KU, + K^U

Supposons fei^ holomorphes dans le voisinage des valeurs initiales ^•tl^oi ^«1 P»i 9f« '• « alors, d'après la forme linéaire des équations (27), pour que U|, Uj, U^ soient nuls, il suffira qu'ils soient nuls pour la valeur X = o; or, x, ^, jr, p, ç, « se réduisent alors à x^, y^, '•«?#• 9«*'«-

Lonc^ pour obtenir une intégrale du système en invotulion^ it suffit de remplacer dans tes formules (32) x^, y^, s^^ p^, 9^, «g par cfei fonctions d'un paramètre variable a, satisfaisant aux relations

En particulier, on satisfaite ces relations en prenant pour x^^ y^, Xg, Pf 1 ?• ^^^ constantes quelconques, et en posant s^ = c. Parsuite^ la sur* face engendrée par les caractéristiques issues dun élément quelconque du

< ^ premier ordre est une surface intégrale»

Remarque. — Les raisonnements qui précèdent ne s'appliquent

qu^aux intégrales qui admettent des éléments du second ordre [x^ y,

j ^, p, 9, r, «, /) dans le voisinage desquels les fonctions A et f sont

holomorphes ; la méthode suivie donnera certainement toutes ces inté* gralcs. Mais il peut se faire qu'il existe aussi des intégrales, telles que, dans le voisinage d'un quelconque de leurs éléments, les fonctions f et f , ou du moins Tune d'elles, cessent d'être régulières. Par exemple, si on a un système do deux équations du second ordre, non résolues.

F (or, y, sr, p, g, r, s, i) = o, ♦ (a?, y, jr, p, ç, r, *, /) = o.

il peut se faire que ces équations admettent des intégrales qui vérifient en même temps les trois relations :

Il est clair que ces intégrales échappent à la méthode générale et qu'une étude spéciale est nécessaire, dans chaque cas particulier, pour reconnaître s'il en existe ;nousles appellerons des intégrâtes singulières du système.

125. Quand on connaît les caractéristiques d'un système en involution, la détermination des intégrales est donc ramenée à trouver la solution générale du système (28^ oùor^, y^, x^, p^, q^, s^, sont des fonctions de la variable a. On peut se donner arbitrairement trois de ces fonctions, et les trois autres sont déterminées par les équations (i8).

1^ " ■ ■" ■■ I i r i MwmTy-MTMM-iBriatMifMMTr ■ r- ■^wnaÉfo/fr,^*^-....^-, ^-^.^>.^v , .. ^~ ^ , - , rr

et riotégrale générale est représentée par les formiilet

ff

Supposons, par exemple, que Ton veuille oblenir une surface intégrale passant par une courbe donnée (F) ; on peut considérer a?^, ^^, x^, comme

des fonctions connues d*un paramètre x, et on a, pour déterminer p^, q^^ l

s^, les trois équations (28). On tirera, si on veut, p^ de la première, s^ î

de la dernière, et, en portant dans la seconde, on est conduit à une équa- |

tion différentielle du premier ordre pour déterminer q^ ; la fonction incon- »

nue ^^de z dépend encore d'une constante arbitraire, la valeur de q^ en un i

point de (F). Ainsi, par une courbe arbitraire (F) ilpasse^ en général^ une \ infinité de eurfacee intégrales^ dépendant if une comtante arbitraire; on - \ peut ee donner arbitrairement le plan langent en un point de la , \

cour6« (F). (

Soit encore à déterminer une surface intégrale du système en involution circonscrite tout le long d'une courbe a une surface (S). Soient ^•t y«t ^«les coordonnées d'un point de celte surface, p^^ q^ les coefficients angulaires du plan tangent; x^, y^, z^^ p^, q^ sont des fonctions de deux paramètres variables set p. En substituant dans les équations de condition (28) les expressions de o?^, y^, jr^, p^, q^ en fonction de «, P^ la première condition est identiquement vérifiée, et, en éliminant 9^ entre les deux dernières, on est conduit à une. relation de la forme

C*est une équation différentielle du premier ordre, et les conclusions sont analogues à celles de tout à l'heure. // existe une infinit l de eur^ faces intégrales^ dépendant dCune coiutanie arbitraire, circonscrites à une surface donnée (S) ; on peut choisir arbitrairement wi des points de Us courbe de contact.

126« Nous allons appliquer la méthode générale à quelques |

exemples.

L — Soit à intégrer le système en involution

Les équations différentielles des caractéristiques sont ici '

ôto-=*' £»='+«• ;£=•• S=*' sj^*» i

i^^- ^^MKUMaaianBaMn

■ ^- -y-^'- -'xt^. - , , - "*'f V l iMl ' lH^WW*— ■■I»*' Kl I If'

Mi!

Pour avoir une intégrale du système en involution, les valeurs initiales A*^, yg, x^, P0, q^^ 9^ doivent satisfaire aux é<|uation8

supi)osonSf par exemple, que, pour x = C, l'intégrale cherchée doive se réduire & f (y). On prendra x^ = C, y^ = «, t^ = f (s) ; les formules précédentes donnent

C étant une nouvelle constante. L'intégrale correspondante est représentée par le système des deux équations

y = « + or - C, jr = 9 (.) + C (^- - C) ;

Télimination de a nous donne, pour Tinlégrale générale du système en involution proposé, en changeant un peu les notations,

C étant une constante arbitraire et «f une fonction arbitraire. On peut remarquer que le système en involution proposé est équivalent à Téquation du premier ordre

avec une constante arbitraire a.

Exemple H. — • Soit à intégrer le système en involution

les équations différentielles des caractéristiques sont

«t rintégrale jjénërale est

* = '. + (/». + ît»J) («—«♦)+ 1 «J (« — «J«.

tH/mmmimmmmmmaÊ^ÊÊmÊaimmksm0mÊ9i^iaBmmmmmiBamamiiiKmiÊiaBmmmmibéittiiim*Mwi

Les valeurs initiales .>*^, y^, x^, p^, q^^ s^^ doivent satisfaire aux relations

Prenons, comme tout à l'heure, x^ = C, y« = «, -f, = •{« (« déduit

i), on en

et rinlcgralti générale du syslèiAe en iiivolulion est représentée par \o système des deux équations

Irwr

^ (a) étant une fonction arbitraire et C une constante arbitraire. Comme vérification, on déduit des formules précédentes

. . i(x-C) „,, . Hx — C)

3U'wr '=wr '=+'(*^-

ExBMPLB III. — Les équations

oft X est défini par l'équation du second degré

forment un système en involution. Ce système peut encore s*écrire

ri — 9^

(l+pt + ,t)

-5+i=o, r + »t + X*l=Oî

îî

6S CHAPITRE Vl

la première équation est celle des surfaces à courbure totale constanla égale à — 1 , la seconde définit (il est aisé de le vérifier) les surfaces réglées imaginaires dont les génératrices rencontrent le cercle à Tinfini. L'intégrale générale du système (28) se compose donc des surfaces réglées imaginaires à courbure totale constante, qui ont été découvertes par Serret (') et qui résultent de la déformation de la sphère considé* rée comme une surface réglée.

Les équations différentielles des caractéristiques du système (29) sont, en négligeant la dernière qu*il est inutile d^écrire,

En tenant compte de Téquation qui définit X, on voit facilement que rintégrale générale est donnée par les équations

y = ya + >• (^ — «•)» ^ = ^# + » Vi + >l (*^ — ^o).

^09 y«t '^•«^o* ^ étant des constantes. On vérifie bien, sur ces formules,

que les caractéristiques sont des droites rencontrant le cercle de Tinfini.

j II serait facile d'achever Tintégration ; nousy reviendronsplusloin (n* 128),

ExBMFUK IV. — ^'I^ système

(30) r + Jl« = o, I + J = o,

oik X est une fonction do w, y, x, ji, q, est en involution, pourvu que Ton •il

ce qui exige que X vérifie une relation de la forme (31) F(/*«P, 7,y — X^t'S— pj» — 9y) = o,

la fonction F étant d'ailleurs tout a fait arbitraire. On peut donner des systèmes en involution de la forme précédente une interprétation géo*

(1) Journal de Uowilte, tome XIII, I" série, p. 361 (ISIt).

métrique. Remarquons d'abord que du système (30) on déduit

Z = aX + 6Y + c,

Les surfaces intégrales sont donc des surfaces développables ; de ^

plus, la génératrice issue de Télémcnt (a;, y, z^ p, q) se projette sur le i

plan des ary, suivant une droite de coefficient angulaire X. Le problème ^ de rintégration du système (30) peut donc s'énoncer ainsi: A chaque

élément du premier ordre (a?, y, ^, p, y) cfe T espace^ on fait correspondre j une droite D /«ue du peint [x^ y, ^) e/ «t/u^e dane le plan de coefficienU angulaires p, ^ ; trouver les surfaces développables telles qu^en chacun de leurs éléments la génératrice soit la droite D correspondante. . ^

^lais la relation entre la droite D et lelément {x^ y, ^, p, q) ne peut r

pas être quelconque, puisque X doit satisfaire à une relation de la forme ;

(3i). Pour interpréter celte condition, considérons tous les éléments i

d'un même plan P ayant pour équation \

et cherchons les droites D correspondantes, qui sont évidemment î

situées dans ce plan P. |

Dans la relation (31), on doit faire p = a, gr = ^, -y — px — </y = c, et cette relation devient

(3i6w) F (X, tf, 6, y — }x, c) = o.

Or, la droite D issue de Télément (or, y, x, p, q) se projette sur lo plan des xy suivant une droite d qui a pour équation

Y = XX + y — Xa?,

et la relation (31 bis) exprime précisément que ces droites d et, par suite,

les droites D, ne dépendent que d*un paramètre quand lo point (a?,y« s)

décrit le plan P. Par suite, les droites D du plan P ont une enveloppe ;

si une droite située dans ce plan est la droite D correspondante à un

élément de ce plan, elle correspond à tous les éléments de ce plan* que ^ .

Ton obtient en prenant un point quelconque de cette droite. La déter«

mination des surfaces intéj^rales du système en involution (30) conduit,

par conséquent, à ce problème de géométrie : A chaque plan P de tespaee

on fait correspondre^ d'une façon tout à fait arbitraire^ une courbe C

située dans ce plan ; tt*oucer les surfaces développables telles que te

génératrice de contact d'un plan tangent quiconque P à cette surface

soit tangente à la' courbe C correspondante du plan P.

64 CHAPITBE VI

Voici encore un énoncé équivalent à cela! qui précède.

Soit (A) un syslèmo géométrique formé de Tensenible d^une droite et d^m plan passant par cette droite ; un pareil système dépend de cinq paramètres que Ton peut appeler ses coordonnées. Toute surface développable se compose d^une suite simplement infinie de (A), chaque génératrice et le plan tangent correspondant formant un de ces systèmes. Cela posé, le problème peut encore s'énoncer ainsi: Trouver les sur faee$ ciéoeloppables^ composées de systèmes (A) dont les cinq coordonnées téri-

fient une relation donnée^ de forme arbitraire.

Par une courbe donnée de Tespace, il passe, en général, une infinité de pareilles surfaces, dont la détermination dépend d^unc é(|uation diffé* rentielle du premier ordre. Mais il est {lossible d*obtenir pour l'intégrale générale du système en involution des formules contenant expli« citementunc fonction arbitraire et ses dérivées. Imaginons, en effet, qu^on effectue une transformation par polaires réciproques ; à un plan P correspond un point M et a une courbe C du plan P un cône (T) ayant son sommet en M. Les surfaces dévcloppables qu*il s*agit de déterminer deviennent de même des courbes tangentes en cliacun de leurs points à une génératrice du cône (T) ayant son sommet en ce point. Ces courbes sont les courbes intégrales d'une certaine équation aux dérivées par* ticlles du premier ordre qu'il suffira d'intégrer pour avoir leurs équations sans aucun signe de quadrature.

L'application de la méthode générale conduit au même résultat. I^s é<|uations différentielles des caractéristiques du système (30) sont

|> il est inutile d'écrire Téquation qui donne t, car elle n'intervient pas

t, dans les calculs. On tire tout de suite des équations précédentes p = p^

; 9 = 7^ ; on a ensuite

il " . .

cVst-à-dire, d*apK*s la relation à laquelle satisfait >, <iX = o. On a donc ainsi

les valeurs initiales p^, j^, œ^, y,, z^, X« vérifiant la relation

(34) P (X^, p,, ç^, y^ X^^, x^ — p^9^ — j jf^) = o.

D'après la méthode générale, il faut prendre pour ees valeurs inttiales des fonctions d*un paramètre variable a» satisfaisant aux conditions

on en tire

0U| en éliminant s^ entre les deux dernières,

^Pê + \^9ê = ^- j

Soit H^ = jr^ — p^iû^ — q^y^ ; les relations précédentes deviennent: f

et, en portant ces valeurs dansTéquation (32), on a, pour déterminer les fonctions p^, q^^ ti^, la relation

connaissant ti^, pg« 9^, on a ensuite, pour déterminer œ^ et y^, Téqua* tion unique

du^ + x^dp^ + y^dq^ =z O.

où Ton peut choisir arbitrairement Tune des fonctions 4»^, y^. Tout se ramène donc à Tintégration de Téquation (32 bis)^ c'est-à-dire, dans la cas général, à Tintégration d'une équation aux dérivées partielles d« premier ordre.

Il serait facile de multiplier les cas particuliers; par exemple, si les droites D appartiennent à un complexe, le problème revient i détermi* ner les surfaces dévcloppablcs dont les génératrices font partie d^oa complexe. On obtient un cas encore plus particulier, en supposant qus \

les droites D sont tangentes à une surface (S). Les surfaces dévelop* '. |

pables dont leîs génératrices sont tangentes à (£) sont, d*une part, les ' [

surfaces développables dont Taréte de rebroussement est située sur la \

UTâoaATtoi M» iQOânom. S . * |

66 CH.VP1TRB VI

8urliace(S), d*autrc parties surfacen développables circonscrites k (£). Oq doit considérer les premières surfaces comme forinant la solution générale, tandis que les secondes surfaces ne sont que des intégrales singulières. Par une courbe donnée, il passe, en clTct, une infinité de surfaces développables ayant leur arête de rebroussement sur la sur> face (S), tandis qu*il n*y en a qu*une qui soit circonscrite i (S).

127. La théorie des systèmes en involuUon présente, comme on voit, la plus grande analogie avec la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. De même qu'a toute équation du premier ordre est attachée une famille de multiplicités caractéristiques du premier ordre, dépendant de /mx paramètres, de même chaque système en involution possède une famille de earactcrisliques du second ordre, dépendant de cinq paramètres. Chaque caractéristique du second ordre renferme une courbe caraclérUtique qui lui sert de support, et, en général, les courbes caractéristiques dépendent elles-mêmes de cinq paramètres. 11 arrive cependant, pour des systèmes en involution d^une forme particulière, que ces courbes caractéristiques dépendent de moins de cinq paramètres. Prenons, en effet, les équations linéaires

r + Xi + |i = o,

où X, |ft, V sont des fonctions de x^ y« ^t />i 9; ce système est en involation, pourvu que X, ji, v vérifient les relationt

du. dut \l ^t^■ ^ ^f

Ces conditions étant supposées vérifiées, les équations différentielles des caractéristiques du système (33) sont de la forme

da

* - (iOLàLÛX

dx" \ df )

Les quatr* premières de ces équations ne contiennent que «, jr, v.

p, q ; soient

= A(^;Avyf ^tiPotît)»

/i {'^ ; ^01 yoi ^#1 Poi ^o)t

les formules définissant Tintégrale générale du système formé par ces quatre équations. On a ensuite «par Tintégration d'une équation diiTérenlielle du premier ordre, qui introduit une nouvelle constante arbitraire t^. Les formules (33) représentent une famille de multiplicités caractéristiques du premier ordre, dépendant de quatre constantes ^/ot ^o)Po« ?• (^# étant une constante numérique) ; chacune de ces caractéristiques est contenue dans une infinité de caractéristiques du second ordre, dépendant d^une constante arbitraire. L'ensemble des caractéristiques du second ordre, qui ont ainsi en commun une multiplicité du premier ordre, forme une intégrale au sens étendu du mot(n^ 119). Pour avoir l'intégrale générale du système en involution, il est inutile de tenir compte de Téquation qui donne f. En effet, les valeurs initiales a?^, y^, ^ç, p^, q^^ ê^ doivent satisfaire aux trois relations

^Po =

Pq*»q + 99^!fo^

dq^ = s.dx^—\^ + vçj rfyç,

entre lesquelles on peut éliminer t^, et il reste les deux relations

qui ne renferment plus que a?,, y^, jt^, p^, q^*

On obtient des systèmes en involution de la forme (33), en différentiani par rapport à x et à y une équation du premier ordre

où C désigne une constante arbitraire. On obtient ainsi le système

TIF , iF , 5P , îP JF . 5F , ÎF . ÎF .

68 CHAPITRB VI

qui est toujours en iuvoIuUon. Mais on n'a pas ainsi tous les systèmes en involution de la forme ^33) ; pour qu*un pareil système puisse dtre ramené à la forme (36), il faut que les trois équations linéaires

dF . >F 3F

JF , JF , iV

— 4-ftr À» — = 0,

ÎF . 3F

admetlenl une solution communo F («, y, x, p, q).

128. On voit, d*après cela, qu*on peut faire la théorie complète des systèmes liniah*e* en involution de la forme

« + X^ + Xv = o,

où X» |ft, V sont des fonctions de x^ y, ?, p, 9 sans introduire la valeur de ê dans les équations des caractéristiques. Appelons caraciiristiqué tout système simplement infmi d'éléments du premier ordre vérifiant I les équations différentielles

djf =3 Xcte, dx = p^Au -|- qdy^ dp=: -^ •!<£.«, rfîgr = — Xwto;

il résulte de ce qui précède que toute surface intégrale est un lieu de caractéristiques; et inversement, pour que les caractéristiques issues

I des éléments [»^^ y^, x^t p«, q^) forment une surface intégrale, il faut

et il suffit que «^, y^, ^q, Pq« q^ soient des fonctions d'un paramètre

i variable « satisfaisant aux deux relations . v

j Ce résultat peut aussi s'établir directement par un calcul facile.

i ^ De tout élément du premier ordre, il part, en général, une caractéris-

tique bien déterminée, à laquelle appartient cet élément. Par suite, si deux 9ur faces iniigraleed^un système linéaire en involuiiùnoni uneontaei du premier ardre en un points elles soni tangentes tout le long de la earac^ ièristique issue de cet élément. On déduit de là une conséquence importante.

■Wf-«?J«-V''>i r^ry^TT vc-

.kb«^^

Supposons que Ton connaisse une intégrale du système en învolution dépendant de trois paramètres a, 6, c et ne vérifiant aucune équation du premier ordre indépendante de a, 6, c; soit (S) cette intégrale. On peut disposer des trois paramètres a^ 6, c de façon que la surface (S) soit tangente à une autre surface intégrale (S) en un point donné; les deux surfaces (S) et (S) sont donc tangentes tout le long de la caractéristique issue de Télément commup. Toute surface intégrale (S) est, par conséquent, Veiiteloppe (Tune suite simplement infinie de surfaces (S).

D'après cela, l'intégrale (S), qui dépend de trois paramètres, joue le même rôle que Tintégrale complète d'une équation du premier ordre. Il y a cependant une différence essentielle entre les deux cas, qu'il est aisé de mettre en lumière. Soit

Téquation générale des surfaces (S); quand on établit entre les trois paramètres a, 6, c, deux relations de forme arbitraire

ô = ^ (a), c = f (rt),

les surfaces enveloppes, dont on obtient Téquation en éliminant a entre les relations ' .

* [a?, y, J-, a, f (a), ^ (a)] = o, ^a^ iif \a) * ^ '^ ^{ay ^ ^ '

forment, on Ta vu, Tintégrale générale d'une équation du second ordrja (I, n* 8). Ponr que ces surfaces enveloppes soient des intégrales du système en involution proposé, il faut que les fonctions ^ (a), et *f (a) vérifient une relation de la forme

F[a,ç(a),+(û),t'(«),f(fl)] = o;

on obtiendra celte relation en exprimant que les caractéristiques définies par les équations (38), qui dépendent de cinq constantes a, f (a), ^ (a), f (a), ^' (a), quand on n'établit aucune relation entre f et ^^i sont identiques aux caractéristiques du système en învolution, qui dépendent seulement de quatre constantes. On exprimera, par exemple, que ces multiplicités vérifient les équations différentielles des caractéristiques, ce qui n'exige que des différentiations et des calculs algébriques.

Étant donnée une relation de la forme (39), on sait qu*on peut expri* mer a, f (a), ^ (a) au moyen d'un paramètre variable «, d'une fonctioA

arbitraire de a et de ses dérivées en nombre fini» sans aucun signe d*iutégration. Par suite, on peut toujours exprimer Tintégrale générale d*un système linéaire en involution par des formules où figurent explicitement une fonction arbitraire et un nombre fini de ses dérivées. Il n*en est pas de même» en général, pour un système en involution de forma quelconque.

Reprenons» par exemple, le système en involution (29), qui est linéaire ; d'après la signification de ces équations, toute sphère de

rayon y— * »

(40) (a?fl)t + (y ô)»^.(;r-c)»+l=o,

est une intégrale. Par suite, l'intégrale générale peut être considérée

comme Tenveloppe d'une sphère de rayon ^ — 1 quand on établit entre les coordonnées du centre (tf , 6, c) une relation de forme convenable. Or, nous avons vu que les caractéristiques du système (29) étaient des lignes droites rencontrant le cercle imaginaire de Tinfint. D'autre pari, les caractéristiques de la sphère sont représentées par les deux équations (40) et (41)

(4i) , (« — a) rfa + (y — ô) rf6 + (* — c) de = o ;

pour que ces caractéristiques soient des lignes droites, il faut et il suffit que le plan (41) 6oit tangent au ciVne asymptote de la sphère, c'est-à-dire que Ton ait

da} + db* + dc^=:o;

d*où Ton conclut que CinUgrale générale du système (29) s'obtieni m

pt^enant Fenveloppe d'une sphère de rayon V — I, donl le centre décrié une courbe minimm.

Il peut aussi arriver que les courbes caractéristiques ne dépendent que de trois paramètres. Par exemple, pour le système r + t = o, ^ + ' = o» les équations des caractéristiques sont

on voit que les courbes caractéristiques ne dépendent que des trois parainètres y^ — »,, p^ + ç^, z^ — œ^ (p^ -f q^). Chaque courbe caractéristique est contenue dans une infinité de multiplicités caractéristiques du premier ordre, dépendant d'une constante arbitraire, et chaque

multiplicité caractéristique du premier ordre est renfermée à son tour dans une infinité de caractéristiques du second ordre dépendant d'une nouvelle constante arbitraire.

129. Revenons maintenant à la théorie des systèmes en involution de forme générale.

On sait le rôle important que jouent les intégrales complètes dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Étant donné un système en involution

nous appellerons de même intégrale complète de ce système toute inté* grale dépendant de quatre paramètres -

F (ar, y, x, a,, «„ a„ a^) = o,

de telle façon que Télimination de ^p a^, a„ a^ entre la relation (43) et les suivantes

JF , DF

;)«F . yp

2^»F , a»F , a»F . cVF , JF a»F ,^^'F , cVF , , 5F ,

conduise aux équations (42), et à celles-là seulement. Étant donnée une intégrale quelconque du système (42), on peut, d'après cela, disposer des constantes ao^tt ^si ^4« ^^ façon que Tintcgrale complète ait avec rintégrale donnée, en un point donné, un contact du second ordre. D'après une proposition établie plus haut, les deux surfaces ont alors un contact du second ordre tout le long d'une caractéristique. Toute surface intégrale est donc T enveloppe d^une famille d'intégrales eomplèUs^ chaque intégrale complète ayant un contact do sbcoxo ordre avec la surface enveloppe^ le long dune caractéristique. Cela s'applique aussi aux 8ystèni38 linéaires. Par exemple, l'intégrale générale du système r-f-^ = o, l + t=s08e compose (n* 120) de surfaces cylindriques ayant

leurs généralrices parallèles au plan y — a; = o. On peut prendre pour intégrale complète les cylindres de révolution ayant leur axe parallèle au même plan. Il est clair que, le long d^me génératrice, on peut trou* ver une intégrale complète ayant un contact du second ordre avec la surface cylindrique»

Il existe cependant une différence essentielle entre une équation du premier ordre et un système en involution, pour la tliéorie des intégrales complètes. Tandis que toute famille de surfaces à deux paramètres

est une intégrale complète d'une équation du premier ordre, une famille de surfaces à quatre paramètres

donne bien une intégrale complète d*un système de 2 équations du second ordre

mais ce système n'est pas, en général, en involution. Ainsi une sphère dépend de quatre paramètres ; Téquation

«?' + y* + ^* + 2««^ + 2<»iy + 2«a» -f" «I = « est une intégrale complète du système

Les équations qui déterminent les dérivées du troisième ordre ne forment un système indéterminé que si on a 1 -|- p* + 9' ss o ; par suite, en dehors des intégrales de cette é4]uation du premier ordre, le système (45) n'admet que des intégrales dépendant de quatre constantes arbitraires au plus, ce sont précisément les sphères. On voit, sur cet exemple, qu^un système de deux équationa du second ordre peut admettre une infinité d'intégrales, dépendant d'une /bnc/ion arbitraire^ sans être en involution. 11 faut, en outre, que, par une courbe choisie arbitrairement, il passe une infinité d'intégrales, dépendant d'une constante arbitraire, pour que le système soit en involution.

La connaissance d'une intégrale complète F («?, y, x,a^. «,, « ,, «4) = o d*un système en involution non linéaire permet de déterminer les carao-

umi

térisiiques sans aucune intégration. En eiïet, toute surface intégrale étant Tenvcloppe d'une suite simplement infinie d'intégrales complètes, les courbes caractéristiques font partie des courbes représentées parles équations

F (a?, y, -• a,, ii,, a,, a^) = o, 2F^Frf£j2Fr^,^F^

qui dépendent de sept paramètres a,, «,, a,, û^, -t-*? -7-*? -r-^* En écrivant, comme plus haut, que les multiplicités d'éléments du second ordre correspondantes vérifient les équations diiïérentielles des caractéristiques, on établit deux relations seulement entre ces sept paramètres

. / da^ da* da,\ ^ { da.\ '

*, [a,, «„ «„ «„ ^, g^, j-ij = o, *, (a,, ..., ^j = o.

puisque les caractéristiques dépendent de cinq paramètres. Pour obtenir rintégrale générale du système en tnvolution, il faudrait obtenir les expressions les plus générales de quatre fonctions ^i, a^, a,, «4, d'une seule variable, vérifiant les deux relations précédentes.

On peut aussi étendre aux systèmes en involnlion la notion de courbes tntégraUê ('). «

ISO. Comme conclusion de l'étude qui vient d'être faite, nous remarquerons qu'un système de deux équations du second ordre ne peut admettre d'intégrale dépendant d'une infinité de constantes arbitraires que dans deux cas : lorsque les équations forment un système en involution, ou lorsqu'elles admettent une intégrale intermédiaire commune du premier ordre. En eOet, les équations étant mises sous la forme (11), si elles ne forment pas un système en involution, l'une au moins des expressions

ne sera pas identiquement nulle. Supposons, par exemple, que

(1) Bbitdoii (Thète de Doctorat). Pour plt» de détailt sur letsystètnet en involutloa de deux équations du Kcond ordre, on pourra consulter une note que J'ai publiée dans les Cmnpiet henduê (i** Juin 1896), et un méniolre plus développé dans le /eav^ nal dtVtcùUpolyttehniqut (IStl).

74 CHAPITRE Vf

I — 1£ iî ne 8oil pas nul identiquement. Les intégrales qui ne satisfont pas à Téquation

dépendent, nous Tavons vu, de quatre constantes arbitraires au plus (n* 121). Si donc il existe des intégrales communes aux deux équations proposées dépendant d'une infinité de constantes, ces intégrales doivent aussi satisfaire à la relation (46). Appelons II (^«yi ^,Pi 9.«) le premier membre de cette équation ; si les intégrales considérées ne vérifiaient

pas Téquation -:^ = o, on pourrait tirer s de la relation (46), et on en

concluerait que ces intégrales dépendent au plus de trois constantes arbitraires. Il faut donc que les intégrales communes, qui dépendent d'une infinité de constantes, satisfassent à la fois aux deux équations

Il m

et par suite à Téquation du premier ordre K == o, obtenue par Télimination de s. Mais on a déjà remarqué (n* 120) qu'une équation du second ordre et une équation du premier ordre ne peuvent admettre d'intégrale commune dépondant d'une infinité de constantes que si l'équation du premier ordre est une intégrale intermédiaire de l'équation du second ordre.

Si 1 — ^ ^ ^^^ identiquement nul, toute intégrale commune aux équations (It) doit satisfaire aussi à l'équation

(dC\iC(d3\

sur laquelle on peut recommencer le raisonnement qui précède. 181. Étant données deux équations du second ordre non résolues

^ I F|(«, y,^,p, y,r,^l)=ro,

nous dirons de même que ces deux équations forment uo système en involution, si les quatre équations que l'on obtient en les différentîant par rapport à « et par rapport k y se réduisent à trois équations dis-

Unctes. Soit

5;**-5iP + 5?'"+5i''

on a, entre les quatre dérivées du troisième ordre a, p, y, t, les relations

5F , 5F- , 5F , /rfF\

5;»+T,p+5rTr+V;to;=''

5F -, 5F , 5F , , /rfF\

■5;^*+-5rP+-5i*ï + l7tej=«'

Pour que ces quatre équations se réduisent à trois, il faut d^abord que le déterminant formé par les coerPicients de a, p, y, l soit nul

5Fj

c'est précisément la condition pour que les deux équations

5F, dr

aient une racine commune. Une première condition pour que les équm» tions (47) forment un système en involution est donc la suivante ; ea chaque élément du second ordre commun aux deux équations, il doit y avoir une direction de caractéristique commune. Soit m la racine commune aux équations (50), qui vérifie les deux

relations

si on élimine a enlre la première et la troisième des équations (48), puis S entre la seconde et la qualrième, on est conduit à deux nouvelles égalités

i j'y. /rfF\ ?F /,fF,\ D (F. F.) D (F. F.) ^ U ^F. /cfFx Î>F /rfFA D (F. F.) D (F. F.)

En multipliant la première par m et ajoutant, il vient, en tenant compte de la valeur de m, une nouvelle équation de condition

/«n pF, /dF\ JF /r^\-l , JF, /rfF\ JP/rfF,\

Les conditions (49) et (5t) sont suffisantes pour que les quatre équa-

tions (48) se réduisent à Irois, pourvu que le déterminant J, * .*' ne

soit pas nul, ce que nous supposerons. En elTet| les é<|uations(48 bis) peuvent remplacer deux des équations (48), et ces deux équations se réduisent k une seule. Pour que le système (47) soit en involution, il suffit que les conditions (19) et (51) soient vériGées, en tenant compte des équations (47) elles-mêmes. Si ces conditions sont vérifiées identiquement, les équations F = C, P| = C| forment un système en involutioUi quelles que soient les valeurs des constantes €« C|*

On obtient les équations difTérentielles des caractéristiques d*un système en involution de forme générale de la même façon que pour un système en involution de la forme (11). Sur une intégrale commune aux deux équations (47), représentée psr Téquation ^ = 4» (x, y)» considérons une famille de courbes définie par l'équation différentielle d« premier ordre

dx ^'

où m désigne la racine commune aux deux équations (SO) ; on suppose, bien entendu, que, dans m, on a remplacé t, p, 9, r, t, i par leurs valeurs en fonction de m et de y, déduites de Téquation de la surface.

LES STSTËUES F.N EVOLUTION

■ Le long de l'une de ces courbes, on a

ds = pttx + qdy, dp = rdx •}- sdi/, d'/ ^ tdx + tdy^

dr =" wdx -f- p^/y, rf# = prfj» -(- Tr%, A = tdx 4- Wtf ;

mais on tire des équations (48, :

D(r, 1 ^F. /rfF\ JF /rfFA

"'\}r\ds) ir\di,)\

de sorlti que, le long d'une caractéristique, .v, j/, s, p, ^ , r, * , i Batîsfont aux équations dilTérentielles

^ rfy

(52) j = D(F. F . " ' . "^^ (d^\ J^ /dF\

rf« dt

"3F/rfF,\5Fj /rfF\~' r^F, /rfF\ ^F /rfP,\1-

Ces équations admettent, comme on devait s'y attendre, les deux combinaisons inlégrablej dF = o, ciF, ^ o, do sorte qu'on peut les ramener à un système de cinq équations à six variables. On démontre, comme plus haut, que, pour avoir une intégrale du système en învolutîon proposé, il suffll de prendre le lieu desxaracléristiques issues d'une infinité d'éléments dn second ordre (a;,, y,, j',, p,, 9, , r,, i„ 1,), dont les coordonnées sont des fonctions d'un paramètre variable « salistkisaniaux

132. Après avoir étudié en délail les deux cas particuliers qui précèdent, nous allons considérer les systèmes formés d*une équation du second ordre et d'une équation d'ordre quelconque. On ne restreint pas la généralité en supposant que Téquation du second ordre proposée est résolue par rapport à la dérivée du second ordre r. Si, en eflet, Téquation ne contient pas r, elle contiendra Tune au moins des dérivées ê et < ; si elle renferme /, il suffit de permuter x et y pour être ramené au cas précédent. .Si Téquation ne renferme ni rni /, elle est de la forma 1 4- /*(^i Vi ^« Pi 9) = <>« ^^ U suffit de prendre pour variables indépendantes u=za"{ryeiv=zx — y pour avoir une équation résolue par

apporta j;ji-

Nous pouvons donc toujours prendre l'équation du second ordre sous la forme

on, en posant

pm + /"(«. yi *. Pw. pm. pm. jv.) = o.

L'é(|uation (53) et celles qu'on en déduit par des différentiations successives permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles de x au moyen des dérivées partielles Pf^^^ où l'indicé t a Tune des valeurs 0,1. Ainsi, en différentiant l'équation (53) un nombre quelconque de fois par rapport à y » on obtient l'expression des dérivées

au moyen de »iy,jr, p,|,p,„ —«?#«; Pu* Put ..mPi^-m cndifTérenlianl ensuite une fois par rapport à « et un nombre quelconque de fois par rappoK à y, on exprime les dérivées

Jto'îy»-»

an moyen des précédentes, et ainsi de suite. D'une manière généralei on a, si l'indice t est supérieur à Tonitét

(M) Pt^ = F («f Vt *i Pti» Pmi -m P%m ; Pfii Pisi •••! Pm-i)i '+ * = «i

la fonction F se déduisant de /par des différentiations, des multipli

133* Les caractéristiques de Téquation ^53) sont données par les racines de Téquation du second degré

(5$) m«-gm + ^=o;

soient m, et m, les deux racines de cette équation. Si on prend, sur une surface intégrale, les courbes définies par Téquation diOérentiella

dy — m^d» = o,

Torientation d'éléments d'ordre n, qui appartiennent à la surface inti* grale le long de Tune de ces courbeS| constitue ce que nous avons appelé une caractéristique d'ordre n(l| n* 81). On a d'abord, pour une Am

ces caractéristiques, les relations

dy = m|rf», rfjr =rp|^<to +Psi^yt ^IH.* = l>i+i,*rf» + Pi,k^i^V% .

où t -|- A ^ n — 1, et où Ton peut supposer que rindlce I &0 dépasse pas

Tunité. Pour obtenir une nouvelle équation différentielle, nous n'avons

. qu'à différenlier l'équation proposée (53) n— 1 fois de suite par rapport

tiens et des additions. Nous supposerons toujours, par la suile^ k moins de mention expresse, que Ton a remplacé . les dérivées pijt (t > i) par leurs expressions au moyen des dérivées où le premier indice ne dépasse pas l'unité.

Voici une autre notation que nous emploierons fréquemment. Soit ^ (^9 ^1 ^i Pio'-*M Pém) une fonction de x^ y, ^, et des dérivées partielles de jr jusqu'à un certain ordre, n par exemple. Imaginons qu*on diffé- \

rentie cette fonction i fois de suite par rapport kx^k fois de suite par î

rapport à y, en considérant s comme une fonction de x et de y, qu'on I

retranche du résultat les termes qui renferment les dérivées d'ordre n + 1 -|- A, c'est-à-dire

qu'on remplace ensuite les dérivées p,-^, où i > i, par leurs expressions tirées des formules (54) ; nous désignerons le résultat de toutes ces opérations par

.dx'dy^y

80 CHAPITRE YI

à y, ce qui donne

d*au(re part, on a aussi :

dp^n = Pi,n dx + Pi^«+i^y- Remplaçons </y par m|^«, on en tire

et, en portant dans l'équation précédentei il reste:

wy-7 '*'

db? ' ' db

Les équations diiïérentielles des caractéristiques d'ordre n sont done les suivantes

dy = m|<£9, dx = Pi^cCv 4~ Psi^yt dp\% = PiiCto -t piicfy« ..., rf/»i,,-i = Pi.«.tflEv + Pt..-i<'yt (M) ( rfpM = Piirf» + pwrfy, .... rfp^«-i = pi.«-i*r 4- PMt^'yt

;^ <te + rfpi,»-i + m,r(pa^. = o.

On suppose, bien entendu, qu'au moyen des relations (53) et(S4)on n'a laissé dans ces équations différentielles que les dérivées pi^ , où l'indioe t ne dépasse pas l'unité. Ces équations, en nombre 2ii -j- i» renferment donc ^ -f- 3 variables ; elles admettent, par conséquent, comme on Ta déjà remarqué, une infinité d'intégrales dépendant d*une fonction arbitraire. Toute intégrale des équations (56), jointe aux équations (53) et (54)» définit une orientation d'éléments d'ordre n, qui est une caractéristique d'ordre n; pour abréger, quand nous parlerons des équations des caractéristiques, il sera question des équations différentielles (56). On obtiendra le second système de caractéristiques en permutant m^ et m^.

11 est aisé de retrouver, au moyen des formules précédentes, un certain nombre de propriétés qui ont été signalées rapidement (t. I, n* 81)«

Ainsi, toute caractéristique d'ordre n renferme une caractéristique d'ordre n — 1 ; car on déduit des deux équations

en multipliant la seconde par m^ et ajoutant membre à membre, et remplaçant ensuite di/ par m^dx^

C'flP

c'est-à-dire

= Pt.n-1 + j^ Pl.»-I + J^ t^n^

On peut- donc remplacer, dans les équations (5G), la relation

rfp,,,., = pj,„Kifa7 + p,,i,.|rfy

par la précédente. En d'autres termes, les équations différentielles des caractéristiques d'ordre n s'obtiennent en ajoutant aux équations diiTérentielles des caractéristiques d'ordre n — 1 les deux suivantes

I^fp^M'i =Pum^ïdœ^p^^y,

Connaissant une caractéristique d'ordre n — I, pour avoir une caractéristique d'ordre n à laquelle elle appartienne, on a les deux équations^

précédentes qui déterminent Pi,a-i 6t p«^M«

Si on élimine Pi.n-i entre ces deux équations, on est conduit k uno équation différentielle du premier ordre pour déterminer pt,., où le

coefCcientde -^Y^ est(>9ij — mi). Donc, lorsque l'équation caractéristique

(55) a SCS racines distinctes, toute caractéristique d'ordre n — I appartient à une infinité de caractéristiques d'ordre n dépendant d*une constante arbitraire (Voir 1. 1, p. 183).

184. Dans la recherche des intégrales communes k l'équation da second ordre proposée et à une autre équation d'ordre li, f ss o, on larrftoiuTtesf «es équatims. - • '

peut toujours supposer qu'on n*a laissé dans celte dernière que les dériYées p%k et Pi,»« en remplaçant les dérivées pm^ où Tindice t dépasse Funité, par leurs expressions tirées des formules (53) et (54). Si, après cette substitution, l'équation f = o se réduit à une identité, toutes les intégrales de l'équation du second ordre proposée appartiennent k la seconde équation, qui est ainsi uhe conséquence analytique de la pre* mière. Laissant de côté ce cas exceptionnel, supposons qu'on ait un système formé de l'équation du second ordre (53) et d'une autre équa* tion d'ordre n,

(50) f («, y, s, pit, pit, ..., Pi,«-i ; PHf Ptif .... Pm) = o,

dont le premier membre ne renferme que les dérivées ptjg^ où t ^ 1. En regardant z comme une intégrale commune à ces deux équations, pro« posons-nous de calculer les dérivées d'ordre n -|- 1 de cette fonction ; d'après ce que nous avons dit plus haut, il suffit de calculer les dérivées Pi,n et Ptt,ii+i. En diiïérentiant l'équation (39) une fois par rapport k » et une fois par rapport à y, et Téquation (53} (n — 1) fois de suite par rapport à y, on parvient aux trois équations

*** V^)' (ô^)' (^^^' *'**'® '*"* expliqué plus haut (n* 132). En éliminant />i,a-i entre la première et la troisième, on est conduit aux deux équations suivantes, pour déterminer />!,. et|>«,a Vit

Nous dirons que les équations

»'+/*=o, f=:0 forment un ajfttème en inoo/ulion, si les deuxéqualions (61) se réduisent

à une seule (*). Pour qu*il en soit ainsi, il faut d*abord que Ton ait

c'est-à-dire que le rapport ^^ • r-^^ — soit éffal à Tune des racines mi, mi deTéquatlon

Supposons, par exemple, que Ton ait

en tirant la valeur iïepi^n de la seconde des équations (61) et portant dans la première, il vient une seconde condition

Pour que le système r -|- f=^ 0,9 = soit en involution, il faut donc que la fonction ^ vérifie un des deux systèmes d*cquations '

Si la fonction 9 satisfait à l'un de ces deux systèmes, les deux équations (61) se réduisent à une seule, et on peut choisir arbitrairement la valeur d'une dérivée d*ordre n -|- 1 ; en raisonnant comme on Fa fait jdus haut (n* 122), on verrait de même qu*on peut choisir arbitrairement la valeur d'une dérivée de chaque ordre à partir du (h-{-1)* et, par suite, former une infinité de développements en série entière qui satisfont formellement aux deux équations proposées. Au lieu d'établir directement la convergence de ces développements (ce qu*on pourrait faire par

(1) Il suffit que cela ait lien en tenant compte de la relation f = o elle-même. Nom supposeront d'abord qifil nVit pat nécessaire de tenir compte de cette relation; le eat où il est nécessaire d*en tenir compte est examiné plus loin (page 90, n* ISS).

■■■wnx'i—wr— M»i— I m»^ • «sror -. ~»«» 1* «%-'«. ''v-*>K*~.r>*t»v^ r/^"

CIIAIMTRB VI

un artifice analogue à celui qui a été employé précédemment), nous éta* Mirons Texistence des intégrales communes aux deux équations par la méthode même qui servira à les obtenir.

Auparavant, il est essentiel de remarquer que les deux systèmes d*équaiions (A) et (B) se présentent dans une autre question. Les équa-^ lions dîlTérentielles des caractéristiques (56) sont au nombre de %n «^ I, et le nombre des variables est 2n -f- 3, de sorte qu*on ne peut les intégrer comme un système d*équations dilTérentielles ordinaires à une seule variable indépendante. Les méthodes de Monge et d*Ampère con* sistcnt essentiellement, on Ta vu, à rechercher s*il existe des combinai* sons intégrables pour les équations différentielles des caractéristiques du premier ordre. En généralisant cette méthode, proposons-nous, avec M. Darboux, de rechercher s'il existe des combinaisons intégrables des équations diffère ' elles des caractéristiques d*ordre ti, c'est-à-dire des fonctions

t (*. V% ^» Pm*Pi,i» -m Pi,^ -•'» Piii»

telles que Téquation

cff = o

soit une conséquence des écjualions (56). En remplaçant dans </f les différentielles ây^ dt^ cfpi^, ..., </pM-«f ^^P%^-% ^^^ leurs valeurs tirées des formules (56), il reste

c*est-à-dir6

[(t)+-(S->;;^,(P)]-+(è-".5ia:,)''-="-

Pour que </f = o soit une combinaison intégrable des équations (86)^ il faut que les coefBcients de dx et de d[/i«^ soient nuls, c^est-à-direfue ^ «oil une inléçrale du tytièmt (B),

Appelons, pour abréger, systèmes (I) et (II) de caractéristiques les systèmes dont on obtient les éciualions différentielles en prenant dy=zm^ dx^ ou c/y = m^dx respectivement; appelons de même invariani d'ordre n d'un système de caractéristiques toute fonction f («, y, s^ Put •••« Pt«)« renfermant l'une au moins des dérivées Plu-i» p%,m% ^ aucune dérivée d*ordre supérieur^ qui conserve une valeur constante^ quand on se déplace sur une caractéristique de ce systèmCi c*est-i

^»*Me?-?rY»7rap««»-J-»?»«sslW3*p*?«çfrj5V«^ •♦*<' <•?•-.**

LES SYSTÈMES EN INVOLUn02«

telle que d^ == o soit une combinaison intégrable des équations de ce système de caractéristiques. On voit, diaprés cela, que toute fonction ^ qui satisfait identiquement aux équations (B) est un invariant du système (I) de caractéristiques ; de même, toute intégr^ile du système (A) est un invariant du système (II) de caractéristiques.

135. Cela posé, comme nous supposons que la fonction f vérifie identiquement les équations (A), c'est-à-dire sans tenir compte de la relation ^ = o elle-même, les deux équations

forment un système en invoUition, quelle que soit la constante C. Nous allons montrer que ces deux équations admettent une infinité d'intégrales communes dépentlant d'une fonction arbitraire; par une courbe quel* conque (P), il passe^ en général, une infinité désintégrâtes de ce système^ dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires. Soient

les équations de la courbe (F). Si une surface passe par cette courbe sans Tadmettre pour ligne singulière, le long de cette courbe p et 9 sont des fonctions de x qui vérifient la relation

-x'ixj^p + qY {x).

On peut, par exemple, choisir arbitrairement la valeur de 9, et la formule précédente donnera p ; si on suppose, en outre, que la surface cherchée satisfait à Téquation r-{-^=o, cette équation et celles qu*on en déduit par des difTérenlialipns successives feront connaître les valeurs de toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue le long de la courbe (r), ou une orientation d'éléments d*ordre n ayant (P) pour support (*). Imaginons que nous ayons substitué dans f les expressions obtenues pour toutes les dérivées d'ordre égal ou inférieur à n ; le résultat contiendra, en général,

If

dq rf"-* a

En écrivant que ce résultat est égal à C, on a une équation dilTérentielle d'ordre n-;- 1 pour déterminer q (^;); à toute solution de cette équation différentielle d'ordre n — 1 correspond une orientation d'éléments

(>) Il lufflt de reprendre les raitonneiiicnti du n* 16 (t. I, p. 24) et d^adjolndre les relations dp » rdx + tcfy, dq » sdx -f My, et les relations analogues.

86 CHAPITRB VI -

d'ordre n qui appartiennent à une surface intégrale (S) de Téqua* tion r-(-^== o. Celle surface {S) donne auui une inlégrale de Ciqua» Hon f = C. En elTei, Tensemble doublement infini d'éléments d*ordre n que détermine cette surface peut être considéré comme un lieu de oarac* téristiques du système (II), chacunes d*ellcs étant issue d*un point de la courbe (r). Or, puisque ^ est une intégrale du système (A)» cette fonction f est un invariant pour les caractéristiques du système (II), et con* serve une valeur constante quand on se déplace sur une de ces caractéristiques. Comme, d*autre part, 9» = C en tous les pointsde la courbe (P), il s'ensuit que Ton a aussi f sa C en tous les points de la surface (S).

136. Cette surface (S) peut être obtenue par Tintégration d'un système d*équations différentielles ordinaires. Pour établir ce point fondamental, nous remarquerons d'abord que Téquation do condition

rr^ m, T i =

est susceptible d'une interprétation géométrique. D'une manière générale, soit

F (J^» y» ^1 Pli» .-• Pqm) =

une équation aux dérivées partielles de forme quelconque, d'ordre n. Sur une surface intégrale de celte é(|ualion, considérons les courbes définies par Téquation diiïcrcnliellc du premier ordre

>Pm

l'orientation d'éléments d'ordre 11 de la surface intégrale le long d'une de ces courbes constitue une caraclérisliqne de l'équalion d'ordre n. Il y a donc, en général, n systèmes de caractéristiques disilincts, corres* pondant aux n racines de l'équation (U2). Cela posé, dans le cas d'une équation d'ordre 11, y =0, ne renfermant que les dérivées pi, «. 1 et JV., l'équation (6S) se réduit à

et la condition trouvée plus haut

LES SYSTÈMES EN INVOLUTIOZf

exprime que les deux équations

ont une directioa de caracléristique commune. Toute intégrale de ce système est donc engendrée par une famille de caractéristiques communes, et on est conduit tout naturellement à déterminer d*abord ces caractéristiques.

Nous supposons que la fonction ^ satisfait au système (A), et, par suite, que les caractéristiques communes aux deux équations r •\-fz=z o, f =3 C font partie du système (1). Ces caractéristiques satisfont d*abord aux (^-f- équations (50 J et, en tenant compte de ce qu^elles satisfont aussi à la relation f = C, on peut compléter le système d*équations dilTérentielIes. De Tégalitéf = C, on déduit, en effet,

Pi,«-i = o.

dpi.a-1

quand on se déplace sur une caractéristique, on a aussi

rfpi.» - 1 = Pj, « - 1 rf» + Pi.» <'yi et on en tire, en remplaçant dy par m, cte,

en portiint ces valeurs de pi^ et de pi,« . t dans les formules précédentes, elles deviennent

\dy/ ^îpi,»-i dm

Ces équations font connaître ^''""' t -Ç^» car r — ^ — ne peut être iden- ^ dm da ^.ii^t

tiquement nul; autrement on aurait aussi, diaprés là première formule (A), ^- =5 o, et f ne contiendrait pas de dérivée d*orâre n, oon*

trairement à riiypotliôse. On pëutaussi remarquer que les équations (63) entraînent la dernière des équations (56), en tenant compte de la dernière des conditions (A). En définitive, les caractéristiques communes aux deux équations r4-^=o, «^ssC sont déterminées par le système suivant de (2n -|- 2) équations dilTérentielles ordinaires & iit -f- 3 variables

où on suppose toujours qu'on n'a laissé que les dérivées ;},-, ^ où t ^ 1.

Toute intégrale commune aux deux équations r+^ = 0|9s=C s'obtient certainement en associant ces caractéristiques communes suivant une loi convenable. D'ailleurs, on vient de démontrer que, par toute orientation d'éléments d'ordre n satisfaisant aux deux équations r -j- / = o, f = C, et à toutes celles qu'on déduit de r -{- f =zo par des dilTcrcntiations successives, il passe une intégrale commune (S) ; cette intégrale commune est évidemment le lieu des caractéristiques communes qui sont issues des divers éléments de l'orientation précédente. Si donc on a obtenu l'intégrale générale des équations (64)| on obtiendra l'équation de la surface (S) par des éliminations seulement.

Tout système en involution admet donc une famille de mulUplicitiê caractériitiqueêf dépendant de 2 n -^ t paramètres. Comme toute surface intégrale est un lieu de caractéristiques, on en conclut que si deuœ intégrales ont un élément commun d'otrlre n^ elles oni en commun uns infinité simple d'éléments dordre n, formant la caractéristique issue de cet élément.

On voit, d'après cela, que la recherclie des intégrales d'un système en involution passant par une courbe donnée (r) exige Tintégration de deux systèmes d'équations diiïérentielles ordinaires, absolument indé^. pendants l'un de l'autre. L'un deux, toujours le même, quelle que soit la courbe (r), fait connaître les caractéristiques du systkme en involuiUm. L'autre système, qui varie avec la courbe (r), détermine une orientation d'éléments d'ordre n, ayant cette courbe pour support et appartenant à une intégrale du système en involution proposé ; on peut le remplacer par une seule équation difTérentielle d'ordre n — 1*

LES SYSTÈMES EiN INVOLUTIOM 89

137. Supposons qu*on ait obtenu le^ caractéristiques communes du système en involulion» ou, ce qui revient au même, trouvé l'intégrale générale des équations (64). Soient

I y = P (a-, x^, t/^, z^; n,„ . . . , IU«),

(63) N X =r= Q (a?, a?^, y^, ^^î "wi • • • » n.,),

( 7>i.* = R/Jt (-i-, ^01 yr ^i» n,t, ..., Ilt^),

les formules qui représentent Tintégrale générale de ce système, •Vot '^o« ^f*k désignant les valeurs de y, z^ p;,^. qui correspondent à la valeur initiale x^ de or.

I^ résultat que nous venons d'établir par des considérations empruntées à la théorie des caractéristiques peut s^énoncer comme il suit : Pour obtenir une inléyraJle du système en inroJulion proposé^ il suffit de remplacer dans les formules (65) â?^, j/gi ^o* ^><a ;>a>* des fonctions d'un paramètre z satisfaisant aux relations

ç, c, -jJ = n... y^ 4- n., -^i

on suppose que, dans ces formules, Ui^ ait été remplacé par une exprès* sîon au moyen deo:^, y^, z^, ïTi^o, ..., ^t.k^ i,na,i, ..., U^^k^t pareilleà celle depj,jtaumoyendea?, y, z, p,,o, .., Pi,a + i» ra,if ...,P«,*+t, déduite des relations (53) et (5i). En elTct, les équations (6G) définissent alors une orientation d*éléments d'ordre n qui appartient à une intégrale du système en involution proposé ; cette intégrale est nécessairement représentée par les formules (65), puisqu'elle est le lieu des caractéristiques du système en involution issues des divers éléments de Torienta^» tion dont il s'agit.

Le théorème précédent peut s'établir par un calcul direct, comme nous Tavons fait pour les systèmes en involution formés de deux équations du second ordre. Je renverrai pour la démonstration au travail déjà cité de M. Beudon.

188« La détermination des caractéristiques du système en involu* tion, qui constitue la partie essentielle du problème, donne lieu i une remarque. Les équations (64) admettent toujours la combinaison inté* grable d^ = o, comme il est facile de le vérifier ; on peut donc remplacer Tune de ces équations différentielles par la relation f = C, el en tirant de celle-ci Tune des variables en fonction des autres, on est

ramené à un système de Sn -(- I équations difTérentielles enire Su -|- ' variables. Mais il y a lieu de faire une distinclion, qui peut avoir une certaine importance pratique. Lorsque les deux racines m|, m^ de Téquation

sont distinctes (ce qui est le cas général), ^^ = o ne peut pas être une combinaison intégrable des équations dilTérentielles des caractérit* tiques (I), car on devrait avoir à la fois

ce qui est impossible, puisque m^ est diiïérent de iiij. Par conséquent» en ajoutant aux équations (56) la relation </f =: o, ou ^ = C, on obtient un système absolument équivalent au système (61). Ainsi, pour obtenir let équationM différentielles des caractéristiques du système en involulion^ il suffit dajouier la relation ^ = C aux équations di/féi^entielles des earactériitiques (!) cb r 4* ^ = <^- 11 n'en est plus de même lorsque Téquation

m' — r^W 4- 77 = o d« * àt

a ses racines égales. Alors rff =s o est une conséquence des équa* tiens (56), et il faut partir des é(|uations (61) pour trouver les caractéristiques du système en involution.

139* Examinons maintenant le cas où les équations (A) sont vérifiées, non plus identiquement, mais en tenant compte de la relation f == o .elle-même. Pour plus de clarté, supposons l'équation ^ = o résolue par rapport à la dérivée Pi. m . i , ce qui est possible puisque, si o ne renfer* mait pas pi, . . i , elle ne renfermerait pas non plus Pm t d*après la pre* mière des équations (A). Écrivons, par conséquent,

f = pt,m^i + ^{x, y, X, Pli, ..:, pt„) «i o;

les conditions (A) deviennent

LES SYSTÈMES Elf LNVOLUTION 91 - - . |

La première montre que •}* est une fonction linéaire de ;!•« ; la seconde I

doit se réduire à une identité, quand on y remplace pi.«-t par |

-^•l'Ky. -•/» iPm). \

Imaginons encore que Ton se déplace sur une caractéristique du système (II) ; le long de celte caractéristique, y, z, j),^, ..., p^,, sont des fonctions de x. Si on substitue dans f ces valeurs de y, z^ ..., p^, le résultat est aussi une fonction de œ dont nous allons calculer la dérivée, dans cette hypothèse. On â

dx-^ dx '^^p^n dx '^\dx)^'''^\dyy

ou bien, en tenant compte dos équations d'une caractéristique du système (II),

dx

on voit donc que ^ doit être nul Iors(|ue Ton a ^ == o. Or, -7^ contient

Pi.n-i ûu second degré au plus, tandis que 7 contient Pi,«-i au premier degré ; si Ton élimine pi, m -ii on est donc conduit aune relation de la forme

qui est vérifiée quand on se déplace sur une caractéristique du système (II). Si f est nul pour la valeur initiale a?^, les coefficients A et B étant des fonctions régulières dans lé voisinage, il s'ensuit que f sera nul en tous les points de cette caraclérisfuiuc. En d*autres termes, tous les éléments d*une caractéristique (11) vérifient réquationf = o, pourvu qu'un seul élément de cette caractéristique vérifie cette Àjuation. On en conclut, en raisonnant comme plus haut (n* 137), que, pour toute orientation d'éléments d'ordre n appartenant aux deux équations r -|- ^ = o, f = o, il passe une intégrale commune k ces deux équations. La détermination de cette intégrale commune s'effectue de la même façon.

140. On déduit de ce qui précède la propriété fondamentale des syttèmes en invulution, qui pourrait leur servir de définition, ktant donné un système en involulion formé d'une équation du second ordre r 4-^=ro et d'une équation d^ordre quelconque 11, iouiê orieniaiùm d*éUmenU d'ordre n appartenant à ces deux équatiom déterminé une

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^î . CHAPITRE VI

intégrale eomtnw^e du tyslhne^ pourvu, bien entendu, que» dans le Yoi* sinage de celte orientation d'éléments, les conditions de continuité, que nous avons toujours supposées satisfaites, soient remplies. II est facile, •d*aprës celle propriété, de retrouver et de donner la raison d*un théorème établi plus haut (n* 134).

Si fes équations r4~/'=^ft^^ feignent un système en invotution^ quelle que soit ta constante C, f est un invariant d'un des systèmes de ■caractéristiques de Céquation r -f- f=o.

Soit (S) une intégrale de réqualionr 4*^ = ^i ne vérifiant pasTéqua* tion f = C. Sur cette surface, les courbes f = C forment une famille <]e courbes (r) qui sont forcément des caractéristiques. En eflet, le long d*une de ces courbes (F), Toricntation d'éléments d*ordre n de la sur* face (S) vérifie Téquation f = C ; il passe donc par cette courbe une intégrale du système ep involulion, qui a un contact d'ordre n avec (S). Par suite, ces courbes (P) forment une des familles de caractéristiques de la surface (S) ; comme celte intégrale (S) est quelconque, il s'ensuit •qu'il y a une des familles de caractéristiques de Téquation r -f* ^ = o, telles que ^ reste constant quand on se déplace sur une caractéristique <\e cette famille. •

La recherche des équations d'ordre n formant avec r -|- ^ = o un système en invohition est ramenée à l'intégration des équations linéaires simultanées (A) et (B). Ces systèmes seront étudiés en détail au chapitre suivant ; pour le moment, je me bornerai aux deux remarques suivantes :

1* Lorsque n est > S, la première des équations (A) montre que les <]érivées d'ordre 9i, pi,n- i ^^ P*^ ne pourront figurer dans f que si f contient la combinaison linéaire pi, «.i-f* ^f^^Pm ; une intégrale f contiendra donc toujours la dérivée Pi,ii.i ;

2* Lorsqu'on fait successivement n =r 2, 3, ..., on obtient deux suites illimitées de systèmes d'équations linéaires. Chacun de ces systèmes admet toutes les intégrales des systèmes précédents de la même série. Pour le prouver, il suffit évidemment de démontrer que le système (A), ^M>rrespondant à une valeur de it, admet toutes les intégrales du système précédent, obtenu en changeantn en n — 1. Si on suppose, ea effet, que f ne renferme que les dérivées jusqu'à Tordre n — 1,

on â

T = + («1 y» ^1 Pw» —. Pi.»-!; p%,u ..M î^ii-i)t

(â) *^ (^) "y**"' "" ^"' analogue à celui de (£-). (g). La preniière des équations (A) est vérifiée identiquement, et la seconde devient

D*autre part, on a, en dîiTérentiant (n — 2) fois par rapport à y^ réquatîon r -|- /^ = o,

et, en éliminant pj, n . s, il vient

comme, par hypothèse, •} ne contient ni j)o.i„ ni pi, n - 19 il faudra donc que- Ton ait à la fois