EO

dtido

= sin ».

Supposons, par exemple, qa*on ait obtenu une intégrale de Téquation (E), c*est-à-dire que Ton connaisse les coordonnées (rr, y, z) d*un point d*une surface à courbure constante en fonction de deux variables auxiliaires quelconques « et p ; d'après M. Lie, on obtiendra, par de simples quadratures, les lignes de courbure de cette surface, el on en déduira ensuite une solution de Téquation (E'). De même, connaissant une solution de Téquation (E*), on obtiendra une solution de ré.quation (E} par Tintégration d*un syslème d'équations différentielles (*).

182. Plus généralement, supposons qu'une équation du seconi ordre admette une intégrale représentée par des formules delà forme (17). mais ne dépendant que d'une fonction arbitraire ^(«),

^ = V, («, p, /•(«), r (*) /<-> Wt Fp Ff. Fit)»

^ = V, («, p, /•(»), r («)• -M r-> («)t F|, P, Fi.),

où les fonctions F|, Fs,..., F^ sont définies par un système complètementintégrablede la form3(16), oik les seconds membres ne renferment qu'une fonction arbitraire f (1). Les raisonnements employés plus haut prouvent que cette intégrale vérifie, quelle que soit la fonction /*(x), une équation aux dérivées partielles qui n'adm3t pas toutes les inté;;rales deTéquation du ssoil orJrd proposéa. Il existe donc au moins une autre équation aux dérivéespirtiiUesformant avec celle-là un systC*me en involutton. lléciproquemont, si ré4(uation du second ordre forme avee une autre équation d'ordre quelconque un système en involution, l'intégrale générale de ce système est représentée par deux relations de la. forme

(•) Dassoux, Thianê générak deê Smrfacu, Uvfs VU,

IXTtoSATIOS MS iQOAflOm,

les n fonctions /, («), ..., /. («) étant assujetties k vérifiern - 1 équatîons différentielles. Il est clair que ces formules peuvent être ramenées à la forme (19), en prenant pour la variable p une des coordonnées or, y, x. On voit donc que, si une intégrale quelconque d'une équation du second ordre appartient à un groupe d'intégrales dépendant d'une fonction arbitraire et représentées par des formules de la forme (19), l'un des systèmes de caractéristiques de cette équation présente deux combinaisons intégrables, et réciproquement. Si deux équations du second ordre(E), (E') sont liées de telle façon que toute intégralede Téqualion (E') se déduise d'une intégrale de l'équalion (E) par l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires, comme on Ta expliqué tout à l'heure, et, s'il existe deux combinaisons intégrables pour l'un des systèmes de caractéristiques de Téquation (E), il en sera de même pour l'équation (E'). Lorsque la liaison entre ces deux équations est réciproque, on voit donc que, si l'une des deux équations est intcgrable par la méthode de M. Darboux, il en est de même de l'autre.

183,Lr étude de la méthode de M. Darboux suggère un grand nombre de sujets de recherches. Ainsi, il serait int^TCSsant de connaître Uiwlet les équations du second ordre auxquelles s'applique avec succès la méthode de M. Darboux, soit pour les deux systèmes de caractéristiques, soit ^ pour un seul système, ou du moins d'avoir des types do plus en plus étendus d'étiuations auxquelles s'applique cette méthode. Lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, le problème a été complètement résolu (n* IGC); mais, dans le cas général, les solutions que l'onpossèdeparaissentextrêmcment particulières. Il y aurait aussi intérêt, en prenant un problème plus particulier, à former toutes les équations pour lesquelles il existe une inU^grale générale explicite^ c'est-à-dire telles que a;, y, s puissent s'exprimer par des fonctions déterminées de deux variables auxiliaires a, p, d'une fonction arbitraire de a et d'une fonction arbitraire de p, et de leurs dérivées en nombre fini (t. I,n* 98).

Pour bien préciser l'état de la question, nous rappellerons les résultats connus, relatifs au seul type un peu général d'équations de cette espèce qui ait été étudié jusqu'ici. Soient

les formulesqui représentent l'intégrale générale d*unc équation du second ordre P = o; on en déduira de proche en proche les expressions des

LES ÉQUATIONS DE LA PnEUIÈRE CLASSE

dérivées successives p, 7, r, «,<,..., au moyen de oc, p, des fonctions 9 (a), •} (P) et de leurs dérivées successives. Cela posé, puisque Tintégrale générale de Tcqualion considérée appartient à la première classe, chacun des systèmes de caractéristiques doit admettre une iufinité d'invariants distincts. Soient, par exemple, u et r les deux invariants les plus simples du système de caractéristiques x = C^, ceux au moyen desquels s^expriment tous les autres (n^ iG3). Si on remplace, dans Tun do ces invariants, a?, y, j, p, </, ..., par leurs valeurs, le résultat doit être indépendant de B ; on a donc« après cette substitution,

« (j?. y, -. Pi q, ...) = F [*• ? W» ?' (*)i — ]i « O^, y. ^. p» ?• — ) = * [«. ? W» ?' (*)i — ];

U| et r, étant les invariants qui jouent le même rdle pour le second système de caractéristiques ^ = C**, on aura de même

«, Or, ^, ;r, p, q, ...) = F, [p, »}. (p), f (?),...],

L*bypothèse la plus simple que Ton puisse faire est évidemment la suivante; chacun des systèmes admet un invariant du premier ordre et, en appelant u et ^(^ ces deux invariants, on a

comme on peut d*ailleurs remplacer u par une fonction quelconque de u, et U| par une fonction quelconque de u^^ il est permis de remplacer ces égalités par les suivantes:

w (-«'i y. ^1 Pt ?) = *• ''1 O^» y. -» p. 7) = P-

L'hypothèse que nous faisons revient donc à celle-ci : des formules (20) et de celles qui donnent les déri vées du premier ordre p et 9, onpeui tirer les valeurs de a et de ^ en fonction de «r, y, z^ p, q.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut que chacun dos systèmes de caracté« ristiques de Téquationdu second ordre admette un invariant du premier ordre. On démontre aisément que cela ne peut avoir lieu que si Téqua* lion considérée est une équation de Monge*Ampère, et ces deux inva* riants u et U| doivent être en involution, [u, U|] = o. Si on fait une transformation de contact, de façon à ce que les nouvelles variables indé-

lu

pendantes soient précisément u et t/i, ré^juation prendra la forme

et on aura pour Tintégrale générale de celte équation une fonction renfermant explicitement deux fonctions arbitraires de u et de m^ respectivement, avec leurs dérivées jusqu'à un ordre fini. On est donc ramené au problème suivant, qui a fait Tobjet des recherches de M. Moutard (•):

Trouver toules les égitalions du second onli^ adineliantwie intégrale générale de la forme

^=f{^. y. X, X' Xf«>; Y, YS .,., Y<-î)

X désignant une fonction arbitraire de jt, et X', ..., ^S*^^ ses dérivées^ Y désignant une fonction arbitraire de y, 6/ Y', ..., Y^' ses dérivées.

Les théorèmes énoncés par M. Moutard ont été démontrés par M. E.Cosserat dans une note élégante ('), à laquelle nous renverrons le lecteur en résumant soulemcnt les résultats. On voit directement qu\me équation qui admet une intégrale générale de cette espèce est nécessairement de la forme

ce qui résulte aussi des raisonnements précédents. Mais le calcul direct montre de plus que la fonction f doit être linéaire par rapport à p et |Mir rapport à q séparément, c'est-a-dire «pie Téquation précédente doit être de la forme

* 4- PPÎ + «P + *7 + « = <>.

p, a, ft, c désignant des fonctions de a?, y« s. Si Ton prend comme nouvelle inconnue, au Heu de s^ une fonction • de or, y, s^ assujettie uniquement i vérifier la relation

Téquation définissant sera encore de la forme (22), mais ne contiendra

(*) Recherches sur les équatione aux dérivées partielles dm second ordre à deux tariablee indéintndantes {Comptes Hendttê^ t. LXX, p. 834).

(«) Note ajoutée au loiiie IV de la Théorie générale des Surfaces de M. Darboas, p. 4SS4Î1

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE

pas de terme en pq^ et admettra une solution de même forme que Téquation (22). Il suffit donc de traiter le problème pour une, équation de la formé

* + ap + *7 + ^ = <>t

où a, 6, c sont des fonctions de ^^y^ x.

Cela posé, pour que Téquation (23) admette une solution de la forme (21), il faut, abstraction faite de deux cas particuliers dont il sera question tout à riieure, que Téquation soit linéaire, ou bien qu^elle soit de la forme

nt, », i?i|, »|, CD étant des fonctions de x et de y, et c une fonction de a*, ]/, s. Si Véquation (23) est linéaire, pour qu'elle admette une intégrale générale de la forme (21), il faut et il suffit que la suite de Laplace ' relative à cette équation soit terminée dans les deux sens, et nous retombons sur une question déjà traitée. Si Téquation est de la forme (24), en prenant pour nouvelle inconnue ^c», il faudra qu'elle appartienne au type suivant :

A, B, C étant des fonctions de x et de y. Nous verrons au chapitre suivant comment une transformation simple permet de ramener Tinté* gration de cette équation à celle d'une équation linéaire. Pour que Téquation (25) admette une intégrale générale de la forme (21), il faut et il surfit qu'il en soit de même de l'équation linéaire correspondante, et on est ramené au même problème.

Si l'équation (23) n'est ni linéaire, ni du type (24), elle doit être de l'une des trois formes suivantes, dont la seconde se déduit de la première en échangeant le rôle des variables x, y.

^-r- 4- Imx -1- n) r- + '•i ^" + « = <>t ^xiy • 4)«r ' • ?y '

m, n, nti, »! désignant des fonctions de op, y et c une fonction de a?,y,x Pour que l'équation (26) admette une intégrale de la forme (21), il faut

230 CHAPITRE Vlil

qu*en prenant pour nouvelle inconnue une expression linéaire par rapport i ^, et remplaçant y par une fonction choisie convenablement de y, on l'elombe sur Téquation intégrée déjà (n* 47} :

On a une conclusion analogue pour l'équation (^7). Enfin, pour que Téquation (28) admette une intégrale de la forme (21), il faut qu'on puisse la ramener à Téqualion de Liouville en prenant pour nouvelle inconnue une fonction linéaire de z. En définitive, la solution du problème de M. Moutard est ramenée h la formation de toutes les équa* tions linéaires pour lesquelles la suite de Laplace est terminée dans les deux sens.

Considérons Tensemble des équations qui admettent une intégrale générale de la forme (21) et de toutes celles que Ton en déduit par toutes les transformations de contact possibles. Nous avons ainsi une famille d'équations du second ordre admettant une intégrale générale explicite, qui sont caractérisées par la pi^opriété énoncée plus haut. : les variables auxiliaires « et p sont des fonctions (félerminiesde :r^y^ s^ p, q, La plupart des équations dont nous avons obtenu Tintégrale générale sous forme explicite appartiennent à cette famille, mais ce. ne sont point les seules. Par exemple, l'équation (.r -f- y) ' = ^^pq intégrée au n* 171 ne peut être ramenée h la forme (23) par une transformation de contact, comme on le démontre facilement, on remarquant que cette transformation serait forcément de la forme

ou de la forme

^' = Y(y)t œ' = \{x),' z'=Z{œ,îf,s).

Cependant cette équation admet, comme on Ta vu, une intégrale générale explicite; mais on a, dans ce cas,

de sorte que « et p, tout en ne dépendant que de or et de y respectivement, sont des fonctions dont Texpression varie avec l'intégrale considérée. Cette remarque conduit i poser un problème plus général que celai de M. Moutard et dont voici l'énoncé : Tro9t9er iouies let éqfiatiom du

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE 231

second ordre qui admettent une intégrale générale de la forme

IX = V, [«, <p(*), 9' (a), .,., 9""'(«)], z = V, >, p; 9 («), .... î'«>(.); t ;p) 4^)(p)],

X ne dépendant que de a, o («), ..., 9<"" (x), et y ne dépendant que de Pt I (P)i ^' (P)i •*•» 'j^""' (P)* '^ ^^^ ^^^^ 4^^ Téquation doit élro de la forme

Il peut aussi arriver qu^une équation du second ordre admette une intégrale générale explicite, sans que les deux systèmes de caractéristiques admettent une combinaison intégrable du premier ordre. Pre* nous, par exemple, Téquation

* + '**+ îg*x = o ;

il existe, pour Tun des systèmes de caractéristiques du premier ordresdeux combinaisons intégrables distinctes:

rfa? = 0,

tandis qu'il n*cn existe aucune pour le second système. L'équation (30) admet l'intégrale intermédiaire

p + qz^ = ^{x),

dont l'intégration se ramène k celle du système

dx- (fy

si on pose <fr (a?) = X^, Tintégrale générale du système (31) est donnée par les formules

<^) ) y — /'X'*rfr — SX (î - XO — a (* — X*)» = C,.

On fera disparaître tout signe de quadrature en posant X' = «, « = f '(a"), ce qui donne

X =yX' <to = «< (a) - 9' (a), fyi'^djo = «Y W - «*f ' (») + >f W- Pour obtenir Tintégrale générale de réquaUon du Moond ordre, Q

fOi CHAPITRE YIII

faut éUblir une relation arbitraire entre C| et C, ou, ce qui revient au même, poser C| = p. C, = ^ (p) ; finalement, on trouve que Tintégrale générale est donnée par les formules

z = <i+p, » = ?' (*)t y = .V W - 2aç' («) + *î (») + 2 («?' W) - ?' (»)) P + ?»P'++ (W-

11 est facile de trouver, d après ces formules, les invariants du second système de caractéristiques. On a, en effet,

et, en différentiant plusieurs fois de suite par rapport à p, on a successivement

de sorte qu'inversement ^> ^i ^> ..•, s expriment au moyen de

7i /, Pg,, ... Mais, à partir de la dérivée troisième -r^j ces dérivées

ne dépendent que de p. On a donc un invariant du troisième ordre et un du quatrième ordre pour le second système de caractéristiques.

184. Lorsque la méthode de M. Darboux réussit pour les deux familles de caractéristiques d*une éuqation du second ordre, l'intégration est ramenée à celle d*un système d'équations aux différentielles totales de la forme

^ ' I + */ K y, X. X^ ..., XW; Y, Y^ Y««; *„ *„ .... *,) rfy,

qui ne diffère que par les notations du système (16) ; X désigne une fonction arbitraire de or, Y une fonction arbitraire de y, et le système est complètement intégrable pour toutes les formes possibles de ces fonctions arbitraires. Le système le plus simple de cette espèce, où n*entre qu'une seule fonction inconnue ^, et où ne figure aucune dérivée des deux fonctions X et Y.

rf» = y {«, y, j-, X, Y) <!• + ^ ( »,y, j-, X, Y) rfy,

"= — -j-zzr

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE 233

a déjà été étudié au n* 42, sous une forme un peu différente. On a vu qu*en prenant pour nouvelle inconnue une fonction convenablement choisie de or, y, ^, on pouvait ramener cette équation à la forme canonique

rfZ = X« {x) dx + Y«| (y) dy.

Nous ne connaissons aucun travail sur les systèmes les plus généraux de la forme (33). Lorsque les fonctions inconnues s%^ z^^ .,., z^t ne figurent pas dans les seconds membres, la proposition suivante permet de ramener les équations à une forme simple (*)•

Si Vexpression

i'Ki\ * ? (^' y' ^^ ^'' — ^'"^^ Y, r..., Y<^)) dx

^ ' \ + * (^. y. X. X', ..., X<^ Y, Y', .... Y^O dy,

où X est une fonction arbitraire de «?, Y une fonction arbitraire de y, et oii (^et^ renferment X et y et leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé,

est une différentielle exacte pour toutes les formes possibles des fonetiotîM XetY^ona

Jç dx + f dy = Jf (.r, X, X', ..., \<'^))dx +fF^ (y. Y, Y', ..., Y^^O dy

F fre renfermant que x^ X, X\ ...» X'**'; F| ne renfermant que y. Y, Y', ..., Y^\ et F 2 étant tme fonction déterminée des variables qui y figurent (*). .

Supposons, pour fixer les idées, que les dérivées de Tordre le plus '

élevé des fonctions X, Y, qui figurent dans ^ et *]», sont celles d*ordre p, de telle sorte que Tune des dérivées X^', Y^'*' entre dans Tune au moins des fonctions ^ et ^, mais qu*il n'y entre aucune dérivée d'ordre supérieur à p. Par hypothèse, on doit avoir, pour toutes les formes possibles des fonctions X et Y,

dy^ dx

(1) Bulletin de la Société nwthépnatiqut, U XXV, p. 39; 18f7* (*} La proposition s*étend sans difficulté aux expressions

f l^'*! + ft^^'s + — + f^»

où fi, 9s, ..., fM, reaferment n fonctions arbitraires Xi,Xs ..., Xm de X|, Sf, ...,«iiret» r

pectivement, et leurs dérivées en nombre fini, qui sont des dlITérentlelles totales . {

exactes pour toutes les formes possibles des fonctions arbltralfes. , . ^

234 CHAPITRE YIII

en posant

on voit que ^ ne conlicnt pas Y^+'> et que ^ ne contient pas X'''*'). Il faudra donc que Ton ait

^Y<^> "~ ' Î^X'rt '

c*cst-à-dire que 9 ne contiendra les dérivées de la fonction Y que jusqu*à celle d*ordre p — 1 au plus, et de même ^ ne contiendra les

dérivées de X que jusqu*à celle d*ordre p — J au plus. Alors -^t et

par suile -]^) doit être une fonction linéaire de X^''). On doit donc avoir * dy

eu, ce qui revient au même.

rf r ^9 1

ce qui montre que /wjp est indépendant de y, Y, \\ ..., Y'**-*»,

On en déduit que f est de la forme

y=*(x,X,X',...,Xw)) + *, (x,y,X,X', ...,X"-«>, Y. Y', ..„ Y<'-«>) Xf^

et Ton démontrera de la même façon que ^ doit être de la forme

^r (y, Y. Y' YW)) + V, {X, y, X, X' X"-*\ Y, Y'. ..., Y<'-«)) Y«

+ V,(«,y,X,X',...,XO-«î,Y Y>-«»).

I-.e coefficient de X'''>Y^> est ^^,J „ dans -5^1 et ^^,,,^ ., dans '^l on

î>Y*'"'' ay ^\*^^*'. • <to

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE

doit donc avoir

ce qui montre que 4»| et ^| sont les dérivées partielles par rapport à X<^-*) et Y'^" •' respeclivement d*une fonction

U (a'.y. X, X'. ..., X"-*), Y, y, ..., Y"-") =f*^ rfX"'-«>+ v, rfYt^«),

La diflerentielle totale de cette 'fonction U a pour expression

et Ton peut écrire

Jl lU + f r/y = J* (U H-JV rfy + U +J*?, ^te + .f, rfy.

en posant

•fi = 'Fj -

\^x + ?X^ +••"+ JX>-«^ 7' VTiy + ÎY ^ + •••♦ + DY''-»' '^ 7

Remarquons maintenant que <f^ (fx -{- -^f dy doit £tre une différentielle exacte pour toutes les formes possibles des fonctions arbitraires X et Y, et que 9, et \^ ne renferment les dérivées do ces fonctions que jusqu'à Tordre p — 1 au plus. En répétant les mêmes opérations sur

jffdx-^—^filjf, et poursuivant l'application du procédé autant de fois

qu'il est possible, on finira par arriver à une intégrale de la forme

ffp (•»*. y» X) rfx + *, { jy, y, Y) d'y,

OÙ Fexpression f j» dx + '^p tJy doit être une différentielle exacte pour toutes les formes possibles de X et de Y. On doit donc avoir

or, ^p ne contient pas Y, il doit donc en être de même de -e^> c>8t-

à-dire que «f ^ est de la forme P (y, Y) -f- Q (x^ y). On voit de même que 9^ doit être de la forme M (j-, X) -^ N (j?, y),

et la condition d*intégrabiltté devient y~ = *^*

LHntégrale en question peut donc 8*écrire

J^pdx + '\,ily =/M{ar,X)rfa:+JP(y, Y) dy +fîidx + Qdy.

En réunissant tous les résultats obtenus, on obtient bien pour Tinté-

grale T^ dx -f- "^dy une expression de la forme annoncée.

On voit de même que, si les fonctions ^ et'f renferment une seule fonction arbitraire, X par exemple, on peut écrire

Jjdx+\dy=fY (x, X, ... X «i") <te + F, [x, y, X, ... %^'^^ . •

Remarque. — Si Ton suppose que les fonctions f et *{^ soient linéaires par rapport aux fonctions X, Y, et à leurs dérivées, on retrouve le théoréme démontré par M. Darboux (*), et qui est d*un grand usage dans. Tétude des équations linéaires. En effet, les fonctions 9 et ^ sont alors de la forme

9=A,X + A,X'+ ... 4.A^XW+BoY + B,Y'+... + B^.,Y«^«>, + = CoX + C,X'+ ... +C^-,X^''-«>+DoY + D,r+ ... +D^YW,

A/, B/, Q, D| étant des fonctions déterminées de a? et de y; si Ton pose

U=A^X'''-«)+D^Y<'-^ on peut écrire

ffdx + ^dy = l]—f^^dx + '^^dy,

f I et t|^| étant des expressions de même forme que 7 et *]r, qui ne renferment plus que les dérivées de X et dé Y, jusqu'à Tordre p — 1 an plus. En continuant ainsii on arrivera à une expression

aXiix + *Yrfy,

qui devra être une différentielle exacte pour toutes les formes possibles des fonctions X et Y, ce qui exige que a ne dépende que de la variable

(>) Leçomâ ntr ta Théane généraU dtê Surfaetê^ t II,' p. 151.

•pi^a

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE 237

.r, et que b ne dépende que de la variable y. Si ces fondions ne sont pas nulles, on fera disparaître tous les signes de quadrature, en rem-

plaçant X par "^ ^^ P^^ "7^> X, et Y, désignant deux nouvelles fonctions arbitraires de a? et de y respectivement.

La proposition est encore vraie si les fonctions f et 4» ne renfonnent qu*une seule fonction arbitraire, car cela revient à supposer que tous les coefficients A/ et Q, ou tous les coefTicients B| et D/, sont nuls simultanément.

185. On a vu, diaprés Texposilion précédente, que la méthode d*intégration de Monge, celle de Laplace et les méthodes plus ou moins par* ticulières proposées pour des équations spéciales, sont comprises comme cas particuliers dans la méthode d'intégration de M. Darboux, qui nous apparaît ainsi comme le moyen le plus puissant pour intégrer une équation aux dérivées partielles du second ordre, ou, d'une façon plus précise, pour ramener le problème à Tintégralion d'un ou plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires. Dans la note citée plus haut (^), M. Maurice Lévy énonce sans démonstration une condition nécessaire et sufGsante pour qu'on puisse obtenir l'intégrale générale d*unc équation aux dérivées partielles du second ordre, moyennant l'intégration de A systèmes successifs d*équations différentielles ordinaires, comprenant chacun un nombre quelconque d'équations avec un pareil nombre d'inconnues; et il est facile de voir que le critère de M. Maurice Lévy est identique à celui que Ton déduit de l'application de la méthode de M. Darboux. Cette proposition est restée longtemps sans démonstration, et ce n'est que dans ces derniers temps que M. E. von ^Yeber(') a donné du théorème de M. Maurice Lévy une démonstration que nous allons reproduire, en la modifiant sur quelques points.

D'après une remarque déjà faite (n* 173), pour qu*une équation du second ordre F = o soit intégrable par la méthode de M. Darboux, il faut et il suffit que toute intégrale de cette équation appartienne à une autre équalion 4> = o, dont Tordre peut être quelconque, qui a une infinité d'intégrales communes avec la proposée, dépendant d^une infinité de constantes arbitrairjs, sans les admettre toutes. On peut remplacer ce critère par le suivant, dont l'énoncé a un caractère plus géo» métrique. Prenons d'abord une équation ayant ses deux systèmes de

(I) Comptée Rendue^ t. 75, p. 1094.

{*) E. vox Weikh, Ueber partielle Difforentialgleichungen. Il Ordaungidieiiclidareb gewohnliche DifTerentlalgleicliungen lategrierea lasMa {Siisttng»beriehi€ der nhiM^ tnali$ch'phtf$ikaU»ch€ datée der le. bayer. Akad, d, WisêtMchafUn, ÏÏd. XX\1,I896, 'p. 415-U7).

caracléristiques distincts, et admettant deux invariants u et 9, pour Tua des systèmes de caractéristiques d*ordre n (Cj[). Soit (Cf) une caractéristique d*ordre n de Tautre système ; le long de (C7), u et o sont des fonctions d'une seule variable indépendante, et la relation u = ^ (o) détermine la forme de la fonction ^ . Toutes les surfaces intégrales de Tcquation du second ordre, qui admettent tous les éléments de la carac* téristique (C^), sont donc des intégrales du système en involution

F = o, tt = '9(i?),

dont les caractéristiques ne dépendent que d\in nombre fini de paramètres. Or, ces caractéristiques sont précisément les caractéristique de F = o du même système que (C7), qui appartiennent aux intégrales passant par (Cî). On voit donc que, si une équation du second ordre F = o est intégrable par la méthode de Mi Darboux, Uexisie au moim un des systèmes de earaeUnslùiues d'ordre n, tel que^ si Von considère une quelconque des caractéristiques de ce système (Cî), toutes les autres caractéristiques du même système, qui appartiennent à une même surface intégrale que (Cî), ne dépendent que crun nombre fini de paramètres.

Comme les caractéristiques d'ordre n qui renferment une caractéristique du second ordre ne dépendent elles-mêmes que d*un nombre fini de paramètres, et qu'une caractéristique d'ordre n contient une seule caractéristique du second ordre, il s'ensuit que la propriété précédente s*applique aussi à l'une des familles de caractéristiques du second ordre d'une équation intégrable par la méthode de M. Darboux. U en est encore de môme pour une équation dont les deux systèmes de caracté* ristiqucs seraient confondus ; en elTet, si cette équation est intégrable par la méthode de M. Darboux, il résulte des résultats obtenus (n® 166) que les caractéristiques qui engendrent les surfaces intégrales ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres.

La condition qui précède est suffisante pour qu'une équation du second ordre soit intégrable par la méthode do M. Darboux, Soit (G}) une caractéristique du second ordre de la famille qui jouit de cette propriété; considérons toutes les surfaces intégrales (S) qui admettent tous les éléments du second ordre de (C}). Ces surfaces dépendent d'une infinité de constantes arbitraires, et, par hypothèse, toutes les caractéristiques du second ordre de la même famille que (C}), qui sont situées sur ces surfaces, ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres. On peut donc les regarder comme engendrées par des courbes (r), qui ne dépendent que de A paramètres, associées suivant une loi convenable,

LES ÉQUATIONS DE LA PREMIÈRE CLASSE

or, 8t Ton considère toutes les surfaces engendrées par les courbes (r), associées d'une façon absolument arbitraire, ces surfaces vériQent une équation aux dérivées partielles d'ordre A — 1,

quia ainsi une infinité d'intégrales communes avec Téquation proposée, dépendant d'une fonction arbitraire. D'ailleurs, l'équation (30) ne peut admettre toutes les intégrales de l'équation du second ordre; s*il en était ainsi, les caractéristiques de l'un des systèmes, se composant des courbes (r), ne dépendraient que d'un nombre fini de paramètres, ce qui est impossible si les deux systèmes de caractéristiques sont distincts. Lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont confondus» il pour-' rait se faire que l'équation (36) admette toutes les intégrales de l'équation du second ordre, mais la conclusion serait encore la même. En effet, l'équation d'une surface intégrale s'obtiendrait en éliminant le paramètre a entre les deux relations

f [^'f y. ^t II (»)i II (»)i ...» h (*)] = Oi

Il (^)i II (^)f •••! Ia- [^) étant des fonctions convenablement choisies de « ; en écrivant que la surface ainsi obtenue est une intégrale de l'équation du second ordre proposée, on trouvera évidemment un certain nombre de relations entre les fonctions ^| (x),... *^k {^)»^^ leurs dérivées, de sorte que l'intégrale générale de l'équation du second ordre serait de la première classe. On peut donc remplacer le critère du n* 1 73 par le suivant : Pour qu'une équation du second ordre soit intégrable par la méthode de M. Darboux, il faut et il suffit que^ (Cf) étant une caractéristique quel^ conque de tua des systèmes (convenablement choisi), toutes les autres ea» ractéristiques du même système^ qui peuvent être situées sur une tnêmesur' face intégrale que (Cf), ne dépendent que d* un nombre fï^î de paramètres. Lorsque la propriété appartient aux deux familles de caractéristiques, la méthode de M. Darboux réussit des deux cAtév.

186. — Revenons maintenant à la proposition de M. Maurice Lévy. Étant donnée une équation du second ordre F = o, intégrer cette équation revient à trouver toutes les multiplicités composées de oo* éléments du second ordre vérifiant F = o et les relations

(38) ds=pdx + qdy, dp = rdx -{^sdy^ dq = sdx •{- idy. •

Si toutes ces multiplicités peuvent être obtenues par l'intégration de plusieurs systèmes successifs d'équations diflérentieUcs ordinaires, mal-

ir

gré renoncé un peu vague du problème, on ne peut guère concevoir la marche des opérations à eiïectuer que de la manière suivante. Après rintégraUon d'un ou plusieurs systèmes d'équations difTérenttelles ordinaires, on sera conduit à un système dcRnissant des multiplicités simplement infinies d'éléments du second ordre vérifiant les relations (38) et Téquation P = o ; soient

ces é<iuations diiTércutielles. Les fonctions 9/ dépendent de constantes arbitraires ou de fonctions arbitraires introduites par l'intégration des systèmes rencontrés antérieurement, et les multiplicités à une dimension obtenues par Tinlégration du système (39), en les associant convenable* ment, donnent une surface intégrale. De plus, toutes les intégrales, sauf les intégrales singulières, peuvent être obtenues de cette façon.

Si Ton a fixé la valeur des constantes arbitraires ou la forme des fonctions arbitraires qui figurent dans les fondions o/, l'intégration du système (39) nous donnera, par hypothèse, des intégrales de Téquation F = o. M. E. von Weber admet, et c'est là le point le plus délicat de sa démonstration, que les intégrales (S) que Ton peut déduire d'un même système (39) forment un ensemble dépendant d'un nombre infini de para-* mètres (*). Si Ton admet ce point, la démonstration est immédiate En efTet, les intégrales (S; appartiennent à une famille de surfaces engendreras par des courbes qui dépendent d'un nombre fini de paramètres, et vérifient, par conséquent, une équation aux dérivées partielles qui n'est pas une conséquence de l'équation F = o. Com*ne ces intégrales dé|)endent d'une infinité de constantes, il s*ensuit q<ie le critère pour que la méthode de M. Darboux soit applicable est toujours satisfait. On voit do plus que les multiplicités à une dimension définies parles équations (39) sont précisément les caractéristiques du seon 1 ordre de Tun des systèmes.

(^) Wici textuellement le passage du mémoire de M. E. von Weber : « Je «1 Integriiistreifea dièses Systems uirissen sich lu eîner lnle;;MlminnigralligkeU von :1) zusammenordncn und die (ilcicliuu^en (:i) uHssen allgcmein ffenftff seiu. um aile (nicht sîngiilfiren) Intégrale von (0 m dieser WVise zu liefern. Uamit nber durcti Rinfûtirung des Systems (3; in die lleçhnung eine wirklir.lie Vereinf?chung des Inlc^rationsgesch.lfts erziclt werd6, d. h. daniit die Rruiitteluns des Systems .3* nicht cin Probtcm von ebenso hûher Ordnun;( sei als die llerstelluns des (von swei arbitr.ïrrn FunSctionen cines arj^umeals abhAngendenr allgcmeinen Intégrais von (1), werden wir vcrl:mgen, dass m die linkon Seiten vua (3) ausser einer endliclien Zahl von Paramctern nurnoch die CoerUcienten hochlens einer Arbilrftreii Kimklion einef Arguments emgehen. Aus dcr en llichgliedrig<în Schaar von Inte» gralslcifen des einzelnen Systems (3'f) muss si«:h ioiîiit eine nnendllchglledrige Schaar zweifach ausgedchnier Integralmannigraltigkeilen von (1) auflrauen lasi en* da sonst die iàesamtheit der Système (3ci) nicht hinreichdn vDrJe, um das allgemeiae Integra! von (I) in dicscr Weise cntstebén zu laisoa.

Itccherclie des équations du second ordre, telles que l'une des dérivées premières de la fonction inconnue vériflc une seule équation du second ordre. — Application à divers exemples. -— Généralités sur les systèmes de deux équations du premier ordre à deux fonctions inconnues. — Cas ou Télimination de Tune des inconnues conduit à une équation du second ordre. — Exemples de transformations. — Cas des équations linéaires. — Équation adjointe. — Tran:iformation de M. Moutard. — Transformations de M. Bâcklund. — Exemple de M. E. Cosserat. — Comparaison avec la méthode de M. Darboux. — Généralités sur les transformations des équations du second ordre.

187. On a vu, dans Télude des équations aux dérivées partielles da premier ordre, le rôle important que joucla théorie des transformations de contact ; intégrer une équation du premier ordre, à une seule fonction inconnue et à un nombre quelconque de variables indépendantes, revient au fond à déterminer une transformation de contact permettant de ramener cette équation à une forme immédiatement intégrable, par exemple p^ = o. Cette théorie ne permet point une étude aussi complète des équations du second ordre; nous avons déjà rappelé (I, cha« pitre II) que dans certains cas, étudiés par Ampère et, après lui, par Imschenetsky, une transformation de contact permet de ramener une équation du second ordre à une autre équation du second ordre d^une forme plus simple, mais on ne peut jamais passer ainsi d^uue équation non intégrable par la méthode de M. Darboux à une équation inté* grable. D*une façon plus précise, lorsque deux équations, du second ordre se déduisent Tune de Tautre par une transformation de contact, si Tune d*elles est intégrable par la méthode de M. Darboux, la même méthode réussira pour la seconde après le même nombre d^opérations. Car une transformation de contact change évidemment les caractéric* tiques en caractéristiques et conserve Tordre du contact.

Nous avons déjà eu roccaston, dans le courant de ces Leçam^ d*ap* urrioMAiioii bu éqoatiosis. -« t. !!• !• .

242 CRAPtTRB IX

pliquer d'autres iransformaiions, qui ne réussissent que grâce à la forme particulière des équations auxquelles on les applique. Telle est la transformation de Laplace ; telle est aussi la transformation qui permet d*intégrer Téquation de Liouville (t. I, n* 47). Nous allons passer en revue, dans ce chapitre, quelques-unes des transformations les plus employées, en essayant de les ramener à quelques types généraux.

Proposons-nous d'abord de trouver toutes les équations du second ordre F (â?, y, jr, p, q^ r, «, l) =r o auxquelles s'applique la transformation u = r-9 c*est-à-dire telles qu*on puisse en déduire une relation

entre x^ y, 9, ê^ r, p,,, P|,, p^, et une seule, s'appliquant à toutes les intégrales de cette équation. Si Téquation proposée renferme la dérivée seconde r, on peut récrire

en prenant la dérivée par rapport à y, il vient

0>mme il ne peut y avoir deux relations distinctes entre ^f y^ ^9 P'i 9ff 'i ^ Pisf Puf P§Z9 puisque les valeurs initiales des variables or, y, jy p, 9, #, ^Pi), Po, doivent rester arbitraires, il s'ensuit que la relation (1) ne doit renfermer ni x ni p et être identique à la relation cherchée, ne renfermant que les quantités a?, y, f , 9\ I, PisiPsi* Pot* Autrement Télimination dep„ entre ces deux relations conduirait à une équation de condition entre â?, y, ^,p, f , «, I, p^,, p^,, ce qui est impossible. Pour que Téquation (1) ne renferme ni p, ni ^, il faut d*abord que Ton ait

c*est-à-dire que /* soit de la forme . .

/"=?(•«» yt ^» iN y) + ♦ K yi îi *• ;

en remplaçant /* par cette expression, on trouve ensuite que Ton doit

avoir

3><» Vf Vm Vif

djd^ dpdj dp* dpdj' . * '

et • est de la forme

f = fi («. y» ■») + A («,y) j» + fi (», y, q). .

TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS DU SECOND ORDRfi 243

Il faut enfln que ^ + ^ Ç + T* P soît indépendant de p et de z\ c'est-à-dire que Ton ait

Jx«

de sorte que le coefficient de p doit être indépendant de y, et que f | doit être de la forme B (x) x -f- C (rr, y). En définitive, Téquation (R) doit appartenir au type suivant

X et X| étant deux fonctions quelconques de a? et F une fonction de ^1 y 9 9i 'v ^jàc forme arbitraire.

. Le raisonnement ne s'applique plus aux équations qui ne renferment pas la dérivée seconde r. Étant donnée une équation de cette espèce, supposons d'abord qu'elle dépende de p, on peut alors récrire

et, en diiïérentiant par rapport i o; et par rapport à- y, il vient

Ces deux équations, jointes à la relation

* (^» yi ?. *» ^ p«. Pli. p#i) = o

que nous supposons exister, forment un système de trois équations renfermant les dérivées partielles du troisième ordre. Ces trois équations doivent se réduire i deux, puisque deux des quatre dérivées du troisième ordre peuvent toujours être prises arbitrairement. Comme r ne figure que dans la première relation (1), cola ne peut arriver que si les équations (5) et (6) ne diffèrent pasrune de l'autre, ce qui exige que l'équation (5) ne renferme pas ^. On en déduit, comme tout k l'heurei que l'équation (3) doit être de la forme

X, étant unefonetioa d« œ «euleineiit.

Enfin, si une équation du second ordre ne renferme ni r, ni p, en éliminant z entre cette équation et sa dérivée par rapport à y, on obtient bien une relation entre .r, y, 7, «, I, p,,, p,,, p^,. Si Téquation ne renferme aucune des quantités 7,p, r» elle est de la formel (a?, y, «f, «,/)=: o et la dérivée q satisfait à une équation du premier ordre.

En résumé, iouie équation du second ordre^ telle qu^en prenant pour

iz nouvelle inconnue la dérivée r- on soit conduit à une nouvelle équation

du secoïuiordre. peut être ramenée à la forme.

Xr -|- Xjj) + X,» + F (a-, y, q, «, t) = o,

X, X|, X, désignant trois fonctions quelconques de » {^)*

En d'autres termes, les variables x, p, r ne doivent figurer dans cette équation que dans une combinaison linéaire où les rapports des coefficients ne dépendent que de la variable x. Toutes les équations qui ne renferment qu^une des trois lettres r, p, jr, satisfont évidemment h cette condition, quelle que soit la façon dont y entrent les autres lettres ^Y yi Ï9 'f ^« On verrait de même que toute équation du second ordre,

telle que la transformation 9 = ^^ conduise à une nouvelle équation du

second ordre, peut être ramenée à U forme

Y, Y|, Y, désignant trois fonctions quelconques de y.

188* Étant donnée une équation quelconque de la forme (8), il vient, en diflercntiant par rapport à y et remplaçant ?- par ti, s' par r-i

^^ ^ cV« ■+" ^« ix + ^«" + Ji/ "^" Ju 5;; ■'' 37S^"*" îF 5iî-^'

c'est une équation linéaire du second ordre à laquelle satisfait la fonction u. A toute intégrale do Téquation (8) correspond évidemment

(>) La proposition t*éten<l alternent aux équatloni d^orilre quelconque*

une seule intégrale de réquation (!l). Inversement, soit u une intégrale de réquation (9) ; proposons-nous d'examiner s*il lui correspond une intégrale de Téquation (8). Une lelle intégrale devant satisfaire à la relation

est nécessairement de la forme

(10) z -fudy + ^ (a?),

<^ (â?) désignant une fonction de x^ et y^ une constante que Ton choisira de telle façon queu soit holomorphe dans le voisinage. Si on remplace z par Tcxpression (10) dans le premier membre deTcquation (8)Jerésul* tat de la substitution est indépendant de y, puisque la dérivée de ce premier membre par rapport à y est identiquement nulle, diaprés la façon même dont on a obtenu Téquation en ti. Pour que ce résultat' soit identiquement nul, il sufilra donc qu*il soit nul quand on y remplace y par y^, c'est-à-dire que Tenait

respectivement t*i V"' 5" P^"' V ^ ^t* ^^ définitive, si u (op, y) esi une intégrale de Péquaiion (9)^ la formule

^.=fudy + ♦ {a),

représente une intégrale de Véqiîaliàn (8), pourvu que 4» {x) soit une inU^ grale de téqucUicn (11). . ......

Si X n*est pas nul, à toute intégrale de l'équation en w correspondent une infinité d'intégrales de Téquation en z^ dépendant dé deux' cons* tantes arbitraires, qui s'obtiennent par une quadrature et par Tiniégra-' tion d'une équation diiTércnlielle linéaire du second ordre, où le second membre seul est variable avec tf. Si X est nul et X| différent de zéro, à toute intégrale de l'équation en u correspondent une * infinité d'inté*

*'oi (s~~ } ' ( V) ^^^'{t^^^^^ 1^^ fonctions de x auxquelles se réduisent

grales de Téquation en jr, dépendant d'une constante arbitraire» qui s'obtiennent par des quadratures. Si X et X| sont nuls et X, diflercnt de zéro, les intégrales des deux équations (8) et (9) se correspondent • une à une ; a toute intégrale de Féquation en u correspond une seule intégrale de Tcquation proposée qui s'obtient sans aucune quadrature, car cette équation nous donne

Enfin, si l'équation (8) ne renfermait ni »% nip, ni x, la dérivéeti=^

vérifierait une équation du premier ordre et à toute intégrale de cette équation en u correspondraient une infinité d'intégrales de l'équation en £, représentées par la formule (10), où 4» (a?) est une fonction arbitraire deœ» '

189. Un grand nombre de transformations connues se ramènent à la précédente. Prenons, par exemple, une équation de la forme

on prenant pour nouvelle inconnue n = —• la méthode conduit à l'équation

où on suppose t et ^ remplacés par ^ et ~ Cette équation peut elle-

même se ramener à une équation linéaire par la transformation de Legendre. L'ensemble de ces deux transformations revient à prendre pour nouvelles variables t , f et v == 9 — &r — ty^ ce qui ramène l'intégration de l'équation proposée à celle de l'équation linéaire

y» if y» a/' y»

il* S j»3< "** 3< a«« ~" ® •

c'est précisément la méthode employée par Legendre (*). Etant donnée une équation linéaire

0) aUMre dt rAcadémU dtê Menceê; 17S7,

pour pouvoir appliquer l'une des transformations précédentes, il suffira de faire disparaître l'un des trois coefRcients a» d, c, en changeant d*abord x en X (a?, y) z^ la fonction X (a?, y) étant choisie convenablement. Par exemple, en remplaçant z par z^<J^ et prenant pour nou-

velle inconnue "^^^'^ on retrouve précisément une des transformations de Laplace. Pour pouvoir faire disparaître le terme en z de Téquation (12), il suffit de connaître une intégrale particulière jr,. Eii eiïet, si on pose d*abord jr = ^^Z, la nouvelle équation en Z, devant admettre la solution Z = i, est de la forme

Î>»Z , A Î>Z , „ JZ

et on peut prendre pour nouvelle inconnue r- où r—

Si, par exemple, on prend pour nouvelle inconnue r— i on sera

conduit à une nouvelle équation linéaire de même forme que Téquation (12), pourvu que A ne soit pas nul. Pour Tobténir facilement, il

suflit d'éliminer ^^ entre la relation (13) et sa dérivée par rapport à y.

Mais on peut aussi se dispenser de former l'équation (13) ; on a, en effet.

te

et, comme on peut toujours multiplier la fonction inconnue par une fonction déterminée de x et de y, on en conclut que le produit

^* iy ~ "** ôy '^ >y

satisfait aussi à une équation linéaire du second ordre. Par isonséquenii si jTi eMi une intégrale particulière de Féquation (12), VexpreeeUm

OÙ z ett rintégrale ginéràU de liquation (12), représente Pintégralé

générale cTune équation linéaire de même fof*me (*)

à toute intégrale de Téquation en u correspondent une infinité d*intégrales de Téquation en jr, dépendant d'une constante arbitraire, qui 8*obliendraient par une quadrature. On serait conduit à une autre équa* tion du second ordre en prenant pour nouvelle inconnue

Si Ton connaît plusieurs intégrales particulières jr^, z^^ ...,r/deréquation (13), on peut appliquer plusieurs fois de suite des transformations analogies, et les combiner avec des transformations de Laplace. En partant d*une équation linéaire telle que (12), on peut donc former une infinité d*équations linéaires de même forme dont l'intégrale générale a pour expression

iz . . ^ y^z . ^ îjr . . ^ J*jr

• = A' + B|JS + - + ^'-S? + ^«5ï, + - + <^-Jl?'

A, B|, ..., Bm, C|, ..., C« étant des fonctions déterminées de â;et dey, et z Tintégrale générale de Téquation (12) . Une étude très complète de ces transformations a été faite par M. Darboux (*)•

La transformation par laquelle on ramène Téquation de Liouville

f r= «*^ à Féquation r--r- = hu ^j ainsi que la transformation de Laplace, se rattachent au cas où les intégrales des deux équations se correspondent une à une. Ainsi, dans le cas de Téquation de Liouville, on a les deux relations

« qui donnent u en fonction de z et inversement,

190. La transformation précédente conduit, dans certains cas, d^une

équation linéaire à une équation non linéaire ou inversement. Reprenons

(•) UvT (Locm), « Sur quelques équntlons linéaires aux dérivéei partielles du second ordre » (Journal dt VEcolt polytechnique^ LYl* cahier, ISSS). 'éi^) Théorie générale deêSurfiieeê^ %,Ut chnp,ym, >

TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE 249 ï

une équation linéaire : r

et prenons pour nouvelle inconnue o le logarithme de x; il vient, en divisant par a",

et réliminatîon de v conduit à une équation du second ordre en «| ; cette équation prend une forme plus simple si on pose encore «| -f* A = e^\ u étant la nouvelle inconnue, et il reste, toutes réductions faites :

A et A étant les invariants de Téquation (15)

La correspondance entre les intégrales des deux équations (15) et (17) est résumée par les formules

à toute intégrale de Téquation en t correspond une intégrale al une' seule de Téquation en u » tandis qu*à une intégrale de Téquation en u

La nouvelle équation ne contenant ni v, ni ^p^i ni r-^9 on peut ^

jyt'— r — i

prendre pour inconnue une des dérivées r-y ^* Posons, par exemple, 9| = — ; on tire de Téquation (16)

?E = iJl!!L±!,

correspondent une infinité d'intégrales de Téquation en jr, qui s'ob* tiennent par une quadrature.

On peut ramener à la forme (17) toutes les équations .

A, B, C étant trois fonctions quelconques des variables x^ y. Si, en effet, on remplace dans cette dernière équation u par u -f* log B, elle devient

c'est une équation de la forme (17) où on aurait