Exemple V. — Reprenons encore Téquation

$ — px = o,

qui a été intégrée au n* 47. Un des systèmes de caractéristiques admet, comme on Ta reconnu, deux combinaisons intégrables du premier ordrSi

rfy = o, rf (ïi — y) == ^'

Les équations différentielles des caractéristiques du second système sont

dw = o^ dz = q^dy^ dq^ = q^y% àPi=P%tdy, *, = (p,x + pj) rfy, rfp, = (Pt^ + 3p,p,) rfy, ...

en posant

>jr îV V^x ix

On a d'abord la combinaison intégrable rfv = o, et, si Ton pousse jusqu'au troisième ordre, on trouve une nouvelle combinaison intégrable

Les trois équations :

forment donc un système complètement intégrable, quelles que soient les fonctions arbitraires ^(^) et '^{jc). Pour intégrer ce système, prenons comme inconnues auxiliaires p, et pt ; on déduit des équations (15 )

et on est conduit à intégrer le système d*équalions aux différentielles totales

Idx = p,clx 4- Tj + 9 (y)J dy, , dp,=: ptdx + p,rd}/.

dPt = [^ + Pi * («)] ''^ + (P^ + Pî) ^J'.

Pour cela, intégrons d*abord les trois équations (15') de la première ligne ou, *ce qui revient au même, Téquation unique du troisième ordre

le premier membre de cette équation, qui se présente dans Tétude des équations dilTérentielles linéaires du second ordre, ne change pas de forme quand on effectue sur z une substitution linéaire quelconque. Si donc ^ = X est une intégrale particulière de Téquation (17), Tintégrale générale de cette équation est

aX + b

a« fti C| d étant indépendantes de œ. Comme ^ {x) est une fonction arbi* traire de op, il est clair qu^on peut prendre aussi pour X nue fonction arbitraire de op, etTintégrale générale du système (16) est de la ferme

CIIAPITRB YII

précédente, où a, i, c,d^ désignent des fonctions de la seule variable y. On peut encore écrire cette intégrale

et si on substitue cette valeur de z dans r -^» en écrivant que le

résultat est indépendant de X, on trouve les conditions

oi (y) - •! (y) •« (y) = o, iH (y) + e, (y) = o.

Soit d^ (y) == Y; on déduit des conditions précédentes qu*il faut

prendre d^ (y) = — SY, ^| (y) = -rnt et on retrouve le résultat obtenu

plus haut (n* 47).

Exemple Vf. — Soit à intégrer Téquation

rs — p =s o,

à laquelle se ramène, par la transformation de Legendre, Téquation d'Ampère étudiée précédemment (n* 100).

Pour un des systèmes de caractéristiques, on a trois combinaisons intégrables du second ordre

d{i-œ) = o, rf (^ = o, rf ^y - £) = o ;

pour le second système, on a une combinaison intégrable du premier ordre dy = o^ et une combinaison intégrable du troisième ordre,

rf(pf»+^l>it) = o.

LMntégration de Téquation proposée est donc ramenée à celle du système

j = ^ (# — âf), p^, + - p^, = f (y),

avec devx fonctions arbitraires f et f. Si on presd pour inconnues Pi f, et f, ce système est équivalent au qfstème complète*

L\ MÉTHODE DE U. DARDOUX 137

ment intégrable d^équations aux difTérentielles totales

th = pdx + qdy^

dq = tdx + Idjf^ où on suppose que « est remplacé par sa valeur tirée de Téquatioa

L'inlégration du système (A) présente une simplification, car « étant supposé remplacé par sa valeur, la seconde équation ne renferme plus que les variables a?, y, p, et leurs difTérentielles. Pour Tintégrer, posons

p = tt*, i — m = 9,

et remplaçons ^ par ^' ; il vient « .= tif (a), œ=zuj (a) — a, et Téquation

i/p =5 " <to -l" *rfy

devient

On en déduit

réquation dt = pdm 4- jdy devient alors :

d!jr =s u* I f (a) <fM -|- «f'(K)(f« — <fa| -|- fcfy on encore

rfir =s îa» j ttf (a)— i j rf« + j uV(«) + ï } rfy. . •

Pis ^^ P«3 s*obtiennent au moyen de la relation obtenue en différentiant

la précédente par rapport à y et de la dernière équation {

Par suite* Texpression générale de s est de la forme

^ = 2/u*|uf(»)-.ljrf« + Y.

et inversement» quelle que soit la fonction Y de y, on obtient ainsi une intégrale de Téquation proposée. On peut ne laisser subsister qu*aQ

seul signe de quadrature en remplaçant ^ (a) par . ^ . . *

157* Supposons maintenant qu'un seul des systèmes de caractéristiques, supposés distincts, de Téquation

admette deux combinaisons intégrables distinctes

diD = o, <{ii =: o,

Tune au moins des fonctions u, v, renfermant des dérivées d^ordre it^ et aucune ne contenant de dérivée d ordre supérieur à n. Pour fixer les idées, supposons que ti et v soient deux intégrales distinctes du système d^équations

OUI»!, m,, y^\ KdV Wii*-' ) ^^^ ^® même sens que plus haut

(Cliap. vi). L^équation proposée (19) admet une intégrale intermédiaire d*ordre »

avec une fonction arbitraire •} ; et inversement, quelle que soit la fonction 4», les deux équations

r-f-/=o, tt — i^{o) = o

forment un système en involution.

Pour résoudre le problème de Cancby par cette voie, supposons donnée une multiplicité Mg d'éléments du premier ordre, .c*est-à-dird

une courbe (F) dont chaque point est associé à un plan tangent à (r) en ce point. Cette multiplicité &I, détermine en général une surface intégrale admettant tous ces éléments, sauf dans le cas où elle appartiendrait à une caractéristique, cas que nous négligerons. Soit (S) la surface intégrale ainsi déterminée par la multiplicité M, ; on peut calculer, comme il a été expliqué (n* 16), les valeurs de toutes \eé dérivées partielles de la fonction inconnue le long de la courbe (r). Si on substitue les valeurs obtenues dans u et p, ces deux fonctions ne dépendent plus que d*une seule variable, et la relation

détermine la fonction inconnue «f . Cette fonction une fois obtenue, le problème revient à trouver l'intégrale du système en involution

qui passe par les oo * éléments du n^ ordre déRnis par la multiplicité M| et Téquation r 4- ^ = o. Nous savons que cette intégrale est le lieu des caractéristiques d'ordre n communes aux deux équations, issues des 00* éléments du n*"* ordre dont il vient d*étre question.

On obtient ces caractéristiques communes par Tintégration du système d'équations différentielles ordinaires

rfp».f =Putdx + jysrfy» ..., rfpo.ji-i=pi,,.-ri rf» + m«rfyi

( d Fti - 4^ (v)]\ , ^ fu - » (r)1 rfp.,..,, ^ \ dx y"^ .>,,.., cto -^' ( d \u - »» fr)l x i fti-'» M] rfjV, ^

\ rfy / p 1.—1 dx •

composé de 2n + 2 équations entre 2n -{- 3 variables x, y, jr, pi,«, |y 1,

... Pi,ii-i9 pt.»; les dérivées pt,«i Pi, ti**« pi.». s sont supposées remplacées par leurs valeurs.

Ainsi, lonque tun deê $t/t(ème$ de caraclériiiique$ dordre n présenU deux combinaiêonê intégrablee disUneieedu := o, cfo = o, la êolulion dm problème de Cauchjf est ramenée à rinUgration de deux eytlèmee meceMi/k déquaticnê diffèrent iettee ordinah^et. Le premier de eee «yt /émet,

gui donne uelvne dépend pa$ det condUiom iniiialet. Le êeeond $y$^ tème à intégrer dépend^ au contraire^ des conditions iniiiaUê (*)•

.15& La mélhode précédenle s*applique encore au cas où les deux systèmes de caractérisliques seraient confondus. lorsque ces deux systèmes sont distincts, on peut la modifier un peu. On a vu en effet (n* 138) que le système d'éciuations différentielles (â3) peut être remplacé par le suivant

dy z=z m^dx ^ dx =pt^^ dx-^p^tdy, (2l){ dp^t=pt^tdx + p^tdy, ..., rfjPf..-! =i)i.«-i <to+ Pi,«rfy,

rfy"-V ' dx ' ' rte

auxquelles on ajoute Téquation

U'^^{v) =zo»

Introduisons une nouvelle variable auxiliaire « en posant 9 = « et, par suite, u = 1^ {%). De ces équations, on peut tirer deux des variables ^1 y% ^f Piff •- JV« ^n fonction de «, ^ (%) et des 2n -4- i variables restantes. En substituant les valeurs de ces deux variables dans les éiiuations (24), qui sont précisément les équations différentielles des caractéristiques de Téquation

n^admettant pas les combinaisons intégrables du = 0,(^0 = o, on est conduit à un système de in + l équations différentielles à Su -f* ^ variables pour déterminer les caractéristiques communes aux deux équations

Ainsi présenté, le procédé apparaît comme une généralisation de la

(1) Dans la note déjà citée des Comptet Rendue (1812), M. Maurice Lévy annonce qall possède une méthode générale pour intégrer toutes les équations aux dérivées par« tielles du second ordre, dont llntégnition se ramène à celle de plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires. D*après M. Sophus lie, eette méthode serait identique, dans ses traits essentiels, i celle qui est développée dans le texte* M.J.K0nigaramenéégalementlasoltttionduprohlèmedeCauchyàl1ntégrationd*éqaa-> tions différentielles ordinaires, dans le cas où nous nous plaçons. 8a méthode sera expliquée à la in du chapltia.

méthode employée par Ampère pour intégrer une équation

llr + 2K« -f- U + M + N {rt — «*) = o,

lorsque Tun des deux systèmes de caractéristiques du premier ordre présente deux combinaisons intégrables distinctes (M (n* 54). On peut, du reste, rétablir en généralisant le raisonnement même d'Ampère. Soit (S) une intégrale de Téquation

(>) Lorsque ii = 2, Ampère avait déjà indiqué soin mai rement cette méthode. Void le passage de son Mémoire auquel il est fait allusion plus haut: c Cette réduction des équations qui doivent conduire à l'intégrale primitive & des équations qu*on peut intégrer comme si elles étaient aux différentielles ordinaires, dont le nombre n*eat inférieur que d*une unité à celui des variables, n*a pas lieu seulement . lorsque l'équation donnée est de la forme

Ur + 2K# + L/ + M + N {rt - #*) = o,

mais elle a lieu de la même manière pour toutes les équations aux dilférentiellea partielles du second ordre susceptibles d*une intégrale intermédiaire. On trouve aussi dans ce cas, par le procédé expliqué dans un des paragraphes précédents, deux équations relatives àxet à «, qiii parle changement du signe du radical de la valeur de.

. . 9 donnent deux autres équations où ce sont x et ^ qui sont considérés

comme variable» Indépendantes ; la seule différence est que, quand les dérivées dif second ordre doivent être homogènes À Tintégrale, parce que Téquation donnée contient d'autres puissances ou d*autres produits de ces dérivées que ri — •', on a Décèssairenient dans le calcul dix quantités x, y, s, />, 9, r,«, /, « et ji, entre lesquellei, outre les quatre équations dont nous venons de parler, on a réquatlon même donnée et les trois suivantes

ds , tiy

JÏS^^ + ^ïS'

dx(% '^itx[m

Parmi ces huit équations, il y en a une qui ne contient que les quantités mêmes ^« y* •• P« 9t ^t 9% 't et cinq où il entre seulement de plus leurs dérivées relolivet à X, prises en regarîdant x et « comme les deux variables indépendantes. Les deux autres seront relatives à x et à ^ ; mais on pourra les ramener a avoir x et « pour variables indépendantes, en y introduisant des dérivées relatives à e* S*il y a um intégrale intermédiaire, elles fourniront deux équations de la forme

F l'i y. Si Pf 9* *•» *• ^) = ♦(/»)•

qui serviront, conjointement avec Téquation donnée, a éliminer r, «, / et leari dérivées relatives à x des cinq autres, en sorte qû*on aura dans ce cas cinq équations du premier ordre, entre les sept variables x, 3f, s, p, 9, m et jl, qu*on pourra to«* Jours intégrer comme si elles étaient aux différentielles ordinaires, parce qa>llef m contiendront point de dérivées relatives à a, ce qui réduira à six le nonibft des quantités considérées comme variables dans cette intégration. » {Journal de FEcole polyiechmjtie^ XVIII* eahhr^ p. 10-11.)

rapportons cette surface à ses deux fanalles de caractéristiques comme courbes coordonnées, et soient z et p les paramètres de ces deux familles de courbes. Alors x, y, z, px,%,px,u — . Pi,«-i» P%,u ...» ^^^ sont des fonctions dos deux variables oc et p qui satisfont aux 4fi-f-S équations simultanées

^y ^x ^z ddp , i>v

?Pi.« „ if , „ ?y ?f»t. ■ - 1

■^ = '''.'jp +JVi^' -'-^=3^ =;»...-. jp + jy. j|.

m, et »ij sont les racines de Téqualion caractéristique

et on suppose pt,t, pi,t, ..., Pi,!!-! remplacés par leurs valeurs en fonction de x^ y, ^,pi,«, ..., jy ». Nous savons a priori que ces 4n -}- S équations à 2n -(- 3 variables sont compatibles, puisque Téquation «* -|- ^= o admet des intégrales. Inversement, tout système de solutions des équations (96) et (27) fournit une intégrale de Téquation

Cela posé, considérons le cas où les équations (27) du second sys* tème de caractéristiques présentent deux combinaisons intégrables dû Unctes

du = o,

dû =5o;

ceci prouve que le long d'une caractéristique de ce système (« ■■ O.) u el restent constants el ne varient que lorsqu'on passe d*ttne carâo-

téristique à une autre du même système. Par conséquent, u et v sont des fonctions de la variable a seulement; on peut évidemment supposer u =: a, et on en déduit v -= ^ (a), la fonction *^ (a) étant indéterminée* On peut donc ajouter aux équations (^6) les deux nouvelles relations

si de celles-ci on tire deux des 2n -f* 3 variables a;, y, jr, p^«, ..., p^^ en fonction de % et des 2n -|- i variables restantes, puis qu*on substitue dans les équations (26), on est conduit à un système de 2n -|- i équations difTérentielles ordinaires à ?» -}" ^ variables, y compris «, que Ton peut regarder comme la variable indépendante. L*intégration de ce système d'équations dilTérentielles ordinaires nous fera connaître ^) 1^1 ^^ ?(.•« •••! P9,m ^^ fonction de a et des valeurs initiales, qui ne doivent dépendre que de la variable p seulement. 11 reste à choisir ces valeurs initiales de façon à obtenir une intégrale. En généralisant la méthode de Cauchy comme on Ta indiqué plus haut, on démontrera qu'il suffit que ces valeurs initiales vérifient les équations r -}- f=^ o^ ti = ^ (r), et les 2n premières équations (27)*

On voit, d'après cela, que le progrès essentiel à accomplir pour généraliser la méthode d'Ampère consistait à étendre la notion de caractéristiques, en ne se bornant plus aux dérivées du premier et du second ordre, mais en considérant la suite des valeurs prises par les dérivées d'ordre quelconque. C'est ce qu'a fait M. Darboux au début de son Mémoire.

159. Lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont distincts, on ne peut, en général, intégrer les équations difféi*entielles (23), tant que la fonction ^, qui figure dans ces équations, reste indéterminée. Il n*en est plus de même lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont confondus ; alors, en effet, du = oei dv =i o sont aussi des combinaisons intégrables (n* 138) des équations (23), et dans les deux dernières équations de ce système

it) -Vf)© + [5^.-w5ary-^=- ...

on peut remplacer Y {^) f^^ ^^^ constante C, puisque v = O est une intégrale première. Le système d*équations différentielles à intégrer est

144 CRAPITAB VII

donc le suivant

rfy = mdx, dz =pi.f cCv + p«.i dy«

^Pi.* =Pi* ^J? + Put rfyt • ♦ rfpi.«-i=Pi»-«^Ji?+Pi.ji -irfy.

(28) { /rfu\ ^ /€/p\ , r c>ii .. ^o T rfp..,,i ^

dont on connaît déjà deux inlégraica premières

et ce système ne renferme plus qu*une constante arliitrairo C« au lieu d'une fonction arbitraire, comme dans le cas général. Soient

y = "i ("'» ^tf y«» -^tt fi.#t 'i, ij •••» îfi.ji-iî 'ft.it ••M ^t,»; C),

(M) ^ ^^•.•=''i(*^ î Qt

\ p„. = F,. , (or ; C),

les formules qui représentent Tintégrale générale de ce système,

^•« y*» -^#1 'fi,»» 'i, <• •••• *i.«-if *t^ii •••» *ét»

élant les valeurs initiales de x, y, .x, pi,«^ ..., m». D'après ce qui précède, pour que les formules (S9) représentent une intégrale de Féqua* tion r -|- ^-= o« il faut prendre pour ces valeurs initiales des fonctions d'une variable indépendante p satisfaisant aux conditions

?£§ ^1 >yê

it^f, «1,11 •.•• «â^M^j s^exprimant au moyen deiri,f, •••, iri,n»i|««^i, ...i

7t.« comme 7ii,t ..., Pi, «.j au m9ycn dept,««..., p»,«. Reprenons, par exemple, le problème de Cauchy; si on se donne une courbe (f) et une. surface développable passant par cette courbe, on connaît par là même ^01 y** ^«1 ^i,*« ^«.i ^^ fonction d'une variable auxiliaire p. Si la multiplicité précédente n'est pas une caractéristique, on en déduira» en général, par des calculs algébriques, comme on Ta déjà expliqué bien des fois, les valeurs de :ri,i, ..., iri,,.!, 1:^9, ... le^m en . fonction de p. . Quant à C, remarquons que lorsqu'on remplace, dans u et «, a^ y, x,

Pi,êi -mP*.» Pi^i* ^«1 y*t -'^•i ^t,*i ••• «nii respectivement, u et o deviennent des fonctions d'une seule variable p. Soient ic^ et Og ces deux fonctions ; la relation

détermine ^. On a aussi

et comme C est égal à y (o), on a aussi

Il est facile de déduire do la des formules pour représenter l'intégrale générale de Téquation proposée, où figurent explicitement deux fonctions arbitraires d'un même argument et leurs dérivées en nombre fini, sans aucun signe d'intégration (*). Supposons, en effet, que l'on prenne pour x^ une constante numérique, puis que l'on pose

on aura, par conséquent,

«•ti = 9 (?)t «^i = f (?). -M ^%» = î^"^ (P)f

et, si on porte ces valeurs de ««.t, ..., 9ri,n^i dans C, puis dans les formules (29), <^n a bien, pour représenter les coordonnées â?, y, z d*un point d'une surface intégrale, des formules où figurent explicitement les deux fonctions arbitraires f (p) et 4» (P)f Avec leurs dérivées jusqu'à l'ordre n -f 1 au plus.

Je n'insisterai pas davantage sur cette remarque, parce qiïe nous déterminerons un peu plus loin toutes les équations du second ordre,

(') Voir ma note : « Sur la méthode de IL Darboux pour Tintégratlon des éqa^r tiens aux dérivéet partielles du second ordre. » {Comptée Rendue^ t. GXX, p. 64S-84I)*

nrrtosATioa pas iQOAnoxs*. !•

ayant leurs deux systèmes de caractéristiques confondus, auxquelles s'applique la méthode de M* Darboux.

160» On voit donc qu'en définitive tout repose sur la détermination des invariants d'un des systèmes de caractéristiques do Féquation du second ordre proposée, ou des deux systèmes. Il est toujours possible de reconnaître s'il existe des invariants dont Tordre ne dépasse pas une limite assignée à Favance, puisque cela revient à rechercher si un système de deux équations linéaires simultanées admet des intégrales. Mais, aussi loin que Ton aille dans la série des essais, il ne semble pas que Ton puisse toujours reconnaître Texistence ou l'absence d'invariants par des opérations dont la fin soit assurée. Nous ferons connaître, aa sujet de ces invariants, un certain nombre de propositions qui peuvent en faciliter la recherche (*)•

Remarquons d'abord que le théorème du numéro 151 admet une réci« proque. Soit F = o une équation du second ordre ; si cette équation admet une intégrale intermédiaire (Tordre n^ u — ^ (v) = o, c'est-à-dire si toute intégrale de cette équation (sauf peut-être quelques intégrales exceptionnelles) satisfait à une relation de la forme u — ^ (r)ss o, où u et V renferment .v, y, r, et les dérivées partielles de ^ jus<iu'à Tordre n, u et V sont de» invariante de tun des st/stèmes de caractéristiques de Véquation F = o. On pourrait l'établir par un calcul facile, mais il vaut mieux se servir de considérations analogues à celles qui nous ont déjà servi plusieurs fois, basées sur la théorie des caractéristiciues. Il suffit de montrer que, quelle que soit la fonction ^, les deux équations

forment un système en involution. En eiïet, prenons une orientation d'éléments d'ordre n, satisfaisant aux deux équations (30) et à celles qu'on déduit de F = o par des diflerentiations répétées. Cette orientation d'éléments d'ordre n appartient à une intégrale (S) dé l'équation du second ordre F = o, intégrale qui, par hypothèse, satisfait aussi à une relation de la forme ti -:- {» (p) =: o. Mais, pour un élément quelconque de l'orientation considérée, u et o sont des fonctions d'une seule variable indépendante qui satisfont à la fois aux deux relations u = o (9), u = 4^ (o). On a donc nécessairement ^ = ^ , de sorte que (S) est une intégrale commune des deux équations

'(>) E. GomtAT. « Sur la théorie de* équations aux dérivée* partielles 4a second oidre > (Cmnj>/m JiMifir*, S BOTembMtSMJ,

et ceci suffit pour prouver que le système (30) est en involution (n* 140), Il en est évidemment de même des deux équations

F = o, u-<f{v)=zC,

pour une valeur arbitraire de la constante C. Donc n — 9 (e) doit être un invariant de Tun des systèmes de caractéristiques, dé Téquation F = Of ce qui ne peut avoir lieu, quelle que soit la fonction p« que si u et V sont deux invariants distincts.

Cela posé, soient u et v deux invariants distincts de Tun des systèmes de caractéristiques de Téquation F = o. Toute intégrale satisfait à une relation de la forme

et par suite aux deux relations

du , , . dv du , , . dv

il suit de là que, quand on se déplace sur une caractéristique quel-

dv cte

dûc dtJ ' conque du système considéré, 7" ^^ ^ restent constants. Ce sont deux

dx dy nouveaux invariants pour ce système de caractéristiques, qui d'ailleurs se réduisent à un seul, car toute intégrale de Téquation F = o satisfait aussi à Téquation

du dv

dx dx

du dv

dy dy

do nous désignerons par -r^ ce nouvel invariant du même système de caractéristiques que u et o. Par exemple, si Téquation du second ordre est résolue par rapport à r, on pourra supposer que dans ^ on ne laisse

que les dérivées pi^jt, où Tindice 1 ne dépasse pas Tunité; si on a fait la même opération pour u et v^ Texpression

. ' . ' ' dv dy

^ ^"^'^ ^^'^^ «M^fc

du du

est ramenée k celte forme sans aucune transformation nouvelle. Lorsque

ueiv sont du même ordre n, — est en général d*ordre n -}- I, mais il

peut être d*ordre inférieur. Par exemple, nous avons vu (n* 151) que réquation r -{- f{s) = o a, trois invariants du second ordre correspondant à un même système de caractéristiques :

on a deux nouveaux invariants :

du pm * th 1 — a?/^(«)pi.t '

dont un seul est du troisième ordre, tandis que -r- est identique à u.

Si u tff ionideux invariants distincts d'un même systèn^e de earacté-

do ristiques\ -r- est un nourel incariant distinct des premiers.

Si on avait, en effet, une relation de la forme

dv ^, .

toute intégrale de Téquation du second ordre proposée F = o, satisfaisant à réquation

vérifierait aussi TéquatioU

et on aurait, par conséquent.

ce qui est impossible, puisque la fonction f (u) peut être clioisie arbitrairement.

Plus généralement, supposons qu*pn ait {n -|- 1) invariants distincts M» V|t H» ••M ^m% parmi les nouveaux invariants

cfp. do.

dOm

du du **** du

LA MÉTHODE DE M. DARBOUX 149 î

il y en aura au moins un qui sera distinct des précédents. Supposons, en effet, que l*on ail .

puisque toute intégrale de Téquation F = o satisfait à n relations de la forme

^i = ?i ("). ^t = lt (w)t ..-• r« = <p, (tt), on aurait aussi

et, par suite,

?î («) = /"« ["» ?| {«)t "M T« («)1, î» («) = /» [«. îl («). "M ?« («)].

ce qui est impossible, puisque Tune des fonctions ^t (u) peut être prise

arbitrairement. , • ^

On déduit de là qu*au moyen de deux invariants distincts d^unméme systèmci on peut former une suite illimitée d'invariants, tous distincte les uns des autres.

161» Considérons maintenant en particulier le cas où les deux systèmes de caractéristiques de Féquation du second ordre proposée sont \ distincts. On a déjà remarqué que les équations simultanées auxquelles * ' doit satisfaire un invariant d*ordre n admettent pour intégrales tous les ? invariants du même système d'ordre inférieur à n. En approfondissant cette remarque, nous arriverons aune proposition plus précise. Suppo- . i sons que Téquation du second ordre ait été mise sous la forme ^*

iSb CHAPITRE VII

et soient m^^ m, les deux racines de Téquation du second degré

Tout invariant d ordre n doit satisfaire aux deux équations simuUanées

ou à celles qu*on obtient en permutant m, et m^. Lorsque n est plus ' gprand que 2, cas que nous allons d*abord examiner, la première équation (33) montre que toute intégrale de ce système doit être de la forme

Admettons qu*il existe une intégrale u de ce système renfermant effectivement les dérivées d*ordre n» c*est-à^ire dépendant de

et des dérivées d*ordre inférieur à n ; on aura inversement

Cela posé, choisissons comme variables indépendantes

et posons . « • .

La première équation du système (33) devient

quant à la seconde, elle rie contiendra pas de terme en ?-• puisque, par

liypotbdse, f =.t< est une intégrale du système (33). Pour calculer lès coefficients des autres dérivées, remarquons que Ton a

*— ^ rzzs ^"^ *T— ^'— ^*^

V désignant Tone quelconque des variables a?, y, x^ •••« Pt.«~if l'*»* ^

En substituant dans la seconde des équations (33) et négligeant les

termes en V*» <^llc devient vu .

DF , ^F , . JP . SF

PF , JF , . ^F . DF 1

on n'a écrit dans les deux premières lignes que les termes qui ne renferment que les dérivées d'ordre inférieur à n. Les seuls termes qui

renferment les dérivées d'ordre n sont, en remplaçant r^ par (m| 4*^s) et -^ par 9ii|iit2,

Le système (33) devient donc, après ce changement de variables,

en posant

/rfF\ ÎF.ÎF^ , . >F /. ?F •

/dF\ 3F , ÎF , . 3F ' . ?F

*/"*",-' ^^"^^ « ««-•^«•>^'tri-<l^.--«. .j V, .^J • i»- ^•»^%»-; k,,.^/,^ • «» » ♦i-« .'*•»», '~. • •" * ' " ' • ,» ,

■wwkvaflkv- <

w^mm*^mmÊfmmmf*

On peut encore écrire

et les variables m et pt^ ne figurent dans B (F) que dans le coefficient

Des deux équations

on tire

A [B(f )j - B fA(F)] = («. - «.)(3;^. - m, ^^j = o.

et, comme les deux racines m^^ tn^, sont supposées distinctes* on en conclut que F, considérée comme fonction de x, y, x, pi,«, ... p^^i doit satisfaire au système de deu-x équations

?1V— I • 5pM-i

où les coefficients ne contiennent pas la variable ti. Les équations (34) sont précisément celles qui déterminent les invariants d'ordre n— ;- 1 ou d*ordre inférieur. S*il ya A invariants distincts d*ordre égal ou inférieur à n - 1, tip tf), ..., tf Al l*înlégrale générale du système (34) et, par suite, du système (33) est done

? (m, M„ tl,, ..., ttfc).

Ainsi, lorsque k$ deux famillet de caraciérisliquet sont dUHnctee^U y a au plut dûn$ chaque famille un invariant disiinci d ordre n^pour toute valeur de n supérieure à 2. Il faut entendre par là que tous les inva* riants d^ordre n, sll en existe, s'expriment au moyen doTund^entre eux et d'invariants d'ordre inférieur.

• Le théorème n'est plus vrai, en général, pour les invariants du second ordre, comme on peut s*en convaincre par l'exemple de l'équation Zrfi 4* i = 0, étudiée plufli. haut (n* 154) ^ il subsiste cependant lorsque l'équation du second ordre considérée est linéaire en r, t, f, ri — s\ On ne diminue pas la généralité en supposant que Téquation ne renferme pas do terme en rt — «*, puisqu'on peut faire disparaître ce

LA MÉTHODE DE M. DARBÔUX 153 f

terme par une transformaUon de contact convenable. Prenons donc Tcquation sous la forme

(35) r + K«4-Ll + M = o,

K, L, M étant des fonctions de a;, y, ^, p, q ; un invariant du second ordre doit satisfaire au système

■*^ —— nia -^ =r O

Soit 11 un invariant du second ordre, qui est nécessairement de la forme u = *^ (.r, t/^ z^ ;>, 9y ' + ^lO- ^^ ^^ prend comme tout àTheure pour variables indépendantes

•'»» y» ^, p, ît I, M»

en posant « = 4» (à?, y, j', p^ g, ^, ti), la première des équations (36) se réduit à

tandis que la seconde devient » en remarquant que le coefficient de r^ sera nul,

ou, en remplaçant K par m, -{- m,, L par m|Wi„ .

Lorsque .les deux racines i/i|, m^ do Téquation caractéristique sont distinctes, on en conclut, en raisonnant comme dans le cas précédent, que toute intégrale des deux équations A(<fr) = o, B (4»)= o doit vérifier aussi les deux équations

ce sont précisément les relations auxquelles doit satisfaire un inva* riant du premier ordre, et la conclusion énoncée plus haut «^applique encore, dans ce cas, aux invariants du second ordre.

Voici encore une proposition analogue à la précédente, quoiqu^un peu dilTérenle. Lorsque /et deux fàmiiies de caraciérisiiquei sont distùidee^ s'il existe un invariant du premier ordre pour une famille dé earaetiriê^ ligues^ il y a au plut un invariant distinct du secoptd ordre pour la mime famille. Lorsqu*un des systèmes de caractéristiques d*une équation du second ordre admet un invariant du premier ordre, on peut elTectuer une transformation de contact de façon que cet invariant soit y ; Téquation est alors de la forme

et les invariants du second ordre correspondant à la famille de caractéristiques qui admet Tinvariant y doivent satisfaire aux deux équations

^x^iz'^ ^p^^Jy' JtVrfy;~®-

Supposons que ce système admette une intégrale ti, contenant les dérivées du second ordre t et /; en prenant comme tout à Theure x^ y, ^« P% qt leiu pour variables indépendantes, le système (39) est remplacé par le suivant

(40) A(*)=3j = o, B(*)=.5^+j;jp-^/' + 5-,«o,

OÙ on suppose que « a été remplacé par sa valeur en fonction de m^ y,^^ p, q^ ieiu déduite de la relation

u = }[a!,jf,x,p,q,$,t).

Des équations (40) on déduit que 4» doit satisfaire aussi à Téquation soit

^w-jy ^.^!p-®^

on a de même :

A[CW]-C[AW] = -gf|g=:o. -^

Ecartons le cas, qui vient d'être examiné, où ^ serait nul ; les équations (40) entraînent donc les suivantes

et rintégrale générale du système (39) esif (|/, u), ^ étant une fonction arbitraire.

En résumé, lorsqu*un des systèmes de caractéristiques admet un invariant d'ordre p, il ne peut y avoir plus d*ûn invariant distinct d*ordre ^, pour toute valeur de q supérieure à p.

162. En supposant toujours les deux systèmes de caraetérisques distincts, chacun de ces systèmes admet au plus deux invariants du premier ordre, et ce nombre maximum ne peut être atteint que si Téquation du second ordre proposée est une équation de Monge et dWmpère. Il nous reste, pour être complet, à rechercher le nombre maximum des invariants distincts du second ordre pour une équation de forme quelconque. EcHvons Téqûation

r + f («» y» ^1 Pi ç» *! = o;

nous avons a rechercher le nombre maximum d'intégrales que peut avoir le système

Toute intégrale de ce système doit satisfaire à réquation

pour que les équations (41) forment un système complet, il faut que cette dernière équation se réduise à une identité, ce qui exige que Ton ait m^ = m^. Il ne peut donc y avoir cin^ invariants du second ordre, si les deux familles dé caractéristiques sont distinctes.

Cherchons s*il peut y avoir quatre invariants distincts. Supposons d^abord que

ne soit pas nul ; on tire*de la relation précédente

it ~*"« J.

«t, en remplaçant ^^ + 9 ^ par la valeur précédente dans B (f ], il vient

^' hiu ?w« > iq ^

J« ""•' ia

Pour qu'il y ait quatre invariants .distincts du second ordre, il fau* drait que les trois équations

A(ip) = o, B, (ç) = o, C(ip)=o,

forment un système jacobicn ; or, dans la combinaison

le coefficient de ^ est B| {q) — C (p), c*est-à-dire

Su») « »•

L'équation A [B (ç)) — B [A (j)] = o donne alors

K étant un coefficient dont il est inutile décrire rexpression développée. En supposant r^ remplacé par cette valeur dans B (f ), on a trois équations, où L, M sont des coefficients qu'il est inutile de calculer,

^^' va • ?» vt

qui devraient former un système jacobien. Il faut pour cela que les coefficients de ^ et de ^ dans la combinaison C [B, (f )] — B| [C {^)] soient nuls, c'est-à-dire que Von ait

et, par conséquent, mi ^zm^. En définitive, lorsque les deux famliês de caractéristiques sont distinctes^ il existe au plus pour chucune dC elles trois invariants distincts du premier ou du second ordre.

Il est facile de découvrir toutes les équations du second ordre, pour lesquelles un des systèmes de caractéristiques admet trois invariants . du second ordre. Soient u^ 0, w ces trois invariants, et (S) une intégrale quelconque de Téquation proposée r -f- / = o ; celte intégrale satisfait à deux équations de la forme v = ^ (u), to = « (11), et, d'après un théo-

et, par suite, ce coefficient ne peut être nul, lorsque m^ et tit^ sont inégaux.

Il nous reste à examiner le cas où on aurait

ins

CHAMTRB Vil

rème démontré antérieurement (n* 141), les trois équations

. r 4- /■— ^o, r = I (il), w^s (tt),

ayant une intégrale commune (S), en admettent une infinité, dépendant d*une infinité de constantes arbitraires. Or u, 9, ic, sont trois intégrales de Téquation

on a donc

et on peut éliminer les dérivées du second ordre s et i entre les deux équations

Soit

le résultat de l'élimination; Téquation F = admet toutes les intégrales du système (i3) : elle a donc* une infinité d'intégrales communes avec la proposée r -}*/'= 0, dépendant d*une infinité de constantes arbitraires. Ceci ne peut arriver (n* 120} que si F = o est une intégrale intermédiaire de Téquation du second ordre r -}«^= o. On voit donc que toute intégrale de rc<iuation du second ordre appartient à une intégrale intermédiaire du premier ordre'; il faut, pour cela, que Téquation du second ordre proposée admette une intégrale intermédiaire du premier ordre

V (or, y, ^, p, î, Il , ft) = o,

dépendant de deux constantes essentiellement distinctes a et& (I, n* 90).

Inversement, lorsqu'une équation du second ordre F = o admet une

intégrale intermédiairedu premier ordre avec deux constantes arbitraires

Tapplication de la méthode de M. Darboux donne trois invariants do second ordre, pour un des systèmes de caractéristiques. En effet, toute intégrale de Téquation du second ordre F = satisfait à une équation

du premier ordre obtenue en éliminant a et h entre les trois relations

on en déduit que les dérivées secondes r, «, t satisfont aussi aux deux relations

l'élimination de a et de ft entre les relations (44) et (45) conduit précisément à Téquation du second ordre proposée F = o et à celle-là seulement. De deux des trois équations (41' et 45), on peut donc tirer les valeurs de a et de & en fonction de x^ y^ z^ p, q^ r, «, /,

et on voit que toute intégrale de 1* équation F = o satisfait aux deux autres équations

Quand on passe d'une intégrale à une autre, fc, o, to conservent les mômes expressions et la fonction 9 seule varie. L'équation proposée admet donc les deux intégrales intermédiaires du second ordre

ce qui prouve que u, v^ te sont trois invariants d*un même système de caractéristiques (n* IGO). Ces invariants sont distincts ; car, s*il existait entre eux une relation, telle que

on en conclurait que la fonction 9 (m) doit satisfaire aune équatioa différentielle du premier ordre

ce qui est impossible, puisque cette fonction est arbitraire.

IGO

Le même raisonnenient prouve que rinvariant w peut ée déduire des invariants u el9|

to =

Rbmarqub. — 11 peut se faire que Ton puisse former deux combinaisons des invariants u, o, Wj qui ne renferment que les dérivées du premier ordre p et q, Ccst ce qui arrivera pour une équation deMonge* Ampère, pour laquelle un des deux systèmes de caractéristiques admet deux invariants du premier ordre u et v. Il est clair que cette équation peut être considérée comme un cas particulier des équations qui admettent une intégrale intermédiaire V = o dépendant de deux constantes arbitraires. D'ailleurs, on voit directement qu*il y aura un seul

invariant distinct du second ordre t"

163. LorsquHl existe plus d*un invariant pour un des systèmes de caractéristiques, on a déjà fait observer qu*il y en avait une infinité. Des remarques précédentes, on déduit facilement que tous ces invariants peuvent se calculer par des difTcrentiations successives au moyen de deux d*entre eux. Imaginons, en effet, la suite des systèmes d*équations linéaires simultanées auxquelles doit satisfaire un invariantdu 1*' ordre,, du 2* ordre..., etc. Supposons que le premier de ces systèmes qui admette des intégrales soit le p"*; il peut admettre une, deux, ou trois intégrales distinctes, ce qui fait trois cas à examiner.

Premier cas, — Le premier système qui n'est pas incompatible admet une seule intégrale distincte ; il n'y a donc aucun invariant d'ordre infé« rieur àp, et un seul invariantic, d'ordre p. Touslessystèmesd'équations linéaires que l'on a à considérer, à partir dup""*, admettent u pour intégrale. Nous supposons qu'en allant assez loin on trouve un autre système, le (p+9)"* P^r exemple, qui admet une intégrale distincte de t4; soit v cette intégrale. Alors tous les invariants d'ordre p -f- ? a*expriment au

moyen des deux invariants u et ^(n* 10! ); v^=z — estun invariant d'ordre

p 4* 9 4* ^« et tous les invariants d'ordre p 4* 7 + * s'expriment au

dv.

moxen de ti, v, V|. De môme vt = -r^ est d'ordre p+q+%ci tous les

invariants d'ordre p 4* ? 4* ^ s'expriment au moyen de u, o, V|, Vf. En continuant ainsi, on démontrera de proche en proche que tous les invariants s'expriment au moyen de ceux qui sont compris dans la suite

dp Tu'

dv.

dVm

Deuxième cas. — Le premier système qui n'est pas incompatible admet deux intégrales distinctes (on a nécessairement p= 1, ou p =2).

Soient u et r ces deux invariants distincts d'ordre p ; v. = ^ est an

nouvel invariant distinct des premiers, et, par suite, v^ est d'ordre p + 1. Tout invariant d'ordre p + 1 est une fonction de ii, », », ; de même

do,

et le

tout invariant d'ordre p -f- 2 s'exprime au moyen de u, ©, ©., .

raisonnement s'achève 'comme dans le premier cas.

Troisième cas. — Si le premier système qui n'est pas incompatible admet trois intégrales distinctes, on a nécessairement p = S, et il y a trois invariants distincts du second ordre. D'après ce qui a été démontré tout à l'heure (n* 163), on peut prendre pour u et » deux invariants

du* second ordre, tels que o, = — soit aussi du second ordre. Alors

dv»

— * sera nécessairement du troisième ordre, car, s'il était d'ordre 2,

il s'exprimerait au moyen de u, t?, — t ce qui est impossible (n* 160);

tous les invariants du troisième ordre s'exprimeront au moyen de

ti, r, »!, --p* Le raisonnement s'achève comme plus haut.

En résumé, lorsque les deux familles de caractéristiques sont distinctes, s'il existe pour l'une d'elles une infinité d'invariants, on peut en trouver deuXy u et r, tels que toupies invariants s'expriment au moyen de ceux de la suite

dv «. t,, V, = ^,

dvt

*'» = rf^'

On en déduit, comme corollaire, que le nombre des invariants distincts d'ordre égal ou inférieur à n est au plus égal i n -}- 1 ; pour que cette limite soitatteinte« il faut et il suffit que Téquation du second ordre proposée admette une intégrale intermédiaire du premier ordre, avec deux constantes arbitraires. Il y a alors trois invariants distincts dn second ordre (ou deux du premier ordre et un du second ordre), an du troisième ordre, un du quatrième ordre, etc.

164. Tout système d'équations linéaires et homogènes du premier ordre, à n variables indépendantes et à une seule fonction inconnue, qui admet r intégrales distinctes seulement, se ramène, par des opéra* tions élémentaires, à un système jacobien de n — r équations. Si on

JirriOllATlOll DM ^AHOKt. il .

applique à ce système la méthode de Mayer (*)«'oii sait que rintégration est ramenée i celle d*un système de r équations différentielles ordi-' naires du premier ordre, ou, ce qui revient au roémei k Tintégration d'une équation différentielle unique d'ordre r. Si on applique cette méthode aux systèmes linéaires qui déterminent les invariants d'une famille de caractéristiques, nous avons vu qu'il ne peut se présenter que trois cas. Si le premier système, qui n'est pas incompatible, admet une seule intégrale, on l'obtiendra par l'intégration d^une équation dif* férentielle du premier ordre.. Le premier système après celui-là, qui admettra plus d'une intégrale distincte, en admettra deux, et comme on en connaît déjà une, la détermination de la seconde intégrale exigera rintégration d'une nouvelle équation différentielle du premier ordre (*). lia recherche des invariants exige donc Y intégration de deux équation» différentieliet ordinaire» du premier ordre.

On voit de. même que^ lorsque le premier système qui n*cst pas incompatible admet deux intégrales distinctes, la recherche des invariants est ramenée à l'intégration cTune équation di/férentieile ordtnaii'e du second ordre.

Enfin, dans le cas où Téquation admet trois invariants distincCs du second ordre pour une famille de caractéristiques, on aurait à intégrer une équation différentielle ordinaire du troisième ordre.

165* Lorsque les deux familles de caractéristiques d'une équation du second ordre sont distinctes, toute caractéristique d'ordre n appartient à une infinité de caractéristiques d*ordre n -f- '« dépendant d'une constante arbitraire, dont la détermination exige, en général, l'intégration d*une équation différentielle oi-dinaire du premier ordre. Ces caractéristiques s'obtiennent sans aucune intégration, toutes les fois que le système considéré admet un invariant d'ordre n -f* i- Pour fixer les idées, supposons l'équation du second ordre proposée mise sous la forme

une caractéristique d*ordre n est complètement définie si on connaît, en fonction d'un paramètre variable «, les valeurs de

l'our trouver une caractéristique d'ordre n -f- i renfermant la précé«

(•) Equations du premier ordre^ p. 58 et suivantes* (s) Equûtiims dupremUr ordre (n* 33).

lA MÉTHODE DE M. DARBOUX

dente, il suflira de coniuiltre les valeurs des dérivées pi,i, elpt, 1,4.1 le long de cette caràqtéristique; on a évidemment

De plus, si.u est un invariant d'ordre » 4- ^ <1^ <^ système, on doit avoir aussi

et les deux équations précédentes permettent de déterminer pi, n et pti. « 4. i en fonction de a et de la constante arbitraire C. On peut remarquer en passant que cela suffirait pour établir qu^il ne peut y avoir plus d*un invariant distinct d^ordré n 4* ^y lorsque h est supérieur à Tunité (nM61).

Plus généralement, si le système de caractéristiques considéré possède un invariant d^oi'dre n 4* ^ et un invariant d*ordre inférieur, on pourra en déduire de proche en proche, sans aucune intégration, toutes les caractéristiques d*ordre n -f- ii d'ordre n -j- ^1 etc., qui renferment une caractéristique donnée d'ordre u. Prenons, par exemple, Téquation ra — 1= o ; elle admet une famille de caractéristiques du premier ordre, définie par les équations diflercntielles

dy = 0, rf-j = jxfa*,

dont rintégrale générale est

dpdq = cte*,

^ (a) étant une fonction arbitraire. D*autre part, on a, pour les caractéristiques du â* ordre de la même famille, Tinvariant du second ordre

on obtiendra donc les caractéristiques du second ordre, en ajoutant aux équations précédentes les deux relations ' '

d*où on tire t = «, r = — r — • On aura de même les caractéristique»

Idu

du Iroisîème ordre en se servant de rinvariant r ^ ou «^u -}- p^,, et ainsi de suite.

166* Nous aUons maintenant étudier dans ce paragraphe les équations du second ordre pour lesquelles les deux familles de caractéristiques ne sont pas distinctes. Une équation de celle espèce représente, quand on y considère â?, y, «, p^ q^ comme des constantes, et r, t, I, comme des cordonnées courantes, un plan parallèle à un plan tangent au cùne (T) ayant pour équation

ou une surface développable, enveloppe d*un plan mobile qui reste constamment parallèle à un plan tangent au cône (T) (I n* 78). Dans le premier cas, Téquation du second ordre est de la forme

AV +^Bt + B'I -f. K = 0.

A, B, K, étant des fonctions de x, y, z^ p, q ; dans le second cas, Téquation du second ordre s'obtient en éliminant le paramètre m entre les deux équations

Pour la question dont il s*agit, on peut se borner à ce second cas ; en effet, étant donnée une équation de la forme (40), on peut toujours lui appliquer une transformation de contact convenable, de façon k la ramener i une équation ayant un terme en ri — «' (n* 28). La nouvelle équation sera représentée par un système de la forme (47), où 'f sera une fonction entière et du second degré de m.

Noua prendrons, par conséquent, Féquation du second ordre sous la forme .

la fonction /ayant la valeur

et m étant défini par la relation

^On déduit de li que, u désignant une des variables x, y, jr, p, 9, on •

ndisque

On aau8«i

de sorte que m est la racine double de réquation caractéristique.

Cherchons d*abord s*il peut y avoir des invariants du second ordre. c*est-à-dire si le' système

Bw=(â)+"fê)-g(D=v ■

peut admettre des intégrales renfermant «et ^ On a déjà

dm dm

de sorte que Tintégrale générale de Féquation A (f ) == o est une fonction arbitraire de w^ y. z^ p, q^ m. Prenons alors pour variables indé^ pendantes

«t yi '«'» J^, ïf »i ^ et posons

? (a^f yi '«'» Pi ïf «1 = P Ky» '«'i pt ï» "»» 0;

le système (SI) devient

5P . JF

, PP , 5>F ,3F , Î>F ) . 5>F /<Ii«»\

3«Wy/,^0

La deniière équation peut encore 8*é€rire, en réduisant et tenant compte des relations précédentes^

«.n.x ^F . î>F . ?F, , X , ^F/ >J» ^,\ ^FH

>F ) (dm\ (dm\ \dy}

i^F ?F 5F 5F îF Nous remarquons que les coefficients de -^f •;{"• T"» ">!♦ "^7 i>® ^**

pendent que des variables âp, y, r, p, 7, m, do sorte que la combinaison

conduira à la nouvelle équation •

.5F à moins que le coefficient de — dans B (F) ne soit lui-même indépendant de /• Il ne peut donc se présenter que deux cas ; si le coefficient

de y dans B (F) n'est pas indépendant de t^ quand on Texprime au

5F moyen des variables a:, y^ ;, p* 9i ^t, /, on doit avoir r— r= o, et, par suite»

il no peut exister d'invariant du second ordre. Au contraire, si le coeffi-

5F cient de r^ dans B (F) est indépendant de I, les deux équations A (F) = o,

B (F) == o forment un système jacobien ; il en est, par suite, de mémo des équations (SI), et on a cinq invariants distincts du premier ou du second ordre.

Nous allons chercher la condition pour qùUl en soit ainsi. On a, en posant, pour abréger,

(D='"+'">(f)+HI+B«+|-+^'+â(f)!

ce qu*on peut encore écrire, en remplaçant m par — r-^ — ml,

Le coefficient de — est donc, en remplaçant 9 par — r-^ — mt^ réduisant et multipliant par H,

Ce coefficient est donc une fraction rationnelle et du premier degré en i ; pour qu'il ne dépende pas de /, il faut et il suffit que Ton ait

"im^q

La relation ainsi obtenue s'est déjà présentée dans une autre question ; elle est identique à celle qui exprime que les équations, auxquelles doit satisfaire une intégrale intermédiaire dcTéquation du second ordre (48) forment un système en involutibn (') (t. I, n* 93). Nous avons vu que l'intégrale générale d'une équation de cette espèce est représentée par un système de formules où figuraient explicitement deux fonctions arbitraires, sans aucun signe d'intégration ; ce qui est bien d*accord avec la proposition du n* 159.

Cherchons encore s'il peijt exister des invariants d^ordro n > 2,

pour une équation de la forme (48). Un tel invariant doit satisfaire «nx

(I) L*équatioa (57) de la page 207 (I. I), qui est Identique en réalité à notre équation (52)r a été écrite iDexactenient On doit lire« sur la première llgnOt

— - ^ X » au lien de — m > ^ t et le terme m ^ S\ ' ^ hi seconde ligne doit être supprimé.

deux équations simultanées

L'intégrale générale de la première est une fonction arbitraire de

^f y» ^»Pt,«» •••> Pl.»-i; î»».!» •••» P^,n^U Pl,»-I + **^P%m] C€CÎ nOUS COn*

duit à prendre pour variables indépendantes

en posant f =Pi.ii-i + fnp^^. La première équation du système (53) devient, F désignant la nouvelle expression de f ,

quant à la seconde, elle se change en une équation B (F) = o, renfer» mant, en général, toutes les autres dérivées. Nous remarquerons sur cette équation que les coefficients des dérivées

^F ?F aF ?F

ïF ÎF

i^ »y î-r !>Pi,i **'* !>A.«-i *Pi.i ** • 3!Pi,»-«

ne renferment pas les dérivées d'ordre n ; les seuls coeflicients qui

puissent contenir les variables u et p^^ sont donc les coefficients de

?F 5F ÏF^ .

aF 5F

Les coefficients de r- 1 r- sont respeclivemient

or Pi,ii~i + '^/k» = ^« ^^ ^^ dilTérentiant n — 8 fois Féquation proposée par rapport h y, on trouve que pt.»-.t 4* ^l>i,«-i s'exprime au moyen de dP, y« x, ti , et des dérivées d*ordre inférieur à fi«

Les coefficients de

et de T-^^ ne renferment donc pas j\», et

cette variable ne peut entrer que dans le coefficient de -r-* En raison-

nant comme plus haut, on en déduit que la combinaison

conduira à l'équaUon

. — = Ou -

à moins que le coefficient de r- dans B (F) ne soit indépendant de fim.

S'il n'en est pas ainsi, il n'y aura pas d'invariant d^ordre n; sila condi« tion est satisfaite, les équations (53) forment un système complet.

Le coefficient de ^ dans B (F) est

où -j- et -j- désignent les dérivées complètes

dm hn , im , hn .dm .dm , dm

Remplaçons les dérivées partielles de m par leurs valeurs, il vient

' De la relation

. r + îm + m»l + Ij. = o,

on tire, en différentiant par rapport à y,

de sorte que 7^ 4* ^ 7^ s'exprime au moyen de x, y, jr, ji, g, m, I, Il nous faut calculer maintenant les termes de f , .jf, ) qui contiennent

dmdmdf V"' • '^;" ' -^^•' - j

les dérivées d^ordre n. Après une première difTérenliation, on a

si on dîiïérenUe ensuite 2m/)i, i + »»*/V >• P*** rapport k y, (n — 2) fois, le résultat est, en négligeant les termes qui contiennent les dérivées d*ordre #• -f- ^»

+ ... +2 (n -2) -^p,... + (n - 2) -^ ji„»,

et les dérivées Pi. M- 1 et /v. ne peuvent provenir que des deux premiers termes et des deux derniers. Les termes renfermant les dérivées d'ordre fi sont, en définitive,

si on remplace ^> ^i ^ parles valeurs obtenues plus haut, on trouve

finalement que les dérivées d*ordre n ne figurent que dans la combinaison pi.a-i + ^P^n = ^' En difTérentiant de même (n — 2) fois par

rapport à y la somme des autres termes de -p» c'est-k-dire

on trouve que les termes qui renfermenl les dérivées d'ordre n sont les suivants

On voit donc que, si on prend pour variables

le seul terme de ( . âj| V q»i renferme pa«, proviendra de

Par suite, le coefficient de — dans B (F) est une fonction linéaire do p^^f et le coefficient de p%,m^si

dm j. dm dx T dy

en égalant ce coefficient à zéro, on retrouve précisément la relation (52)^ Les seules équations du second ordre, ayant leurs deux familles de caractéristiques confondues, auxquelles s'applique la méthode de M. Darboux, sont donc les équations intégrées précédemment (t. 1; n*' 93-96), qui comprennent comme cas particulier les équations de Monge-Ampère, pour lesquelles les équations différentielles des caractéristiques du premier ordre admettent trois combinaisons inlégrables distinctes.

Toute équation do la forme (48), qui n'appartient pas à cette catégo- - . .

rie. ne peut admettre pour ses caractéristiques d'invariant d^ordre supérieur au premier; si elle admet un invariant du premier ordre, oA pourra effectuer une transformation de contact telle que cet invariant soit précisément y. La nouvelle équation sera de la forme

et, comme les deux systèmes de caractéristiques doivent être confondus, il faudra que f soit indépendant de «, et Téquation se réduira à la forme simple

On voit, d'après ce qui précède, que celte équation n'est jamais inté-

grable par la méthode de M. Darboux, à moins que r^ ne soit nul; car

telle est la condition pour que les caractéristiques du premier ordre aient trois invariants distincts.

167. Nous allons appliquer la méthode générale à quelques exemples. Exemple Vil. — Soit k intégrer une équation de la forme

les deux racines m^^ m^ de l'équation caractéristique ont pour valeurs !

nil = Or »!• = ^« ;• . }

CUAPITRB VII

Tout invariant f {x^ y, z« p, q^ «, t) du second ordre du système de caractéristiques correspondant à la racine m^ doit satisfaire aux deux équations simultanées

î!l }^. 3iJ = o-

la combinaison A [B(f)] — B [A(f )] := o conduit à la nouvelle équation

comme la fonction ^ n*est pas supposée indépendante de «, on en conclut la nouvelle équation

de même la combinaison C [B (^ )] — B [C (^ )] = o donne ^ = o, et il reste une seule équation

pour déterminer la fonction f des quatre. variables x, y, p, t. Il y a donc trois invariants distincts du second ordre, ce qui est bien conforme aux résultats déjà connus (n* 92 et 162).

ExBMPLB VIII. — Prenons encore une équation de la forme

posons, pour abréger, ti =: - ; les deux racines de Téquation caractéristique sont

iiii = o.

Un invariant du second ordre de l'un des systèmes doit satisfaire aux.

deux équations

de ces deux équations on déduit, comme tout à Theure, en supposant

r^ différent de zéro.

d'où il suit que f est de la forme F {x, y, xr, j>, u). En prenant pour variables «, y, ^, p, g, «, les équations B (^) = o, C (^) = o deviennent

3F . JF W . « 3F , 1 y I JF , 3F , 3F i 3;+37''-37^~" Sl^-^-it} 3P+37*+37«"!

on en déduit — = o, et il reste une seule équation

^P j / . 3A 3F . / 3/" A 3F pr , 3/" , A 3F

pour déterminer une fonction des quatre variables x^ z^ p^ tf . Il y a donc . trois invariants distincts du second ordre (n* 92 et 162 )•

Exemple IX. — Dans lesdeux exemples précédents» on peut employer aussi la méthode des intégrales intermédiaires du premier ordre pour

intégrer Téquation. Il n*en est plus de même pour Téquation suivante

Soit u = $é^'; un invariant du second ordre de ^un des systèmes doit satisfaire aux deux équations

on en déduit successivement, en supposant que la fonction /'contient m.

ce qui montre que f est de la forme F (a:, y, p, m*').

L*équation B (9) = o devient, en prenant pour variables x, y, p, u,

^F , ÎF., ?F^, V ic,5P • V3F VJF ^.

î^^f ~ ^u / . Jp • 3« ^y • Jtt >p Jp Jtt

on en déduit que Ton doit avoir aussi — = o, et il reste une seule équation

pour déterminer une fonction F (a;, p, u) de trois variables. Il y a donc deux invariants distincts du second ordre.

168. Lorsqu'une équation du second ordre ne renfenneque la déri*^ vée seconde «« les deux systèmes de caractéristiques admettent respectivement les deux invariants x et y; il suflira donc qu'il existe une autre combinaison intégrable dans Tun des deux systèmes pour pouvoir appliquer la métliode de M. Darboux. Toute intégrale intermédiaire est de la forme

ou d\me forme analogue obtenue en remplaçant x par y (n* 143). On est donc ramené à Tintégration d'une équation différentielle d'ordre ti, renfermant une fonction arbitraire ç (x).

Considérons, en particulier, une équation linéaire

où a, &, e sont des fonctions de âp et de y seulement, et le système de caractéristiques défini par les f quations

dx = 0, cf^ =r g, rfy, rfj, = ç,rfy, ..., rfg«,, -= ç^y,

• Mrfpi = ^ rfy» rfp, = ^rfy, ... rfp, = ^ rfy •••

oà on a posé

On a

LA MÉTHODE De M. DABBOUX

Pl =

i = JS = - ("''* + ^' + 'P* + SP. + 5« ï. + JS 7

D'une manière générale, —- esl une fonction linéaire et homogène

^^ «« 7i« i^f Psf ••-! P«; un invariant d*ordre n de ce système de caractéristiques esl une fonction dé a-, y, z, p^, p^, ..., p„ qui -doit satisfaire à la condition

en égalant à zéro séparément le coeflicientdc ^i et la somme des termes indépendants de ^i, on a un système de deux équations.

où «1, «2, ..., Km sont des fonctions de Jt'et dey, et p,, pt, ..., p« des fonctions linéaires et homogènes dé ^^PijPtj «-m ]>«• Nous supposerons qao le système de caractéristiques considéré n'admet aucun invariant d'ordre inférieur k n, sauf <f = .r, de sorte que les équations (SS) n'admettent, en dehors de l'intégrale évidente o = .r,qu*une seule intégrale commune (n* 161). On déduira donc des équations (55) un système complet de n -f- 1 équations distinctes.

On a d*abord

C (ç) = A [B(^)] - B [A(9)] =2 1 A(M -»(«/) I IJ; = ^5

mais A (P/) et B (a/) sont indépendants de x, P|, ps« «-t Pat ^^ M>^ que la nouvelle équation est de la forme ' , ■ ^

CHAPITRB VII

YÎ« Ts« ••• Y« ^tant des fonctions de â? el j^ seulement. 11 vient ensuite

A (C(y)) - C (A(?)) = o; C,{y)=B(C(y))-C(B(?))=2}B(T/)-C(MJ^^ = o.

et la nouvelle équation C, (7) = o est de même forme que C (9) ;= o. On a de même

tandis que B (C| (^)) — C, (B (^)) = donne une nouvelle équation de même forme

en continuant ainsi^ on arrivera à former {n — 1) équations distinctes

de même forme que C (^) = o, formant avec les équations (55) un système complet. Des relations (56) on déduira les valeurs des rapports

^1 *Va *!P»

PÎT*

Pi, Ps, ..., Pm ne dépendant que de x et de y. On ne peut avoir P« = o, car on en concluerait r-^ = o, contrairement à Thypothèse. Cela étant,

faisons P. ?= — 1 , ce qui ne diminue pas la géa^ralilé, et rompla çons -r^i

'^par les valeurs précédentes dans les équations A (y) = o.

B (9) = o ; nous obtenons un système équivalent au système formé par les équations (55) et (56)

g+ JKT + K.P.+... + KJ). } ^ =

K, K|« ..., Kji, Z ne dépendant que des variables w et y. Pour que ce

systène soit jacobien, il faut que Ton ait

jj" -- *^ii- • + P« - iKj,;

si ces conditions sontvérifiéeSy on reconnatt que

est une intégrale du système (57). On peut donc prendre pour invariant d'ordre n une fonction linéaire ^^ ^ t Pu Psi •••! P»j

A, A|, ..., Am étant des fonctions de x et de y.

L*équation linéaire proposée admet alors Tintcgrale intermédiaire

et les équations (5i) et (58) forment un système eninvolutionpour toutes les formes possibles de la fonction f {x). Supposons^ en particulieri ff{x) = o ; l'intégrale générale du système des deux équations

dépend donc d*une infinité de constantes arbitraires. On a démontré

plus haut (n* 1 10) que cela ne peut arriver que lorsque la suite de Laplaca

relative à Téquation ^ (z) = o se termine du côté det indices négatifs

après fi — 1 transformations au plus.

Réciproquement, si la suite de Laplace se termine de ce côté pprès

p — 1 transformations, le système de caractéristiques correspondant

admet un invariant d'ordre p. En effet, Téquation linéaire adrortalers laiT^osATioii Dti Aqcatioim. ' IS

|=K+ZK„ I

une intégrale de la forme

X = BY H- B, r + ... + B^-|Yc^-«>

B, B|» .... B^i étant des fonction» délermînées de x et de y, et Y une fonction arbitraire de y. Elle a donc une infinité d'intégrales communes, dépendant d'une fonction arbitraire, avec une équation linéaire de même forme que F (jt) = o et d'ordre p

Il faut pour cela que Ton ait une relation identique de la forme

A|i «t« •••» pi désignant des fonctions de a; et de y (n* 110). Le coefficient de -r — dans cette identité est a — p ; on doit donc avoir p = a, el la relation (39) peut s'écrire : '

identité qui montre que toute intégrale de ^ (j) =: o satisfait à une équation de la forme

L'un des systèmes de caraclérisliques de l'équation du second ordre

admet donc les deux invariants x et e/*^F| (x).

En résumé, si l'un des systèmes de caraclérisliques admet un invariant d'ordre », et aucun invariant d'ordre inférieur u ii, aulre que or, la suite de Laplace se termine d'un cjté après n — 1 transformations, et inverse* ment. Dont U cas des équaiiont linéaires^ la méthode de M. Darhoux et la méthode de Laplace riusiitsent en même tempe»

169. On est encore conduit au même résultat en appliquant la rné* tliode générale d'intégration des systèmes en involution exposée plus haut (n* 137). Intégrons pour cela l'équation (5S) comme une équation dlITérenlielle ordinaire 4 deux variables x et ^, en y considérant y

comme un paramètre ; riniégrale générale esl de la forme

^o '^si •••• ^m, étant n intégrales particulières de Téquation sans second membre, ^4, ^2, ..., p« des fonctions déterminées de x et de y, el ?o Cv)i ?i (y) •••« ?ii-i (y) ^^^ fonctions arbitraires de y. On peut évidemment supposer que Ton a choisi les intégrales particulières z^^x^^ ... jr«« de façon que ^^ (y), 91 (y), ..., 9»| (y) représentent respectivement les fonctions de y auxquelles se réduisent, pour x = x^^ les fonctions

-• T"» ••• yZm^* Pour que la formule (60) représente une intégrale de réquation

il faut et il sufBt que les n fonctions (p^ (y), ^ , (y), ..., ^«.i (y) vérifient les relations

rfa?'

où on aurait remplacé œ par o?^, z par ç^ (y), — par (pi (y)» ... * ^^ par

?«-i (y) (n*i37).Nousallonsmontrerquectftn/bnc<iOiMf^(y)«..., f«.i(y) peuvent ê^expvhner^ par des formula Unéaires et homogènes^ au moyen de q — 1 comfantes arbUrairee et dune fonction arbitraire X dey et de set n — q premières dérivées^ sans aucun signe de quadrature (*)•

Soient a^yb^^c^ les fonctions de y auxquelles se réduisant a, ft, o, pour X =z x^\ réquation ^ (^) = o nous donne d'abord

ou, en muUipltant par «/V^i

(I) Voir mo n Mémoire Sur les équalionâ linéaires et la méihode dêlaplece C^sMff* ean Journal of ilaihemaUcs^ t XVIII ; p. 3SI}«

BflHBMWM

en posant, pour abréger,

11 vient, en intégrant par parties,

Si Cj — -i^ = o, il suffira de poser ç^ (y) = Y, et y, (y) s^cxprimera jf ■ aussi linéairement en fonction de Y et d*une constante arbitraire ; si

C| — Y^ n*est pas nul, il suffira de poser

et on trouvera pour ^i (y) une fonction linéaire de Y et de Y'. Supposons la loi vraie jusqu'à la dérivée d ordre i>, de telle façon que f. (y), ..., ç^ (y) s'expriment au moyen d'une fonction arbitraire dey, de ses(p — r) premières dérivées et de r constantes arbitraires C|, Q, ... Cn par des formules linéaires et homogènes d^ni les coeflicients sont des fonctions déterminées de y. Pour calculer ensuite ^^4. i (y), on part de la formule

obtenue en différentiant p fois l'équation proposée par rapport i » et tenant compte de l'équation même. Si on fait dans cette relations = 4?^^

et qu'on remplace ensuite x, -^1 --> ^--j; par les expressions déjà obte*

nues pour (pj(y), ..., Çi^Cy),^^ par la valeur de 9; (y), puis ^^ par >^+i(y)iîl vient

îMi (y) + «tîMiCy) + U^ + ^v + ... + /^+A>-*« + ^n,c, + ..:

+ »»f Cr, = O,

'«« ^1 •••« (p-r«it *'>!« •••« ''<r étant des fonctions déterminées de y^ Y une fonction arbitraire de y, et C|, ... Cr des constantes arbitraires. Muiti*

plions encore par e/Vv, et intégrons par parties autant de fois que possible; on peut écrire .la formule

^(*/V.ç,„(y))=^|L,Y+...+L,^Y"'-^+M,C,+;..+M,CJ+NY,

L,, ..., L^-r, M,, ..., Mrt X élant des Tonclions déterminées de y. Si N est nul, on voit que r^pA.^ [y) est une fonction linéaire et homogène de Yi Y\ ..., Y''-*^, C, , Cjf ... , Cr et d'une nouvelle constante arbitraire Cr+|. Si N n'est pas nul, on posera NY = \\^ Y| étant une nouvelle fonction arbitraire de y, et on voit quo ^^(y), ..., Oji+| (y) seront des fonctions linéaires et homogènes de Y^, Y',/..., Y/-*"^* et des r constantes C,, Cj, ..., Cr. La loi est donc générale.

En remplaçant f^ (y), ..., ^n.i {y) par leurs expressions dans la formule (60), on trouve que Tintégrale générale de Téquatioa

est donnée par une formule de la forme

X = C.r, + ... + C,-,r,-, + AY + A,Y' + ... + A..,V-^>

Oi, ..., r^.| ; A, ..., A«.^; j,, ...«^«'«Pn •••t PitClant des fonctions déter^ minées de x et de y, Y une foncticn arbitraire de y, ^ (a?) une fonction arbitraire de x et C|, ..., C^., des constantes arbitraires. En supposant nulles toutes ces constantes, ainsi que la fonction f (x), on a une intégrale particulière de la forme • . *

^ = AY + A^T + ... + A.. ^Yf--»*,

ce qui suffit à prouver que la suite de. Laplace se termine après n — q transformations au plus« D'autre part, si on suppose que Tiavariant d'ordre le moins élevé est d'ordre »i, la suite de Laplace ne peut se terminer qu^après n — 1 transformations; on a donc nécessairement f= 1, et la formule précédente ne renferme pas de constantes arbitraires. Remarque 1. — Soit u l'invariant d'ordre minimum obtenu plus haut

w = Ap^ + A,p.^, -|- ... + A.^ ;

tout autre invariant est de la forme *

^/ du (Pu d^\

et peut contenir les dérivées. d'une façon quelconque.

Rbuakqub II. — Lorsqu'il existe une équation

formant un système en involution avec une équation linéaire

on peut toujours introduire une constante dans F {s). En effet, si on change z en az^ Téquation linéaire ne change pas ; Téquation F {az) = o doit donc former aussi un système en involution avec Téquation linéaire proposée. Or l'équation F {az) = o dépend effectivement de la constante a, à moins que F ne soit une fonction homogène et du premier degré

de X, - I •••» ^zriT* S'il en est ainsi, désignons par z^ une intégrale de

réquation proposée qui ne vérifie pas Téquation F (z) = o ; en chan* géant jt en j' 4* ^^n ^^ nouvelle équation F (^ -f* ^'^i) = ^ dépend effectivement de a, car le coefficient de a se réduit à F (z^)^ pour x = X|.

Il résulte de ces remarques que, lorsque la suite de Laplace relative à une équation linéaire est illimitée dansles deux sens, il ne peut exister d'équation formant avec cêlle-là un système en involution. Si la suite de Laplace est limitée d'un seul côté, par exemple du côté des indices positifs, il existe une infinité d'équations formant avec la proposée un système en involution ; elles ne renferment que les dérivées partielles de z par rapport i la variable y.

Rrmarqub III. — Dans le cas de l'équation linéaire la plus générale,

Ar + 2B» + a + Dp + Eî + F^r + G = o,

la méthode de M. Darboux conduit aux mêmes résultats que la méthode de Laplace, généralisée par Legendre. (Voir n^ 113 et suivants.)

170. ExBMPLB X. — M. Sophus Lie (*) a donné un procédé élégant pour trouver tous les cas où l'équation

est intégrable par la méthode de M. Darboux. Prenons en particulier

{}) Somut Lit. DUcuêshm dtr DiffêreniialgMehNn$ izsf{z) (Arehiv for Mûikê* maiik. Bâ. S, Chfiêtkmiû; IlSt).

le système de caractéristiques

*i = ^ rfyt rfpj = ^ rfy. -.. 4»* = ^rfy» .-. ;

on a

^— ^— /"fr\«

D'une manière généralci appelons poids du produit

la somme a, -}- 204 -f* ••• 4* *'^t > ^^^ ^^ polynôme entier Pj^.i en Pu Ps» •••! i>A-i dont tous les termes sont de poids A -— 1,

(Xt-i BC renfermant que Pi, p^t —i Pa-s* Si le système de caractéristiques considéré admet une combinaison intégrable d'ordre fi, rff = o, f doit être une fonction de x^ y« j^ Po Pst ...f P» satisfaisant à la condition

et, comme ^ ne contient pas q„ il faut que Ton ait séparément

A(?) = j;! = Ot

Les équations (61) entraînent la suivante

'tm

CHAPITRB VII

elles deux équations B((p)=o, C (9) = o sont équivalentes, en supposant que /"* — tr n'est pas nul, à celles*ci

On remarquera que le coefficient de*^ dans la première équation est de la forme

tandis que dans la seconde équation il est de la forme S/-|, en dési* gnanC par R/., etS/.| des polynômes de poids 1 — 1 ne renfermant que Pli Ps9 —9 Pi-s- On peut encore écrire les équations précédentes

«i-i et ^-, étant des polynômes en p„ p^^ :.., p/-, de poids t — I. Formons la combinaisoa

nous obtenons une nouveHe équation

où p/LV est un polynôme de poids i — 2. On aura de même

•M, (t) = L [M, (t)] - M, [L (,)] =2 pjî», ^ = o,

/J\ étant de poids i — 3, et d'une manière générale

Mk(î) = L [M,. (^)] - Me-. [L (?)] == 2 jJ/«', ^ = o. Pi^l\ étant de poids i — K — i. Il s^ensuit que Mr (7) est de la forme

tf R et &R étant des constantes. Pour avoir la valeur du coefficient aki remarquons que Ton a :

«K + l = L (^kPi) — Mr (Pr -|- ttR) = — àKf

et comme «i = 1, il s'ensuit que Ton a ar = ( — i) ^'*''. Au bout de n — i opérations, on arrivera donc à Téquation

en remontant de proche en proche, on en concluera successivement que Ton doit avoir aussi

t>Pi

Il n'y a donc pas d'autre solution pour le système (61) que f = j9. Par suite, n-iuation

ne peut être intégrée par la méOiode de M. Darboux^ lonque /•'«(jr) — f(j)f {z) est différent de zéro.

Lorsque /^* — ff' est nul, on a /* (-r) = Ae*', A et K étant des cens» tantes. Si K est nul, Tintégralion est immédiate; si K H*est pas nul, on est ramené à Téquation de Liouville (n* 47). Pour toute autre forme de la fonction f (x), l'intégration est impossible par cette voie ; on en conduti en particulier, que l'équation

= sin J,

à laquelle se' ramène la déterminaiion des surfaces à courbure constante, n*est pas intégrable par la méthode de M. Darboux (^).

171. Exemple XI. — Appliquons encore la méthode à Téquation oti trouve deux intégrales intermédiaires du second ordre

Posons p= u', f = o* ; tt et «s'obtiennent par l'intégration d'un système d'équations aux différentielles totales

'^"^jf^y^ +[Hy)-5^]rfy.

dont l'intégrale générale est, en remplaçant <f {x) par X^fOt -{«(y) par Y',

ti = X' + X^Â

X désignant une fonction arbitraire de x, et Y une fonction arbitnûre de y ; on a ensuite z par des quadratures

ce qui peut encore s'écrire :

X =yX'« rfr ^-JY-Vy -^|^*-

(I) M« Sophut Lie a démontré autii quil en est de même deTéquation

4i«(#«-rl)=(l+|ii + rt«.

qui définit les lurfseet à courbure constante en coordonnéei cartésiennes {Zut Thtùriê der Fiâehtn €on$iamt$r Krûmmung).

Pour Taire disparaître tout signe dUntégration, il suffira d'exprimer

0? et X en fonction d'une variable auxiliaire x, de telle façon que jX'^rf»

s'exprime aussi explicitement, et de même pour y et Y. Nous n'avons pour cela qu'à poser

ce qui donne

X = rX'dir =J"aç" («) rf« = «y' («) — î' («), rX'»rfr =/*V («) <'« = «V («) — **?' («) + *? («)*»

de même, en posant Y' = p, y = 'f (P)< <"> ^<*'*

Y = p.f'(p)-f(p) /Y'»rfy = 1J«<Î»' (p) - 2?y (P) + i + (P).

En définitive, l'intégrale générale de Téqualion ê(a-\-jf) — i^pqeti représentée par les formules suivantes, où ^ et •{« sont deux fonctions arbitraires, « et p deux paramètres variables,

X = *y («) - 2.f (.) + 2 9 {«) + PT (?) - W (P) + 2* (»

179* Dans ce qui précède, nous avons supposé l'équation du second

ordre ramenée à la forme v* + /^ = <>t ou t -{-/ (^f y « ^9 Pt 9) = o. Théori* quement, on a toujours le droit de faire cette hypothèse, et les théo* rèmes établis plus haut sont vrais, quelle que soit la forme de l'équation à intégrer. Mais, dans la pratique, il peut arriver qu'il soit impossible d'effectuer la résolution indiquée ; on peut alors diriger les calculs comme il suit. SoitF = l'équation du second ordre; en ajoutant toutes les relations que l'on obtient par des différentiations successives jus-

qu'à l'ordre n — 2, on a en tout ^ ^ ' relations entre les variables m^

y, s et les dérivées de z jusqu'à celles d'ordre n, o'esi-à-dire entre

— '^ ^ variables ; on pourra donc les exprimer toutes au moyen

de *— 5 — ' — — — ' = zn -f 3 paramètres. En portant ces

expressions dans les in -{- i équations diiïërentielles des caractéristiques d*ordre n, il restera un système de 2it -f- 1 équations entre 2n -f- 3 variables; il y aura toujours deux équations de moins que de variables* Prenons, par exemple, une équation de la forme

\ /* ne contenant pas r. On reconnaît aisément que toutes les dérivées

partielles de la fonction inconnue peuvent s*exprimer au moyen des dérivées p^,* et /)«,/; on pourra donc ne laisser que ces dérivées dans les équations différentielles des caractéristiques. Prenons en particulier le système qui correspond à la racine

de Téquation caractéristique; Téquation proposée différentiéen — 1 fois par rapport à y donne

1»-.- + (^^ïï) + ^P^-+t = Ot

ou, en multipliant par dx^

^•^ + fe^ *" " ^'

Cest la dernière équation des caractéristiques d'ordre n de ce système ; les autres s'écrivent immédiatement.

Exemple XIL — Appliquons cette méthode à Téquation (*)

un des systèmes de caractéristiques est défini, en posant ii = - et

(1) DiUDOSC, Compiet Rendue^ t. CXX, p. 901; IS9S. .<

poussant jusqu'aux dérivées du troisième ordre, par les relations

dq = {qz + q*r- tq |Q rfr,

dr = p^dje + p,, idy, dt = p,,tdx •{• p^td}/.

.,.. = j îiîii^CÛ!^ I ^.

OÙ on a

!>,. = î- + '-- + Î»(C+ »• I - <• IJ + » IJfc»

+(t-?)h'l£+'"lf+'«--'*'^i-

Tout invariant du troisième ordre ^ (x, y, s, p, q, r, <, p„„ P(,s,) doit donc satisfaire aux deux équations

ÎP

Des combinaisons faciles donnent successivement, en remplaçant îhi cl Pu par leurs valeurs,

iV"^* c>p"-^* cV~^' *?a+ î< V'^^'Jp^""^'

ce qui montre que f est de la forme

j = F (a?, y, II. r).

il reste ensuite les deux équations

yi + ur + j^^ j^ ^^

+J3«+V»«'+/*'+4uJ^+2«g(e««)+î^(o-««)+'^(-«»)«+^jf=o.

pour déterminer la fonction F. Si on suppose cette fonction indépendante de o, il reste la condition

il y a donc un invariant du second ordre et un invariant du trobiëme ordre.

173. Une équation du second ordre intégrable par la méthode de M. Darboux est caractérisée par la propriété suivante : Toute iniigrale de cette équation appartient à une autre équation aux dérivées partielleê qui a une infinité dintégratee communee avec ta proposée^ dépendant dune fonction arbitraire^ eanê les admettre toutes. Pour qu'il en soit ainsi, il faut en effet qu'il existe une équation f = o, dépendant d*une fonction arbitraire, et formant avec la proposée F = o un système en involution; ce qui ne peut arriver que si Tune des familles de caractéristiques admet deux invariants distincts. Lorsque chacune d'elles admet un invariant au plus, on ne peut obtenir par cette méthode que des intégrales dépendant d*une seule fonction arbitraire, mais non Tintégrale générale. 11 peut arriver aussi qu'il existe des équations formant avec F = o un système en involution, sans qu'il existe aucune combinaison intégrable pour les équations différentielles des caractéristiques. Nous en avons vu un exemple plus haut avec l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courbure constiinte (n* 126). Ces équations ne peuvent dépendre d'aucune constante arbitraire.

La théorie des groupes d'ordre infini de transformations permet de former des équations aux dérivées partielles du second ordre, intégrables par la méthode de M. Darboux ('). Nous considérerons seulement, pour fixer les idées, des transformations ponctuelles.

(I) Serai» Lit, « Zur allgemeinea Théorie... » {Berichts der Kôriigi* Sâchs,G€9€tts . ehaft, ISS5, KepUH IV).

BsuDOS, Comptes Rendus (1194-1899).

Les formnles

qui font correspondre au point (a\ y, s) le point (a?\ y', jr^ définissent une transformation ponctuelle dans Tespace à trois dimensions. Lorsque les fonctions P, Q, R dépendent en outre d'un nombre fini de constantes arbitraires, ou d'une ou plusieurs fonctions arbitraires, on a ainsi ua ensemble de transformations. Cet ensemble de transformations forme un groupe^ si la suite de deux transformations quelconques de cet ensemble donne une nouvelle transformation appartenant au même ensemble. Nous ne nous occuperons que du cas où on a un groupe d*ordre infini^ c'est-à-dire dépendant d'une ou plusieurs fonctions arbitraires. Par exemple, les formules

défînissent un groupe infini dépendant de deux fondions arbitraires X et Y; il en est de même des formules

(II) af = \{x), y' = Y(y), x' = * - log X' - log Y'.

Les systèmes de formules ci-dessous définissent des groupes infinis dépendant d'une seule fonction arbitraire Z (z) ou X (a;),

(III) a?' = <r,

(IV) «• = X (x),

(VI) «' = X («), y'

y =yi y'= y.

^ = xX' («), *' = *— logX'

X' {X) I X' (ce) \*

Quand on applique une transformation définie par les formules (62) H tous les points d'une surface (S), le point correspondant décrit en général une surface (S'). Si on désigne par p\ q\ y', ê\ 1^..., les dérivées successives de z' par rapport à x' et à y\ on tire des formules (62) des relations qui expriment p', q\ /, «', iV^M^^uinoyendeâp» y%^iP% 9« t*, «,l,

p' = fi («. y. '. p. ?)• rf = ft («» y. '. j>. î).

r' s= f I («, y, jr, j», j, r, «, <), t' = ç, («, y, X, p, g, r, «, 0, r = f , (<P. y, ir, j>, 9, r, «, ^

Lorsque les formules (62) déCnissent un groupe, les formules (62) et (63) dénnissent également un groupe, qui est dit le groupe prolongé du premier. Cela posé, on dit» pour abréger, qu'une équation du second ordre F = o admet le groupe de transformations ponctuelles (62), lorsque celle équation ne change pas par toutes les transformations définies par les formules (62) et (63).

Par exemple, le groupe prolongé du groupe (I) est donné par les formules

on en déduit l'égalité -7-7 = — r qui montre que toute équation de la forme

admet le groupe (I) de transformations. Des formules (II) on tira de même, en posant X = X (a?). Y' = Y (y),

'^£ X' '^± Il P — X' ~ XT'' ^ "" Y' "" Y'»''

\ r\'--pV X"X^— 2X"« . £ ^ <Y^— y Y" Y^T-^, '* ^ — ' X'* ' * "^X'Y'' Y** — Y'* '•

on a -T7=-j cl, par suite, Téquatton

admet le groupe (II) de transformations. Prenons encore le groupe (IIl); on a

p' = Z'p, î' = Z'ï, / = ZV + ZV, «' = Z'« + Z'pî, «' = Z'« + zv •-;

rélimination do Z' et V nous donne

l'î ^V - i»Y gr — i>t îVjuiï ÎLiZJïïf,

ce qui montre que toute équation de la forme .

/ p qr — pt q» — pl\ ^

admet le groupe (III) de transformations. On verra de même qne lès éqaations .

admellent les groupes de transformations (IV), (V) et (VI) respectivement.

Lorsqu'une équation aux dérivées partielles admet un groupe de transformations, toute transformation de ce groupe, appliquée à une intégrale, la change évidemment en une nouvelle intégrale. En particulier, lorsqu*une équation du second ordre admet un groupe connu de transformations ponctuelles dépendant de deux fonctions arbitraires, oh pourra déduire d*une intégrale particulière une intégrale dépendant de deux fonctions arbitraires, c'est-à-dire Tintégrale gêné* raie. Prenons, par exemple, Téquation (61), qui admet le groupe (I) de transformations ponctuelles; en cherchant une intégrale de cette équation qui soit de la forme /*(x + t/)^on trouve que la formule

/«->''^'"'rfx = ^ +

définit une intégrale de cette espèce ; Tintégrale générale s^obtiendra en appliquant à celle-là toutes les transformations du groupe (I). Elle est, par conséquent, donnée par la formule

/•-/'<'"*rf, = X(x) + Y(y).

L*équatioa (65) admet de même l'Intégrale particulière

rintégrale générale est, par suite,

Considérons maintenant une «équation du second ordre admettant iirtoSAnox mm AoeAnest. * IS

groupe inGni de transformations dépendant d*une seule fonction arbi* traire. Nous supposerons que les formules (62) qui définissent ce groupe renferment explicitement une fonction arbitraire et ses dérivées jusqu'à un ordre déterminé. D*après les théories générales de M. Sophus Lie« il existe pour ce groupe une infinité d'invanants différentiels^ c*est-à-dire de fonctions u {x^ y^ z^ p, 9, r, «, ^--m) renfermant les dérivées de z jusqu*à un ordre aussi élevé qu'on le veut, qui se reproduisent par toutes les transformations du groupe prolongé. Soient u, o, 10, trois invariants diflerentiels distincts, tels que Téquation proposée F = ne puisse pas être mise sous la forme ^ (u, ti, te) = o. Soit alors (S) une intégrale quelconque de F = o ; choisissons la fonction ^ de telle façon que cette intégrale vérifie aussi la relation ^ (tf, V, u>) = o. Les deux équations

F = o, ♦ (tt, o, to) = o,

admettant toutes les transformations du groupe considéré et ayant déjà une intégrale commune (S), ont une infinité d*intégrales communes dé* pendant d'une fonction arbitraire, celles que Ton déduit de (S) par toutes les transformations du groupe. Toute intégrale de Téquation du second ordre proposée appartient donc à une autre équation qui a une infinité d'intégrales communes avec F = o, dépendant d'une fonction arbitraire, sans les admettre toutes. L'équation F s=s o est donc intégrable par la méthode de M. Darboux* Prenons, par exemple, l'équation

qui admet le groupe infini de transformations

X| y et ^ sont trois invariants diflerentiels de ce groupe.

Toute intégrale de l'équation du second ordre vérifie donc une équation du premier ordre

♦(^iytj) = « '

qui admet une infinité d*intégrales communes avec F = 0, dépendant d*une fonction arbitraire. U faut pour «cela que l'équation du premier

ordre soit une intégrale intermédiaire de Téquatioii du second ordre, et celle-ci doit admettre une intégrale intermédiaire du premier ordre dépendant d'une fonction arbitraire. Il est facile de le vérifier, car, si

on pose u = ^ , Téquation du second ordre peut s'écrire

Considérons encore Téquation

qui admet le groupe inOni

x' = X {x), y' = y, z' = zX' (x) ;

- sont trois invariants dîiïérentiols de ce groupe. Toute intégrale

de Téciuation du second ordre appartient donc à une équation de la forme

formant avec la première un système en involution. Pour appliquer la méthode de M. Darboux, il faudra donc chercher une intégrale intermédiaire du second ordre.

11 en est de même de Téquation F (^f 9i ^~^) = o, qui admet le

groupe de transformations (V) avec les trois invariants différentiels y, î, /. Pour Téquation

"(v^-'-ïi^O-»-

il suffira de pousser jusqu'aux dérivées du troisième ordre (n*iT2), car le groupe (YI) admet les invariants diflrérentiels

Tout ce que nous venons do dire s*appliquo aussi aux équations admettant un groupe infini de transformations de contact; mais.tlesl essentiel do remarquer que la théorie des groupes ne donne pas toutes

les équations da second ordre intégrables par la méthode de M. Darboux. Ainsi Inéquation {x -f- y)V — 4 p; = o intégrée plus haut (n* 171) n^admet aucun groupe infini de transformations (*).

(*} On peut déterminer comme il suit toutes les transformations de contact qui ne cliangent pas la forme de Téquation [x •(- y)U^ = ipq. Soient

y = Y lx\ y, z\ p\ qX

les formates qui définissent une de ces transformations. Le» deux familles decarac* téristiques admettent respectivement une seule combinaison întégrable du premier ordre, cfx = o et dy = o. Les caractéristiques de Téquation transformée admettront donc les deux combinaisons Intégrables du premier ordre d\ = o, JYsso. Pour que Téquation transformée soit identique à la première, il faudra donc que Ton ait

on x=Y(y'), y = Y(*');

la seconde forme se déduisant de la première en échangeant x et y, nous pouvons nous borner & considérer le premier cas. Comme on doit avoir [X, ZJ =r o, [Y,Z] r=o, il s'ensuit que Z ne doit pas contenir p' et q\ et la transformation est une transfor* mation ponctuelle

* = X(jr'), y^YCy-), i = Z (*'. y\ i').

I^es valeurs de p et de 9 sont données par les formules

ÏZ JZ , 2>Z , 5Z .

et la nouvelle équation du second ordre est

(X4-Y)« i>z jtz . , yz in . . , Dtz p

. /5z . îz \ /jz ^ . n\

Pour qu'elle soit Identique à la première, il faut d'abord qu'elle ne renferme que les deux termes en t'* et en p*q\ c'est-inllre que Ton oit

»z >z ^fz ?«z jz jz

Z est donc de la forme Z = As' + B, A et B étant deux constantes arbitraires, et Il reste à déterminer les deux fonctions X (x'} et Y (y'}, de telle façon que l'on ait

En intégrant par rapport à x', on «n conclut que Ton doit 4Toir

•i on attribue h y' une valeur déterminée, on Toit que X eet une fonction de x' de la forme

* ««'+«1 De même Y est une fonction de même forme de y', et, en substituant daae l'équap tion (E), on Iroure qu'il faut prendre

'< m il i P iPi >-

i. i - ii' ■^■ a y "j".jg>jL. '' '.ff.".i ' .

iMii »i »i^ r-M i> rf ->^,

i>«» t.".'-* c> 'i.jfm^

174. Dans un Mémoire déjà cité (^), M. Julias Kônig, en se plaçant à un point de vue tout dilTérent, a été conduit à une méthode d'intégration qui ne diffère pas essentiellement de la méthode de M. Darboux. L'idée qui sert de point de départ et qui s^était déjà offerte à plusieurs géomètres, consiste à étendre à une équation du second ordre la méthode d'intégration de Lagrange et Charpit pour une équation du premier ordre. Étant donnée une équation du premier ordre F (â?, y, s^ p^ q) = 0, cette méthode consiste, comme on sait, à chercher une autre équation u [x^ y, x^ p, g) = a, telle que les Wleurs de p et de 9 tirées des deux relations F = o, u = a, vérifient la condition d'intégrabilité

\ày) "" \dx)

De même, étant donnée une équation du second ordre

il parait naturel, pour intégrer cette équation, de chercher deux autres relations F, (a?, y, z, p, q, r, «, /) = o, F, (^, y, z, p, j, V, t, fl = o, telles que les valeurs de r, «, ^ déduites de ces trois équations rendent complètement intégrable le système d'équations aux différentielles

totales

Idz = pdx + 9f^!/f dp = rdx + #rfy, dq = sdx + ^dy*

Avant de développer les conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions F| et F^, nous présenterons quelques remarques sur les systèmes de la forme précédente. Supposons qu'on ait trois équations du second ordre résolues par rapport à r, «, t;

(71) r=î>(a?,y,^,p, j), t =»>(a?,y, jr, p, g), < = /.(«?, y, ^,p,ç);

t\ s^ t étant supposées remplacées par les valeurs précédentes dans les équations (70), les conditions d'intégrabilité se réduisent à deux .

( >) UalhematiMcht AnnaUn, i. XXIV.

■^ jy 'S . ' . '- iSiS S*- '• ^' --^^ I fm'^fr.r-T,^mf.m,...^^r.^y,m.^mi-m.-m.^M.^.w^m^^.^-^-^M,r^.^.mmm^^:^M^^^^.^^.^m,,^-m..^^

Si ces conditions sont vérifiées identiquement, par tout élément du premier ordre (a?^, y^^ s^^ p^, q^^ il passe une intégrale du système (71), pourvu que les fonctions ^ , ^^ )r soient régulières dans le voisinage des valeurs (jt^, y^, z^, p^y q^) ; x^ et y^ étant regardées comme des constantes numériques, Tintégrale générale de ce système dépend de trois constantes arbitraires ^o,Po, q^. Il est évident qu*on ne peut pas se proposer de déterminer une intégrale passant par une courbe donnée, lorsque la courbe est quelconque ; mais on peut signaler la propriété suivante, qui sera invoquée un peu plus loin. Imaginons que Ton ait une courbe (C) et une surface développable (D) passant par cette courbe,, en d*autres termes que or, y^x^p^ q^ soient des fonctions d'un paramètre 9 satisfaisant à Téquation

d^^^ dh ■*"'!<•"

Les deux conditions

ne seront pas en général vérifiées ; mais, si elles sont satisfaites par ces cinq fonctions a:, y, z^ p, 47, le système (71) admet une intégrale renfermant tous les éléments, de la multiplicité M précédente, c*est-àdire tangente à la développable (D) en tous les points de la courbe (C). Soit, en effet (a?Q, y^i -^ot P01 ?•) ^^ élément de M, tel que f , Xt ^ soient des fonctions régulières dans le voisinage des valeurs ar^, y^, Xq, p^, q^. Cet élément appartient à une intégrale (S) du système (71), et il suOit de montrer que (S) renferme tous les autres éléments de M. En effet, établissons entre a? et y une relation de forme quelconque y = « (.r), telle que y« = « {jc^) ; les équations (71) deviennent

et elles déterminent une multiplicité simplement infinie d'éléments Mi^ issue de Télément (a?^, y^, z^^ p^, q^).

L'intégrale (S) est le lieu de ces multiplicités M|, quand on fait varier la fonction « {x) de toutes les manières possibles. Si Ton choisit la fonction ^ {x) de telle façon que la relation y 1= ir (/o) soit identique à

celle qai existe entre œ et y le long de la courbe donnée (C) les équations dilTérentiellea de la multiplicité M^ deviennent identiques i celles de M et^ comme ces deux multiplicités ont un élément commun, il s^cnsuit qu'elles sont identiques.

Prenons maintenant trois équations du second ordre de forme quelconque

F (^t y» ^. Pf î» r, s, i) = 0^ (73) ^ F4{a?,y, Jr^p, jT, r,«, /) = o,

FjK y» ^^ Pf 9^ *•! «. = Oi

telles que le déterminant fonctionnel

ne soit pas nul identiquement, ni en tenant compte des équations ellesmêmes. On peut alors en déduire les valeurs de

îr

par un calcul régulier, et, en égalant les valeurs do c* et de ~-f et celles

de ^ et de ~» on obtient les deux conditions pour que le système (73) soit complètement intégrable sous la forme suivante

ÎF, 2>«

JF ^F^

ÎF,

JF,

ÎF,

ÎF, ïr

JFj

ÎF îr

JF,

Vite/

ÎF,

iîF

ÎF^

dF,

dFj\ dx)

Il suffira que les relations (74) et (75) soient des conséquences des équations (73) pour que le système proposé soit complètement intégrable ;

100 CHAPITRE VJI

81 elles sont vérifiées identiquement, le système F = C, F = C|, P= Ct sera lai-môme complètement intégrable, pour toutes les valeurs possibles des constantes C, Cp Q.

175. Cela posé, supposons qu*il s'agisse d'intégrer une équation du second ordre de la forme

(76) r + ^ («, y, jr, p. 9, «, ^ s= o

et qu'on cherche pour cela i loi adjoindre deux autres équations

avec deux constantes arbitraires a^ et o^, telles que le système formé * par les équations (76) et (77) soit complètement intégrable pour toutes les valeurs des constantes a^ et a,. Les conditions d'intégrabilité deviennent ici, en développant les déterminants (74) et (75) et remplaçant F, F| , F, par r -|- /; u, v respectivement,

(78) l ^^ ^^ ^ ^^^^ "*" î» I 51 Vrfy/ it \rfy/ (

/•ïO\ *^*' /'^^\ i — {^^\ (^^\ ^ ^— \ ^

^^^^ 57 W ■♦' Jr W ~ Veto/ îîi "" Vrfy/ 3? - ^-

Ces deux équations doivent être vérifiées identiquement, quand on

remplace r par -*^(«t, y, ^, p, g, «, <), puisqu'elles ne contiennent pas

les constantes a^ et a^. Inversement, tout système d'intégrales (ti, o)

D lu v) des équations (78) et (79), pour lesquelles le déterminant ^^s ^ J no

sera pas nul identiquement, permettra de déterminer une intégrale complète de Téquation proposée; car, si on tire « et t des deux relations tt = ii|, osa,,

* = ? (û?t y, Sf p, y, «n «i). < = ♦ ( «I yi ^1 Pi Çi «4f «t)t

le système

dz = pcfo -f- jrfyi dpz^—fita + fdjf, dq sz ffdpo + ^^9

est complètement intégrable, et rintégration introduira trois nouvelles constantes arbitraires a^, «4* a».

M. Kônig discute en détail, dans son Mémoire, le système d'équations simultanées (78) et (79) ; si Ton élimine Tune des inconnues, v par exemple, on est conduit à une seule équation de condition pour u. Il est aisé de s^en rendre compte a priori. En effet, si la fonction u est telle que les équations (78) et (79) admettent une intégrale commune v pour

laquelle le déterminant ^ \ ' J n*est pas nul identiquement, les trois équations

* admettent une intégrale commune

x = F (oî, y, a,, a,, a„ a^, a,),

et on peut choisir as, a^, a^^ a,, de telle façon que, pour x = œ^^y = y^t ^, Pf q et une des dérivées «ou t prennent des valeurs données à Favance. Les deux équations

forment donc aussi un système complètement intégrable, ce qui exige (n* 149) que u vérifie une équation aux dérivées partielles du second ordre

^ linéaire par rapport aux dérivées du second ordre de w. Réciproque*

ment, si u satisfaite la condition R = o, les deux équations r 4* ^= o, u =z a^ admettent une intégrale commune dépendant de quatre constantes arbitraires

jr z= ♦ (a?, y, tf^, a„ tf„ tf^, «,),

et les relations

' ^ J« ^ îy Jap* >ap2(y 3y*

peuvent être résolues par rapport à a^^ «ti a» ^4* a, et r, ce qui donne • • •

r + f=o, u = tf4, f> = a„ <>i = «t. <>t = «4»^« = «if

Vf V|» ^9» V| ^tant des fonctions de 09, y« jr, p, 9, «, I; en particulier, les

trois équations

CUAPITRE VU

r + f=o, tt = a,, v=za^.

forment un système complètement intégrable, puisqu'elles admettent une intégrale commune dépendant des trois constantes a,, a^^ a,. L*équa* tion R = o est donc la résultante des équations (78) et (79), lorsqu'on éliminé v d).

L'intégration de Téqualion r -|* /*= o est donc ramenée en définitive

(I) On peut obtenif celte réiultante comme il suit. Si m ne vérifie pai la relation

^""^ \^i) c>t c^# ii ^ c^/ V V ": '

on peut résoudre les deux équations (78) et (79) par rapport & l-^j et (*r j? ce qui donne le système d*équations

^x oz'^ dp Oq 09 Oi

A, D, C étant des fonctions de x, y, x, p, ç, t, f, et des dérivées partielles du premier ordre de v, qui satisfont & la condition

*-^fê) + »lJ+«5f--

La combinaison X lï{v)] — Y [X (») ] = o se réduit donc & une équation de la forme

U et K renfermant les dérivées du premier et du second ordre de tf et étant linéaires par rapport aux dérivées du second ordre. Comme les équations (78) et (79) et, par suite, les équations (6) admettent Tintégrale » = w, il s>nsuit que Ton doit avoir aussi

D (m ») Pour que le déterminant ,^\ ' ./ ne soit pas nul, il faut donc que Ton ait il = o,

K = o; ces deux équations admettent un facteur commun qui, égalé & séro, donne la condition cherchée R = o. On voit de plus que, si m satisfait à cette relation, les équations (78) et (79) forment un système complet, quand on y considère » comme la fonction Inconnue.

Lorsque u vérifie Téquation (a), un raisonnement analogue au précédent montre que Ton doit avoir aussi

\ds) ?, + Uy/ j ?• a» "" ?l I "" \dy) Vt>t/ ^ •

pour que les équations (78) et (79) admettent une Intégrale commune » telle que

pV ' j t ne soit pas nul Identiquement. Cest le cas qui va être discuté dans le texte.

à celle de Téqualion R = o. Il ne semble pas qu*il y ail là un progrès réel, puisque la nouvelle équation est, en général, tout aussi diflicile à intégrer que la première. Mais Tétude d*un cas singulier a conduit M. Kônig à une nouvelle méthode d'intégration, identique en réalité à celle de M. Darboux.

Les deux équations (78) et (79), considérées comme déterminant o, sont en général distinctes. Pour que ces deux équations se réduisent à une seule, il faut et il suffit que la fonction n vérifie les relations suivantes

Kdv) ^t î>< \rf„) ?» \dv) \ttu) d» + W

Soient m|, m^, les deux racines de l'équation caractéristique

on voit d'abord que Ton doit avoir

Prenons, par exemple, la première hypothèse; les deux dernières conditions précédentes se réduisent alors à une seule

On voit donc que la fonction u doit satisfaire à Fun des doux systèmes d'équations

f du du

Ce sont précisément les conditions pour que les deux équations

r -}- /*= o, u = a| forment un système en involution (n* 134). Ce résultat s*expUque tout naturellement, si Ton remarque que les relations (78) et (79) expriment que les G équations obtenues en diiïérentiani r -{- f = o^ u = a^^ V = at par rapport à a* et par rapport à y se réduisent à quatre. Or, les quatre premières de ces relations se réduisent k trois lorsque r -^^ f ;= o^ u =z a^ forment un système en involution ; il sufQra donc d'une nouvelle condition pour que ces six relations se réduisent à quatre.

Lorsque Tun des systèmes (81) ou (82) admet deux intégrales distinctes, M. Kônig démontre comme il suit que Ton peut obtenir l'intégrale générale de Téqualion r -{- /* =r o. Considérons d'abord une intégrale t#| du système (81) par exemple, et proposons-nous de trouver une intégrale de r -{-/*= o se réduisant pour x = œ^k une fonction donnée de y, C (y), tandis que p se réduit à une autre fonction % (y), les deux fonctions C ^t ' vérifiant la relation

« (^«t yt C, it, C, i:', D = ^1- Soit

une autre relation à laquelle satisfont les fonctions C et ;t, telle que y. 1 ' j| ne soit pas nul. On peut trouver une intégrale v (.r, y, z^p^ g, », Q de Téquation

?• \dx) + îr \dy) \djc) ^# \dy) 51 "* ^

se réduisant, pour x = a*^, à v^ (y, C, ir, Ct ^\ Oi pourvu que â?^ n'ait pas été pris d*une façon particulière, et les trois équations

r-f/'rsO, «=«!, » = 0,

dont les deux dernières peuvent être résolues par rapport à « et I, forment un système complètement intégrable. D'après la remarque faite plus haut (n* 174), Tintégrale de ce système qui passe par T^ément

«?•! y#» -«'• = c (yt). p# = « (yt )i ?• = C(yt)

se réduit, pour at = ar^, à C(y), tandis que sa dérivée première^ se réduit à»(y).

Lorsque le système (81) admet deux intégrales distinctes u^ et u^, on peut déterminer une fonction ç (U|, ui), telle que Ton ait Identiquement ? (m, , Ma) =0, quand on remplace x par o?^, et -s-, p, g, », / par Ç (y), ic (y), C(y)i ^'(y)« C(y) respectivement, et Tapplication de la méthode précédente permettra d*obtenir une intégrale de r -{- /* = o se réduisant à C (y) pour j: = a*^f tandis que p se réduit à « (y), quelles que soient les fonctions C et ic. Il serait facile d'obtenir de la même façon la solution du problème de Cauchy sous sa forme générale.

176» II semble que la méthode de M. Kôhig exige plus d'intégrations que celle qui a été développée plus haut ; mais, en tenant compte des résultats déjà obtenus, il est possible de la simplifier. Rappelons d*abord qu^élant donnée une équation du premier ordre f (jp, y, r, p, q) = o, rintégration de cette équation est ramenée à celle de Téquation linéaire |/, f] = o, ^ étant regardée comme une fonction inconnue de •^*9 2/^ ^Y Pi 7t ^i ^^^^ emploie la méthode de Cauchy. Lorsqu*on emploie la méthode de Lagrange, il suffît d obtenir une intégrale de [^ 7] = 0,

telle que ,^ , ^ ne soit pas nul ; tirant ensuite p et g des deux équations ^ = o, 7 = a|, on a une équation complètement intégrable dz = pdx 4* qdy^ dont Tintégration donnera une intégrale complète et, par suite, les caractéristiques de Téquation proposée. Ces deux méthodes se retrouvent dans l'intégration d*un système en involution

ou dans la détermination des caractéristiques de ce systèmCi ce qui est le point essentiel. La méthode développée précédemment (n* 136), et qui est Tanalogue de celle de Cauchy pour une équation du premier ordre, ramène le problème à l'intégration du système d'équations différentielles

rfy = m|C/a?, dx =z pdx -{- qdy^ dp =z — A^-{-«^y« rfjf = «to-f-ldy

(cfti\ , ?tf ds /du\ , du cf I ^ . ii

ou, ce qui revient au même, à Tintégration de Téquation linéaire et du premier ordre

V étant une fonction inconnue de m^ Vi 't Pt Yi '« <•

GIIAPITRB VII

Des idées de M. Kônig on peut déduire une autre méthode, qui est analogue à celle de Lagrangc pour les équations du premier ordre. En effet , pour que les équations

O = Ai

forment un système complètement intégrable^ il suffit, d'après le précédent paragraphe, que v satisfasse à une seule relation, qui est précisément Téquation (83). Si donc on a obtenu une intégrale particulière

de cette équation, telle que ^^. * J ne soit pas identiquement nul, en

tirant r, «, t des formules r + /* = o« u = a^, t> = «i, on pourra former un système complètement intégrable

dz = pdx + qdy^ dp = rdx 4- «rf^t ^'î = '«/« -f- <rfy,

dont rintégration introduira trois nouvelles constantes arbitraires a,, ^4« ^99 gI un obtiendra ainsi une intégrale complète

jr =: ♦(op, y, fl,, a„ a,, «i, <f,),

du système en involution proposé, d*où on pourra déduire les caractéristiques par des différentiations et des éliminations.

Lorsque Tun des systèmes (81) et (82) admet deux intégrales distinctes, la solution du problème de Cauchy se ramenant à la détermination des caractéristiques d*un système en involution, on pourra employer Tune ou Tautre des méthodes précédentes. Remarquons que, quelle que soit la méthode choisie, il faut toujours commencer par obtenir une intégrale, autre que ti, de Téquation (83) ou de Téquation qui joue le même rôle.

177, M. KGnig a généralisé sa méthode en adjoignant à une équa* tion du second ordre une ou deux équations d*ordre quelconque. Nous nous bornerons. à quelques courtes indications. On démontre d*abord que, pour que les trois éf|uatioh8

« (^1 y. ^% p. ?» *» ^ ... Pi. •- ti P*i) = «If

''(*»y».'» •••,•••• Pi. » - ti P*») = *it

où ne figurent que les dérivées pi, A-iCt j^,», forment un système complètement intégrable, il faut, et il suffit que u et o vérifient les

équalions simultanées

( "^ î»n :»Pi. » - 1 Vy/ ?Pi. » - 1 Vrfy/ i "^ Vc/y, ,/ D (p,.^^ „po«) *

avec la condition accessoire que -tt-, — — — ' — : ne soit pas nul identi-

quement. L'élimination de v entre les deux relations (83) et (86) conduit

encore à une seule équation de condition qui est du second ordre en u

et qui exprime que le système des deux équations r -{-/*=: o, ti = a,

est complètement intégrable (n* 149).

Pour que les deux relations (85) et (86), où on regarde v comme

inconnue, se réduisent à une seule, il faut et il suffit que u vérifie un

des deux systèmes d'équations

(88) jiii--'»» j^;:;:r. =«' U) +'"« W-^;7:;(^') =*'

c'est-à-dire que le système r-|*/'=o, u = C soit en involution. M. Kônig en déduit, comme plus haut, que Ton peut intégrer Téquation r -f- /* = o, toutes les fois que Tun de ces systèmes admet deux intégrales distinctes.

De ces recherches de M. Kônig on déduit encore un nouveau procédé pour intégrer le système en involution

quel que soit Tordre des dérivées qui figurent dans u. Les équations (83) et (86) se réduisant alors a une seule, soit v une intégrale de Véqua*

tion (86), telle que jrz — ^ — - — : ne soit pas identiquement nul. Les

trois relations

r + /=ro, ti = C, o = a||.

et celles qu^on déduit de la première par des diiïérentiations suçces-

sives pennetlent d*exprimer toutes les dérivées partielles de ar jusqu*à Tordre n, au moyen de

*» y» •'t l>i,#t •••• Pun-'U P^,u Ptj» •••# P«i»-t

et on peut former un système complètement intcgrable où les inconnues sont jr, pm.^ P^n-u PtA.-, Pi.ii-1- L'intégration de ce système introduit 2n — 1 constantesnouvellesa^,a|,...9ajM + i, eton obtient ainsi une intégrale complète

jr = F («, y, C, aj, a,, ...,aii,^i)

du système en involution proposé. Les caractéristiques s*en déduiront comme on Ta expliqué au chapitre précédent (n* 140) (*).

(1) Parmi les travaux dont les résultats n'ont pu trouver place dans Texposition précédente, Je dois citer une note de G. Mainardl : t Consequenze a cul eonduce il metodo d^ Charpit e Lagrange applicato aile equaUoni differentîali pnrtiaii di 2* ordine » {GiomaU dell /. il. hliiulo Lombanh di Scienze, Leiiere ed Arii I. /X, p. 94-102 ; 1836), qni, vu la date de sa publication, offre un certain intérêt historique. En dépit de son titre, cette note parait bien plutôt un essai d*extension de la méthode de Cauchy. Après avoir établi exactement les équations différentielles des caractéristiques du second ordre, Fauteur recherche comment on doit associer ces caractéristiques pour obtenir une intégrale et fait Papplication à plusieurs exemples.

LES ÉQUATIONS DE LA. PREMIÈRE CLASSE

Définilion derintégrale gén<^ralc, ri après Ampère. — Examen de cette déflnilion. — Équations de la première classe. — Proposition de M. Darboox, — Énoncés de difTérents problèmes auxquels conduit la méthode de M* Darbonx. — Recherches de M. Moutard. — Théorème de M. Maurice Léry.

178. Au début de son grand mémoire : Considératiotis géniralet sur les intégrales des équations aiur différentielles partielles (*), Ampère adopte la dcfinîtîon suivante de Tintégrale générale d*une équation aux dérivées partielles d*ordre quelconque : Pour qu*une intégrale soit générale^ il faut qu^it rien résulte^ entre les variables que Con considère et leurs déri'^ vées à Vinfini^ que les relations exprimées par téquation donnée et p€ur les équations qu'on en déduit en la différentiant. Il x^st relativement facile de voir que la condition énoncée par Ampère est nécessaire pour qu^une. intégrale soit générale, au sens que nous avons adopté antérieurement (I, n* 18), mais il faut un examen plus approfondi pour reconnaître si cette condition est suffisante. Afin de fixer les idées, nous nous borne* rons à une équation du second ordre :

»• + /'(^t y» -^î p» îf »f = o ;

et, pour plus de précision encore, nous ne considérerons que les inté* grales qui sont holomorplies dans le voisinage d*un point (o?^, y^)^^^ <pi sont telles que la fonction f soit elle-même bolomorphe pour œ :s w^^ y = y^,z= g^^ p=^p^,q = q^^s = s^, i = 1^, en désignant par s^, p^, 9«f '#« ^ê ^^ valeurs que prennent z^ p, q^ «, l, respectiveihenl pour 09 = 0?^, y = g^. En d'autres termes, les intégrales ont un élément dn

{i) Journal de rteols polyteehmque^ 17* cahier.

MTtoSATIOSf DES lÏQCATIOHS.

.j" •;* w^» j^fTiSLS'iS

'JJJ.-XUUMMI

second ordre appartenant à un certain domaine, à rintériéur duquel la fonction / (/9, y, ^, p, 9, «, t) est régulière.

Si Ton différcntîc Téquation (1) un nombre quelconque de fois par rapport à or et à y, oii obtient deux équations contenant les dérivées du troisième ordre, trois équations contenant les dérivées du quatrième ordre, ... et, en général, (n — 1) équations renfermant les dérivées d*ordre n; ces relations permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue z au moyen de a;, y, 7, et des dérivées Pi,jk-i, p%^k^ rindice k variant de 1 à -^ oo. Mais de Téquation (1) on ne peut déduire aucune relation ne renfermant que les dérivées partielles Pi.ii-i ^^P%k' La condition d'Ampère est donc équivalente à celle*ci: pour quune intégrale de C équation (t) soit générale^ il faut gue^ de fa définition de cette intégrale^ on ne puisse déduire aucune relation eTÉGALiTK entre les variables (a?, y, z, |>,,«, pi,i, ..., Pi,i-r, p#,i, ..., jit,*), aussi grand que soit le nombre entier A. 11 est bien entendu qu'il s*agit de relations ne renfermant aucune des (quantités arbitraires qui figurent dans rintégrale considérée. Réciproquement, toute intégrale de l'équation (1), qui satisfait à la condition précédente, est générale au sens d'Ampère.

Rappelons maintenant qu*une intégrale, holomorplic dans le domaine du point (0*9, y^), est générale, au sens que nous avons adopté, si on peut disposer des arbitraires qu'elle contient, de façon que, pour a: = 0?^,

elle se réduise à une fonction donnée 9 (y), tandis que r- se réduit, pour

la même valeur de a\ à une autre fonction donnée *j^ (y), les deux fonctions arbitraires <f (y) et «} (y) étant seulement assujetties à être holomorplies dans le domaine du point y = y^. Cela revient ti dire que Ton peut choisir arbitrairement, pour œ ^-.r^, y =ry^, les valeurs initiales de z et de toutes les dérivées partielles (pi,fc-.i)o» (Pft.&)o9 ^^^ valeurs étant assujetties à la seule condition de rendre convergentes les deux séries :

V(fi!Af«

2^(y-yJ'-.

pour des valeurs de y — y^ dont le module ne dépasse pas une certaine limite. Nous dirons, pour abréger, qu'une intégrale est générale au sens de Cauchy^ si elle satisfait à la condition précédente, le point (xr^, y«) étant absolument quelconque ou pouvant varier arbitrairement à rintériéur d*un domaine limité. Il est clair, diaprés cela, que toute intégrait^ qui est générale au sens de Cauchy , est nécessairement générale au sens d'Ampère, car la condition de rendre convergentes les séries (2) ne

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE 311

peut enlralner aucune relation d*égalité entre an nombre quelconque des coefficients (Pn k^t\^ et (P0,jk)o« aussi grand que Ton suppose Tordra des dérivées qui figureraient dans cette relation. i

Mais la réciproque est loin d'être évidente. On peut concevoir, en effet, Texistence d'intégrales de Téquation (f) contenant asses d*arbitraires pour qu'il n'existe, entre x, y, jr, et les dérivées ^k-.i et p^^k^ aucune relation d'égalité indépendante de ces arbitraires, sans que, pour cela, les dérivées p^ii-i e^p*,k puissent prendre tous les systèmes de valeurs rendant convergentes les séries (2) pour des valeurs données de ar^ et de y^. C'est ce qui arriverait, par exemple, si quelques-unes do ces dérivées étaient assujetties à restercômprises entre certaines limités, ou h ne prendre que des valeurs d'une forme déterminée. Il pourrait sa faire aussi que, quoiqu'il n'existe aucune relation de la forme

F {^^ PlOt -M i>l.t-li P%,U .-.» Pi,») = O,

quand les variables x et y sont quelconques, il se présente cependant de telles relations quand on attribue aux variables x ei y des valeurs particulières. De telles intégrales, s'il en existe, sont générales au sens d'Ampère, sans être générales au sens de Cauchy. De même, étant donnée une équation de la forma

une intégrale est générale au sens d'Ampère, si, de la définition de cette intégrale, il ne résulte aucune relation d'égalité entre les variables • .

•*?f y» ^f ~y •••! Y^î 7-» •••• ^)' aussi grand que soit n. Une intégrale

est générale au sens de Cauchy, si on peut disposer des arbitraires qu'elle contient, de façon que, pour x = o-^, elle se réduise à une fonction ^

donnée de y, et, pour y = y^,à une autre fonction donnée de x, sous certaines conditions de continuité.

. Quelques exemples montreront, mieux que toutes les considérations générales qu'une intégrale peut être générale au sens d'Ampère, sans être générale au sens de Cauchy.

Exemple I. — Prenons l'équation élémentaire « = o ; toutes les équa- . tiens qui en résultent par la différentiation sont de la forma

Soit G (or) une de ces fonctions analytiques, auxquelles a conduit

réludo des équations différentielles linéaires, et dont le module reste toujours plus petit que Tunité, quelle que soit la valeur attribuée à la variable 09. Les formules:

où f (a) est une fonction arbitraire de a, *} {f) une fonction arbitraire de p, représentent une intégrale de Téquation « = o, qui est générale au sens d'Ampère. On déduit en effet des formules (4) les valeurs sui-

vantes des dérivées r-i r-;» .... r-t r-r» ...

1 f9Lliï\

d*une manière générale ^ s'exprime au moyen de /(«), f'(s), ...,

f<')(a), etde fonctions connues de a, et >~^ s'exprime au moyen de

y (j9), «f' (p), ...« *f' ''HP), et de fonctions connues de p. Les fonctions ^ et 4^ étant arbitraires, il ne peut évidemment exister aucune relation d'égalité entre o?, y, z et les dérivées précédentes ; ce qui suffît pour prouver que l'intégrale est générale au sens d*Ampère. D'ailleurs, il est clair que cette intégrale ne peut être l'intégrale générale au sens habituel, dans un domaine aussi restreint qu'on le voudra, puisque le module de z est toujours inférieur à 2.

ExBMPLB II. — L'équation linéaire

s — qff =

a un invariant nul, et l'intégrale générale est représentée par la formule

z = \ +f\e'»dy.

X étant une fonction arbitraire do a?, et Y une fonction arbitraire de y. La suite de Laplace relative à l'équation (5) est terminée, d'une part, à Téquation elle-même, mais elle est illimitée dans l'autre sens, comme on s'en assure en calculant les invariants successifs. 11 résulte des propositions établies précédemment (n* 169) que toute équation aux dérivées partielles formant avec l'équation (5) un système en involutipn est nécet*

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE 213

sairement de la forme

(iO) # + ^'P + ^ + ^-^ =

est illimitée dans les deux sen^, il n'existe, nous Tavons vu, aueuno équation formant avec Téquàtion (10) un système en involution (a* 109). Toute intégrale de l'équation (iO)« dépendant d'une fonction arbitraire, satisfait donc à la condition d'Ampère. On obtient de telles intégrales si l'on a obtenu, par un procédé quelconque, une intégrale de l'équation (iO) dépendant d*un paramètre arbitraire^ (a:, y, a), en multipliaa

Cela poséf considérons Tintégrale

(8) z =J\é'^dy,

qui se réduit à zéro pour y = o, et à une fonction arbitraire dej^, y Y dy^

pour a? = o. Cette intégrale satisfait à la condition d'Ampère; en effet,

si elle vérifiait une équation, qui ne serait pas une conséquence de

l'équation (5), cette équation, formant avec la proposée un système en ^

involution, serait de la forme (7), et, en attribuant à la variable x une

valeur déterminée, on aurait une équation différentielle à laquelle devrait

satisfaire la fonction arbitraire Y.

Plus généralement, soit

(9) F C-^» y, ^, Pi ?» r, «, = o

une équation du second ordre, telle qu'il n'existe aucune équation aux

dérivées partielles formant avec elle un système en involution. Touto

intégrale de l'équation (9), dépendant d'une fonction arbitraire oud'uno \ ' *

infinité de constantes arbitraires, satisfait & la condition d'Ampère ; car, "" ^

si elle vérifiait une équation aux dérivées partielles <^ = o, autre que ^

celles qu'on peut déduire de F = o par des différentiations, Téqua- - \

tion <& = o aurait en commun avec la proposée une intégrale commune

dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, sans les admettre )

toutes. Il existerait donc une équation formant avec F = o un système , \

en involution, contrairement à l'hypothèse. Par exemple, si la suite de

Laplace relative à l'équation linéaire: \

tl4

par une fonction arbitraire^ (s) et en intégrant le produit /*(«) | (jt, y, «) entre des limites déterminées :

or cette intégrale, si la fonction «f ne satisfait pas à des conditions particulières^ n*est pas nécessairement Fintégrale générale au sons de Cauchy {*\

Les exemples précédents montrent bien qu*il est nécessaire, pour donner une base solide à la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre, d*adopter la définition de Tintégrale générale que M. Darboux a déduite des travaux de Cauchy et que nous avons . prise pour point de départ (*)•

179. Le critérium énoncé par Ampère pour qu'une intégrale soit générale étant une condition nécessaire, les conclusions qu'il en a déduites sont à Vabri de toute objection. Ainsi, pour qu^une intigraU Moit générale^ il faut qu'elle renferme des arbitraires dont le nombre croU à t infini par des différentiations.

En eiïet, si les formules qui donnent â9, y, r,et les dérivées successives de z ne contenaient jamais qu'un nombre fini K d'arbitraires, quel que soit Tordre n des dérivées considérées, à partir d'une valeur de n assez grande, on aurait •

tiiti w et l'élimination des K arbitraires conduirait certainementà plus de ^ ^ '

relations distinctes entre œ^ y, jr, et les dérivées de t jusqu'à l'ordre m. Une au moins de ces relations ne serait pas une conséquence de l'équation F = o proposée et de celles qu'on en déduit en la diiïérentiant ;

car on n'obtient ainsi que ^ ^ U relations distinctes ne renfermant

aucune dérivée d'ordre supérieur à n.

(t) On pourra eoniulter sur ea sujet un article de M. Delastut : Quelques remarques eur les intégrales partielles {Bulletin des Sciences mathématiques^ t, XIX, p. 91*S6).'

(<) On doit remarquer que, état le pasisge eité plus liaut, Ampère dit simplement H faut^ mais qu*il n'ajoute pas U suffit. Il semble résulter cependant de la suite de son mémoire qu'il eonsidire la eondition énoncée comme suffisante pour la généra- UM d'âne Intégrale.

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE

Il faut donc, pour qu*une intégrale' ne renfermant qu'un nombre fini d'arbitraires soit générale, qu'en calculant les dérivées successives de la fonction s représentée par cette intégrale, i partir d'un certain moment, il s'introduise de nouvelles arbitraires. Le même raisonnement prouve que, si, en passant des dérivées d'ordre p aux dérivées d'ordrep -{* ^ > il ne s'introduit qu'une nouvelle arbitraire, l'intégrale considérée ne peut être générale. Supposons, pour fixer les idées, que les dérivées du premier et du second ordre soient homogènes à l'intégrale, mais qu'à partir du troisième ordre il s'introduise une nouvelle arbitraire & chaque differentiation, l'intégrale considérée, que l'on suppose renfermer A arbi* traires, satisfera alors à

relations distinctes au moins, renfermant les dérivées d*ordre n. Or, si on prend n assez grand, on aura encore

OU n > K — 5, et la conclusion est la même que tout à l'heure. On voit donc, par exemple, que des formules de la forme

y = F, U,p,9 («), y' («), ..., 9^(«)ji ^ = F, ^ot,p, f (x), y' (ût), ..., f^ («)jî

renfermant une seule fonction arbitraire ^ (a) et ses dérivées en nombre fini, ne peuvent représenter l'intégrale générale d'une équation du second ordre. En effet, lorsque Ton sera arrivé à des dérivées dépendant de y'^+*>(*),les dérivées suivantes dépendront de9'^+*>(«), ...^eic^ei il s'introduira une seule arbitraire nouvelle quand on passera des dérivéet d'un certain ordre aux dérivées de l'ordre suivant. Ainsi, quand une équation du second ordre est susceptible d'une intégrale générale expli» cite, cette intégrale doit contenir au moins deux fonctions arbitraires. Il en est de même toutes les fois que l'intégrale générale appartient à la première claue^ comme cela résultera facilement des considéra* lions développées un peu plus loin. Mais on ne peut pas en conclure qa0 rintégrale générale d'une équation du second ordre dépend* nécessai* rement de deux fonctions arbitraires, si cette intégrale n'appartient pas à la première classe.

■ft s

Prenons, par exemple, une intégrale qù la fonction arbitraire figure 80U8 un signe d^intégration partielle :

«) /•(«) cf..

où « désigne un paramètre variable, f (a?, y, a) une fonction déterminée, /*(«] une fonction arbitraire, et cp a, deux constantes. Si la fonc* iion ff (â?, y, a) satisfait, quel que soit le paramètre a, à une équation linéaire

Ar + 2B* + C/ + Dp + Eg + F* = o,

où les coefficients A, B, C, D, E, F, sont des fonctions des variables œ et y, indépendantes de «, on voit immédiatement qu*il en est de même de la fonction (12), quelle que soit la fonction arbitraire f{ot). On a, pour cette intégrale.

r{*)dx.

/«« ;V»tt /*•• y^a /'■•Va

^r{-)d:^ s=J ^r{-)d.. i=J 5j^/(x)rf.,

et, d'une manière générale,

«I Mais la fonction f , satisfaisant à Téquation (13), toutes les dérivées partielles "T-p^ sont des fonctions linéaires de quelques-unes d^entre elles ; par exemple, si A et C sont nuls, elles s*cxpriment toutes au moyen des dérivées ^ ^^v^* ^^ ^" résulte que toutes les dérivées partielles jusqu^à Tordre n sont alors des fonctions linéaires des intégrales

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE

dont les.coefRcients sont des fonctions déterminées de x et de y. Quand on passe des dérivées d'ordre n aux dérivées. d*ordre n -f- 1, on. voit qu*il 8*întroduit deux arbitraires nouvelles

/ («/ dx

? rW du.

Il peut donc se faire qu*uno intégrale de la forme. (12) vérifie le critérium d*Ampère ; nous avons vu plus haut qu'il en est bien ainsi toutes les fois que l'équation (13) n'est pas intégrable par la méthode de Laplace, généralisée par Legendre, et que l'intégrale (12) dépend eflectivement d'une fonction arbitraire.

11 n'est pas permis de conclure de ce qui précède que l'intégrale gêné* raie, au sens que nous avons adopté, d'une équation linéaire, peut être représentée par une formule de la forme (12). Dans un travail intéressant (*), M. Borel a démontré qu*il en est ainsi, mais l'intégrale^ O^iyt >) doit être choisie d'une façon particulière. :

180. Il a été déjà question, à diverses reprises, des équations qui admettent une intégrale générale de la premih'ê classe^ suivant une expression adoptée par Ampère. L'illustre auteur n'explique pas, il est vrai, d'une façon bien claira ce qu*il entend par là, et il se borne à dire que, dans les intégrales en question, les fonctions arbitraires ne doivent pas figurer dans une intégrale partielle. Mais il est possible de déduire de ses travaux une définition précise, en tenant compte de la propriété fondamentale sur laquelle sont basés les raisonnements. Neus dirons qu'une équation du second ordre : • •

F (a?, y, jr. p, tg, r, t, =^ <>»

admet une intégrale générale de la première classe, ou, plus simple* ment, que cette équation appartient à la première classe, s'il est pos* sible d'obtenir, pour représenter l'intégrale générale de cette équation, des formules de la forme suivante

ix=y, [«, p, r, («), A («), ..M A w^ n w ?• (»» ?î (p) -it

(16) y = V, [«. p, ^ {«). Aï («) A («),/•; («),...,?! (P),?Î(P)-..L

f jr = V, [«, p, r, («), fl (a), ..., A («), n Wi .-M îi (PX ?î (P)/..>

(1) E. DoREL, Sur le$ iquatiofu Uniatrtê aux déritéeê parUelUê\Compie9 ne»dm9^ 25 mari 1893) ; Remarquée sur nntégtxiiiom dee iquatian» Unéaùrte aux diriwieêpéf^ tiellei {BuUeiin dtê Seienetê malhémaiigueefitn)»

OÙ V|, Y), V, sont des fonctions déterminées des deux variables auxi« li .lires « et p, de p fonctions de «, /i (a), /*, (>)« ..., f^ (x), de q fonctions de 1^1 f , (p)« •.., 7 f (p), et de leurs dérivées en nombre /fm\ les p fonctions des, Z*!, /]» ..., fp étant assujetties à vérifier p — 1 équations diflérentielles d*ordre quelconque, et les q fonctions de p devant vérifier de même q — 1, équations diiïérentieltes d*ordre quelconque; les formules (15) ne renferment donc, en réalité, que deux fonctions arbitraires, une fonction arbitraire de a et une fonction arbitraire de p.

n est évident que les équations précédentes comprennent, comme cas particulier, les équations qui admettent une intégrale générale explicite; il suffit de supposer p = 9 = 1. On peut aussi ramener à la forme (15) les intégrales où les fonctions arbitraires et leurs dérivées figureraient sous certains signes de quadrature, chacune de ces fonc* lions n'étant engagée sous un pareil signe qu*avec la variable dont elle dépend, ou d'autres fonctions de cette variable. Par exemple, si les fonctions V|, Y), Y| renfermaient une intégrale telle que

il suffirait d'introduire une nouvelle fonction f^ ^ | (a) égale à cette intégrale et d'ajouter aux équations diOérenlielles qui lient les fonctions /i« A f*t fp Ia nouvelle relation

On peut aussi faire rentrer dans la définition précédente les intégrales où les fonctions arbitraires figureraient, avec la même restriction, sous plusieurs signes de quadrature superposés. Si, par exemple, les seconds membres des formules (15) renfermaient une expression telle que '

/f k /i («), n (»)• ..M A («). n w. ...] dafit î«, fi («), n w. ...] *»

en posant:

no ajouterait aux équations différentielles qui ont lieu entre les

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE 219 t

fondions /i, ..;, /^^ les deux suivantes

où m sa n. Prenons comme inconnue auxiliaire une certaine fonction

U =± F (jr, yi, y„ .... y.)

et «oit X ( ) = ^ + T^ /i + ... + r — fm. On aura fuecetiiTement

V* vifi vifm

g = X (F). g = X (X (F)),..., ^ =. XW (F),

et les formules (15) renfermeraient une nouvelle fonction de «, Z^^. , («). ;

D'après une remarquede M. Maurice Lévy {Comptée Rendus^ t. 75, 1872) i

on peut ne laisser, dans les formules (15), que deux fonctions de «, et i

leurs dérivées, ces deux fonctions étant liées par une équation diflé- ^

rentielle, et deux fonctions de p, et leurs dérivées, ces deux fonctions [

étant liées par une autre équation diitércnticile. Ceci tient à ce que, ^

d*une manière générale, Tintégration d*un système de n équations [

différentielles à une seule variable indépendante et a n fonctions incon* ^•

nues peut se ramener à Tintégration d'une équation différentielle d'ordre r

plus élevé a une seule inconnue (*). \

(t) SoîenU en effet, j: la variable indépendante et yi, yj, ... y« les fonctions inconnues. On peut supposer que les n équations F| j= o, F^ = o, ..., Pn :s o, ne renferment aucune dérivée d*ordre supérieur au premier, car, sll en était autrement, il suffirait de prendre, pour inconnues auxiliaires, un certain nombre de ees V dérivées pour être ramené à ce cas. Cela posé, si les équations proposées ne peuvent Ç pas être résolues par rapport aux déri%'ées des fonctions inconnues y'|, jf^^, ..., ^n, S on en déduira un certain nombre de relations entre J?, yi* y^, . . ., y«. Si ces relations . [ ne sont pas incompatibles, elles permettront d^exprimer quelques-unes des incon- t nues en fonction de x et des autres inconnues, et on diminuera Tordre du système. > En continuant de la sorte, si le système proposé n>st pas incompatible, on finira par arriver à un système que i*on pourra résoudre par rapport aux dérivées des { fonctions inconnues j

XW étant le résultat de Topération X ( ) répétée p fois de suite. Cette incoanua auxiliaire U satisfait à une équation différentielle d'ordre m et ne satisfait à «ncoas équation d*ordre inférieur, si la fonction F n*a pas été prise d*ttne façon paiticulière. Ayant obtenu l'intégrale générale de cette équation, les m équations

permettent d*exprimer yi, j^f^ .. , y m en fonction de x, U, -^ .«.%■ ./ |

Si nous appliquons ceci auxp ^ i équations différentielles entre les p fonetioai |

A(«)« A(«}t •••! />(«)t on voit qu*en considérant l'une d'elles, /il«) par exemple, comme donnée, les p — i autres s'exprimeront an moyen d'une fonction auxiliaire . ■

U («) et de ses dérivées, ceUe fonction U («} étant liée à la fonction /î (a) par une quation différentielle.

181. A la fin de son mémoire (voir p. 121), M.Darboux annonce que sa méthode permet d'intégrer toutes les équations du second ordre qui admettent une intégrale générale de la première classe. La démonsr tration que nous allons donner s*étend à des. équations possédant une intégrale d'une forme encore plus générale que celle qui est donnée par les formules (15). Soit f (%) une fonction arbitraire de a, et ^ (p) une fonction arbitraire de ^ ; soient ensuite F|, F^, ...|P* un système de k fonctions de « et de [(, définies par un système d*équations aux dilTérentielles totales :

(16) rfF/=*,[x,p,A«)r(«),.-M/^'"Wi?(p)i?m..Mt'-'(p),^

+n,[«,p/(a)/(«) /^«•(o^),?(P),?'(P)i-.i?"'W»FnFi Fi^HP

que nous supposerons complèlement intégrable, quelles que soient les foncîions arbitraires f (x) et ^ (p). Nous considérons les équations du second ordre dont Tintégrale générale est représentée par des formulei telles que

I a=V,[a,p,Aat),r(») r-"^),î(P),?'(P) ?'*'(P),F|.F,. -m' F*],

(") y=v,[a,p,Ax)r(ot) r->W,?(P).? (W ?^''W,FpF, F^],

( ^=y3[a,p,A»),r(*) r-'(»),?(P),î'(P) ^'-KWiFoF,. ...,F^],

où V|» V), Y) sont des fonctions déterminées de a, p, F|, ..., Fa-, de /"(à), f (P), et de leurs dérivées jusqu*à un ordre fini. Pour retrouver les équations de la première classe, il suffit de supposer que les fonctions FifF,, ..., Yk se partagent en deux groui>es«los unes ne dépendant que de la variable a, les autres ne dépendant que de la variable p. On peut, en eflel, supposer que, dans les formules (15), les fonctions /*, (a), ...,/*^(c) figurent seules, sans leurs dérivées ; il sufilt d'introduire ces dérivées comme nouvelles fonctions pour être ramenées à ce cas.

Pour des formes déterminées des fonctions /*(&), ç (p), F,, F,, •••« Fj^, vérifiant les relations (16), les formules (17) représentent, par hypothèse, une surface intégrale (S) de Téquation du second ordre proposée. Les considérations dont on s*est servi précédemment (t. I, n* 98) s'étendent sans difficulté à cette nouvelle forme de l'intégrale, et nous montrent que, sur la surface (S), les deux familles de caractéristiques sont précfi* sèment les courbes « = C^, et p = O*. Proposons-nous, en eflet, de calculer les dérivées successives de z par rapport à a* et à y. Les dérivées du premier ordre |} et ; se déduisent de Tidentité dx = fdx -j- idy ; or, si on rc^mplace dans dx^ dy^ dz les différentielles cfF| par leurs valeurs (16), on voit que les coefficients de d% et de <ip, renfermeront,

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE

outre les fonctions qui figurent dans Vp V^, Y„ les deux dérivées nouvelles /^*« ^•) (x) et ^<*+*) (p). Les expressions de p clde q contiendront

donc en général a,p,F„F,, ..., F*, /*(«) r^"**'!»), <?(p), ...•»<**•>(?);

si elles contiennent effectivement/^"*'*' *' (a) et f «" '*' *> (p\ elles sont héiéro^ ^è/iesàrintégrale, sinon elles sont Aomo^è/t^^ à Tintégrale. Connaissant p et qj on obtiendra les dérivées du second ordre au moyen des deux relations

dp = rdx + *û^y» dq == sdx -j- idy

et ainsi do suite. Si, à un moment, la dérivéc/''''"^*>(ai) apparaît dans les dérivées d'un certain ordre, les dérivées de Tordre suivant contiendront ^m + S) {q()« ..., etc., chaque différentiation nouvelle fera apparaître une nouvelle dérivée de /*(a). De même, à partir du moment où la dérivée oC^-fO^p^ fera son apparition dans les dérivées d*un certain ordre« chaque différentiation nouvelle amènera une nouvelle dérivée de 9 (p). Il peut d*ailleurs se faire que les dérivées /^**+*^(a) et ç^* "* '^(P) n'apparaissent pas simultanément; c'est ce qui arrivera, par exemple, si les dérivées du second ordre sont homogènes à Tintégrale relativement à « et hété* rogènes à Tintégrale relativement à p. Quoiqu'il en soit, à partir des dérivées d'un certain ordre, quand on passera des dérivées d'ordre r aux dérivées d*ordre r -f- 1, on introduira deux nouvelles arbitraires, une dérivée de la fonction f (a) et une dérivée de la fonction 9 (p). Les conséquences sont analogues à celles qui ont été déduites plus haut (n-98).

Nous considérons», p,F|,...,Fx-, /"(«;,.. M/'*'"U«)f-i 9 (P)« •••!?'*'(?)%•..« comme autant d'arbitraires distinctes, quoique ces fonctions ne' soient pas indépendantes. Cela veut dire uniquement que, lorsqu'on a choisi > pour un système particulier « = a^, p =r p^ les. valeurs de P|, ..., F^f des fonctions /* et ç et de leurs dérivées, jusqu'à un ordre déterminé, on peut encore choisir arbitrairement les valeurs des dérivées suivantes pour a = «0, p = Po, jusqu'à un ordre aussi élevé qu'on le veut. Ima» ginons que l'on ait écrit les formules qui donnent les valeurs successives des dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. Si on élimine x,p, F|, ..., F^, /*(«), f («), -m f (?). ? (P)» *•••» on estconduità une infinité de relations entre x, y, ^, p» 9, r, «, <, «.^ La suite de ces • relations est identique à celle qu*on obtiendrait en ajoutant à Téquatioa du second ordre proposée toutes celles qu'on en déduit par des différen* tiations à Tinfini, puisque, par hypothèse, les formules (17) représentent rintégrale générale de cette équation du second ordre.

Supposons maintenant que l'on prenne pour l'une des fonctions, f (p) ' par exemple, une forme bien déterminée et qu'on laisse arbitraire la

seconde fonction /*(«)• Les surfaces intégrales représentées par les formules (17) ne dépendent plus que d*une fonction arbitraire ^ (x)« et ces surfaces vérifient une infinité d*équatioas aux dérivées partielles, qui ne sont pas des conséquences de Téquation du second ordre F =: o. Pour fixer les idées, admettons que la dérivée Z^'" '*' 'H%} apparaisse pour la première fois dans les dérivées d'ordre A + 1; alors /"î* + *>(«) figurera dans les dérivées d'ordre A -j~ ^i -«m ®tc. Si donc Ton considère les expressio ns de x^ y^ s^ et de toutes les dérivées partielles jusqu'à celles d'ordre A -f* < + i« ^^^ quantités, au nombre do

renferment w + 3 + A + t arbitraires, à savoir a, p, /"(a), f (x), ... ^i»+n {^j^^ p^^ p^^ ^^^^ p^^ L'élimination de ces arbitraires conduira donc à un groupe (G) d'au moins

<Adllill^JMli+li + 2 (« + 3 + A + I).

relations distinctes entre ^, y, «, et les dérivées partielles de z jusqu'à celles d'ordre A -|- 1 -f- i ; d'autre part, si on ajoute à l'équation du second ordre F == o toutes celles qu'on en déduit par des dilTérentiations successives, on forme un nouveau groupe (G'} do

équations ne renfermant aucune dérivée d'ordre supérieur à A -]-t -f- 1, et toutes les autres relations entre les dérivées que l'on peut déduire de F = o renferment au moins une dérivée d'ordre supérieur à A -f-** + i* Or, si le nombre t est assez grand, on aura certainement

il y aura donc une équation au moins du groupe (G) qui ne sera pas une conséquence des équations du groupe (G'). Soit (E) une équation do cotte espèce ; cette équation admet une infinité d'intégrales communes avec l'équation du second ordre proposée, sans les admettre toutes, et ces intégrales communes dépendent d'une fonction àrbi** traire^ (a). Comme la fonction f (p), que nous avons supposée déterminée, peut être prise quelconque, nous sommes conduits en définitiva au théorème suivant :

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE 223 î

Toulesleê/bisquuneéquatîondusecQnda9HlreF{x^f/jZ^p^qyr^M^t)zzz6 ^

ûdmet une intégrale générale de la forme (17), toute intégrale de cette ' l

équation vérifie une autre équation aux dérivées partielles qui a une infinité d'intégrales communes avec la proposée^ dépendant cVune fone^ lion arbitraire, sans les admettre toutes. ' >.

On conclut de là (n* 173) qu'il existe deux combinaisons intégrables " I

pour Tun des systèmes de caractérisques de Téquation F = o, et on peut - k

reconnaître quel est celui de ces deux systèmes, de la façon suivante : l ayant attribué à la fonction » (p) une forme déterminée, et laissant

arbitraire la fonction f (a), toutes les surfaces représentées par les for- ' l mules (17) vérifient, d'après ce qui précède, Téquation F = 6 et. une autre équation <l> = o, dont Tordre peut être aussi élevé qu'on le veut, formant avec F = o un système en involution. Les courbes a = C^soni

les caractéristiques de ce système ; en eiïet, si on attribue à la fonction ^

f (ai) une forme particulière et qu^on pose ensuite « = or^, en faisant i

varier Py on obtient sur la surface intégrale une certaine courbe. Si Ton ^

remplace maintenant f (a) par une autre fonction de z prenant la même '

valeur que la première, ainsi que ses dérivées jusqu'à un certain ordre, | pour a = a^i, on obtiendra une nouvelle surface intégrale qui aura avec . \

la première un contact d'un ordre aussi élevé qu'on le voudra tout le \ long de la courbe x = z^. La démonstration est la même que celle qui *

a été donnée antérieurement (t. I, n* 98). Il faut remarquer seulement '^. que le long de la courbe s = a^, F|, F,, ..., F^ sont des fonctions de la ' f

seule variable ^ définies par les équations difTérentielles ' . |

elles ne dépendent donc que de «^ et des valeurs initiales de ces fonc- ï tions pour une valeur particulière % de p, et, par suite, restent les • | mêmes pour toutes les fonctions /* (z), qui prennent les mêmes valeurs,

ainsi que leurs m premières dérivées, pour « =r a^. ^ - !

En se reportant aux résultats établis dans le Chapitre VI, on , f

conclut de là qu'il existe deux combinaisons intégrables pour les «

caractéristiques de la famille p = C*. Si, au lieu d'attribuer à la fonc- i tion 7 (p) une forme déterminée, on laissait cette fonction arbitraire en .1 prenant pour/" (z) une fonction déterminée, on démontrerait de la même façon qu'il existe deux combinaisons intégrables pour les caractéristiques de la seconde famille « = C^. Nous pouvons donc énoncer la • ^ proposition suivante :

. Toutes les fois qu'une équation du second ordre admet une intégrale . t

générafede la fonne{il)jilexisiê deux combinaisons intégrablesdisiincUs pour les équations différentielles de chaque système de caractéristiques. La proposition réciproque a déjà été établie (n* 155). On peut déduire de là de nombreuses conséquences. Ainsi nous avons vu que la méthode de M. Darboux, appliquée aux équations linéaires :

\"T" +«\ {- Ot- + CZ =zo^

oxvy * ex * og ■ '

conduit aux mêmes résultats que la méthode de Laplace. Une équation linéaire de cette forme ne peut donc appartenir à la première classe que si la suite de Laplace, relative à cette équation, est limitée dans les deux ' sens. D'une manière générale, une équation linéaire de forme quelconque ne peut appartenir à la première classe que si Tapplication du procédé de Legendre conduit à une suite d'équations linéaires qui se termine dans les deux sens.

On a vu aussi(n« 170) que réquation«=«m s n'était pas intégrable par la méthode de M. Darboux; cette équation, dont dépend la détermination des surfaces à courbure constante, ne peut donc appartenir à la première classe. Il en est de même, ainsi que Ta montré M. Sophus Lie, pour Téquation aux dérivées partielles en coordonnées cartésiennes des. surfaces à courbure constante. Les deux faits pcuventdu reste être rattachés TuB à Tautrc au moyen d'une remarque générale. Supposons que deux équations du second ordre (E), (E') soient liées Tune à Tautre de telle façon que toute intégrale de l'équation (E') puisse se déduire d^une intégrale de l'équation (E) par l'intégration d*un système d'équations diiïérentiellcs ordinaires. On peut concevoir analytiquement cette dépendance comme il suit : a*, y,' z désignant les coordonnées d'un point d'une surface intégrale de l'équation (E) exprimées au moyen do deux variables ' auxiliaires a, p, soient Il|, H,, ..., H|, t fonctions de «, p définies par un système d'équations aux différentielles totales complètement intégrable:

(18) rfHy=Ry(x,y,^j>,7,...,H,,H,,...,n/)rfa?^Sy(a?,y,j,p,g,...,H|,...,H/)d^^^

les coordonnées d'un point d'une surface intégrale de Téquation (E') s'expriment par des fonctions déterminées de œ^ y^ z^ p, 9, ..., et de H|| Hf, ...t H|.

Lorsqu'il en est ainsi, si Téquation (E) admet une intégrale générale de la forme (17), il en sera de même pour Téquation (El, car, en rem*

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE

plaçant a?, y, z, p, q^ ..., par leurs expressions tirées des formutes (17), on aura des formules de même forme pour représenter Tintégrale générale de l'équation (E') avec des fonctions intermédicûres nouvelles H,, ...» Il/, qu*il faudra ajouter aux anciennes P|, ..., ^k*

Il y a précisément une liaison de cette nature entre les deux équations

(E) rt — *« + a« (1 + p' + q^Y = o,