Considérons encore l'équation

où X (», y) est une fonction quelconque de ar, y; on pourrait prendre pour nouvelle inconnue p ou y, mais, pour arriver à une équation plus simple, nous poserons p=u*,q=z »», ce qui nous donne

L'élimination de t» conduit à l'équation linéaire

ixijf 2 J, ^ — ^« = o»

et celle de ii à une autre équation linéaire

î«îy 2 Jy îar"^""*-

Considérons, par exemple, l'équation (25).; si » {x, y) est l'intégrale générale de cette équation, l'intégrale générale de l'équation proposée est donnée par une quadrature

Les invarianU de l'équation (25) ont pour valeurs

AsX,

2 J«Jy »

(*) BmUeltn d« la SoeUli nuithimatiqut, L XXV, p. 96-41.

.1 . ^ .-»*a-- ... ,^*ii- ^.Jrii,: jù^.::^

^-^'*rm<^Jr-j

mÊm

ceax que Ton en déduit par rapplicalion de la première transformation de Laptacei et qui sont les mêmes que ceux de Tcquation en v, ont . pour valeurs

on voit qu'ils sont identiques à ceux de Téquation (25) pris dans Tordre inverse. La suite de Laplace relative k cette équation linéaire ne peut donc se terminer dans un sens sans se terminer dans Tautre sens, d*après les formules de récurrence qui donnent les invariants des équations de la suite (n* iOi). Lorsqu'il en est ainsi, Téquation proposée (S4) appartient à la première classe (n* 184). Reprenons, par exemple, Téquation intégrée plus haut

on a ici X (a?, y) = z — . .^ » et l'intégrale générale de Téquation (25)

est

X et Y étant deux fonctions arbitraires de a; et de y respectivement. On en tire

comme on Ta déjà obtenu directement.

192. 11 peut arriver, dans certains cas, que la transformation qui consiste à prendre pour nouvelle inconnue une des dérivées partielles du premier ordre de la fonction inconnue primitive réussisse plusieurs fois successivement. Ainsi, dans Téquation de M. Beudon (n* 112)«

« — ï^ = ïV(yi5)'

qui ne contient ni p, ni r, on peut poser } = #•,© étant la nouvella inconnue, ce qui nous donne • = •"0^ = ^^* ^ équation propo«

sée peut s*écrire» ea divisant par a",

et en différentiant par rapport à y on a une équation du second ordre en V qui est de la forme -

étudiée également au n* 167. On peut appliquer la même transforma-

«ht

tion à la nouvelle équation en posant r- = u ; Féquation 8*écrit en effet

et, en éliminant e* entre cette équation et sa dérivée par rapport à y, il reste une équation de la forme

^x^y ~" ^x * Y' "• cV V/

qui admet une intégrale intermédiaire du premier ordre dépendant de deux constantes arbitraires (t. I, n* 92),

193* En combinant la transformation qui vient d*étre étudiée avec une transformation de contact, on est conduit à des transformations d*apparence beaucoup plus générale. Pour en donner un exemple, considérons une équation linéaire quelconque

(27) Ar + iB« + a + Dp + Ef + F* = o,

OÙ A, B, C, ..., F sont des fonctions de œ^ y, et proposons-nous de trouver tous les systèmes de trois fonctions c, p, y ^® ^9 y« ^11^^ qu*eo prenant une nouvelle inconnue

(M) « = «p + pî + TfX,

tf vérifie une équation du second ordre. On peut d^abord, en changeant M en Xr, supposer qu*on a ramené « à la forma

si on choisit ensuite deux nouvelles variables indépendantes n, Ç, telles que l vérifie la relation

Téquation (27) se change en une autre équation linéaire

et l'on a (I, n* 51)

A, = Ap» — 2B«p 4- C«»,

tandis que la formule (28)' prend la forme

On peut évidemment négliger le facteur K (;, r^^ et tout revient à chercher dans quel cas la transformation v = r-i appliquée à Téquation

(27)\ conduit à une nouvelle équation du second ordre. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit (n* 187) que les rapports des coeflicients de

rr^i rry S soient indépendants de ir). Supposons d'abord que A| ne soit

pas nul ; en cherchant les intégrales de Téquation (27)^ qui sont indépendantes de >), on est conduit à une équation linéaire du second ordre ' dont les coefficients sont indépendants de t^. Il existe donc deux intégrales dUtincles de Téquation (27)' pour lesquelles on a t« = o ; et inversement,

cela ne peut arriver que si les rapports des coefficients de c^t -r^* z sont

indépendants de ->). En revenant à Téquation (27), on en conclut que» lorsque Ap' — 2Bap -f" ^*' ïCe%i pas nul, pour que la fonction u = a/> 4* P9 4* T''^ vérifie une équation du second ordre, il faut et il suffit que Téquation «p + P9 4* V^ = ^ admette deux intégrales dis*' tinctcs de Téquation (27). La forme générale de u est donc

Il = X («, y)

Pt

A (o?, y) étant une fonction quelconque de w^ y, et X|, s^ deux inté*

grales dislincles de (27). Les fonctions n, p, y élanl données, on peut reconnaître sans aucune intégration si u est de cette forme. Pour qu*il en soit ainsi^ il faut en eiïet que les deux équations (i7) et u = admettent une intégrale commune C|jr, -}- C^z^, dépendant de deux constantes arbitraires, c'ést-à-dire qu'elles forment un système complètement intégrable.

Si Ton a A| =1 Ap' — 2Bap 4~ ^^' = ^» ^' faudra que, dans Téquation

(27)\ le rapport des coeflicientsde ^ et de jr soient indépendants de -i^. Si

le coefficient de c^ n*est pas nul.Téquation (27)' admet une intégrale pour

laquelle on aura u == o ; Téquation (27) doit donc admettre aussi une intégrale pour laquelle on aura.xp -{- p^ -f* yjr = o, et les rapports des coefficients seront définis par les deux relations

Ap« - 2Bap + Cp» = o, «Pi + Pîi -f- T^i =î o,

X| étant une intégrale quelconque de Téquation linéaire* On a une troisième espèce de transformations en supposant que les

coefficients de ^^^ ^^ v ^^^^ "^'^ ^^^^ Téquation (27)'; on retrouve

ainsi, il est facile de le voir, les deux transformations de Laplace, gênéralisées par Legendre (n* 113).

Remarque I. — Il peut arriver que, dans certains cas, la transformation (28) ramène à Téquation (27) elle-même ; do toute intégrale de Véquation linéaire on peut alors déduire, par l'application répétée de la formule de transformation, une infinité d'autres intégrales. Par exemple, étant donnée une équation

f 4* ûi> + *? = o»

si on prend pour inconnue q = u^ Féquation en u est en général différente de l'équation, en z; pour que les invariants des deux équations pris dans le mémo ordre soient les mêmes, il faut et il suffit que l'équation proposée soit de la forme

. f + XYp + X,9 =1 0.

X, X| étant des fonctions de œ^ et Y une fonction de y. Si jr est une intégralei -rp ^ est aussi une intégrale. Une équation du second ordre

t -}- ap -|- *ç + c jr = o

peut être ramenée à la forme précédente, pourvu que les invariants h et k soient de la forme :

et inversement.

Remarque II. — Les transformations précédentes des équationslinéaires ramènent, dans certains cas, l'intégration d'une équation linéaire à celle d'une équation plus simple, ou possédant des propriétés toutes différentes de celles de la première. L'exemple suivant offre un grand intérêt dans la théorie des surfaces. Étant donnée une équation . de la forme

si on la rapporte à ses caractéristiques, c'est-à-dire si on prend pour variables indépendantes deux fonctions p (jt*, y), f^ (a?, y), telles que Von ait

iu-

la nouvelle équation a, en général, ses invariants A et A inégaux • Mais si, auparavant, on a pris comme nouvelle fonction inconnue une des dérivées partielles pou g, puis qu'on rapporte la nouvelle équation k ses caractéristiques, on est conduit à une équation à invariants égaux» Le calcul se fait très simplement de la manière suivante ; de Téquation r = A/, on tire

dy iof

• ix ^y

et, si on prend comme variables indépendantes p et p|, ces relations deviennent

Dp <)a? * 3pi i^x \^f ?y "■ 5p| îy /

5g3£j^Jp3£j ^^l2£ ^ •

. 5p îy ?pi 5y ^ 5; Jur *' Jp| i»/

mplaçant J^ P*^^ V5^ J^ ®^ ^^ P*f — N^ ^> ^^ ^^ ^^^ • . , • i

en re

isrrtoitiTiosi dis Aquatioxs. — t. II.

IT

et réli mination de Tune des fonctions p et q conduit à une équation à invariants égaux pour déterminer l'autre fonction inconnue. Toute équation linéaire de la forme

dont les caractéristiques forment sur le plan des x^yMH réseau orlhogonal« se ramène à la forme r = X^ en prenant pour nouvelles variables m 4* 'y et 07 — ty, et par suite à une équation de Laplace à invariants égaul*

Remarque III. — Il peut aussi arriver que Ton puisse combiner quelques-unes des transformations précédentes. Ainsi, étant donnée une équation linéaire

si l'on prend comme fonction inconnue le rapport des dérivées u = ^i

on en déduit pour u une seule équation du second ordre. La valeur de ti . peutf en effet, s'écrire, en tenant compte de Téquation elle-même,

or, on a vu (n* 189) que, si on prend pour inconnue p, on a encore une équation linéaire de la forme de Laplace. Si, dans cette seconde équation,

on prend ensuite comme inconnue — r^-^ (n* 190), on trouve une Iroi-

s ième équation du second ordre non linéaire. La suite de ces deux transformations est évidemment équivalente, en négligeant une transformation

ponctuelle, à celle qui consiste à prendre ^ pour nouvelle inconnue*

On peut arriver plus simplement k Téquation en u ; de Téqualion proposée et de la relation q = pti, on tire en effet

logp = — (^

et la condition dUntégrabilité donne une équation da second ordre en m

<bpdy ■ ^ V •« /

A toute intégralo de réqnalion en s correspond une seule intégral»

««.«^^ '■, T— ,-' r-' "- ^ ^--i^t ;».CKrfhiAi*RMâ;^w^tefe^f;:ac»«.-ak #^4*: ifci-«L'>a. ,

^aa*y*>»t s » i ' M fm j f ' » * .^ti»i » ' -*--^

de réquation en ir^ tandis qu*à une intégrale de Téqnalion en u correspondent une infinité d'intégrale» de Téquation en jr, dépendant de deux constantes arbitraires ; si ^| est Tune d'elles, toutes les autres sont de la forme A^^ + B, A et B étant les deux constantes arbitraires.

194. L'étude des systèmes formés de deux équations simultanées du premier ordre à deux fonctions inconnues conduit aussi, dans certains cas, quand on élimine Tune des fonctions inconnues, à deux équations du second ordre qui s'intègrent en même temps. Soient

) ^« i^' y' '' "' 5^' JP' Si* j^j = «• ( ^» V''' ^' '' "' ^' W 5^' 5p) = *»

deux équations simultanées du premier ordre à deux fonctions incon^ nues z et te. Pour éliminer l'inconnue z, imaginons les deux équations (29) résolues par rapport aux dérivées partielles de x,

la condition d'iutégrabilité -^ = -^i où

djf îy T" îx ^* "^ ^u >y "^ j /Jm\ ^ar^y "'' ^ /Jjm\ Jy»*

e ^» ■*' ?jr ' • "•■ îtt J« "•" j /Jm\ ^«» T" /îtt\ ÎBPÎy*

dx

nous conduit à une relation de la forme

d*où on tirera x et, en écrivant que cette valeur de t vérifia les deux équations proposées, on a deux équations simultanées da troisièiM ordre auxquelles doit satisfaire la fonction u ; à toute solution da eesys*

tème correspond une seule valeur de x qui est donnée par la formule (31).

On s'est borné, dans cet aperçu sommaire, aux circonstances les plus générales ; il nous faut maintenant examiner les cas particuliers qui peuvent conduire à une équation du second ordre. Nous supposerons d'abord que les équations (29) peuvent être résolues par rapport aux dérivées partielles de z ; on peut toujours écrire la condition d*intégrabilité (31). Si cette condition renferme Tinconnue z et quelquesunes des dérivées du second ordre de tf , nous retombons sur le cas qui vient d'être examiné. Si la fonction 4 ne renferme pas z^ mais contient quelques-unes des dérivées du second ordre de te, on voit que la fonction inconmte u doit satisfaire à une seule équation du second oixlre^ et qu*à toute intégrale de cette équation correspondent une infinité de fonctions z^ dépendant d'une constante arbitraire. Ce sont les deux seuls cas qui puissent se présenter lorsque la condition d'inlégrabililé renferme quelques-unes des dérivées du second ordre de u (*).

RBMAnQCB. — On peut former la condition d'intégrabilité (3i; sans

avoir à résoudre les équations (29) par rapport à y* et ^* Si, en effet,

on différentie ces relations par rapport à â? et à y et qu'on élimine les trois dérivées du second ordre de j'entre les quatre équations obtenues.

(>) Pour (|u*anciiiic dérivée du second ordre de u ne figure dans la condition dlutégnibllité (31), Il faut et il suffit que le système (30) soit de la forme

wr

Iî; =/('. y» 5, il) jj + y (x, y, «, «),

si la condition dlntégrabilité renferme s, en écrivant que la valeur de z ainsi obtenue vérifle les deux équations (30), ou a, pour déterminer m, deux équations du second ordre. Si la condition dHntégrabilité ne contient pas s, Tinconnue u doit satisfaire à une équation du premier ordre. Nous laissons de cdté le cas exceptionnel et facile & examiner où la condition dlntégrabilité des équations (30) serait vériflétt Identiquement.

Pour que les équations (29) puissent être ramenées & la forme (30)', Il faut que la

déterminant ci-dessous, où Ton a mis p, q, p\ q\ au lieu de ^t n ^^f ^t

V* vjf e* vif

dp ^g •"

•oit nul identiquement, quels que soient > et /&. Les systèmes (29), pour lesquels ca déterminant est identiquement nul, forment une classe toute particulière, auxquels on ne peut appliquer les théorèmes gènérani de Cauchy. •

,J ^tMJk.O'T,' .MJ'».i3,-^sa. *,umA

■îhs»^

ikl4 i^ • V \0* i . m^\

■■ rmm t •<'i> /> » ^ e v.^ -->a. «iCEn^ba^J*»' ï<"44ap*.>V^~,.l

on aboutit à la relation suivante, en supposant que le déterminant fonc* tionncl de F| et de Fj par rapport à ^ et — nVst pas nul.

iz iz

OÙ on a »•=: r-i a = r-»

W/ "" ?a? "^ >jr' + dti ^x "*" ^/2»M\ >a?« "*" . /Dtt\ ÎjcV

W/ ~ î>y "*" î-ar ^ + 5tt :^y j/^'X ^^^V 3^^\ ^*

L'éliminalion de p et g entre les trois équations (29) et (32) conduira a la condition d'intégrabilitc (31) ; si on peutéliminor à la fois les trois quantités p, g, x, on trouvera une équation du second ordre pour déterminer tt.

Passons au cas où les deux équations (29) ne peuvent pas être résolues par rapport aux dérivées partielles de z. On en déduit alors, par l'élimination de ces dérivées, une nouvelle équation de la forme

(3tt 3tt\

si cette relation ne contient pas jr, Tintégration du système (29) est ramenée ainsi à Tinlégration de deux équations du premier ordre successivement et, en particulier, la fonction inconnue u satisfait à une équation du premier ordre. Si la relation (33) contient ^, on peut l'écrire

et le système (29) peut être remplacé par un système de U forme soir vante

iz iz 9tC )tt^

, / îjr îjr in ou\

ftfyijimitJin imiBiMfcrTir iiarw- mm

rélimination de z conduit immédiatement à une équation du second ordre enu, à moins que f ne dépende pas des dérivées de u« et a loule intégrale de Téquation en u correspond, d'après la seconde des formules (34), une fonction z bien déterminée de a?, y.

On voit donc que, dans certains cas que nous venons de préci ser, rélimination de Tune des fonctions inconnues entre les deu x équations (29) conduit à une équation du second ordre pour Taulre inconnue. Il peut arriver que le fait ait lieu, quelle que soit celle des deux incon* nues que Ton élimine, et Ton a ainsi deux équations du second ordre liées de telle façon que Tintégration de Tune entraine celle de l'autre • Plusieurs cas sont encore à distinguer : 1* il peut se faire que les intégrales des deux équations se correspondent une à une ; 2^ il peut se faire qu'à une intégrale de Tune des équations, la première, par exemple, corresponde une seule intégrale de la seconde, tandis qu'à une intégrale de la seconde équation correspondent une infinité d'intégrales de la première, dépendant d*une constante arbitraire ; 3® cnfîn, la correspondance peut être telle qu'à toute intégrale de l'une des deux équations correspondent une infinité d'intégrales de l'autre équation, dépendant d'une constante arbilraire..Nous donnerons des exemples de ces trois cas»

195* Lorsque les intégrales des deux équations du second ordre se correspondent une à une, les équations (29) peuvent être mises sous la forme

quelles que soient les fonctions ^et 9,11 est clair que rélimination de r conduit à une équation du second ordre en u et l'élimination de ti à une équation du second ordre en ^, à moins que l'une de ces fonctions ne renferme aucune dérivée, et que les intégrales des deux équations se correspondent une à une. Par exemple, supposons que les fonctions f et f soient linéaires

a, S, c, ii|t &|t C|, étant des fonctions de â?, y ; en éliminant successive* ment les deux inconnues, on est conduit à deux équations linéaires do

Ml II» nr n t' r ,M * » I ■ . I .«^ • ^■ « ij»»»^faj»^ >va»-

i» ! "r f inivi^Vi I rt a iO fc M II i.ri 'il ' iii I ' l 'il I « > I «I I w^i m i ^i i ni f i Wî iih r i i>i i *r i j, .

second ordre^et la Iransformalion par laquelle on passe de Tune àVautre »

est identique, en réalité, à Tune des transformations de Laplace, sous t

sa forme la plus générale (n^ 141). Pour avoir une transformation de |

Laplaçe proprement dite» il faudrait que les formules précédentes se réduisent à Tune des formes ci-dessous

De même, en partant du système

3m 1 , /iz\

où log désigne le logarithme népérien, si on élimine j' on trouve Téquati on de Liouville, et si on élimine ti, Téquation

— — * — • ^xijf Sa?

Prenons un cas un peu plus général ; si les formules (35) sont de la forme

rélimination de u conduit i une équation du second ordre

=/"(*' y. ?.à+5Îp + 5Î')'

qui, résolue par rapport à «, peut s'écrire (37) M« + Np4-P = o,

M, N, P, étant des fonctions de a^ y, z^ q. Inversementi étant don née une équation de la forme (37), cherchons 8*il est possible de la ratta* cher à un système tel que (36). On voit d*abord, d'après la façon mémo dont on a obtenu Téquation (37), que la fonction j (â?, y, x, q) doit saiis-

* = att + *5=;. « = tt,ï + ^, . I

faire à la condition .

supposons qu*on ait obtenu une fonction 9 satisfaisant à celte condition, ce qui revient à intégrer Téqualion différentielle du premier ordre Mrfgr + Hds = o, et soit ^ la valeur commune des rapports précédent», de telle sorte que Ton ait

îj

= îxM,

Sî on pose u = f{r, y, z^ q), il vient

et Téquation (37) résulte de Télimination de u entre les deux équations

si on substitue dans la seconde la valeur de q tirée de la première, on a une nouvelle relation

Lorsque jr ne figure pas dans cette équation, on a une équation du premier ordre pour déterminer u, et l'équation proposée est intégrable par la méthode de Monge. Ce cas particulier écarté, on voit que le système (38) est équivalent à un système analogue au système (36) ; l'élimination de u conduit à Téquation proposée, tandis que rélimination de s donne une équation du second ordre en m

OÙ M|, N|| P| sont des fonctions de «, y, «S xZ(*)*

(■) La transformation précédente a été indiquée par Imtchenetiky (p. SSt de la traduction de HoQel; Archive* de Grtfaerl, t UV}«

fwiimw i

Cet exemple a été généralisé comme il suit par M. Gomes Teixeira(*). Prenons le système suivant

rélimînalion de x conduit à uao équation du second ordre en w, linéaire par rapport aux dérivées du second ordre

du du

A, B, C étant des fonctions de a?, y, u, ^ï ^1 tandis qn*eii éliminanl u on parvient à une équation en x

qui, résolue par rapport à «, peut s'écrire

M et N étant des fonctions de x^ y, jr, 9. Inversement, étant donnée une équation de la forme (-li), pour qu'on puisse la rattacher à un système tel que (39), il faut d*abord que la fonction ^ (.r, y, Zy 47) vérifie la rela*

tion N r^ — M rî = o, ou que Ton ait CQ cz ^

= |iM.

Soit f (âp, yi jr, f ) une fonction satisfaisant à cette condition. Si on prend pour nouvelle inconnue u = f (jp, y, t, 9), il yient

(I) Comptet Rendus^ U XCllI, p. IM ;.1 novembre 18SI.

et Téquation [il) résulte de réliminalion de u entre les relations

mais de la première on tire

et, en remplaçant j' et / par ces valeurs dans la seconde, elle devient

Si cette dernière relation contient z^ on en tirera

et on aura bien un système de la forme (39), de sorte que u vérifiera une équation telle que (iO). Si F ne contient pas ^, on voit que tf vérifie une équation du premier ordre, et Téquation proposée admet une intégrale intermédiaire du premier ordre dépendant d*une fonction arbi* traire. On peut énoncer ce résultat comme il suit Soit Véquation

M« + Np + |(a?, y, j', 7, = o, où M éi N sont des /onctions de or, y, ^, f ; si on pose

M 5= y («, y, *, ç), où f détignt um totulion d« TiquaHon

o satisfait à une équation du second otxlre^ linéaire par rapport awo dérivées du second ordre^ dont t intégration entraîne eeUe de ta proposée^ ou à une équaiion du premier ordre. r ■

fca«f:-Kj*aiW Tvmd

;.AàiktAjKj! ^ WS

>fc''i.iyiÉ'>Ti>i

l-i.Mf.flKT^ii' 1. Wn-mtV'.2JtfJLl'm'~-,^'--:4miari^zf:Mf-y^ .

196* Lorsque le système ^35) est de la forme générale, c^est-à-dire lorsque f contient les deux dérivées <"* T" ©^ 9 ïcs deux dérivées ^» ^t

^ ' ex ôy ^ OX Vj/

les équations du second ordre auxquelles conduit Télimination de Tune des inconnues sont encore d'une forme particulière. D*une façon un peu plus générale, étant donnée une équation du second ordre

F (^» Vf ^1 P» ^^ ♦% •» = Of

proposons-nous do reconnaître si elle résulte de Télimination d^une ik)connue auxiliaire u entre deux équations de la forme

^ l 5jr ^Jr du 5tt\

\ ^ ex cy ex cy}

Il suffit, pour cela, de remarquer que, quaiid on élimine u, les dérivées du second ordre r, <, t ne figurent dans le résultat que par les deux

combinaisons ^r+^s, ^«-|"a^'î l'équation proposée (42), quand

on y regarde x^ y, ^, p, q comme des constantes données et r, <, I comme des coordonnées courantes, doit donc représenter un cylindre ayant ses génératrices parallèles à une droite située sur le cône qui a pour équation «* — rt = o. Cette condition est suffisante; en effets si elle est remplie, Téquation proposée peut 8*écrirè

F| (Mr + N«, Mf + N/, w, y, x, p, q) = o.

M et N étant des fonctions do x, y, ^, p, q. Déterminons une fonction ? (^t y% ^f Pt i) P^ 1^ condition

et posons u = f (jp, y, z^ p, q) ; on aura

jA étant une fonction de rv, y^ z^ p^ q, et Téquation (44) prend la forme

de sorte que Féquation (44) provient bien de l'élimination deti entre les deux relations

w = ? («1 y» ^1 Pi 9)1

*• v«' y- '' *»' «' îis^' j^j = <»•

Il pourra maintenant arriver, dans des cas très étendus, que Télimination de z conduise auFsi à une équation du second ordre en h; c'est ce qui aura lieu si on peut éliminer p et q entre ces deux relations, ou p, 9 , z entre ces deux équations et la condition dlntégrabilité établie plus haut. Il en sera ainsi, par exemple, si Téqualion proposée ne contient pas z et si on prend, ce qui est possible, la fonction ^ indépendante de jr.

s Une équation linéaire par rapport aux dérivées du second ordre

Hr -1- 2K« + Ll + M == o

peut être considérée de deux manières différentes comme Téquation d^*un cylindre ayant ecs géncratrices parallèles à une droite située sur le cAne s^ — ri = 0. Pour appliquer la recherche précédente, soit X une racine de Téquation du second degré

X» — 2KX -f- IIL = oî

Téquation (M) peut s'écrire

Hr + )« + r{II« + XO + M = o,

et il faudra déterminer la fonction ^ {x^ y, ^, p, q) par la condition que Ton ait

La fonction f ayant été choisie de cette façon, si on pose

M ss f («, y, J(, p, j),

, . : 'n^îT'wr^^m-y^-^*f!9v^f^-

réquation linéaire (46)' résulte de réliminalion de u entre les deux équations

tt = y (x, y, jr, p, q),

et on aura à examiner si réliniination de s conduit aussi à une équation du second ordre en u (*).

197« Lorsque les équations (iO) peuvent être résolues par rapport

aux dérivées partielles — » ^i et ne peuvent pas Tétre par rapport aux

dérivées de z, en négligeant les cas exceptionnels que nous avons laissés de côté plus haut, le système (29) pourra s*écrire sous Tune ou Tautrc des formes équivalentes ci-dessous

(du — = /-(a:, y, ^, «, p, î),

Télimination de z conduit toujours à une équation du second ordre en u de la forme considérée tout à Tlieure. Si Téquation

ne contient pas u^ on aura aussi pour z une équation du second ordre qui sera linéaire en r, <, /. C'est ce qui aura lieu certainement si les fonctions /*et ^ ne contiennent pas t(. A toute intégrale de Téquation en u correspond une seule intégrale de Téquation en ^, tandis qu'à une intégrale de l'équation en z correspondent une infinité d'intégrales de réquation en tf , dépendant d'une constante arbitraire.

(I) Le cai particulier oii H, K, L, M ne dépeodent pai de ;, et o& on prend aussi la fonction f indépendante de 2, a été considéré par M R Liouville (Compte* Heudite, t. XCVlll, p. 216, 569, 723; 1884). Ou trouvera d'autres cas particuliers étudiés dans un mémoire de M. Gomes Teixelra : € Sur rintégratlon d*une classe d*éqaa* lions aux dérivées partielles du second ordre » {Builelinê de P Académie de Belgiq^^ 3*série,t. ill.p. 486;i8li}. «

w^^'-'^^i^t^mi^ ^n^mim^mm m» ■ ■ w n

A ce cas se raltacheni les formules (18), qui établissent le passage de r équation. (15) a FéqualioD (17) (n^ 190). Il en est de même des forr mules

3£ 1 /^ll^•

qui conduiraient de l'équation (24) à Téquation (25). Lorsque les équations (29) peuvent être résolues, soit par rapport i

T- et ^j soit par rapport à r— et r-i si l'élimination de chacune des

dX Ojf "^ ■^■^ OX Vjf

deux inconnues conduit pour Tautre à une équation de second ordre, ces deux équations sont nécessairement linéaires par rapport aux dérivées du second ordre, et à toute intégrale de Tune déciles correspondent une infinité d'intégrales de Tautre, dépendant d'une constante arbitraire. On obtient des transformations de cette espèce en partant des deux

• .. I .. . . î^ ?i' ?u Jw

relations arbitraires entre x. y, r-» ^^» ^»T"»

^ vx vy ox vy

pourvu que ces relations puissent être résolues, soit par rapport à ^ et r-i soit par rapport « C" ©^ ~*

Un exemple remarquable et bien connu de cette dernière classe de transformations est fourni par le système

Ji + 2S = »"» ('-")•

qui se présente dans Tétude des surfaces à courbure constante (*). Quand on élimine ti, on est conduit à Téquation

0)^ABBOUi, Thiwit générale dtê Surface*^ t lll, p. 4)S et tulvaales.

i 1. ii^aillMlf^'--' -«■--» -J

I iiij<i/MiKii< jr«"ii nwé

Mitifc 9i fWMMrifaaià

et, quand on élimine s^ on est conduit de mènie à Téquation

^-r- = T sin 3» ;

de toute solution z de Féquation (50) on peut donc en déduire une infinité d'autres, dépendant d'une constante arbitraire, par Tintégralion du système (49), où Ton considère u comme la fonction inconnue.

198. Après ces généralités, nous allons étudier plus spécialement le cas où les formules (29) sont linéaires par rapport aux deux fonctions inconnues z et u et à leurs dérivées. Nous pouvons tout d*abord écarter le cas déjà examiné (n* 193) où ce système ne pourrait être résolu par rapport aux dérivées partielles d'aucune des deux fonctions inconnues, et écrire ces équations

vU , ^ t vZ , ^ vZ .,

^ loi ^^ • * ^^ •

oc, ^, Yi •••! ^11 'ni étant des fonctions de x^ y. Pour que Télimination de u conduise à une équation du second ordre en z^ il faut et il suffit, c omme on le voit facilement, que Ton ait

^y ix

ou

si on multiplie les deux équations (Si) par e~^ on- peut les écrire, en posant 10 =s €^,

les coefficients p, y, S, ..., ir|, n'ayant plus les mêmes valeurs que plus haut; Télimination de u conduit toujours à une équation linéaire dn second' ordre en z; si on suppose qu'on ait fait disparaître leienne indépendant de z dans cette équation, en changeant j' en ^ •!- ^|, on

CllAPlTRe IX

et en remplaçant u par u -f- <o(o' on fera disparaître i| et ii\^. On peut donc toujours, sans restreindre la généralité, supposer les formules qui définissent la transformation ramenées à la forme

Pour que Télimination de z conduise aussi à une équation du second ordre en », on a deux cas à distinguer suivant que fl^ — Syi- ^^^ ^^^ ^^ ne Test pas.

Si Y^i — Sy, = o, il en sera toujours ainsi, car on pourra tirer x en

fonction de r<,. r— 9 ^~ et, en remplaçant z par celte valeur dans Tune des

deux équations, on sera conduit à une équation du second ordre en 11. Etant donnée une équation linéaire du second ordre en x

Ar + Bs + a + Dp + Eç + F^ = o,

pour trouver toutes les transformations de cette espèce qui conduisent de cette équation à une autre équation du second ordre en ff, il faut ridentifier avec Téquation du second or4re

obtenue par Télimination de u entre les formules (53) ; ce qui donne les relations

Yj 8, — Y — S '^' *^ ?.» «)y "^x ^y "^ î» Sy ABC D ~~ E — F ~ '

auxquelles il faudra joindre la condition fi, — y,$ = o. On tire de là

7, = Ar, 8, = Y + Bo, = 8 = — C»

Y» +'Byp + AC»» = o.

ce qui nous donne les valeurs de* y» t« Yi« 'it

et par suite

— BdzS/B* — 4AC

Yi = A»,

B=bVB»— 4AC

les signes ± étant pris en même temps dans y et S,. II vient ensnit*

ir 9

ix*

et, en portant ces valeurs de p, p, « Tt Ti * ^« ^i ^^^^ ^^ dernière relation r^ — '^=^ Fv, il reste une équation linéaire pour déterminer Tincon-

nue auxiliaire v,

îy

& toute intégrale de cette équation correspondent deux transformations distinctes de Véquation proposée (54).

L*équation (55) est appelée Téquation adjointe de Téquation linéaire (54) ; elle exprime que le produit

V (Ar + B« + C/ -f- Dp + Ey + Fj-)

peut être mis sous la forme

^-^ iV

P et Q étant des fonctions de a?, y, z^ p^ q; on aurait pu récrire immé^ diatement en remarquant que le produit précédent doit Atre ég^ à

ix 3y

Dans le cas d*une équation linéaire de la forme de Laplace

« -|- ap -{- AjT +^ =^ o.

on doit faire A = C = o, B = 1, D =: a, E =s 6, F s c, et Téquaiton adjointe devient

Cette équation joue un grand rdie dans Tétude des équations linéairaei et nous renverrons le lecteur au chapitre iv du tome II de Touvragé

lirrtOftATlOll MM tQOATIOllS. — T. IL il '

de M. Darboux. Je rappellerai seulement la propriélé suivante qui so vérifie immédiatement; les invariants de Téquation adjointe sont les mêmes que ceux de Téquation proposée, pris dans Tordre inverse, de sorte que, si la suite de Laplace relative à Téquation (56) se termine d*un côté après un certain nombre d'opérations, la suite de Laplace relative à Téquation adjointe se termine dans Tautre sens après le même nombre d'opérations.

Revenons au problème proposé; dans le cas de Téquation réduite (36), si V| est une intégrale particulière de Téquation adjointe, on a pour p, Y, S, Pi 9 Yn ^1 ^^^^ systèmes de valeurs

de

p = -^ — bv„ p, = «r„ y=:y, =8=o. 8,=»,; P =7 — ^"v Pi = ""« "~ 7Û^* Y = — "p Y, = 8 = 8, = b, et la formule qui donne u a l'une des formes suivantes

d*où Ton déduit facilement que u vérifie une équation de même forme que z (*)•

199* Supposons maintenant que, dans les formules (53), y^i — 7i' soit dilTérent de zéro ; on peut alors résoudre ces équations par rapport

à T- et T-f et former la condition pour que l'élimination de z conduise

à une équation du second ordre' en ti. Cette condition peut s'obtenir très simplement comme il suit; si, en éliminant z^ on obtient une équatt(»n en u du second ordre, il est clair que cette équation doit admettre l'intégrale particulière u = <i>. A cette valeur de u correspond une valeur de ^, dépendant d'une constante arbitraire, qui doit satis* faire aux deux équations

Et

(>) Cet tranifor mations ont été indiquéei par M. Dorboax {ThéoHê générale dtê Surfaeu^ U II, p. 18t), ainsi que des transformations beaucoup plus générales.

il faut donc que la condilion d^intégrabilîté de ce système soit vérifiée identiquement. Cette condition est suffisante ; en eOet, soit z^ une inté* grale de ce système diflcrente de zéro : si on remplace z par xx^ les coefficients p et p^ de z disparaissent dans les nouvelles formules de transformation; on peut donc écrire les formules ^) sous la forme

oïl Y, S, Y|, S| n ont plus la même signification. Il est évident» d'après ces formules, qu'en éliminant z on arrivera à une équation du second ordre en ti.

Étant donnée une équation en z telle que (54), pour trouver toutes les transformations de Fespècc précédente que Ton peut appliquer à cette équation, il faut Tidenlifier avec Téquation obtenue par Félimination de u entre les deux relations (58).. Pour faciliter le calcul, nous ferons d'abord le changement de fonction inconnue ^r^ z^ x', et, en désignant par p', q\ r\ «', t' les dérivées de z\ et par P|, Ji, r|, «,, /| les dérivées de ^|, les deux équations à identifier sont les suivantes

(59) x,(Ar'+B«'+C0 + lDx,+îAjj,+Bî,)p'+(Br,+Bp, + 2Cî,)^

+ (Ar, + B», + C/, 4- Dp, + Ey, + F^,) *' = o.

il faut d*abord que z% soit une intégrale particulière de Téquation proposée (54) et, de plus, que Ton ait'

dt. 3t

Kzi

B*, — Oi ~ 2Ap, -f By, + D*, "~ Bp, + 2Cf , +Ejr,

= ôr-r-^r-VôT = ».

Oa en tire

Y, s= A*,», l, = y 4- B*,», %=z— Cr,»,

JMâ^m^imkutt'tm ■ r

' 1, "ifcifiM

'■■>■* hi f.a^^.^

et réliminalion de y conduit à une équation du second ordre en v

da?dy

îy

nous retrouvons encore Téquation adjointe de Téquation proposée. Connaissant o, on aura y par une quadrature, et on en déduira ensuite Yi, S, S|. Ainsi, pour pouvoir appliquer une transformation de la forme (58) à une équation linéaire donnée, il tuffii de connaître une intégrale particulière de t équation proposée et une intégrale particulière^ de Véquation adjointe.

A tout couple de solutions (^|, 0|) de Téquation proposée (54) et de son adjointe (55) correspondent encore une infinité de transformations difTcrentes, dépendant d'une constante arbitraire, car y est donné par une quadrature. Dans toutes les équations en u .que Ton peut ainsi déduire d*une équation linéaire donnée, les rapports des coefficients des dérivées du second ordre, senties mômes que les rapports des coefficients homologues dans Téquation en ^, de sorte que les caractéristiques sont les mêmes pour toutes ces équations. Si Ton suppose que les deux familles de caractéristiques de Téquation proposée sont distinctes, quand on ramène cette équation à la forme

' + «p + ftg + c^ = o.

par un changement de variables, Téquation en u prendra elle-même la forme

et les formules (58) seront remplacées par des formules analogues, où Ton aura S = yi = o. Si la suite de Laplace relative à Féquation se termine d*un côté après n transformations, il résulte d*un théorème rappelé plus haut (n* 181) que la suite de Laplace relative à Féquation (62) se terminera dans le même sens après n + * transformations au plus ; mais il peut se faire aussi que cette suite se termine après n tranaformations seulement, ou même après moins de n transformations (*)•

(>) On pourra coniulter sur ce lujet un Mémoire de M. R. Uoavina : € Sur les formel intégrablei dei équations linéaires da second ordre » {Journal dé tScoU polytechnique^ LVl* cahier, p. 1 ; iSStt).

Voir aussi le Mémoire déjà cité de M. Burgalti {Annatt di Uatemaliea^ t XXIll, S* série).

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soient z^ une intégrale particulière de cette équation et 0| une intégrale particulière de Téquation adjointe

on a

Yi = o, 5| = Y -|- riJTi, J = o.

et u est donné par une nouvelle quadrature

ce qui peut encore 8*écrire, en remplaçant t| par y -(* ^l'^i ^^ intégrant par parties.

Exemple, — Étant donnée une équation de la forme ' \

si ^1 est une intégrale particulière, r| = c-^ est une intégrale de r équation adjointe, comme cela résulte de Fidentité

il suffit donc de connaître deux intégrales particulières ou même une

s eule de Téquation (63) pour pouvoir en déduire une transformation de la /

forme (58).