!, une surface admettant cet élément du premier ordre.

124* Toute surface intégrale étant un lieu de multiplicités caractéristiques, le premier pas à faire pour intégrer le système en involution proposé consiste à déterminer ces multiplicités, c'est-i-dire à intégrer le système d^équations différentielles ordinaires (20). Ce problème étant supposé résolu, il reste ensuite à examiner comment on doit associer ces caractéristiques pour obtenir une surface intégrale. Pour plus de symétrie dans les calculs, introduisons une variable auxiliaire X, en écrivant le système (20) sous la forme suivante

! (fx dy th tfp rfj d$ |. ^

K étant une constante on une fonction de «r, y, x, p, f , «, X, que Ton peut prendre à volonté. Soient

, V * = A(^;û?iiyot^rPoi»fi««)i

les formules qui représentent Tintégrale générale de ce système, a?^, j^f t '*'•) Po« 9f 9 '•« désignant les valeurs initiales de a*, y, jr, p, q^ $^ pour la valeur initiale de X, X = o par exemple. Toute intégrale du sys^ tème en involution est représentée par les formules précédentes, où 1 *on remplace â?^, y^, jr^, p^, q^^ s^^ par des fonctions convenablement choisies d^une nouvelle variable indépendante «. Pour que ces formules représentent bien une intégrale, il faut et il suffit que les fonctions /^i, /s. ...,/*«, de X et de « vérifient les relations

dz = pdx 4- jdy,

dp = — fibo + «rfy»

comme on a déjà, d'après les équations (21),

il suffira que Ton ait aussi

?£ Ja» îy

(il)

U, = ^^ + rT-'^ =

* Jx • ' Ox ox

Calculons -rr^« ^rr*i rrr* i il Vient, en tenant compte des relations

OÀ ««A OÀ

(14) et (81).

;«adx

:>xdx

«i!ii-

iliadX

?»JX

didX

dX ^x dX da ~ JX Dx "^ \«/a;j Jx' ?XJ«+'^\rfy/5Jx»

d'autre part, en différentiant les équations (23) par rapport à «, il vient:

5aJX ~ '^ JoJX ^ ' JaJX ^ 3x » ^ î. JX

A»JX ~ îxJX ' 5xîX "^ Jx ^x

K 1 2f î£ j. 3f 5« j. ^Z ?î j. -Y '^ 4. 5^ ?2 a. ^ 2î| . ~ "^ { Jj7 .>x "^ Jy J« *'■ iV 5x "•■ Jp ^« "^ ?g 3x ■*" J» J«i *

3*7 yg yy j^ 3« 5»

5x3X ' >*ÎX ■*■ J»x 3X

J>» I 3a7 3« ■+" î»y >« ■*■ ïî î« + 3p J« + 3^ 5» "*■ J» 3.

Retranchons membre à membre les équations correspondantes (25) et (26), et remplaçons les dérivées relatives à X de j% y, z^ p, g, a, par leurs valeurs; il reste, toute» réductions faites, .