L drl r — ^ >«• ^ = O

U) + '"' te) - wT. Vy^O = "•

c'est-à-dire que ^ soit une intégrale du système (A'), analogue au. système (A). Le même calcul prouve qu*inversement toute intégrale du système (A') est aussi une intégrale du système (A).

Remarque I. — On a toujours supposé jusqu'ici que Téquation du second ordre proposée était résolue par rapport à r. Dans la pratique,, il peut se faire que cette résolution ne paisse pas être ciTectuée, quoique- Téquation du second ordre contienne la dérivée r. Mais ou peut toujours, en dilTérentiant cette équation, obtenir explicitement une dérivée d*ordre quelconque en fonction de x^ y, t, p, ^, r, t, I, et des dérivées pi^f d*ordre supérieur au second, où Tindice t o^J'une des valeurs oji 1 ; il suffit donc d*ajouter, dans les raisonnements qui ont été faits plus haut, la dérivée p^ aux dérivées au moyen desquelles s^expriment toutes lesautres. Cela étant, pour que Téquation proposée et une autre équation d*ordre n forment un système en involution, il suffit que les condition»* qui remplacent (A) ou (B) soient vérifiées, en tenant compte de réqoâlion proposée elle*méme.

De même, on pourra conserver r ou p^^ dans les équations différen-

tielles des caractéristiques (61), à condition d'ajouter à ce système réquation du second ordre donnée. Nous n'insisterons pas davantage sur les modifications que doit alors subir la méthode précédente, qui n'offrent aucune difficulté théorique.

Remarquell. — On peut aussi étendre aux systèmes en involutton formés d'une équation du second ordre et d'une équation d*ordre n la théorie des intégrales complètes. Une intégrale

♦ (*f y» ^f «M «if -M tf^) = ^t

dépendant de q paramètres «i, a,, ... a^^ est une intégrale complète du système en involution si, en c^liminant les paramètres a/ entre l'équation 4» = o et ses dérivées successives, on n'arrive à aucune relation entre .r, y, z^ p,^, ..., })i,ii-i, p«|, ..., })««, différente de f = o. S'il en est ainsi, on peut choisir arbitrairement a?, y^ z^ Pi^, ..., pi.n^s, Poi« ..., /)«,n-i et une des dérivées 2Kn -i et Po«« ^® Q^^ exige que le nombre q soit au moins égal à Su. Supposons q = 2>i, et soit (S) une intégrale quelconque; on peut disposer des 2m paramètres £i|, ..., «^j, de façon que l'intégrale complète ait avec (S) un contact d'ordre n en un point donné. Les deux surfaces auront alors (n* 136) un contact d'ordre n tout le long de la caractéristique issue de cet élément; ce qui prouve que toute intégrale du système en involution est l'enveloppe d'une suite simplement infinie d'intégrales complètes.

Les caractéristiques du système en involution sont donc représentées par un système de deux équations de la forme

♦{«^ly^^f^i. -M «an) =o.

^Ai,+ ..., +JL^rffl,. = o;

mais comme ces caractéristiques ne dépendent que de 2n -f- 1 paramètres, îl doit y avoir, entre «„ ..., «,„, rf«„ ... rfa,,, (Sn — 2) relations homogènes en da^^ ..., da^^

P' («M ^t» —f «jn» rf«o ^«j« — f *'«>») = o, I = 1,2, ...,211— 2; ces 2n — 2 relations s'obtiendraient, comme plus haut, par des différentiations et des calculs algébriques. On peut donc obtenir» sans aucune intégration, les caractéristiques dès qu'on connaît une intégrale complète. Mais, pour avoir l'intégrale générale elle-même, il faudrait trouver les expressions les plus générales de 2n fonctions «|, a^ ..., d*un même paramètre, vérifiant les 2ii — 2 relations F| s o*.

■•fc »■■ I

on admet que, dans celte dernière équation, le premier membre est une fonction entière et irréductible des variables qui y figurent, au moins dans un certain domaine de valeurs pour ces variables, de telle sorte que les relations

par exemple, ne peuvent être des conséquences de Téquation (67) ellemême.

Les intégrales cliercliées peuvent satisfaire k Téquation r — ^ = o,

ou ne pas vérifier celte équation.

Examinons d*abord celle dernière hypothèse. Pour rechercher les intégrales dont il s*agil, on peut supposer Téquation (67) résolue par rapport à pi, « . i et Técrire

(67)' Pi,m^i + ^ («. Pj X, pio, ..., Po,) = o.

Cela posé, nous avons encore plusieurs hypothèses à examiner, suivant que l'expression

est nulle, ou non, identiquement. Si H n*est pas nul identiquement, et si les intégrales cherchées ne vérifient pas Téquation H = o, on a vu plus haut que Ton pourrait trouver les valeurs de toutes les dérivées d^ordré (n + 1) de la fonction inconnue au moyen de an y y, z et des dérivées d'ordre moindre ; ces intégrales ne peuvent donc dépendre que d*ua nombre fini de constantes, et on est ramené à un problème que Ton sait traiter.

Si les intégrales cherchées vérifient Téquation II = o, H peut contenir p^» ou être indépendant de j\,i. Dans le second cas, les intégrales vérifieront une équation d'ordre inférieur à n. Dans le premier cas» si

on n*a pas en même temps j~ = o, on peut tirer Pi^m de Téquatioa

H =5 o, la relation (67)' donne Pi, n- 1» et» par suite, toutes les dérivées d'ordre n de la fonction, inconnue s'expriment au moyen des précédentes.

141. Reprenons maintenant la question générale proposée au début du n® 134. Il s'agit de rechercher les intégrales communes à l'équation du second ordre r + /■= o et à une équation d'ordre n ^

(67) f (af, y, r, pi,,, pi,,, .... pi,« i, p«.i, ..., p,.,) = o; \

''"^**** '•'"""^r*'»*^- "■ *■ wmw i *ws w H 'ii n h? . ffWH » '*» J> ^ i' iw> r»-y «y » »> ^a i'ifw.».»y » t< »ai « M r^ia.trft«'TTIur? v »• ?.~'." — n '*'»*'^ ^ >»-.i»t«»~. <nv \-«*.v(«.^>*'

96 CUAPITRB VI

DH Si on a à la foia II = o, r — = o, rélîmination de pt.ii conduit à une

équation d'ordre inférieur à n.' Si II est nul identiquementi si on a, par exemple ^-^ = m|, on a vu

plus haut (n* 139) que toute intégrale commune aux deux cqualiona r-f-/'=o, pi.«-t-h^=o doit vérifier aussi réi|uatioa

OÙ on suppose />i, a ^ s remplacé par — «f . Lors<|uc K est nul identi<|uement« les deux équations r-f-/'=o, pi, n-i -|-^=o forment un système en involulion. Si Féquation K = o ne se réduit pas à une identité, on démontre, en raisonnant comme tout à Theure, que les intégrales communes ne dépendent que d*un nombre iuii de constantes arbitraires, ou qu'elles satisfont à une équation d*ordre inférieur a n.

11 reste à examiner le cas où il existerait des intégrales communes aux deux éqpations

. vérifiant aussi réi|uation j^ = ^| — ^ — = o. On peut toujours supposer que la relation

D (pi,»-i.Pit»)

n*est pas une conséquence des relations ^ = o, f | = o, car on pourrait

. alors remplacer ces deux relations par un système équivalent, mais

d*une forme plus simple. Si les intégrales communies aux trois équations

i ne satisfont pas à la relation rr-7 — lîi-îii — . -- ^ ^u ^^^ résoudre le

\ système f = o, f | =0, par rapport à pi,. . 1 et p^,, et les intégrales

I communes ne dépendent que d*un nombre fini de constantes arbitraires.

Si ces intégrales communes vérifient aussi la relation

rélimination de pi, ■. i et p^m conduira k une nouvelle équation d^ordre inférieur an.

En résumé, en passant en revue toutes les hypothèses que Ton peut faire, on ne trouve que trois cas à examiner : 1* les équations proposées forment un système en involution ; 2* les intégrales communes dépendent d^un nombre fini de constantes arbitraires ;.3* ces intégrales communes vérifient une équation d'ordre inférieur à n.

En opérant sur une équation d'ordre inférieur à n\ comme on a opéré sur réquation d'ordre n, et ainsi de suite, on voit que, en définitive, U recherche des intégrales communes k une équation du second ordre r -{-/*= o ^t à une équation d'ordre n se ramène toujours à l'intégration d'un ou de plusieurs systèmes en involution, ou k l'intégration d'un ou plusieurs systèmes dans lesquels toutes les dérivées d'un certain ordre de la fonction inconnue s'expriment au moyen des dérivées d'ordre inférieur. En particulier, pour qu'une équation d'ordre n, 9 = o, admette une infinité d'intégrales communes avec l'équation du second ordre r -{-/'= o, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, il faut que le système cp = o, r -f~ /^ = o ^^ ^^ involution, ou qu'il admette toutes les intégrales d'un ou plusieurs systèmes en involution ^ = o, r 4- /* = o, où 'f est d'ordre inférieur an.

Il peut d'ailleurs arriver que le sysU^me r-f-/'=o, f = o admette plusieurs ensembles distincts d'intégrales, les uns dépendant dun nombre fini de constantes, les autres d'une infinité de constantes. Nous en avons déjà vu un exemple (n* 129) avec le s}'stème

l+p» pq i+j«

142. Considérons encore le système formé de Téquation du second ordre r'\'/' = oeide deux équations d'ordre quelconque f = o, ^ = o. D'après la discussion qui vient d*étre faite, le seul cas qui demande un examen particulier est celui où chacun des systèmes (r 4- /*= o, f = o) et (r 4- f=z o, ^ =s o) est en involution. Ce cas se subdivise lui-même en deux autres, suivant que les fonctions f et ^ vérifient l'une et l'autre des conditions du même type (A) ou (B), ou des conditbns de types différents (*). Prenons d'abord le second cas, et supposons, de plus, pour fixer les idées, que les fonctions f et 4» renferment toutes deux des' dériyéet d*ordre n, et aucune dérivée d'ordre supérieur, quand on ne laisse, bien entendu, que les dérivées p^ji où Tindice 1 a Tune des valeurs ou |.

(>) Dans ee paragraphe et les tnivànts, on tuppoM que les feacUons f et t vérifient identiquement les équalioat correspondantes ; le ralsomMmeat t^étead tans dinicttlté an cas où il faut tenir compte des relations ^ m o, f s e eUeMièuies. DCTtoaJkTMII SIS tonATioas. 1

M CHAPITRE YI

Dans ce» conditions, la fonction ^ , par exemple, satisfait aux équations (A)

et la fonction ^ aux équations (B)

Des deux équations f = cf, 'f s=s o on peut tirer les valeurs des déri- Tées p«^ et pi^-t en fonction des dérivées d*ordre inférieur, puisque le déterminant fonctionnel

ne peut être nul dans le cas où tn^ et m^ sont différents, ce que nous supposons. Si s est une intégrale commune aux trois équations proposées, on peut donc exprimer toutes les dérivées d*ordre n de la fonetion inconnue au moyen des dérivées d*ordre inférieur. Prenons, comme inconnues auxiliaires

Pm« Pm« •••« Pi.ii-iî P«,i9 Pt.t9 •••• Pnii-i» nous pourrons former un système d^équations aux diflTérentielIes totales,

«(Pi.» = P* •<*» + Pi. irfy.

dp^^m^t = Pt.m^ldw + P^m^Vt

OÙ pg,M>i et jii^n sont tirés des équations ^ = o, j» = o, tandis que Pi^«ff |>t,it — Pi,ii-i ^n^ supposés remplacés par leurs valeurs déduites des équations (53) et (51). D'après la façon même dont on a formé ce système, les seules conditions d'intégrahilité du système (68) qui ne soient pas vérifiées identiquement sont celles qui proviennent des deux dernières équations. Les dernières conditions d*intégrabilité s'obtiennent (n* 118) en exprimant qu'en partant des trois équationf

r + /'= o, ^ = o, tj» =: o, on obtient un système de valeurs unique pour les dérivées d'ordre (n + !), p«,» + i, pi,», Pi.«-i. Orces troisdérivées doivent satisfaire aux cinq équations

qui se réduisent à trois, d'après les conditions (A) et (B). En efletf les conditions (A) expriment que la seconde des relations (69) est une combinaison linéaire de la première et de la troisième ; les conditions (B) expriment de même que la quatrième relation (69) est une combinaison linéaire de la première et de la cinquième. Les équaiiont (68) forment donc un tt/stètne complètement inlégrahle.

On peut encore établir ce résultat comme il suit: Prenons un élément d'ordre n appartenant aux trois équations r -f- /* = o, f = o, ^ = o, c'est-à-dire un système de valeurs pour

satisfaisant à ces trois équations et à toutes celles qu'on obtient en dif* férentiant l'équation r -|- /*= o, (n — 2) fois au plus. Nous allons montrer que^ par cet élément (En), il passe une intégrale commune aux trois équations proposées. De cet élément (E«), il part une caractéristique du système (I) et d'ordre n, satisfaisant à la relation ^ = o ; en effet, si on ajoute aux équations différentielles des caractéristiques d'ordre n du système (I) la relation d^ = o, on a un système de Su -f* ^ équa* tions différentielles entre in 4- 3 variables qui admettent, en général, un système de solutions admettant les valeurs initiales données. Cet intégrales déterminent une caractéristique d'ordre n, (r), du système (I), dont tous les éléments satisfont à Téquation 4» = o, puisque clf = o est une des équations différentielles dont on s'est servi, et que l'élément initial satisfait à t|i = o. On voit de même que de l'élément (Em) part une caractéristique d'ordre n, (rO, du système (II), dont tous les éléments vérifient la relation f = o. Ces deux caractéristiques d'ordre n, (r)

100 CHAPITRB VI

et (r')» déterminent une surface intégrale (S) de réc|ualion (•) r -J-^ = o, qui, d'après ce qu'on a vu plus haut (n* 135), doit salisfaire aux deux équations ^ = 0,4^ = 0, car elle est le lieu des caractéristiques du système (H) issues des divers éléments de (F), et aussi des caractéristiques du système (I), issues des divers éléments de (r").

148. La conclusion est la même lorsque les deux équations f =:: o, ^ = o sont d'ordrcs diiïércnts. Supposons, pour fixer les idées, que f ne renferme que les dérivées d'ordre w (m < n) et vérifie les conditions (A)

(â)+-a)-5^/îr-0"-

tandis que '\ renferme des dérivées d*ordre n et satisfait aux conditiens (B)

(>) Le théorème du n* 84 (t. 1, p. 193] peut en etrel être généralité de la façon tuU ▼aute :

Deux caraclénêUques d'ordre n, de tyêiimtê dîffértnt» (C) et (C), atjant un élément commun d*ordt*€ n, appaHienneni à une êurfhce inlégraU ei à nneêtule*

Soient, en effet (c) et (c). les deux caractéristiques du second ordre qui sont con» tenues dans les caractéristiques (G) et (C), et (S) la surface intégrale de Téquation r 4- ^ = o, qui renfenue ces deux caractéilstiqucs (e) et (c). Pour démontrer qoa tous les éléments des deux caraclérisliques (C) et (C) appartiennent à celte Intégrale, Il suffit d*établir de proche en proche qu'il en est ainsi pour les éléments du troisième ordre, puis pour ceux du quatrième ordre, etc. Désignons par les lettres dei^ les différentielles relatives aux déplacements sur les caractéristiques (r) et (c') retpectlTenient. Les valeurs des dérivées px^ et />os au point commun k ctM deux caractéristiques sont données, sans aucune ambiguïté, par les deux équations dn premier aegré

àï\t = Pt.f rfr + ;>»;s dy

de sorte que Télément commun du troisième ordre est déterminé ; les caractéristiques du troisième ordre, issues de cet élément commun, renfermant les caraclé» ristiquet (e), (e'), sont elles-mêmes déterminées. Par suite, il en est de même de Télément commun do quatrième ordre, etc., de Télément commun d^ordre n. Cet élé* ment commun d*ordre 11 appartient nécessairement à la surface Intégrale; comme les caractéristiques d*ordre ji, qui renferment (c) et (c') sont entièrement déterminées quand on s*en donne un élément d*ordre n. Il s*ensuit que tout les éléments de cet earactéristiqoes (G), ((T) appartiennent aussi à la surface (&)•

lOt

il est toujours entendu que 9 et d> ne renfernienC que les dérivées Pi^k% où rindice t a Tune des valeurs ou 1.

L'équation r -[-/'= o (^t celles qu'on en déduit par des différentiations répétées permettent d*exprimcr toutes les dérivées partielles delà fonction inconnue, jus(|u*à celles d'ordre m — i inclusivement, au moyen de

il n*en est plus de même à partir des dérivées d'ordre m^ puisqu^on doit tenir compte delà relation 9 = o et de celles qu^ou en déduira par des dilTérenlialions répétées. Mais on peut encore, dans chaque ordre, choisir arbitrairement la valeur d'une dérivée parlieUe (n* 134), puisque les équations r-)-/^=:o, f = o forment un système en involution ; de sorte que, de Tordre m jusqu'à l'ordre n — 1 inclusivement, toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue s'expriment au moyen des précédentes et des dérivées

par exemple. A partir de l'ordre n, toutes les dérivées partielles s'exprimeront au moyen des précédentes. Ainsi, les deux dérivées p«^ etpij^i s'obtiendront par la résolution des deux équations

Le déterminant fonctionnel des deux premiers membres par rapport à P9.m et pt,m^t ai pour valeur

^Pê,m^Pl,n-l ^i>l,m-l ^P%m

c'est à-dire, d'après les formides (A) et (B),

Connaissant pi,. et Pi,n~u on formera ensuite les expressions des autres dérivées d'ordre n sans difficulté.

Par conséquent, si oa introduit comme inconnues

on peuiformer un système d'équations aux diiïérciiltclles totales pour déterminer x et ces inconnues auxiliaires, dans lesquelles les coefficients de dx et de dy dans les seconds membres sont des fonctions parfaitement déterminées de m^ y, x et des inconnues auxiliaires* En s*appuyant sur ce que les deux systèmes (r + /'= o, j = o), et (r +/= o^^ri^o) sont en involution, on démontrera, comme dans le cas déjà examiné, que ce système d*ét|uations aux diflerenlielles totales est complètement intég^ble.

On peut aussi employer le second procédé de démonstration. Soit (E)* un élément d*ordre n commun aux trois équations r -|» /= o, ^ = o, •{» = o« c'est-à-dire un système de yaleurt

satisfaisant à ces trois équations et à celles qu*on déduit des deux premières par des dilTérentiations répétées. Par cei élément (E)., ii passe une intégrale commune des trois équations. Appelons (E)iw Télément d*ordre m contenu dans (E)», élément qui appartient aux deux équa* tions r -}-/'= o, f = o. On démontre, comme plus haut, que deTélément (E)« part une caractéristique d*ordre n, (C)., du système ^11] dont tous les éléments vérifient la relation ^ = o ; de même, de Télément (E)m part une caractéristique d'ordre m, (C%, du s}'stème (I), dont tous les éléments vérifient la relation f = o. Cette caractéristique (0% est contenue dans une caractéristique (G*)* du même système, à laquelle appartient Télément (E). ; et, de même (C). renferme une caractéris* tique {P^)m du système (II), à lac|uelle appartient Télémcnt (E)^. Cela posé, les deux caractéristiques (C)n et (C"^» déterminent une surface intégrale (S) de Téquation r -|- ^ = o ; (S) est aussi une intégrale des équation f = o et i|f = o, car on peut la considérer, d'une part, comme un lieu de caractéristiques d'ordre n du système (1), issues des divers éléments de (C)«; d'autre part, comme un lieu de caractéristiques d*ordre m du système (II), issues des divers éléments de (C% (n* 133).

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, qui est très important pour la suite.

Soit I tin invariant du système (I) de caractéristifjues de tiquation du second ordre r -f- ^= o ; soit f un invariant du systhne (II) de caracti' ristiques de la tnime équation. Les trois équations

r + r=o, ^ = C, + = C, /ànnent un système comptètemeni intégrahle.

et, par suite,

Prenons d*abord f (<) s t|i [s) = g; la dernière équation nous donne

144. Lorsque les deux fonctions f et 4» vérifient simultanément les équations (A) ou les équations (B), les conclusions sont toutes différentes. Si les irais éqtuUions ' . '

r + f=to, <p = o, + = 0,

otU une intégi*ale commune^ eUet en ont une infinité dépendant d^une infinité de constantes arbitraires.

Supposons,pour fixer les idées, que 9 et *^ vérifient les conditions (A). Soit (S) une intégrale commune, (C) une caractéristique de cette sur* face du système (I). Il existe (t. I, n® 83) une infinité d'intégrales de Téquation r -{-/ = o, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, qui ont un contact d'ordre n avec (S) tout le long de cette caracté* ristique (C) ; nous prenons pour n Tordre des plus hautes dérivées qui figurent dans les fonctions 7 et 'f . Toutes ces intégrales satisfont aussi i

aux deux équations ^ = 0,^ = 0, car on peut les considérer comme un lieu de caractéristiques du système (11), issues des divers éléments de la caractéristique (C), éléments qui vérifient tous les relations f = o, ^ =0 (voir n* 135).

11 ne peut donc se présenter que deux cas pour le système proposé; ou bien ce système est incompatible, ou bien Tintégrale générale dépend d*une infinité de constantes arbitraires. Les deux cas peuvent effective* ment se présenter, comme le montre Texcmple suivant. L'éc|uation

forme un système en involution avec chacune des équatroîis

y 2aît -1- <p (,) = o, p — XS*+jf{s)=zO,

quelles que soient les fonctions 7 et |« On tire de ces deux dernières, en différentiant par rapport à a;, en tenant compte de r -|- ^ == o,

■ «H T » » ! I ■ p »f i^ w WH f m r ' mm m *mi* -J i ■ > H t» i i i i .i U w ^l ■ ■ ■ > m i .n | i» ■^■■im ^ i ^ f^mm' W i»^r"'r^»m...ti^t%-mt^. -it -■- ^.j-f-^-i- .«a »> V -

^ = o, el les précédentes donneraient « = o, p = o, y =: o» c*est-à-diro que les trois équations

r + #« = 0, y — 2a»-}-#=iO, p — a:««-|-# = o,

sont incompatibles. Prenons, au contraire, f = 2f , ^ = s* ; si on élimine s entre les deux équations

y — 2xt -|- 2» = o.

00 est conduit à une équation du premier ordre

4p 10? — i) — y» = o, dont toutes lès intégrales satisfont au système :

r + #• = o, y — 2x« + 2# =? o, p — rcj* + #« =s o.

145« Toute équation de la forme (70) « + r(a?»y»*iPf«') = o

peut, comme on l'a déjà remarqué (n* 132), être ramenée à la forme

r + r[io, y, jr, p, g, «, = <>•

en prenant pour nouvelles variables x -{- y et j? — y. Mais, comme réquation (70) est une des plus simples auxquelles on puisse ramener une équation aux dérivées partielles du second ordre, nous montreront rapidement comment on peut traiter les mômes problèmes sur une équation de cette forme.

L'équation (70) et celles qu'on en déduit par des différentiations répétées permettent d^exprimer toutes les dérivées partielles au moyen de celles qui sont prises par rapport à l'une des variables seulement.

D'une manière générale wnTI s*6xpnme an moyen de

*• y» ^* ^v ••' ^' ïy ••• ^

D'après l'équation proposée elle-même, la loi est vraie pour i s A s 1 ; pour établir qu'elle est générale, il suffira de vérifier que, si. elle esl vraie pour les dérivées partielles d'ordre égal ou inférieur à n, elle esl

É-A ^^m^mmm^mm

R« ^ "«^Pl-if f"^ <

encore vraie pour les dérivées d*ordre n + 1 ; ce qui n offre aucune difficulté. Un des indices des dérivéesp/. jt, au moyen desquelles s^expriment toutes les autres, étant toujours nul, nous modifierons un peu les notations employées jusqu'ici, en posant

Jo? "^ ^«' îa?> "" ^^' "•* 55 ■" ^*' •*•' Jm — 9o s^a — S'il •••» \7J — î'*» •••»

et on supposera toujours que, dans les relations suivantes, on a exprimé toutes les dérivées au moyen de x, y, x, P|, p,..., ^|, ç,... On a, par exemple.

tandis que ^ est une fonction de a?,y, j", p,, ..., |)/, 5^1, et ^ une fonction de a?, y, jr, p„ q^, .... q^. .

Cela posé, les équations différentielles des deux systèmes de caractéristiques d^ordre fide Téquation (70) sont respectivement

dy z= o, rfjr = pjrfa:, dp^ =p^dXy ..., ffp,-| = p,rf»,

(II) { ^ = ^^^ — îirfyi ^'Pi = j& <'yi -M ^p. = *-^ rfy,

chacun de ces systèmes se compose de (2n 4^ 1) équations entre

{2n + 3) Variables («, y, J^t Pu ..., P«« 9i« •••« »■)•

Cherchons les conditions pour que Téquation proposée (70) forme nn système en involution avec une autre équation d^ordre n

(71) f (a?, y, jr, p„ p„ .... p, ; ç^ fl^,, ,.., Ç.) = o.

En différentiant cette relation par rapport à « et par rapport à y, il YtenI

^■^^mim^ÊttÊ^^t^ptmn^^mÊm9^90m

^«^■««^■iAMkn^MBVHK.^N^^ .^V*

106 CUAPITRB VI

quand on aura remplacé ^ et ^^ par leurs expressions, p. 4. | ne figurera que dans la première équation, et 7.^, ne figurera que dans la seconde. Pour que les deux relations se réduisent à une seule, il faudra donc que Tune d'elles soit vérifiée identiquement, c'est-à-dire que la fonction ^ doit satisfaire & Tun des systèmes ci-dessous (*)

Prenons, par exemple, les conditions (A). La première montre que f ne dépend pas de ;« ; si n est > 1, le coefficient de q» dans la seconde

est -^ ' On doit donc avoir aussi ^ * := o,de sorte que f ne dépend

pas non plus de 绫,. En continuant ainsi, on démontrera de proche en proche que ^ ne doit renfermer que les variables

*^9 y^ ^» Pii •••1 p«»

ul on peut remplacer le système (A) par le suivant

On voit de même que, si une fonction j satisfait aux relations (B), f est indépendante de P|, p,, ..., p«, et on peut remplacer le système (B) par le suivant

Lorsque les équations (A) sont vérifiées identiquement, il est aisé de vérifier que rff = o est une combinaison intégrable des équations différentielles des caractéristiques du système (II) ; de même, les conditions (B) expriment que cf^ := o est une combinaison intégrable des équations différentielles des caractéristiques du système (1). Les conséquences sont les mômes que celles qui ont été développées plus haut.

146« La méthode générale d'intégration des systèmes en involution peut être remplacée ici par un procédé plus direct. Pour fixer les i(

(>) 11 suffit que eet relations soient Tériflées, ea tenant compte de Téquâtton f =s o elle-même.

supposons que 7 ne renferme que les dérivées Pf^p^* -mP* de la fonction inconnue, et qu'on ait résolu Téquation tf z= o par rapport à p«. On peut alors récrire

la seconde condition (A') s'obtient en difTérentiant Téquation précédente par rapport à y, en remplaçant dans le résultat t-^» ^ ,^ > .... r— -r-

par leurs valeurs en fonction de x, y, ^, r^, c-î»..., l—r, V-> déduites ■^ "^ tfoj doî' vx' cy

de l'équation proposée (70) et de ses n — 1 premières dérivées par rapport

à 0?, et substituant enfin & la place de ^— ;; sa valeur — ^, déduite de (73)»

Si on arrive ainsi à une identité, c'est qu'il existe une relation linéaire et homogène de la forme

où on a posé

«i,«„ ..., «,«,,p,p, élantdesfonctionsdea?,y,j^, —• .;., jj^VTi'J^*

Cela posé, imaginons qu'on ait intégré l'équation diiTérentielle ordi* naire d'ordre n (73), où ne figure aucune dérivée par rapport à la variable y. L'intégrale générale de cette équation est de la forme

C|, Cj, •••, C» étant des fonctions arbitraires de y. Si on remplace z par cette intégrale dans F (x), le résultat de la substitution est une certaine fonction de x et de y, U (d?, y), qui satisfait à une relation de la forme

on déduit de là que, pour que U {a^ y) soit identiquement nul, il faut et il suffit que U et ses n — 2 premières dérivées par rapport à a soient nulles pour x = co^^ pourvu que les fonctions Yi* Tti ••••T»-i soient régulières dans le voisinage de ce point Imaginons que C|, C^, ••., C« soient les fonctions de y auxquelles se

lOS

réduisent, pour x î= x^^ z^ t— t ...» ^-jr7'

*. = ?. (y), (^^ = ?i (y) (îS^X = ?-• (y)î

il résulte du raiaonnementpréccdenl que l'intégrale générale du cystème en tnvoluUon

est représentée par la formole :

jr = ♦ [a?, y, ç^ fy), ^, (y), ... o,.| (y)].

où les fonctions ^^ (y)«ïi h) ?»-i (y) doivent satisfaire aux (n — I)

conditions

0& on aurait remplacé s, ^» ..., ^ , par *^ (y), f , (y) ..., ç,-| (y)

respectivement, et m par or^.

Il est Facile de voir comment on pourra obtenir des fonctions fo« fi« •••f ?«-! satisfaisant à ces condilions. Si on se donne 9« (y), Téqua* tion F (^) = o devient

f I (y) + / k. y. ?• (y)» îi (y)* ?'• (y)] = <>î

on en déduira TexpreKsion de f | (y), qui dépendra d*une constante arbi-

traire* L*équation J " ' = o donnera ensuite une nouvelle équation dn

premier ordre pour déterminer f , (y), et ainsi de suite.

Rbmàbqdb. — L*applicatîon de la méthode générale exposée plus haut conduit aussi à Téquation '^13). En eiïet, d'après cette méthode, pour obtenir les caractéristiques du sj'stème en involution, on doit intégrer les équations différentielles du système (I)

»■ .n>.-«-K« RT-»!- • •■

auxquelles 00 ajoute la relation

L'élimination depi, pj, ..m P« conduit précisément à Téquation (73); l'intégration de cette équation fera connaître r« P|, Pj,... p« en fonction de â9 et de n constantes arbitraires. On aura ensuite q^ en intégrant Téquation diOërentielle du premier ordre.

puis on aura q^ au moyen d'une nouvelle éciuation du premier ordre

et ainsi de suite. La détermination des caractéristiques du système en involution se ramène donc à l'intégration d'une équation diiférentielle d*ordre n et de k équations du premier ordre.

147. On voit que le fait capital qui domine toute la théorie des systèmes en involution est le suivant : Toute intégrale est un lieu de multiplicités d'éléments qui dépendent d'un nombre fini de constantes, et quif par suite, peuvent être obtenues par Tintégration d'un système d'équations dilTérentielIes ordinaires. Dans un Mémoire déjà cité (*), M. Sophus Lie a démontré cette propriété par une méthode ingénieuse et profonde, qui s'applique à des systèmes très généraux d'équations aux dérivées paKielles.

Pour donner une idée de cette méthode, reprenons un système de deux équations du second ordre

et soit ^ = P. (â?, y) une intégrale de ce système. Si on regande (â?, y, ij p, q) comme les coordonnées d'un point dans un espace à cinq dimensions, les relations

définissent une multiplicité ponctuelle (Fj) à deux dimenstons, dans cM

[^)Berickied€rKOHigl. sache GueUMekûfl;iWL \

•espace. Cette multiplicité ponctuelle (r,) sert de support h une multiplicité M4 de Qb ^ éléments (*), que Ton peut définir comme il suit Appelons Vjn V^ V., V^, V^ les coordonnées homogènes d*un plan tan* gent à (r,) au point (x^ y, z^ p, q) ; ces coordonnées doivent satisfaire A la relation

V,£te + Vyrfy + V.rff + \^p 4- y^dq = o,

•et, comme œ eiy sont des variables indépendantes, et jr, p, q des fonctions de 09 et dey déRnies par les formules (78), on doit avoir séparément

D^autre part, pui&quo F (or, y) est une intégrale des équations (77) •on a

*VF , J J«F\

-j;j^ + 9(^ar,y,.^p,ç,5;^j = o,

j«F 5'F J*F •et l'élimination de VTT» r'"^' ^^ entre ces quatre relations conduit à

une équation de condition

♦ («I y» ^t Pi î ; v„ Vy, v„ v^, v^) = o,

homogène par rapport k V«, V,, Vg, V^, V^. Tous les éléments (m^ y, jr, P» */ Vx, Vy, V„ V^, V^) de M^ vérifient donc la relation (79); en d'autres termes, cette multiplicité M4 constitue une muiiiplicUé inié-

jfrale de Téquation (79) où on aurait remplacé V« par r-^ ••• Or, on

sait que toutes les intégrales de cette équation du l*' ordre s'obtiennent en associant suivant une loi convenable les multiplicités caractéristiques, qui ne dépendent que d'un nombre fini de constantes ; il en est donc de même des intégrales du système proposé (77). Mais il est i remarquer que toute intégrale de Téquation (79) ne donne pas inversejnent une intégrale de ce système; il faut, en outre, que cette intégrale

(*) ÈquûHwu dm premier otJn» Chap. i.

ait pour support, dans Fospace à cinq dimensionsi une multiplicité ponctuelle à deux dimensions.

Si le système (77) est en involution, Téquation (79) admet une inQ* nité de pareilles intégrales, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. Cette équation est donc une de ces équations auxquelles M. Sophus Lie a donné le nom de setni-finéaives. Nous renverrons au mémoire de M. Lie pour plus de détails sur la méthode précédente.

148. Dans une note intéressante ('), M. Wladimir de Tannenberg a indiqué un nouveau point de vue auquel on peut se placer pour étudier les systèmes en involution, en les rattachant a la théorie des groupes de transformation et à certains systèmes d*équations aux diflerentielles totales, déjà considérés par M. Hamburger (').

Supposons, d'une manière générale, qu'il s'agisse de déterminer n fonctions x^^ ar,, ..., œ^, de q vanahles indépendantes^ satisfaisant aux p équations aux différentielles totales

(80; ej = 21X/*^a?^=o,

oit les \ik sont des fonctions données dex^^x^^ ..., ar». M. de Tannenberg remarque que le problème est susceptible d'une simplification, lorsqu'il existe un système d'équations diiïérentielles du premier ordre

rfa?! dx^ ^^ ctea -^

où (|, (), ..., \m sont des fonctions de a?|, or^, ...i ^»i dont l'intégrale générale représentée par les formules

Xi = fi (a?J, x\^ ..., xl^ •)

jouit des propriétés suivantes :

!• xj, ..., x% désignant les valeurs initiales de â?|, ..., â?«pourla valeur (î = o, les fonctions de définies par les formules (82), quand on y regarde a?^, ..•, x\ comme des constantes, satisfont identiquement aux équations (80);

(1) Sur la Théorie des Équations aux Dérivées partielles {Comptes Aeiula», t. CXX,

p. ei4; 25 mari 1895). . . • , a

(«} Erweiterunft eines Pfaffschem Satses au f simultané totale Dtfferentialgleiehun^ gen trster Ordnung und Intégration einer Ktasse ton simuUanem partieUen Digè^ rentialgteichungen (CreUe« t. CX ; iS9S).

iile

2* Le système (80) est invariarU pour toutes les transformations (82), c'est-à-dire que, quand on regarde d comme constant, et â^f, ••'%^i'% comme de nouvelles variables, la transformation définie par les formules (82) conduit du système (80) i un nouveau système de même forme

5Jxu dxt = o, où xn = \u («t «:)•

Dans ces conditions, pour obtenir une solution du problème proposé, il suffira évidemment de remplacer, dans les formules (82), «tt ^i* -m «^S par des fonctions de [q — i) variables, satisfaisant identiquem eni au système (83). 11 y a donc une simpliflcatiom.

Pour montrer comment la remarque précédente s'applique aux systèmes an involution, reprenons encore un système formé de deux éqna* tiens du second ordre

'+t(«iyi '» P» »»») = «•

Intégrer ce système revient au fond à trouver six fonctions a^ y, jr, p, 9, $ de deux variables indépendantes satisfaisant aux équations aux différentielles totales

dz — pdû9 — qdjf = o, dp + fila — «rfy = o, dq — $dm 4~ T^y =^ ^*

Considérons, d'autre part, le système d^équations différentielles

/gs) is-iï — ù.

dq

est dair que toute intégrale du système (85) vérifie identiquement les équations (84), et les calculs du n* 124 prouvent que la seconde condition de M. de Tannenberg est vérifiée également, si le système proposé est en involution. Nous retrouvons donc les conclusions énoncées plus* haut. Ijâ remarque s'applique aussi aux systèmes formés d*une équation du deuxième ordre et d^une équation d*ordre n.

Étant donné un système d'équations aux différentielles totales de la forme (80), on verra dans la note citée comment on peut reconnaître s'il existe des fonctions l|« („ •••, («f telles que les intégrales du sys-

ième(81) satisfassent aux conditions énoncées. Ces n fonctions ^ doivent vérifier des équations du premier degré dont le nombre est supérieur à n; pour que la simplification soit possible, il faut et il suffit que ce système du premier degré soit compatible.

149. Quoique Tobjet principal de ce chapitre soitTétude des systèmes en involution, nous démontrerons, en terminant, quelques résultats dus à M. Kônig ('), qui se rattachent aux considérations développées au dé but de ce chapitre. Cherchons d*abord les conditions pour que les deux équations

r + f[po, y, z, p, q, 5, = o, « (^t yt -, P, îi *• = «I

forment un système complètement intégrablc. En différentiant ces deux équations, il vient, pour déterminer les dérivées du troisième ordre, les quatre relations

(du\ . Dm , )f4

(dH\ , ?fi , Su

d'oCi on poura tirer les valeurs de pi,x Pi.t, Pli. P^\ pourvu que le déterminant

ne soit pas nul. Si A était nul, Téliminalion d33 dérivées du troisième ordre conduirait à une autre relation v (j?, y, z, p, 9, r, t, i) =: o« et le système proposé ne pourrait être complètement intégrabb, à moins que V ne soit identiquement nul ; dans ce cas, le système (86) serait en involution.

Supposons donc que A ne soit pas nul. Les équations (87) nous donnent les dérivées du troisième ordre en fonction de or, y, ^,p«'9««t /, et, pour que le système propo.^é soit complètement intégrable, il faut

{i) Maihemaliâehê AmutUn^ i. XXW.

nrioiuTiox Mt Iodatioss* * I

k ■» «it.^^qr r#*-*"m< % '^' ^ 'w ^ •■< mi »' ^^ ^ 9 ^

\i i jn » 1' j

f*^^<^.n-«^ i^ jp»^N,,y^»- •j—^ »r».'r"*'"V^'**'^ -'y» .'r*.* r»'

el il suffit que les conditions d'intégrabilité

soient vérifiées identiquement, quand on exprime ces dérivées au moyen de 0?, y, ^, p, 9, «, /. Or, d*après une remarque déjà faite (n* f 18), on obtient ces conditions d'intégrabilité en exprimant que les huit équations obtenues en différcntiant les quatre équations (87) déterminent un système de valeurs unique pour les dérivées du quatrième ordre, c*est-à-dire se réduisent à cinq équations distinctes. Or, les quatre équations obtenues en différentiant les deux premières se réduisent évidemment à trois, de même que les quatre ét|uations obtenues en différentiant les deux dernières. On n*a donc en tout que six équations pour calculer les cinq dérivées du quatrième ordre, et, en écrivant qu*elles sont compatibles, on a une seule équation de condition

Le premier membre R renferme les variables âr, y, ^, p, 9, «, l, et les dérivées premières et secondes de u par rapport à ces variables ; de plus, c^est une fonction entière de ces dérivées et, d^apiès la façon même dont on Ta ol^tchu, les dérivées du second ordre y entrent linéaircment. Donc, pour que VéqiuUion u = a fwmé avec r -}- A = ^^^ système compièUmenl mUgrable^ il faut que u tirifte xme seule équaiion du second ordre R == o.

Réciproquement, toute intégrale u de Téquation R = o, ne vérifiant pas la relation A = o, donne lieu à un système complètement intégrabla

de ces équations et des relations (87) on peut, en effet, déduire les valeurs des .dérivées du second et du troisième ordre en fonction de m^ y, ^, p, q et d'une des dérivées « et f, de I par exemple. Lea conditions d*intégrabilité étant vérifiées identiquement, on peut choisir arbitrairement les valeurs initiales de z^ p, 9, 1 pour des valeurs données (â?^, y^) des variables indépendantes, et le système (86) admet une intégrale dépendant de quatre constantes arbitraires, en outre de a,

jr = F (a?, y, a^, a„ «„ tf^, a) ;

elle contient donc en tout cinq paramètres, a, «i, a^, a„ an et, par suite, c^est une intégrale complète de Féquation du second ordre propo-

8ce

On verra aisément que toute intégrale complète peut, en général, B*obtenir de cette façon.

Prenons plus généralement un système formé d*une équation du second ordre et d*unc éc[uation d^ordre quelconque

oCi on suppose que u ne renferme plus que les dérivées p^, j^t où Tin* dice i a Tune des valeurs 0,1. On a, pour calculer les dérivées d*ordre

(il + 1), Pc • + 1, Pi. «• Pi. • - Il les trois relations

^^j;rrij +Pi.— + 5; Pu. + 57P«.-*i= o,

(du\ , . î« , Jii

(S)+jp^'"-+jîS;^"*"=

Si le déterminant

n^est pas nul, on pourra donc calculer les dérivées d'ordre (n -}- 1) en fonction des précédentes. Pour que le système (90) soit complètement inlégrable, il faut encore que les six équations obtenues, en differentiant les équations (91) par rapport axet par rapport à y, admettent un système de solutions communes en p,. , . 1, pi, „ Pi. » ^. 1, Pc »+ ti c*est-l-dîre se réduisent à quatre équations. Or, comme les quatre dernières équations se réduisent à trois, on obtient encore une seule é([uation de con* dition

i-enfermant x, y^ ^, p^t ..., Pi,«-i; Pci, -m Pc»» ïe« dérivées premières et secondes de tf, et linéaire par rapport aux dérivés du second ordre. Toute solution u deréquation R = o, n*annulani pas d, fournit un système complètement inlégrable

dont rintégrale générale renferme S4 -f* ^ constantes arbitrtireS|.

iUMMtt*

happel des théorèmes éuoncés par M. Darboux. — Étude da cas o& les deux familles de caractéristiques admettent deux combinaisons Intégrables. — Application à divers exemples. — Cas où une seule des familles de caractéristiques admet deux combinaisons intégrables. — Solution du problème de Cauchy. — Comparaison arec la méthode d*Ampère. — Théorèmes divers sur les invariants. — Détermination des équations intégrables, ne possédant qu'un système de caractéristiques. — Retour sur les équations linéaires. — Discussion de Féquation i = f (z), d*après M. Sophus Lie. — Autres exemples. — Application de la théorie des groupes înAnis. — La

. méthode de M. Julius Kônig.

150, Pendant de longues années, après la publication dos Mémoires d'Ampère (1814-1819), il n*a été ajouté rien d'essentiel h la théorie qtt*3 avait développée; on ne peut signaler que quelques perfectionnements de détail, ou quelques changements de forme plus ou moins heureux. L*année 1870 marqua une date importante dans l'histoire de cette théorie; c*est en effet en mars 1870 que fut présentée l'Académie des Sciences (*) un remarquable Mémoire de M. Darboux, où se trouvent des vues profondes et originales. D'après un passage assex obscur du Mémoire d'Ampère {% il semble que l'illustre géomètre avait eu quelque vague intuition de cette nouvelle méthode; mais il s^est borné à quelques courtes indications, et ce passage, d'ailleurs très eonfus, ne parait pas avoir appelé l'attention qu'il méritait. Depuis 1870, un certain nombre de géomètres ont développé des méthodes se rapprochant plus ou moins de celle de M. Darboux; d*autres travaux ont eu pour but, soit d'étendre cette méthode à des équations plus générales, soi! d'en faire des applications. Parmi les travaux qui nous sont connns.

(>) Compitê AcmlM^t. LXX, p. €1S et l^\AnnaU$ de ttcoU n^rmaU^ L VII, première série (ltie.\ (*) Ce passage est reproduit plus loin (Note de la page ili).

nous citerons ceux de M. Falk ('), de Picart ('), de M. Hamburger (')i de M. Winckler {% de M. Julius Kônig ('), de M. Victor Ser8a>v7 (% de M. de Boer (^}, de M. A. W. Speckman {% de M. Maurice Lévy (•), de M. Sophus Lie {*% de M. Beudon (*«), de M. E. von Weber {% de M. Sonine (•»), etc.

Nous reproduirons d'abord les passages les plus importants du Mémoire de M. Darboux. Après avoir établi les équations ditTérentielles des caractéristiques du second ordre pour une équation du second ordre de forme quelconque et rappelé la simplification qui se présente pour une équation de la forme considérée par Monge et Ampère, M. Darboux continue ainsi:

« On a vu, dans les deux paragraphes précédents, que le problème des équations d'ordre supérieur se sépare très nettement du problème relatif aux équations du premier ordre. Pour le premier ordre, en effet, la mélhode du changement de variables ramène la question à Tintégration d*un système complet d*équatîons aux dérivées ordinaires. Pour le second ordre, et pour les

(1) Falk, « On the intégration of partial diiferentiai équations of the n*^ order ». Nova Acia Regtœ Soc. Ups, Sér. III, vol. 8, 1812.

(S) PiCART, Compte* Rendue, t. LXXVIll, p. 882-883, 1814.

(S) riAXBURGcii, Joumat de Crelle, Bd. 81, 1876 et Bd. 93, 1882.

{*) WisiCKLBii, € Ueber eine neue Méthode zur IntegraUon der partiellen Diflerential* gleichungen zweiler Ordnung ï^{Sitzungsbenchte der k, Akademie der Wieietuchapen^ Wien, Abth. Il, Bd. 88 et 89, 1883^1884).

(^) i. Kôxio, « Théorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter ordnung » {MathematiêcheAnnalen^ t. XXIV; 1884). L'important mémoire deM.Rônig sera analysé plus loin.

{^) Sbrsawy, «Die intégration der partiellen Differenlialgleichungen zweiter ordnung » (Uenkschriflen der KaUerlichen Akademie der Witêenschaften» W*ien, Math. Naturw. Claate, Bd. 49 ; 1885).

(') F. Di BoiR, € Application de la méthode de Darboux à Tintégratlon de Féquation différentielle « :=: /(r, /) » (Archives néertandaieee, t. XXYII, p. 3S5-412).

(*) II. A. W. Spscksiaii, « La méthode de Darboux pour llntégratlon des équatkmt aux dérivées partielles, non linéaires, dit second ordre» {Archivée niertandai»ee^ t. XX VU; p. 303-354). On trouve dans ce travail une analyse succincte des Mémoires qui viennent d*ètre cités.

(V) Maurice Lévt, Comptée Rendue de V Académie dee Sciencee^i, LXXV(187S),p. i.0f4*

Ô^) SoPHUs LiR, «Zur Théorie der FlAchen Constanter RrQmmung» (iliicAîv fér Uathematik og Saturvidenekab, t. V; 1880).

«Discussion der Différent ial^eichunges » =: F {z)(id, 1880).

« Résumé d*une théorie dlntégration » {Forhandtinger VidenêkaU^etekahet I CM9* tiania, 1880).

« Zur allgemelnen Théorie der partiellen Differentialgleichungen belieblger Ordaung» (0ertcAle der Uànigl. Sache. Geeetttchaft : 1895).

(>i) Comptée Rendue de l'Académie dee Sciencee^ 28 mai 1894; 11 février 1898; 29 avril 1895 ; 2 décembre 1895 ; Thèse de Doctoral.

(•S) Mathematieche Annalen, t. XLVll ; p. 229-212 ; Sitztmgêberichtê der Maihtmëtiêche Phyeikaliêche Ckteee der k. Bayer Akademie der Wieeenêckaflan^ Bd. 18 ot 2I.

(>') Le Mémoire de M. Sonine, publié dans un recueil russe* est analysé dans le Bulletin dee Sciemcee mathémati^uee^ t X, 1** série, p. 98,

-rf^J-

ordres supérieurs, il y a, au contraire, moins «réqnalions que d*inconiiuet à déterminer. I..es remarques qui suivent paraissent accuser aussi une diffé* rence profonde entre les deux problèmes.

Puisc|ue, dans le cas où Ton se borne aux inconnues x, y, t,p^ 9, r, «, l,on a une équation de moins qu*il ne faudrait pour la solution cherchée du problème, il est naturel de se demander si, en adjoignant aux inconnues précé* dentés les quatre dérivées partielles «, p, y» ^» du troisième ordre, on ne parviendrait pas à un nombre d'équations suffisant pour déterminer comme fonctions de j-, non seulement les inconnues primitives, mais aussi «, p, 7, <• Il se présente ici un fait important et qui, je crois, n*a pas été remarqué. Le nombre des équaiioM e$i encore inférieur d*une nniié au nombre des fonctions inconnues. Ces équations ne suffisent donc pas & déterminer les inconnues, considérées comme fonctions de la seule variable x; mais la différence entrele nombre des équations et celui des fondions inconnues reste la même qu'auparavant : elle est égale à Tunité. 11 en est de même si, au lieu de s'arrêter au troisième ordre, ou continue les calculs jusqu'à un ordre quelconque: t7 y a toujours une équation de moins qui! H'y n dCiftconnues.

Les résultats précédents établissent, on le voit, une différence essentielle entre les équations aux dérivées partielles du premier ordre et celles des ordres supérieurs. Pour les équations du premier ordi*e, le nombre des équations contenant seulement les dérivées par rapport à x est toujours égal au nombre des fonctions inconnues. Il n*en est plus de même pour les équations d'ordre supérieur. Pour Téquation de Monge, par exemple, on n'a que trois relations pour déterminer s, />, 47, y^ considérées comme fonctions de x. On sait tout le parti que Ton tire, d'ailleurs, de ces relations difTérentielles : toutes les fois qu'elles offrent deux combinaisons intégrables, on peut résoudre l'équation aux dérivées partielles proposée, ou du moins la ramener à une équation du premier ordre.

Les remarques que nous avons faites indiquent de même, pour les équations du second ordre, la méthode suivante :

On essayera de trouver, en dehors de l'équation proposée, deux combinaisons intégi'ables des équations en y, s, p, 7, r, n, f. Si ces combinaisons existent dans les deux systèmes que l'on obtient en prenant successivement

pour ^ les deux racines de l'équation

'-Sg + T = .,

le problème pourra être considéré comme entièrement résolu ; si l'on n'a pas de combinaison intégrable, on aura recours aux équations qui contiennent les dérivées du troisième ordre. Ahrs mt^me que les premières équations ne fourniraient pas de combinaison susceptible d^ intégration^ le second système formé avec les dérivées prises jusqu*au troisième ordre pourra en donner» Si ce système n* est pas susceptible d'intégration partielle^ on ira jusqu*aux dérivées du quatrième ordre^ et fon pourra avoir des combinaisons intégrables; et ainsi de SHite.

La remarque précédente me parait conduire à une méthode plus générale

que celles qui s(out habituellement employées. On peut, du reste, présenter cette méthode sous un autre point de rue qui permet d'obtenir plus facilement les systèmes successifs que Ton aura à intégrer partiellement.

Supposons que l'un quelconque de nos systèmes conduise à deux combinaisons intégrables

Les deux constantes qui figurent dans ces équations (/oiveiU ^(r« eomidérée» comme des fonetiom d'une même variable; en éliminant cette variable, on est conduit à une équation de la forme

F = fonction arbitraire de F|.

Cette dernière relation peut être considérée comme une nouvelle équation aux dérivées partielles, compatible avec la première, et qui admet en commua avec elle une intégrale avec une fonction arbitraire. Nous sommes donc conduits à la solution de la question suivante, qui répond a ce deuxième mode d'exposition :

Trouver une équation aux dérivée* partielles

du n"** ordre^ admettant^ en commun avec laproposée^ une solution contenant au }noim une fonction arbitraire.

Pour cela, il suffit de remarquer que la proposée, diiïérentiée n — i fois, donne » équations contenant les dérivées d'ordre n + f, au nombre de n-{-2. L'équation Y = ff, dilTérentiée successivement par rapport à x et par rapport & y, donne deux équations contenant, elles aussi, les dérivées d'ordre n -f- 1. On a donc en tout n -|- 2 équations contenant linéairement les dérivées d'ordre n -|- 1, et qui déterminent ces u 4- - dérivées en fonction des dérivées d'ordre inférieur, si les deux équations aux dérivées partielles dont on cherche la solution commune sont prises arbitrairement. Mais ici, cela ne doit pas être ; sans cela les dérivées d'ordre supérieur à n -j* ' ^ détermineraient toutes, comme les dérivées d'ordre a -f- 1 , en fonction des dérivées d'ordre moindre; puisque une fois obtenues toutes les dérivées d'ordre n -|- 1 en fonction des dérivées d'ordre inférieur, on n'aurait qu'à dériver toutes les équations qui donneraient chacune de ces dérivées pour avoir les dérivées d'ordre supérieur ; et la solution commune, si elle existait, ne pourrait contenir tout au plus qu'un nombre limité de constantes arbitraires, 11 faut donc que ces h + 2 équations contenant linéairement les n + t dérivées d*ordre n + i forment un système Indéterminé, ce qui donne deux équatloVis de

condition. Comme deux des équations contiennent les dérivées de V, r^t -^j-t

xy Ny >y '

T-i Tit x"* ***» I^ relations de condition doivent être considérées comme v% vp vq

deux équations aux dérivées partielles du premier ordrci auxquelles doit

120 CHAPITRE Vil .

satisfaire la fonction Y. Ces équations sont homogènes et du second degré par rapport aux dérivées. .

Ce qui précède explique et généralise la remarque par laquelle Bour a

établi que Ton peut toujours reconnaître si Tapplication des méthodes de

Monge et d*Ampère pourra réussir. Bour n^arait examiné que le premier cas,

celui où on suppose que Téquallon du second ordre a une intégrale intermé-

diaire.

Les deux méthodes que nous tenons d'indiquer se relrouvent d^ailleun dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. La première, fondée sur le changement de variables, est due, comme on sait, à Tillustre Cauchy, qui Ta donnée en 1819. La seconde a été introduite dans la science et développée par Jacobi. C*est en essayant d'établir un lien entre les deux méthodes que j*ai été amené à l'étude dont les résultats principaux ont été résumés Ici*

La seconde méthode permet de se rendre compte simplement du nombre des intégrations qui sont nécessaires pour la solution complète du problème; mais il est indispensable qu'avant de traiter ce point, nous entrions dans quelques explications.

Soit une équation aux dérivées partielles d*ordre n

' l TU' x^.ax » ••• I — o.

Désignons par H*, Rit.|,...,les dérivées du premier membre de Téquation

prises par rapport aux dérivées d'ordre »i, r—^t yZ^z:^ » ••• Nous appellerons

équation caraetérUtique de Téquation aux dérivées partielles Téquation suivante à une inconnue h

Par exemple, pour Téquation du second ordre, cette équation caractéristique serait

Rm« + Su + T = e.

Cette définition une fois comprise, il est facile de compléter un résultat énoncé plus haut. Pour que Téquation proposée

/(«f irf5,p, ç, r,s,l) = o

et Féquation aux dérivées partielles V= a aient une solution commune avec une fonction arbitraire, il faut d*abord que Téquation caractéristique de Téquation Y s= a admette une racine de Téquation

Rm* -f Su + T == 0.

On voit donc que les équations Y = a que nous cherchons se partagent en deux classes, suivant qu'elles appartiennent à l\ine ou ou à Tautre des

racines de l'équation précédente. Pour la solution complète du problème, il suffit d'avoir une équation de chaque classe, contenant elle-même une fonction arbitraire. Un nombre quelconque d*équations difléretitielles appartenant à la même classe ne peut donner Tintégrale complète de notre équation* Il est, du reste, évident que si Téquation

Rm* + Sm + T = o

est irréductible, si S^ — 4RT n*est pas carré parfait, il suffira de changer, dans une intégrale le signe du radical pour en obtenir une nouvelle.

Ainsi, dans le cas où Téquation caractéristique est irréductible, il suffit, pour la solution complète du problème, que l'un des systèmes à intégrer fournisse deux combinaisons intégrables correspondant à la même racine de Téquation irréductible. Si Ton n*a pas le nombre voulu de combinaisons intégrables, on n'aura évidemment que des solutions particulières. ^

Les méthodes précédentes réussissent toujours, il est facile de le démontrer, toutes les fois que les intégrales seront de celles qu'Ampère appelle intégraleê de la première classe^ et qui ne contiennent pas de signe d'intégration. »

151« La plupart des propositions énoncées dans ce qui précède ont été démontrées au chapitre vi. En particulier, on a établi directement qu'il revenait au même de rechercher les combihaisons intégrables tles équations difTérentielles des caractéristiques d'une équation du second ordre F = o, ou de chercher les équations V = a du n"* ordre, qui ont en commun avec la proposée une solution dépendant d^une infinité de constantes arbitraires. Le seul point qui demande à être examiné de plus près est le suivant.

Supposons que les équations diiïérentielles de Tun des systèmes de caractéristiques d'ordre n de Téquation proposée F = o admettent deux combinaisons intégrables distinctes

du = o, dv = o,

Tune au moins des fonctions u et o renfermant les dérivées il'ordre n. Soit (S) une surface intégrale de Téquation F = o; le longd^une caractéristique du système considéré, située sur (S), u et v restent constants* Ce sont donc des fonctions d*une seule variable indépendante et, par suite, elle sont fonctions Tune de Tautre. Toute intégrale de téquatUm propotée eatisfaii donc aussi A une équation de ta forme' •

Inversement, quelle que soit la fonction f ,réqiiattOQ

iWaV^HH

est une combinaison des équalions diflerentielles des caraciéristiquet;

les équations

F = O, Il — ^ (9) =r o

forment donc toujours un système en involiition. On appelle quelquefois Téquation u — cp (9) = o une inlégraU intermédiaire de Téquation du second ordre F = o.

La proposition précédente, qui est fondamentale, s*établ it aisément par le calcul. Pour fixer les idées, supposons Téquation du second ordre résolue par rapport i r

et soient m^^ f>tj les deux racines de Téquation caractéristique

^ -S^' + îi-^-

Nous admettons de plus que u et v sont deux intégrales distinctes du système d^équations simultanées

(â)+".fê) = 5^(^'

on suppose, comme plus haut, que u et 9 ne renferment que les dérivées Pik où t est < 2. Cela posé, je dis que, si dans ti et 9 on remplace z par

une intégrale quelconque de Téquation (1) et pn^ par > ^^ * le déter-

minant fonctionnel

D (tf, 1^)

0)1 i I '.y.i [ti ) n s i^ ni\. 1 1, e i effet ,

(rfa\ , îa , ^u /dp\ , ^9 , >9

(''**\ I ^^ I î^tf fd9\ , >9 , ?9

si on multiplie les éléments de la seconde ligne par mj et qu*on ajoute à ceux de la première ligne, les deux éléments de la premi ère ligne du nouveau déterminant sont nuls. On a, par exemple, pour le premier élément

ê)+'^©+w:'^'+|^.+'^jè; K+'"*î£'^-*"

c'est-à-dire, en tenant compte des équations (3) et des relations

m, + m, = ^. mtm^ = :^^

et le coefficient de t~ est nul évidemment lorsque z est une inlé-

grale de Téqualion (1)« et que Ton remplace ptu par

L'équation i^, ^ ^ = o est donc une conséquence de Téquation . ^

152. Considérons d'abord, avec M. Darbonx, le cas où chacun des deux systèmes de caractéristiques admet doux combinaisons intégrables, de sorte que Véquation du second ordre F = o admet deux intégrales intermédiaires distinctes, appartenant à deux systèmes de caractéristiques différents et n'étant pas nécessairement du même ordre

u — if{v)z=o. ti, — 4r(r,) = o.

Toute intégrale de Téquation du second ordre vérifie ainsi deux équa* lions de la forme précédente, et inversement, quelles que soient les fonctions tf et *{», les trois équations simultanées

F = o, Il — ç (r) = o,

forment un système complètement intégrable, dont Tintégrale générale, qui dépend d*un nombre fini de constantes, peut être obtenue par Tintégrationd'un système d'équations différentielles ordinaires (n** 142,143). Lorsque ti, 9, «o Vn ne renferment que les dérivées du premier ordre, l'équation du second ordre considérée est nécessairement de la forme

I!r + 2Kf -}- Ll + M + N(rl — s*) = o

et appartient à la classe étudiée aux n** 41-4S. Le cas la plus simple après celui-là est celui où m, v, u^\ v^ ne renferment aucune dérivée

d'ordre supérieur au second. Pour intégrer le système

F = o, u=f{v), ti, =|(r,).

introduisons deux variables auxiliaires « et p, en posant

«« = f(«)t ^i = Pi «i = + {W;

de ces quatre équations et de F = o, on peut tirer cinq des huit variables x^ y, jr, p^ q^ r, s^ ij en fonction des trois autres et de «, p, ? (*)v 'f (f^)- ^Q remplaçant ces cinq variables par leurs valeurs dans les relations

dz = pdx -f- jrfy% rfp = ^^ + w'y» «^Ç = 9dx + /rfy,

on est conduit à un système complètement intégrable d'équations aux diflerentielles totales pour déterminer les trois variables restantes en fonction de a et p. On ne pourra, en général, achever Tintégration tant qu*on n'aura pas particularisé les fonctions f et *f •

Nous allons appliquer la méthode à quelques exemples.

Exemple h — Soit à intégrer Téquation de Liouville (I, p. 97)

les équations différentielles des caractéristiques du second ordre son! respectivement

(I) dx =0, rfy = qdy^ dp = e-rfy, dq = /</y, dr =

(H) </y = 0, cf jr = pdx^ dp = rdx^ dq = è^dx^ dî = e^qdx.

Le système (1) admet les deux combinaisons intégrables dx = o, d(r — ^ ] a o, et le système (II) admet de même les deux combinat-

sons intégrables cfy = o, rf ( I — ^)= <>• ^^ existe donCi pour Féquation (3)y deux intégrales intermédiaires distinctes du second ordre,

et nntégralioo de réquatton « = «* est ramenée à celle du syslème

complètement intégrable

dx = pdx 4- qdy,

rfp = j Ç + ? (x) j <te + «--rfy,

dq = e--dx + d' + |(yA rfy, ,

qui est lui-mémo équivalent k un système de six équations

JP P' , /„x

Ty = ^^

Jy *♦

Jy 2

-Ky);

la dernière équation ^ = q" + "l* (y) * <^4i^ **^ intégrée (I, p. S6). En

mettant la fonction arbitraire ^ (y) sous une forme convenable, on a vu que rintégrale générale peut s'écrire : ■

X et Y étant des fonctions arbitraires de a? et de y respectivement. On tire ensuite z de la relation

ce qui donne pour z une expression de la forme

iX'Y'

et on vérifie que, quels que soient X et Y, cette fonction z est une intégrale de Téquation proposée.

Exemple II. — Soit à intégrer Téquation

r — ç# -f- pi •= o.

Les deux racines de Téquation caractéristique sont ici :

— ? — Vy* — 4p

CHAPITRB VU

En se bornant aux dérivées du second ordre, les caracléristiques de Tun des syslèmes sont définies par les équations

* dy = m^dx^ dz =z{p + fJm^) rfar, dp = {qê — p/ -f- «»i|) dx^

dq ^={9^ im^]dx^ dt + m^dl = o.

On a une première combinaison intégrable provenant de la multipli* cation par un facteur convenable de

dp -{- mjIq^so\

c*est une équation de Clairaut dont Pintégrale générale est >m^ ssC* La dernière équation donne alors une nouvelle intégrale « -f" ^t^ = (7; do sorte que Téquation proposée admet Tintégrale intermédiaire

« + »»««=?(— wif);

Téqualion caractéristique étant irréductible, le second système de caraetéristiciues donne une autre intégrale intermédiaire

Pour appliquer la méthode générale, posons m^ := -^ ^^m^ = — p, et par suite « — «( = f (x), < — {^ =: {« (?)• On tire de ces relations et de ré«iuation proposée elle-niéme

I^s valeurs de p, g, r, «, / substituées dans les relations

nous donnent

on a ensuite

dp = rdx -|- «cfy, dq = «<to -|- <</y,

os = prf« + qJjf = T-T — Y77\»

et il suffirait de remplacer f (a) et ^ {$) par

et

respeclive-

ment pour avoir les expressions de jt, y, z^ débarrassées de tout signe de quadrature. Remarquons que les surfaces intégrales sont des sur* faces de translation, les tangentes aux courbes des deux faniillest dont la translation engendre la surface, restant parallèles aux génératrices du côiie y* -|- «^ = o.

153. La méthode de M. Darboux s'applique aussi avec succès à Téquation aux dérivées partielles des surfaces miniroa et, en général, à toute équation du second ordre qui définit des surfaces de translation. 11 est aisé de s*en rendre compte a priori. Toute surface de translation est engendrée par la translation d'une courbe (T), dont les tangentes sont parallèles aux génératrices d'un certain cône (T) représenté par Téquation

Tun des points de cette courbe (F) décrivant une autre courbe (P^ dont les tangentes sont parallèles aux génératrices d'un second cône (T'), diffèrent ou non du premier et ayant pour équation

Vr ^/

On sait que, dans ce mouvement, tout point de la courbe (r) décrit une courbe égale à (F') et que la surface peut aussi être engendrée par le mouvement de translation d'une courbe (F') le long d'une courbe (F). Les courbes (F) et {V) de chaque surface constituent les deux familles de caractéristiques. Pour montrer que la méthode de M. Darboux est applicable à l'équation aux dérivées partielles de ces surfaces, il suffit de faire voir qu'il existe deux fonctions distinctes de j», 7, r, «, I, qui conservent une valeur constante quand on se déplace sur une caractéristique. Prenons, par exemple, une courbe {V) ; par chaque point de {V) passe une courbe (F) située sur la surface ; soient

les équations de cette courbe ; puisque la surface est engendrée par là translation de (F), les valeurs de y^, z\ y% ^', relatives à cette courbe (F) senties mêmes tout le long de(F'}« Or on a, pour déterminer y^, jr', y% x%

les quatre équaiiona

qui montrent que y et ^ dépendent de p et de 9, tandis que y' et ^ dépendent de ji« 9, r, «, I. On a donc, pour les caractéristiques du système \y)^ deux intégrales premières distinctes

dont la première ne contient que les dérivées du premier ordre, tandis que la seconde contient les dérivées du second ordre. Le même raisonnement s^applique aussi aux caractéristiques (r).