Exemple III. — Soit à intégrer Téquation
Les équations des deux systèmes de caractéristiques sont respeetiTement
(I) dy^=i0^djs^=zpdx^dp^:z^f{9)da:^dq^=i9dx^ d!f-|-/'(*)rf?=ro;
(il)
dp = { «r (.) - /(«) } «to, rfg = I « + irw I A», A =0;
le premier admet deux combinaisons intégrables '
rfy = o. rf* + p77j == o.
le second en admet trois , ^
cfc=o, rf', y — »/'(«) 1=0, d { p + «/(«) — ««/'(«) I = o. On a donc deux intégrales intermédiaires distinctes que nous écriront:
en posant
FW
LA UÉTBODE D£ M. DARBOUX
liU
f et '} étant des fonctions arbitraires. Pour pins de symétrie, posons « = a, y = p ; les équations (5) et (6) donnent
On a ensuite :
dp = rdx + «rfy = d {rx) — xdr + êdy
= d {rx) -|- j p — ç' (a) j rfa -|- «rfp, et, par suite,
p = r* + a? - f («) = îl^l^ A*) + «? - ?' («). On a de même
dq =1 «rte -J- /rfy = rf (fx) — xds + ^y
= rf (IX) + "^^^^^ dx + ^' (p) </? - F («) 4,
et on en tire
On a ^ par une nouvelle quadrature
^ = p» + ?y —f{j^p+y<tç) ;
on peut encore ecnre :
xdp + ydq = [rx -f ly) cte + (m + ity) rfy
ou, en réduisant,
«/p + ylq = rf j «?» - '^ /-(a) j + j^n») - P* I rf« -h /M?. 11 vient donc :
j2rfp+yrf,=.?»,-|V(.) + iJlî^+pf(W--+(W-Çj^
•t, en portant dans la râleur de z^ on a x, y, jr, p, j exprimés an moyeu de a. p.
IXTiOlUTIOS MS iOOAfMIIS. ' > t
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ExEMPLB lY. — Soit à inlégrer Téqualion
Les deux racines de 1 équation caractéristique sont m^ = -^« 9n^ = — -^^ L'un des systèmes de caractéristiques est déGni par les équations
rfy = ^. d^ = ^p + i) rfjr, c/ji = (j; - 3^ jrf«,
<f9 =y + jjrf^f * — |7 = ^»
qui admettent les deux intégrales premières
le second systtmc de caradéii^tiques uc'nict de nu me deux ii.tc'gtalcs premières
Conformément à la méthode générale, posons
f cl l étant des fonctions arbitraires ; on tire de ces équations et Téqualion proposée donne ensuite
Il reste & exprimer j^, p cl ; en fonction de s et de P; de la rvlstion
dq = tdx 4- 'd[yt
on tiro d^abord
dq — Mflx __ rf (<y — $x) A' «ft
ou, en remplaçant x, 9, #, /, par leurs valeurs et en effectuant les quadratures,
On a ensuite p au moyen de la relation
dp = rdx + sdy = d [rx •\- sy) — xdr — yrff , qui donne, en effectuant les quadratures,
OU, en remplaçant or, y, r, s par leurs valeurs
Enfin, on tirera z de la relation
dz = pdx -|- çrfy
par une dernière quadrature.
Le dernier exemple est dû à M. de Boer (*), qui s*est proposé de trouver tous les cas od la mélhode de M. Darboux permet d'intégrer une équation de la forme f (r, i , t) -= o, en se bornant aux intégrales intermédiaires du second ordre. Sans entrer ici dans Tétude détaillée de cet intéressant problème, nous montrerons comment on peut trouver des cas d*intégrabilité. L^équation étant mise sous la forme
soient m,, 114, les deux racines de Téquation caractéristique
les caractéristiques du second ordre sont définies par les équations
rfy = th^dx^ rf^ = (p 4. qm^) dx, rfp = }—/(*, I) + m^ê j dm^
dq = (« -{- m|l) dx^ ds -f- ^t^^ =s O, (I) ilrcAiotft nierktndaiêest U XXVII.
CUAPITRB VII
le second système se déduisant du premier en permutant m^ et m,. On a toujours une combinaison intégrable provenant de Téquation di -{- nhidi *= o, puisque fn^ ne renferme que i et I; soit
cette intégrale première. La fonction u est une intégrale de l*équatioQ du premier ordre
^ — iw, -^r = o.
Pour trouver des cas où il existe une autre intégrale première, il sutlit de remarquer que si Tune des fonctions m^^ nn^ — ^(n, I), $'\'tm^ satis fait a réc|ttation ( 10), on a aussitôt une seconde inlégrale y — m^x = C*^, ou p-f- [r(j», — **•«*] ^ •= C, ou ^ — (« + hn^) a; SS3 C. Prenons par exemple le premier cas ; pour qu'il se présente, il faut que Ton ait
ir "^ ir "•« = **•
On a une combinaison analogue pour le second système, pourvu que Ton ait aussi
-rT* -^ ^ fit* = o.
On peut remplacer ces deux conditions par les combinaisons suivantes
pourvu que les racines m,, tn^ soient distinctes. La première se réduit k une identité^ tandis que la seconde devient, en remplaçant m^m^t mi -f- ms, «m} -|* '^1 P^>^ leurs valeurs,
ç^cst Téquation intégrée plus haut (Exemple II, n* ISS) pourvu qu'on y remplace I et «par .e et y. On en conclut que toute équation de la forme " " ' .
s'intègre de cette façon lorsque, quand on considère r, «, f, comme des coordonnéescourantes, celte équation représente une surface de translation, les courbes des deux familles dont la translation engendré la surface ayant leurs tangentes parallèles aux génératrices du cAne «* — ri z=: o.
155* Prenons maintenant le cas général où Téquation du second ordre proposée admet deux intégrales intermédiaires d'ordre quelconque, dépendant chacune d'une fonction arbitraire et correspondant à des caractéristiques différentes. Soit
(il)
*• + /"(«i y. -f Pi 9» «» = «
l'équation du second ordre ; soient
Ju = o.
dv = o
deux combinaisons intégrables distinctes des équations différentielles de Tun des systèmes de caractéristiques.
cfti| = o.
rfr, = o
deux combinaisons intégrables distinctes des équations différentielles du second système de caractéristiques. Api)elons m Tordre des dérivées de Tordre le plus élevé qui figurent. dans u et r, n Tordre des dérivées de Tordre le plus élevé qui figurent dans tt| et v^ ; nous supposerons, pour fixer les idées, m ^ n.. Des trois équations
r + r = -o, u=rf{p), i«^=^(r|).
qui forment un système complètement intégrable, et de celles qu^on en déduit par des différentiations répétées, on peut alors tirer Texpressloû de toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue au moyen de ^1 y» 'f />t.»i Pii« -M Pi.-i-iî iH,if — » P%u-i (ni* i43) et former un système complètement intégrable de (m 4- ^ — 1} équations aux différentielles totales. .
On peut encore opérer comme plus haut, en introduisant deux nouvelles variables indépendantes « et p. Si on pose, en effet,
on aura aussi t« = f («)t t<i = 4^ (N« Do ces quatre équations, jointes à celles qu*on obtient en différentiant l*équaUon r -f- /ss o, on peut tirer
les valeurs de plusieurs des anciennes variables
an moyen de «« p, ^ {%)^ *f (p), et des variables restantes. En substituant dans le système d'équations aux différentielles totales dont il a été question tout à l'heure, on a un nouveau système complètement intégrable d*équations aux différentielles totales entre (m -f* » — l)t fonctions inconnues Xi^j^t •• m '*'«•••- jt-i* ^t deux variables indépendantes % et p. L'une quelconque des équations de ce système est de la forme
ds, — F, [x„ 3-,, :.., x,+.„ «, p, f («), I (p), j'(«), f (p) ...,] d*
+♦< [*i. 'ii ..•.'«+•-0 «. p. t («). + (W.f'(«). f fi^).—]*'?;
les coefficients F/ et 4{ sont des fonctions déterminées dex,, Xj,..., '«•■i-a-i» «« p, f(a), -{«(p), pouvant aussi renfermer les dérivées ?'(«)« 'f (P}< •••• jusqu'à un ordre fini.
