ÎL3P (^'A. J

dont M. Wçingarten (*) a fait dépendre la recherche des surfaces admettant Télément linéaire donné par la formulé (80); p^p'' sont les rayons de courbure principaux, p est la distance de Torigine au plan tangent, et q la moitié du carré de la distance de Torigine à un point de la surface.

Si Ton considère, de mémei la transformation définie par les quatre équations

elle conduit pour ^ à la même équation (82) que la précédente ; z' est également définie par une équation aux dérivées partielles du second ordre, qui n'est autre que Téquation connue, à laquelle satisfont les coordonnées cartésiennes rectangulaires d^un point d'une surface dont rélément linéaire est défini par Téquation (80). L'équation de M. Wein» garten se trouve ainsi reliée aux équations établies par 0. Bonnet et par Bour dans le problème de la déformation.

206. Étant données deux équations du second ordre (E), (B') qui se déduisent Tune de l'autre par une transformation de Bâcklund, et deux surfaces intégrales correspondantes (S), (S'), les caractéristiques se correspondent sur les deux surfaces.

Prenons d'abord le cas où à la surface (S) correspond une seule surface (S*), dont les coordonnées 8*exprimeni en fonction de œ^y^ x^ jp, q par les formules

(84) of=ff^{œ,y,z,p,q), •=?a(«i».^,p,y)i ^ = ?i(a,y,^il>iy).

(I) 'WBnrâASTn. « Sur la théorie des turfaeet applicables » {Cmnpteê Rendue^ t CXII, p. 601 et 106; it9l}.

f«i^x«:-»4 ■,«. ^ »<— «>*—•— .tA«-^>>.fcj«>

>ii»*^ .aii..r'.j^-.—u*«. J>«k iij

Soit (r) une caractéristique de la surface (S), et [V) la courbe correspondante de (S^. Des formules (84) on déduit les valeurs de p\ q' en fonction de œ^ y, z^ p, 9, r, t^ ^ et, d*une manière générale, les dérivées partielles d'ordre n de s' par rapport à â/ et y' s^expriment au moyen de x^ y, Ji et des dérivées partielles de x par rapport à a? et y josqu^à celles d'ordre n -\- i inclusivement. Or, la courbe (r) étant une caracté* ristique de la surface (S), il existe une infinité d*intégprales de Téquation (E) ayant un contact d'ordre m avec la surface (S) le long de la courbe (F), aussi grand que soit le nombre entier m. A chacune de ces intégrales correspond une intégrale de Téquation (E') ayaiit un contact d'ordre m — 1 avec la surface (S') le long de (P'), ce qui prouve que cette courbe (P^ est bien une caractéristique.

Lorsqu*à une surface (S) correspondent une infinité de surfaces (IT), ces surfaces s'obtiennent (n* 202) par Tintégration d'une équation aux dif* férentielles totales

Pdz' + QJx + IWy = o,

où P, Q, R sont des fonctions de 4P, y, jt, j/, p, 9, r, «, I, et il suffit de se donner la valeur s^' de jg^ qui correspond à un point particulier (x^j y«« '%) de (£) pour que la surface (£*) soit complètement délermi* née. Soit (P) une caractéristique de (S); comme le point (x^^ y^» s^ est arbitraire, nous pouvons supposer que cette caractéristique passe parle point (âp^, y^, z^). La courbe (V) correspondante de la surface (S') s*obtiendra en intégrant une équation différentielle du premier ordre

ds" = f {x, s*) dx^

que Ton formera en remplaçant dans Péqualion (85) x^ y, jr, p, q^ r, «, I, par leurs valeurs en fonction de x le long de (P), et en se servant en outre des formules qui donnent â/, y^, p\ q en fonction de», y, jr,p, 9, x* (p. 285). Remarquons que cette courbe (P'), ainsi que le plan tangent en chaque point, ne dépend que des valeurs de x^ y, x^ p, 9, r, «, I le long de (P) et de la constante d'intégration sf^.

A toute intégrale de l'équation (E) ayant un contact du second ordre avec (S) le long de (P) correspond, par conséquent, une intégrale de l'équation (E*) ayant un contact du premier ordre avec (S') le long de (P') ; on en conclut, comme tout à l'heure, que la courbe (P^ est une caractéristiqne.

Le même raisonnement prouve que, si Ton sait résoudre le problème de Cauchy pour Tune des deux équations (B), (B'), on saura aussi le résoudre pour la seconde.

I *-n>^.l^«< "wt î .' ■m , ^ ■ ^*y^.

*^—^ • - »■• w ^^.jj»» ««^ ,4, ^9 »wvrf*«. w ■•%» «ite«> .

>«<«^*. .'fc^-'a. iSi* • â 1 jû-kAi %Jc.!.^-.

Si Tune des deu3c équations est intcgrable par la méthode de M. Darboux, il résulte d*une proposition générale déjà établie (n* 182) qu'il en est de même de la seconde. Mais il est à remarquer que les invariants des deux équations ne sont pas nécessairement du même ordre. Ainsi, étant donnée une équation linéaire intégrable par la méthode de Laplace, une suite de transformations de Laplace, c'est-à-dire de transformations de Bâcklund particulières, permet de la ramener.à une équation qui admet deux invariants du premier ordre, pour un même système de caractéristiques. Le même fait a lieu aussi pour Féquation de M. Beudon (n* 192). On peut encore ajouter la remarque suivante : Étant donnée une équation linéaire pour laquelle la suite de Laplace est terminée dans les deux sens, l'application de la transformation de Laplace diminue Tordre d'un invariant d'une unité, mais augmente d'une unité l'ordre d'un invariant de l'autre système de caractéristiques. Il existe aussi des transformations qui permettent de diminuer l'ordre d'un invariant dans chacun des systèmes. Ainsi, étant donnée une équation à invariants égaux « = X (r9, y)^, pour laquelle la suite de Laplace est limitée dan^ les deux sens, une suite de transformations de M. Moutard permet de la ramener à l'équation élémentaire t = o.

11 serait intéressant d'examiner si ces propriétés ne peuvent pas être rattachées à une théorie générale, et de rechercher à quelles conditions une équation intégrable par la méthode de ^L Darboux peut être rame* née, par une suite de transformations de Bâcklund, à une équation intégrable par la méthode de Monge.

207. Les transformations de Bâcklund ne sont pas les plus générales que nous ayons eu l'occasion d'appliquer. Ainsi nous avons vu (ni®* 187- 188) que l'équation

se ramène à l'équation

(»') V3 + X, 53;^ + X,tl H- 5;^ + ^ 57^ .f -5J7 ;ç;3;^^ ^ = o.

iafl

ijf iq^y ^ is 5«Jy "^ ^i 5y^

en posant 9 = u. La transformation précédente n'est pas une trans* formation de Bâcklund, puisque les intégrales de l'équation en s qoi correspondent à une intégrale de l'équation en u dépendent de deux constantes arbitraires. Ce n'est pas non plus, au moins en général, une combinaison de transformations de Bâcklund, puisque toute équation

-u^-^- ^ ii II I u a » f m M* . s^-i*t^ , ^tit ,it m-i *0,am twf t tFnmm m e ieamtai « tr rr'^r% i. £tr . riti » 't «.*<*^0^au 'K'k , ^^

provenant d*une pareille transformation doit représenter, quand on regarde r, «, / comme des coordonnées courantes, une surface réglée ayant ses génératrices parallèles à celles du cône t* — K == o ; ce qui n*a pas lieu évidemment pour Téquation (86), si la fonction F est quelconque.

On peut remplacer Téquation (86) par un système de trois équations du premier ordre à trois inconnues, analogue au système (29),

( Il + ^'•' + ^«^ + p (*' y- •'• "• îi' ^) = *•

Si on élimine v et u, on retrouve Tcquation (86), tandis que Télimina* tion de v et de ^ conduit a Tcquation (87).

Ceci nous conduit à envisager d'une manière encore plus générale les transformations des équations du second ordre. Considérons un sys* tème de m équations du premier ordre

(89) F, =o, Ft = o, F« = o, ^

entre deux variables indépendantes a?, ^ et n fonctions inconnues jt^ jr^, •••» 'a (^ — ^^)* L'élimination de toutes les fonctions inconnues, sauf Tune d'elles, conduira en général à plusieurs équations simultanées pour déterminer la dernière. Imaginons que toutes les dérivées partielles de ^t^ ^s ••M'^A puissent, au moyen des équations (89) et de celles qu'on en déduit en les diiïérenliant, s'exprimer, à partir d'un certain ordre, au moyen des dérivées partielles d'ordre inférieur et des dérivées partielles de ^|. Si, en écrivant les conditions d'intégrabilité» on est conduit à une seule équation du second ordre en x^

l'intégration du système (89) est ramenée à l'intégration de l'équation (90). A toute intégrale de cette équation correspondent des intégrales du système (89), dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires, qui s'obtiennent par l'intégration d*un système d'équations différentielles ordinaires. Maintenant, il peut se faire que cette réduû- Uon du système (89) à une équation du second ordre puisse être effectuée de plusieurs façons essentiellement distinctes. Par exemple^ imaginons qu*après avoir effectué au besoin un changement Aê

•• .»•- >• » •-.,. •-■'>' ^ .^t, i» ^a> VWd «».v.^.««.«%l it40in> .• «.«M ^^'

-»-«^. V »■,-*■' • v<rf • • -.»■- 1 w ro-w ,

variables dans les équations (89) réliminaiion de n — i des inconnues nouvelles conduise, pour la dernière inconnue, à une équation du second ordre

on a ainsi établi, entre les deux équations (90) et (91), une correspondance telle que l'intégration de Tune entraine celle de Tautre. D'une façon plus précise, à toute intégrale de Tune d'elles coriespondent des intégrales de Tautre dépendant d*un nombre fini de constantes arbitraires et s'obtenant par l'intégration d'un système d*équations diiTérentielles ordinaires. Si Tune des deux équations est intégrable par la méthode de M. Darboux, il en est de même de la seconde (n®182). 11 est clair que toutes les transformations que nous avons étudiées ne sont que des cas très particuliers de la transformation générale qui vient d'être définie.

Les transformations dont il s'agit constituent un moyen de recherches beaucoup plus puissant que les transformations de contact. Nous avons déjà fait observer qu'on pouvait, dans certains cas, ramener ainsi une équation, intégrable par la méthode de M. Darboux, a une équation intégrable par la méthode de Monge. Mais ces transformations s'appliquent aussi avec avantage aux équations non intégrables, au moins dans certains cas, en permettant de les ramener à une forme canonique. Par exemple, étant donnée une équation du second ordre linéaire par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées

Ar 4- ÎB# 4- C/ + Dp 4- Eî.+ Fjr = o,

cette équation admet toujours un groupe d'ordre infini de transformations de contact, car, si on remplace z par z -\- z^^ z^ étant une intégrale particulière quelconque, l'équation ne change pas. Il en est évidemment de même de toute équation du second ordre qui se déduit d'une équation linéaire par une transformation de contact. Une condition nécessaire pour qu'une équation du second ordre puisse être rame* née à une équation linéaire par une transformation de contact est donc la suivante : cette équation doit se reproduire par une infinité de transformations de contact, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. Mais, si l'on emploie des transformations de Bfickland oa des transformations plus générales, cette condition n'est plus nécessaire. Ainsi, nous avons pu ramener à une équation linéaire réquÀ» tion «* = 4Xp9, et il est facile de voir que les transformations de oon*.

.■-<*.*» \;^-iimim:, r. <■

■*.<ia..-., . ■*.«'/-., .■»,/-^.>-«u.j>->. .^yy^y^j .^^j

tact qui reproduisent cette équation ne dépendent que d*un nombre fini de constantes, lorsque \ n*est pas nul. (Note de la page 196.)

Prenons encore l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courbure totale constante. M. Sophus Lie a, démontré que les transformations de contact qu'admet cette équation ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres; il est donc impossible de ramener cette équation aune équation linéaire par une transformation de contact. Mais rien ne nous permet jusqu'ici d'affirmer qu'une transformation de Bficklund, par exemple, ne permettrait pas <le la ramener- i une équation linéaire.

On a pu voir, par cet exposé rapide, combien nous sommes loin de posséder une théorie vraiment générale de ce sujet, et combien de questions encore obscures restent à élucider. Je n'ai pu qu'indiquer sommairement l'état actuel de nos connaissances sur ce sujet difficile.

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES

Problème de Caucliy poor une équation d'ordre n. — Caractéristiques d^ordre n et d'ordre supérieur. — Extension des théorèmes établis pour le second ordres — Caractéristiques d'ordre n — 1. — Équations linéaires. — Équations de NatanL — Généralisation de la méthode de M. Darboux. — Systèmes du premier ordre à n inconnues. — Caractéristiques du premier ordre. — Extension de la méthode de Monge. — Systèmes singuliers. — Équations de Jacobi. — Systèmes linéaires. — Caractéristiques d'ordre nul. — Caractéristiques d'ordre supérieur. — Généralités sur les équations à plus de deux Tarisibles indépendantes.

208* La notion de caractéristiques s'étend sans difficulté aux équations d'ordre supérieur ou aux systèmes d'un nombre quelconque d'équations, pour\'u que le nombre des variables indépendantes soit égal à deux. La méthode d'intégration de M. Darboux, qui repose sur la -théorie des caractéristiques, s'étend aussi, comme on peut le prévoir, sans autre difliculté que la complication croissante des calculs. Pour plus de netteté, je me borne, dans ce chapitre, à deux cas particulièrement importants, celui d'une équation unique d'ordre n et celui d'un système de n équations du premier ordre à n inconnues. M. Hamburger a consacré à cotte étude deux importants Mémoires (*); la marche que j'ai adoptée est tout à fait difleronte de celle suivie par ce géomètre et me paraît plus

(>) Zwr Théorie der ïnîegraîion emeêSytîemt von n UnearenpaHiellen Di'fferentiûlglei* chungen ereler Ordnung mit sirfi unahhùngigen und n ahhSngigen VerSnderlichen (Journal de Crelle, L LXXXI, p. 243-2M).

Zur Théorie der tniegraiion einee Sgeiemê von n niehl linearen partielUn IHyff-' rtntialgleiehungen ersier Ordnung mit iret unabhângigen und n ahhSngigen F«HbiderUehen (CrcUe, t. Xail, p. IS^ÎU).

Je n'ai pu utiliser pour la rédacUon de ce chapitre deux mémoires récents da M. B. vonWeber (MalhemaiiêcheAnnalen, t. XLIX ei Journal deCrelle, t. CXVlIIJdont Jo n*ai eu connaissance qu'au moment de la correction des épreuves.

naturelle et plus féconde. Le point de départ est toujours le problème de Cauchy, ou le problème analogue, qui conduit immédiatement à la définition des multiplicités d^éléments, pour lesquelles ce problème n^admet plus une solution unique, c*est-à-dire à la définition des caractéristiques.

Étant donnée une équation aux dérivées partielles d*ordre n

(I) F (or, y, jr, p,,^, p^ |, ..., p,,^, P*-i,o — » P#.0 = o, *

le problème de Cauchy généralisé consiste a déterminer une intégrale de cette équation admettant tous les éléments d*une orientation d^ordre n — i donnée, et régulière dans le voisinage de Tun de ces éléments. En d'autres termes, supposons que rr, y, ^, P| ^, p^,,, ..., et toutes les dérivées partielles jusqu'à celles d'ordre n — i inclusivement soient des fonctions connues d'une variable auxiliaire X:

(2)ar = X(X), y=Y(X), x = Z{X), p,.*=R/.*(X),(»-+*:^n-l), ces fonctions satisfaisant aux conditions

rfZ = R,..dX + R^irfY, dRiit = R/+,.i rfX + R/,*+. rfY, (i+A^n-2);

il s'agit de déterminer une intégrale (S} de l'équation (1), passant par la courbe (C) représentée par les formules

et telle en outre que les dérivées partielles de x par rapport à o; et à y, jusqu'à celles d'ordre n — i inclusivement, aient en chaque point de. la courbe (C) les valeurs données par les formules (2).

Les n -|- i dérivées d'ordre n de la fonction inconnue en un point de la courbe (C) doivent satisfaire à l'équation proposée et aux n relations linéaires

rfp.-i,t=Pi«^ dx +p„|,| rfy,

rfPi,«-i=P«^-i d» + Pi.» rfy ;

ces n -f- i équaUons déterminent, en général, un ou plusieurs systèmes de valeurs pour les n + 1 dérivées p«,oi JP«-i.o .-• Pm* Prenons un de ces systèmes en particulier et proposons-nous de calculer ensailo lat

CÉNÉRALISATIONS DIVERSES 297 l

• «•.«.• &,>iMfM«,

-■>*•..*-..».■. Ji...- JS-^wx,».-^ >-^-.^ ^.-Jt.V.tVW *»^».-^r«.-.*ir..-i««6.'ttl-,

valeurs des dérivées d*ordren -f- i pour le même point de la courbe (C). Ces dérivées salisfonti d*une part, aux deux équations obtenues en différentiant Téquation proposée par rapport à a; et par rapport à y^ d'autre part aux n relations

les différentielles se rapportant toujours à un déplacement le long de la courbe (C). On a ainsi, pour déterminer les n -}- 2 inconnues, P«+i.O) ••• Pd.« + i9 u^ système de n -|-2 équations du premier degré où le déterminant des cocflicients a pour expression

dx*

» «.• idxdy

dx*

dy* 'iilxdy

fJx^

^idxdy dy^

en posant

/it

En développant ce déterminant, on obtient un polynôme homogène de degré in en dx^ dy^ où le coefficient do c/y''* est (Pff,o)^ » â*Autre part, si on multiplie tous les termes de la première colonne par (/y*****, ceux de la seconde par — dxdy*^^ ceux de la troisième par dx^dy^^^y ...i ceux de la dernière par ( — l)'*"* dx'*^^] puisqu'on ajoute, on reconnaît que ce déterminant est divisible par

(P*,arfy - P«-,.|rf??rfy— « + ... ± Po.i.cto*)^

il est donc égal à ce polynôme, puisque les coefficients de dy^^ sont lee mêmes. Si rexpression

H = P,.,dy — P,,.,<terfy— « + ... ± P,yto»

n*cst pas nulle, on aura donc pour les dérivées d^ordre n -f* 1 ud système unique de valeurs, et, en procédant comme au n* 16, on démontrera que toutes les dérivées suivantes sont aussi déterminées^

m-^ «■« ■•«■■■■tin »*U ^ C .'fc'^'

r 9h.>:. ^ IJt Ic^ . ^Â.,.Yii«^ :^. -4iSkiitf -cviLlk%

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES

saus ambigullé. Pour établir la convergence du développement en série cnlière ainsi formé, on procède encore comme au n* 17, en effectuant une transformation ponctuelle de façon à ramener la courbe (C) à une courbe plane située dans un plan parallèle au plan des yz ; le théorème à démontrer n*est plus alors qu'un cas particulier du théorème classique de Cauchy. On voit donc qu*en général une orientation d'éléments d'ordre n — i donnée détermine des systèmes formés de une ou plusieurs intégrales de Téquation d'ordre n, et que, s'il existe plusieurs intégrales, elles n'ont qu'un contact d'ordre n — l le long de la courbe (C). Mais le raisonnement ne s'applique plus, lorsque le polynôme H est nul, et nous sommes ainsi conduits à étendre aux équations d'ordre n la notion si importante des multiplicités caractéristiques.

209. Sur une surface intégrale (S) de l'équation proposée, considérons les courbes définies par l'équation différentielle du premier ordre

W Pn..dtr — P*-,.,rf«€/y*-« + P^-,.,rfa7Vy«-* — ... ± P^dx'^ = o,

où on suppose que z et ses dérivées partielles ont été exprimées en ' fonction des variables indépendantes a? et y. Par chaque point de la surface (S), il passe en général n courbes distinctes de cette espèce ; nous appellerons caractéristique de l'équation (i) la suite simplement infinie d'éléments d'ordre n de la surface (S) le long de l'une de ces courbes. On peut, sans connaître la surface (S), ajouter à l'équation (4) une autre relation indépendante de l'intégrale considérée. Le long d'une caractéristique on a, en effet,

dpm^ ^Pn^i.%dx +Pm.^dy, rfp«-i,i = Pm. %dx -|- p»-|.jrfy,

dp^m = Pu»dx -|- Pt,«+|c/y,

et on en tire, en supposant que djo n'est pas nul pour cette caractéristique,

Pu» — ^^ /'f,»f • ^^'

cbo

dp,,m^, dp^^ d^. fdjA^

'«•-•-~dto ~ dx ^^'•••*« W'

'^•"«- dx dm dx^ dx Vas; ''^•^« W

■** * ". "TV -~ • '»■ t"»' '••'■"*'• — w»....rfv». rf^ .^«« .-^-«t.'kM»» «■.«a^,«> •.,<.« ^*J« wa*. WxÉiWL -*^>i- -r<-rj' n ■ r-ViHf .J^.l j»u

k*kJUK.1ik%

Transportons ces valeurs de Pi.*, p^n-ii ...« Pn+i.# d^ûs les deux relations

( (^ + P«.»P- + ..« + P— mP-.! + - + P«.«Pl.« = O».

I (^j + P-.oP«.i + p.- mP— I.. + - + Po.«Pa.-+i = o;

il reste, en tenant compte de la condition (4)»

(|)*^+'-(g>-.--'-(âK»+--+(-')-*.(fK=o.

en posant, pour abréger,

A (X) = P,.,X- - P.-,.,X»-« + P^-mX-» ... + (- 1)» P^„ A, (X) = P,^X-« P,,.,X»-» + P.-„X-» ... -h (- l)—P,^-„

A«-| (X) = P|i.oX — P«-M»

Par la suite, nous appellerons caractéristique toute suite simplement infinie d'éléments d*ordre n vérifiant les équations

F = o, dz=z p^^dx + Po.irfy» rfy = ^^^'f

où X est une racine de Téquation A (X) = o. Une équation d^ordre n possède, en général, n systèmes distincts de caractéristiques, correspondant aux n racines de A (X) = o.

Les *^^ ^ ' + * équations (6) se réduisent en réalité à ''^J' ' -f" ^ équations distinctes, car on obtient cfF = o en combinant les deux

dernières relations. 11 y figure en tout '^ • a ^ ' + * variables,

de sorte qu*on a n variables de plus que d*équations ; une caractéristique dépend donc de n — 1 fonctions arbitraires d*anê variable.

iM iBrtr -j- if^""'*' ■ -^ ■'

iT— > lïfcT'ftiiî^'iiifi

GÉI«|ÉRALISATIONS DIVERSES

Pour simplifier rexposition, nous supposerons que Téqualion aux dérivées partielles proposée est résolue par rapport à la dérivée pj,,^, ce qui ne diminue pas la généralité des résultats. Soit

(7) P»\ê + f[^j y» ^1 Pi.o» P#.i» — î P»-i.i» — » P«.«) = ^

cette équation ; en la différentiant un nombre quelconque de fois par rapport à a? et à y, on pourra exprimer toutes les dérivées partielles de z au moyen des dérivées p/jt« où Tindice. t ne dépasse pas n — i. Nous supposerons, dans la suite, qu*on n*a laissé que ces dérivées dans les formules. Les caractéristiques sont alors définies par les équations

dPuk = P/+ i.*«to + Pi.k+tdjft (i + A ^ n — 1),

X étant une racine de Téquatton caraclérUtiqoe

où

^PiJt

On peut aussi considérer la suite des valeurs prises par toutes les dérivées partielles jusqu'à un certain ordre le long d'une caractéri»tique, et définir des caractéristiques d'un ordre quelconque supérieur k n. En opérant comme tout à l'heure, on voit que les caractéristiques d'ordre n -{• h sont définies par les équations

rfy = X«to, dx=p^^dx-\' p^^^ (10) ('*'■* = 1"+ ••*<*" + Pa* Mrfy. (f 4. Â 2 n + A - i)*

auxquelles il faut joindre les relations qui permettent d'exprimer toutes les dérivées où Tindice » est supérieur à n -7- 1 en fonction des autres. On remarquera qn*il y a toujours n équations de moins que de variables. ."

Toute caractéristique d'ordre n -)- A -f- i renferme une caractéristique d'ordre n -)* A, et une caractéristique donnée d^ordre n -f- A appartient, en général, à une infinité de caractéristiques d^ordre

' »»«mr^»^ •.Mtma-^Jka^i^ i

lâ«i » '*'S' TiM x»J. ^f|>.

n -f- * + *» dépendant d'une constante arbitraire. Démontrons-lc, par exemple, pour h = o. Les dérivées jusqu'à celles d'ordre n inclusivement étant supposées des fonctions connues d'un paramètre, on a, pour déterminer les dérivées d'ordre n -f- i« les relations

4»i,« =Pi,«A»+Pi,ji+|rfy-

On tire de ces dernières :

«. ^P4.ll-f ^Pû.ll

Pi.it-1 =

tÙ€

^^ + Pi.. + |X*,

dco

et, en substituant dans la première équation, on arrive à une équation dilTérentielle du premier ordre pour déterminer Po,ii^.|« où le coefficient

de ^y*^^ esti au signe près,

Par conséquent, si X est racine simple de l'équation A (X) = o, on voit bien que p^n^^ dépend d'une constante arbitraire; on peut se donner la valeur de cette dérivée en un point de la caractéristique d'ordre n, et la caractéristique d'ordre n -{- 1 est alors complètement déterminée. Les conséquences sont analogues à celles qui. ont été établies pour les équations du second ordre (I, n* 81} :

Si X est racine simple de l'équation A (X) = o : 1* une caraeiiriê' tique d^ ordre n -f* A (A^ p) es/ renfermée dans une infiniU de earaeU' rittiquee d*ordre n 4* A -}• 1, dépendant d^une constante arbitraire; 2* une caractéistique d'ordre n -f- A et/ renfermée dans une infinité de caractéristiqueê d'ardre n -f- A 4* t\ dépendant de i eansta$Ue$ arbi* travree; 3* ri deux intègralee admettent toue les éléments dune caraeti* rittique^ Tordre du contact est te mime tout te long de la caractéristique commune.

i*iir>rni I l<

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES

210. Pour établir qu*uno caractéristique d'ordre n appartient à une infinité d'intégrales, nous commencerons par généraliser le théorème du n* 82. Soit

(11) !>•-*.* = F (^1 y» ^1 Pi.fl •;P-.«tP*-.|.i» -M Pi,»)

une équation d'ordre n résolue par rapport à la dérivée Pm^h^k- Supposons connues les valeurs initiales x^^ y^* '«i (Pa*)«« ^^ ^*^^ ^ i^fi'-h — 1, ou bien A ^ A — i ; si la fonction F est régulière

pour ces valeurs initiales, et si de plus, en posant P/> = r — i on a "^ ^Pt,k

Pi.,i=o, P,,.,=o,

pour ces valeurs initiales, on peut calculer de proche en proche les valeurs, pour x = a*^, y -=: y^, de toutes les autres dérivées, par les seules opérations d'addition et de multiplication. En elTet, les dérivées d'ordre n -|-y -|* ^ ^^^ déterminées par les relations

p«jk+i.A+y = Pii-.A-i.* + iP«-A.A+y«-i + ••• + Pd.iiPi.«+y + — Pi».A.A+y+i = Pj,-A-i,A+iP«-A-i.A+y+j + — Pt,itPo^-i>y<|.| + •••

les termes non écrits ne renferment que les dérivées d'ordre inférieur à n4-/ + i* I^ dernière équation donne pj».A,A^y^.| en fonction de dérivées connues et des dérivées d'ordre inférieur à n 4*^ + i *» l'avantdernière équation donne ensuite Pu . a + 1, * 4. y« et ainsi de suite. En faisant successivement y = 0, 1, 2, ..., on vérifie bien que toutes les dérivées successives peuvent se calculer au moyen des dérivées supposées connues par des additions et des multiplications seulement. Cela posé, la théorème du n* 82 peut être généralisé comme il suit : SùU

(12) p«-A,A = F («, y, J^tPi.fi p«,if ..M P«,o» Pit-Mi •••» Pi.«)

une équation d'ordre noù le second membre eet hotomorpke ftane te voi* linage des valeurs

*o» yft *ot (Pm)»« (P#.i)#» ••• (P«.s)«« (Pii-i.i)t« ••• (?••«)•«'

uT^^bnAt. * ■■ tet <

.*.»jk 'i m .à-rJ^.'jt. .-«.ii-Mt. t^. '- ^ •,* ■>-■»•■ ^.- ^;-T II, In;"'

..uJ^.

6/ OÙ les dérivées partielles de la foiwlion F par rapport à ^

sont nulles pour ces valeurs; soient de ptus^

h /onctions de x^ holomorphes dans le voisinage du point x^et telles que ton ait^ pour œ =1 x^^

soient de même

^%{y)f -fi (y)» •••» *«-*-! (y)

n — ;^ fondions de y, holomorphes dans le voisinage du point y^, ei telles que Von ait^ pour y =i y^^

' // existe une intégrale de V équation proposée^ régulière dans le domaine du point (07^, y^), et telle que^ pour y = y^, on ait

0l, pour a^ == a;^,

La connaissance desn Tondions f^ (a;), f , [x)^ •••«?*-! (^)y 4^0 (y) •••• j^A^A^i (y) entratne la connaissance des valeurs initiales de toutes les dérivées partielles (p/,jt)»t où les indices satisfont à Fane des conditions i^n — h — i^k^h — i. Nous venons de voir comment on peut en déduire de proche en proche les valeurs initiales de toutes les autres dérivées partielles de la fonction inconnue, pour o? sop^, y = y^, et cela au moyen d'additions et de multiplications seulement. On peut donc, pour démontrer la convergence du développement ainsi obtenu, employer la méthode des fonctions majorantes. Mais on peut auparm* vant remplacer les conditions initiales par des conditions plus simples. D*al)ord| il est permis de supposer x^ zzzy^^zz o, car il suffit de rempla*

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GÉNÉRALISATIONS DIVERSES