Bornons-nous maintenant au cas d*une équation réduite I

(64) «4- ap + ftg-f-cjr=:o; |

»»- ^ -fc X

Ti't 1 r - * * ' '■'-- —■-*■» -

■^rmntrf' «m ■■> fg- -i , n,^

Posons

= iz Uc, — ^) dx — v^ {q + az) dy\

d'après ccqu*on a vu au paragraphe précédent, to salisfail à une équation linéaire de même forme que z^ dont y est une intégrale particulière W|, correspondante àTintégrale particulière r, de Véquation proposée, et la formule qui donne u peut s'écrire

u w^z — toz

— WZ,

la transformation par laquelle on passe de Téquation en ^ à Téquation en u est donc une combinaison de deux transformations déjà étudiées. A tout système de deux solutions particulières, Tune de Téquation en ^, Tautre de ré:|uation adjointe, correspondent, comme on Ta déjà remarqué, une infinité de transformations de Tespèce précédente, dépendant d*un paramètre arbitraire, puisque y ou te, dépend encore d*une constante arbitraire.

htant données deux équations linéaires telles que Ton passe de Tune à Fautre par une transformation de la forme

où, pour plus de symétrie, nous remplaçons y et t| par X et ji., soient (E)réquation en jr, (E)' son adjointe, (E|) Véquation en ti et (Ei') son adjointe. Les invariants de Téquation (E) ont pour valeurs

ÏX Vk

,i-X (X-Hi)

ces invariants ne changent pas quand 00 multiplie X et ji. par un môme facteur constant ou qu*on leur ajoute une même constante. Remarquons maintenant que, si Ton échange X et (&, ces deux invariants

ne font que s'échanger, et il en est évidemment de même pour les invà* riants de Téqualion en u. Donc, si dans les formules (66) on échange X et jA, les deux équations (E) et (E|) sont remplacées par deux équations respectivement équivalentes à leurs adjointes ; nous disons que deux équations sont équivalentes quand on passe de Tune à Tautre en multipliant la fonction inconnue par une fonction de x^ y, C9nvenabl6'ment choisie, c*est-à-dire quand elles ont les mêmes invariants. .

En particulier, si on suppose (i. = — X, les invariants de Téquation (E) ne changent pas quand on permute > et |«. ; elle est donc équivalente, à son adjointe, c'est-à-dire à ses invariants égaux. Il en est évidemment, de même de Téquation en u. Cette propriété est le point de départ des . belles recherches de M. Moutard sur les équations k invariants, égaux («).

La remarque qui précède conduit à une conséquence intéressante. Soit (E) une équation linéaire

* + ^P + *î + ^-^ = Oi

dont on connaît une intégrale particulière z^ ; soit de même v^ une intégrale particulière de Téquation adjointe (E)'.

En appliquant la transformation considérée qui correspond aux deux solutions -s^i, Tf, et en fixant la constante d*intégration qui entre dans X = Y, on parvient à une certaine équation (E|). Supposons maintenant que Ton applique la transformation à Féquation adjointe en échangeant le rùle des deux solutions z^^v^; la nouvelle valeur Y|de y est, comme le montre un calcul facile,

et on aura de même, pour la nouvelle valeur de tp

Yi '+ «^1^1 = — Y-

(>) MocTARD : « Recherches sur les équations aux dérivées partielies du second ordre à deux variahles indépendantes » {Comptes Rendue^ t LXX, p. 834 ; 1810) ; e Sur la

construction des équations de la forme - TZ^ ^ ^ ('« y)« 4^ admettent une intégrale

générale explicite s (Journal de VEcoU polytechnique^ XLY* cahier, ISTS).

Voir aussi le chapitre sur les équations à Invariants égaux dans le tome II de la Théorie générale de$ Sur/àcee de IL Darbonx,

&W»WC^^>««<

II» m'tm I T - • • ' '•* ^ •«- ■

■JiiiftTJfc* If

La nouvelle équation en u s'obtiendra donc en changeant X en ji. et ji. en X dans les formules (66) qui conduiraient à la première ; elle aura par conséquent les mêmes invariants que Tadjointe de la première. Ainsi, quand on échange les deux éqttalions (E), {E)\ ainsi que les deum intégrales '|, Vn les deux équations enu auxquelles on parvient sont telles que Vune d^ elles est équivalente à V adjointe de t autre.

Par exemple, si Téquation (E) est identique à son adjointe, et si on prend r| = jr|, les deux transformations sont absolument identiques et conduisent, par conséquent, à la même équation en u ; cette équation, devant être équivalente à son adjointe, a donc ses invariants égaux. Nous retrouvons, sous une autre forme, le théorème de M. Moutard. L*équaUon étant de la forme

soit jTi une intégrale particulière ; si on prend v^=z x^^ il vient

et, en prenant pour y Ift valeur — -^) il reste S| = -^* Les formules de

transformation deviennent alors, en remplaçant u par — ^

ce sont précisément les formules qui définissent la transformation de M* Moutard!

La proposition si curieuse de M. Moutard se trouve ainsi rattachée à une propriété générale de cette classe de transformations.

201. On peut se proposer, sur les transformations précédentes, un grand nombre de problèmes. Cherchons tous les cas où les deux équa-

ti ons que Ton ramène ainsi Tune à Tautre ont les mêmes invariants. Comme on peut multiplier les deux fonctions ti et jr par des fonctions

quelconques de «, y, sans changer les invariants des équations linéaires

. «l<.M*ll».JÏ.i&~'^ Ai

.■««fift »■■ at i

" *'* ^' **^ "-^ * 1^ t>^ > > '-^f VS -.to

correspondantes, on peut écrire les formules de transformations

(67) soient

>^ ■^-« 5y «^ Jy •

les équations (E) et (E|) ; on a

>-T- +«A-+*Â- = Ot AT* + <*• r* + ^« c = ^

ft =

et, pour que les invariants soient les mêmes, il faut et il suffit que Ton ait

Do? Da? dy ^

c'est-a-dire que Hi — a soit une fonction de y, et 6| — & une fonction de œ. On en déduit, pour X et pi, les relations

ce qui montre que X et ji. sont de la forme suivante

|i = Fi (a?) *! (y),

Ces conditions sont suffisantes ; on peut en effet écrire alors les formules (67)

9m vv ^^

ex VX

9w vv ^^

îy dy

X et Xi étant deux fonctions de x^ et Y, Y| deux fonctions de y, ou, en remplaçant z par ^r-y* jr, puis changeant X| en «?* et Y| en ^t

tMrf«> .j.Ci.'^ ^4 ..^ :>.r ift. ^— i^ ^i

-"»-«••'•-''*• *— -1 jj

ou encore

Les deux fonctions x et u| vérifîent une même équation du second ordre

xx; ao

cVc>y XX, — YY, ;^x ^ XX, — YY, ;)y

et, si Ton connaît Tune de ces intégrales, on aura la seconde au moyen d*une quadrature

^ = x;Y;jx-5:^''*"+Y5^''y'

étant donnée une équation de la forme (68), si Ton connaît une intégrale particulière, remploi répclé des for mules (G9) et (70) permettra, en général, de calculer une tnCnité d'autres intégrales de la même équation. J^*cquation (68) peut encore s'écrire

EtM

SI aucune des fonctions <ft (x), 4>,(y) ne se réduit à une constante, et qu'on prenne 4 {x) et ^| (y) pour nouvelles variables indépendantes, l'équation en prend la forme suivante

, + JLÙÛ.p4.±M.y = o; .

les équations de celte espèce ont été étudiées par M. Le Roux dans sa thèse (•).

202« Les transformations des équations du second ordre que nous venons d'étudier (n* 191 et suivants) appartiennent à une classe plus générale de transformations considérées par M. Bâcklund (*)• Étant

(>) Annales de tEcole Normale^ iSSS. .

(^) DXcKLuxo, € Zur Tlicorîe iler partienen Diffcrcntialgleichung erster OrdniiBg » {HaihemaiiMche AnnaUn^ t XVU ; iSSO) et « Zur Théorie der Kiachentninsfbrma* tlonen » (/^ftf., t. XIX ; I8SS).

nà.

jMMrfM**

1 f tpWÉwi bW irbrttif '1

données deux équations simultanées du premier ordre

OÙ z^ z' sont les deux fonctions inconnues, p' et q' les dérivées partielles de y, et un système d'intégrales

considérons les deux surfaces (S) et (S') représentées par ces deux équations respectivement. Si nous faisons correspondre les points de ces deux surfaces qui sont situés sur une même parallèle à Taxe des z, les équations proposées (71) établissent deux autres relations entre les éléments correspondants du premier ordre de ces deux surfaces. En généralisant la question, on est conduit au problème suivant, que s'est proposé M. Bâcklund : {S) el (S') désignant deux Murfaces dis^ tincles^ peut^on établir entre les points de ces deux surfaces une corres* pondance telle que les éléments correspondants du premier ordre des deux surfaces (x, y, z^ p, q) et {x\ y\ z\ p\ q') vérifient quatre relations distinctes données à C avance ?

Soient

ces quatre relations. Lorsque deux d'entre elles se réduisent k x' =ix^y' sz y,- on retombe sur un système de deux équations simultanées du premier ordre à deux fonctions inconnues, et on voit qu^aucune des deux surfaces (2) et(ZC')ne peut être choisie arbitrairement . Il en estde même dans le cas général. Si on suppose, en effet, que ^, x\ jf^ z' aient été exprimées en fonction des deux variables indépendantes a? et y, on déduit p' et q' des relations

et en remplaçant p'et^' par leurs valeurs tirées de ces formules dans les' équations (72), on est conduit à un système de quatre équations stmnl* tanées aux dérivées partielles du premier ordre , entre deux variables indépendantes x^ y, et quatre fonctions inconnues x^ x\ ff^ z\ L'élimination des trois inconnues x\ y\ z\ conduira donc à une ou plusieiirs

équations aux dérivées partielles auxquelles devra satisfaire z^ considérée comme fonction de x^ y. Ce sont ces équations qu'il s^agii de former* •

Nous supposerons que du système des quatre équations (72) on peut ti rer les valeurs de quatre des variables x\ y\ z\ p\ q\ en fonction de x^ y» f t Pf 9 et de la cinquième variable du même groupe; autrement, r élimination de x\}/^ z\ p\ q' conduirait à une ou plusieurs relations entre x^ y, z^ p, j, cas que nous écarterons. 11 peut encore se présenter deux cas ; si les équations (72) peuvent être résolues par rapport ip', 7' et deux des variables x\ y, z\ on peut supposer ces équations résolues par rapport k p\ q\ x\ y', car, si elles étaient résolues par rapport à p\ q\x\z\ par exemple, il suffirait de prendre x' et z' pour variables indépendantes et de regarder y' comme fonction inconnue de ces deux variables pour être ramené k ce cas. Si on ne se trouve dans aucun des cas précédents, on peut tirer des équations (72) x\ y\ z' en fonction de x^y^ z^ p, 9, et il reste une seule équation renfermantp'et q\

* («I yt i'i p. q ; »'• y\ ^\ p% çO = <> ;

on voit facilement que, dans ce cas particulier, qui est Tanalogue du cas traité plus haut (n* 191), z^ considérée comme fonction de x et dey, doit satisfaire à une équation du second ordre. En effet, des formules qui donnent o^, y, 1^,

(74) x' = f I (x,y,^,p,g), y' = 9i(«,y,T,p,î), z' = f i(aî,y,jrj>,j), on tire, en portant dans la relation dz' = p'dx' -j- q'dj/^

où

si on porte maintenant les valeurs de x\ y\ z\ p\ q\ déduites des formules (74) et (75) dans Téquation 4» = o, on est conduit k une équation du^ second ordre pour déterminer z comme fonction de x^ y. A toute surface (S) les formules (74) font correspondre une seule surface (£')•

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TR.ViNSFORMATIONS DES ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE 285

Prenons le cas général où les équations (72) peuvent être résolues par rapport à x\ y^, p\ ç',

en remplaçant a7\ y', p^ 9' par /*|, /*|, /,« /i dans la relation da' = pVo/ -{* 9^V'^ ^^ arrive à une équation aux différentielles totales

(76) Prfy + Qrfjp-f Rrfy = o,

où P, Q, R sont des fonclipns de x^ y, z^ ^, p, 9, r, <, I. De plus, les dérivées du second ordre r,«, /ne figurent que dans Q et R et y entrent linéairement; en formant la condition dlntégrabilité de cette équation

on vérifie aisément que les dérivées partielles du troisième ordre de s^ disparaissent, et F est linéaire en r, #, /, ri — s^. Il peut encore se présenter deux cas :

1* Si Téquation F = o contient s\ en écrivant que cette valeur de x' vérifie Téquation aux différentielles totales (76), on est conduit à deux équations simultanées du troisième ordre pour s. Toute intégrale de ces deux équations donnera une surface (S), à laquelle correspondra une seule surface (S');

2* Si Téquation F = o ne contient pas z\ on a, pour déterminer jt, une teuîe équation du second ordre linéaire en r, #, /, ri — t*. Toute intégrale de cette équation donnera une surface (S)« et il lui correspondra une infinité de surfaces (S'), dépendant d*une constante arbitraire, qui s*obtiendraient par Tintégration de Téquation aux différentielles toUles (76).

203. Pratiquement, il n'est pas nécessaire de résoudre les équations (72) par rapport à p\ q\ x\ y\ et on peut obtenir la condition d*intégrabilité (77) par un procédé plus élégant('). En différentiant l^s équations proposées (72), il vient

(i) Dasboox, fhiùrU générale dee SurfaeeÊ^ t III, p, 439 et tulv.

«•«••"^ '•• »-«.-«•«■«?■=»•—<**.«•>*••» * ^ jkij M •«»^«*«**' ' i .♦— «.«.t I Ml >•"« .-^«'«'.i^ . i>*> '^«'«^wvrfM' ..BkanCMvX .«^ «^# M- f - ■■ mU '^îtm ^iffmiti ^.a "* t^n it TVr* *-'^' ^'''^• ^'■•-'^ rl'^'r'i CtlO 'Jt

ces équations, résolues par rapport à iLl\ dy^ dp\ dq\ nous donnent pour dp' et cKgr' des résultats delà forme suivante

Udq' = Ldx' + Mc/y',

où H, IC, L« M« N sont des fonctions linéaires de r, *, /, ri — s*. Pour que p' et / soient les dérivées partielles d'une même fonction inconnue par rapport à x' et j/, il faut évidemment que Ton ait K = L. En développant les calculs, on arrive à la condition suivante, qui a été donnée par M. Bâcklund,

OÙ on a posé

et où le crochet [F<F>] a le sens habituel

L^DScmble des cinq équations (72) et (78) forme un système équiva lent aux équations (72)et(77). Si on peut résoudre ces cinq équations par rapport à x', y, x\ p', q\ en écrivant que les valeurs trouvées satis» font à la relation

ils' = p'dx' + q'dj/',

on est conduit à deux équations du troisième ordre en ^ ; si on peut éliminer x\ j/, y, p\ q\ ce qui arrivera si, en tirant quatre de ces variables des relations (72) et les portant dans la condition (78)» la cinquième variable du ménie groupe disparait du résultat, on trpuTiO pour ji une seule équation du second ordre linéaire en r, «» I, ri -7- «*. -

204. On voit doQC que, sous certaines conditions que nous venons de préciser, on déduira des équations (72) une eeule équation du second ordre pour déterminer x comme fonction de œ^ y. Cela peut arriver dans deux circonstances différentes, qui se distinguent de la façon

>■» *^irafc» <na I >*■» fc ifcjia». fcV ^.^^^.^jy ^..^^ « • « *. . *1MI fciiiW

205« En dehors des cas examinés plus haut (n* 191 et 8uivanU)i on n*a étudié jusqu'ici qu'un petit nombre d'exemples de la transformation générale. M. Backlund a appliqué sa théorie & la recherche de deux surfaces (S), (S'), se correspondant de telle façon que la distance de deux points correspondants M, M' soit constante, et que les deux plans

suivante : dans un cas, à une surface (S) correspond une seule surface (S'} qui se réduit de (S) sans aucune intégration; dans Fautre cas, à une surface (S) correspondent une infinité de surfaces (S'), dépendant d'une constante arbitraire, qui s'obtiennent par Fintégration d'une équation aux diflerentielles totales.

Les deux circonstances s*étaient déjà présentées dans la discussion du système (29) (n* 194).

Lorsqu'on trouve aussi pour s' une équation du second ordre, on a obtenu de cette façon deux équations du second ordre, en général très diiïérentes Tune de Tautre, telles que l'intégration de Tune conduit à celle deFautre, et la transformation définie par les formules (72) s'appelle une transformation de Backlund, Remarquons que, lorsqu'à une surface (S) correspondent une infinité de surfaces (£'), dépendant d'une constante arbitraire, l'équation du second ordre en z est une équation de Monge-Ampère. Lorsqu'à une surface (S) correspond une seule surface (S'), on voit aisément que l'équation qui définit jr représente, quand on y considère x^ y, ^, p, q comme des paramètres et r, «, I comme des coordonnées courantes, une surface réglée ayant pour cdne directeur le cône s'— r/=o.En eflet, avec ces conventions, lesrelations (75)repré- ;

sentent bien une droite parallèle à une génératrice de ce cdne, cette '

droite dépendant de deux paramètres p' et ^' liés par la relation (73). L 'élimination de p' et de q' conduira donc à l'équation d'une surface réglée. Une équation du second ordre procenatii cTune transformaiion !

de Backlund admet donc au moins un système de caractirisiiques dis prefnier ordre. j

Remarque. — Si l'on se donne a priori les fonctions F|, F,, F„ F|, . - •

les formules (72) no définissent pas, en général, une transformation de Bûcklund entre deux équations du second ordre. Mais il est facile d'en former autant qu'on voudra ; il suffira, par exemple, de prendre pour Fi, Fj, F,, F4 des fonctions où ne figurent pas une des trois variables - t

^« Vi ^^ sinsi qu'une des trois variables x\ y\ x\ En eflet, l'élimination . i

de p\ q' et des deux variables {x\ y)^ ou \x\ x')^ ou (y^, ^^ entre les cinq \

équations (72) et (77), conduira dans ce cas à une seule équation du second ordre en x^y^ 2\ et on trouvera de même une seule équation du ' second ordre en x\ y\x\^

tangents en M el en M' passent par la droite MM' et fassent un angle constant (*), M. Darboux a ensuite généralisé le problème, en cherchant les couples de surfaces se correspondant de telle façon que les plans tangents en M, M' et la droite MM' forment un système invariable ; ce qui conduit à des surfaces parallèles à des surfaces à courbure constante ou à des surfaces minima. On doit à M. E. Cosserat (^) un autre exemple remarquable, qui se rattache à la théorie de la déformation des surfaces. Considérons la transformation définie par les quatre équations

^^^ î , ^' + (^ - yYpç aïo

où w est une fonction donnée des seules variables x\ y'. Ces formules définissent bien une transformation de Bâcklund, car elles no contiennent pas z\ et, si Ton prend pour variables x^z=zx—y et y, = a? -J-y à la place de x et y, la lettre y, n'y figurera pas non plus.

Pour former Féquatioii du second ordre en z\ remarquons qu'on tire des équations (79)

p+,= \/»--wg+î.-^- v-i=i-P' g.. -y=| - g. i

si, dans la relation

ck = IKte + çdy =fi^ rffa? + y) +^-2"^ rf(« — y)»

on remplace ^, p + ?f p — Ç, à? — y par leurs expressions, il reste Téquation aux différentielles totales ,

dx'V

=IVV»-lpV§+v^rf(* + y).

(1) BXcsumD, € Om ytar med konitant ncgatlr krOkning » \Jsumd9 Uni99r$iUtê Anskrifi, t. XIX ; iStS).

{*) GossKiuT (Ecoftsn), € Sar la dérormatlon de certains parabololdes et sur le théorème de M. Woingarten » (Comptée Rendue, t. CXXIV, p. 741-74I; avril, im).

,- '- » V « .. f— if •■■^, ■ i-.|

iK * «a • rt ?*tt'f •^'-iir rf^ •; .-' ~"i^ r ♦** ^-'' * '•-

qui définit x -^ y en fonction de a?', y\ En écrivant la condition d*inté^ grabilitc, on est conduit à une équation du second ordre définissant jc^ en fonction de x\ y\ et on trouve qu'elle est identique i Téquation bien connue à laquelle satisfait le résultat de la substitution, dans le premier membre de Téquation d*un plan isotrope, des coordonnées cartésiennes rectangulaires d*un point d*une surface dont Télément linéaire est déterminé par l'équation

rfi» = du} + î^ rftfrfc + 2^ rfi?\

où u et o désignent les variables indépendantes af tiff (*)•

Pour obtenir l'équation du second ordre en x^ on tirera des équations (79) les valeurs de «', y'» p', g'

^ ' CZ ^ Vp ^ X — V X — V '^ ^

où on a posé

et où f est une fonction des seules variables x et p. En portant ces valeurs de x\ y\ p\ q' dans la relation rfj^ = p'dx' + ^'<(/i ©l écrivant la condition d^intégrabilité, on obtient pour z Féquiation du second ordre

(82) où on a posé

Hr + 2K* 4- U -J-M + N (rt — «») = o,

Cette dernière équation peut se ramener à Téquation considérée par

M. Weingarten par une transformation de contact. Si Ton considérai en

(1) O. noTxn^ Journal de t École polytechnique^ XLII* cahier; l>Aiiiovx, Théotiê générale dee Surfacee^ t. 111, p« SSl. : . . '

«TtORAnOSI DIS iQCATUUrt, ~ T. il. :. . w if ,

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î»0 CHAPITRE IX

elTet, la surface-enveloppe du plan .

(1 — œy) X + t (l -f xy) Y + (a? + y) Z — (a? — y) -r = o,

où X, Y« Z sont les coordonnées courantes e( où s désigne une solution de Téquation (82), on trouve pour ces surfaces Téquation aux dérivées partielles