A = AB

Les caractéristiques des deux équations (15) et (17) se correspondent et chacun des systèmes admet une combinaison intégrable. Si la méthode de M. Darboux réussit pour Tune des deux équations, elle s'applique aussi à Tautre. Supposons d*abord qu'il existe deux combinaisons intégrables pour Tune des familles de caractéristiques de Téquation en i« *

ix'

iflP*

diaprés les formules' (18), u s^exprime au moyen ded^^ y, jr, r-i et on dé-

duira de f (or, y, u, ...} un invariant d^ordre n 4- i pour* les caractéristiques du même système de l'équation en x. Réciproquement, si la

X étant une fonclion arbitraire de or, et Y une fonction arbitraire de y (n^ 183).

Remarque. — On peut ramener facilementréquation (t9) à la forme canonique indiquée par M. Moutard. Si on change d'abord u en ti -{- / (^« y)« on fera disparaftre le terme C (a?, y) en prenant pour tSp^ y) une solution

de Téquation ^-^ -f- C (â?, y\ = o. En changeant ensuite A en — A et

B en — By on pourra écrire Téquation '

[.es invariants de Téquation linéaire correspondante ont pour valeurs :

oxoy

réquation linéaire

yr >logB 3^ ABj-

a précisément ces invariants, et la correspondance entre les intégrales des deux équations est définie par les formules

méthode de M. Darboux s'applique à Téquation en z^ c'est que la suite ; de Laplace, relative à cette équation, est terminée d'un côté, et Tinté-

grale générale de cette équation contient une fonction arbitraire et ses f

dérivées débarrassées de tout signe de quadrature, tandis que Tautre «

fonction arbitraire figure en général sous de pareils signes. Il en est de \

même, d'après les formules (18), pour l'intégrale générale de Téquation - [

en u, ce qui suffit à prouver que cette équation peut être intégrée par l la méthode de M. Darboux (n* 181).

On voit de même que, si la suite de Laplace relative à l'équation ^ linéaire est terminée dans les deux sens, la méthode de M. Darboux

s'applique aux deux familles de caractéristiques de l'équation en u, et i réciproquement. Dans ce cas, l'intégrale générale de l'équation (17) est

de la forme - ]

(«» j&y-è^A*")+ryt»'-) = «- . ■ ■

On pourrait aussi ramener l'équation (30) à l'équation linéaire

d»dy

X, > loar A î»i à n

âT. ^* -T^ — ABjt, = o ;

on passe du reste de l'équation (21) ù l'équation (23) par les formules