SOS

cer X eiy par ^t + ^ ^ y* + y respectivement pour être ramené à ce cas. Si nous remplaçons ensuite jr par 4»(â?,y) + u^u étant la nouvelle inconnue, et 4» (a?, y) une fonction Iiolomorphe dans le domaine du point 0? = o, y = o, qui satisfait aux mêmes conditions initiales que jr (')

* = n Wf ^ =?i W. ••• jyTT '== ?ik-, (a?)» pour y = o;

* = i't (y)i j^ =+i(y)» ••• SJ^r^iTT = «^-A-Uy)* pour a; = o,

la nouvelle fonction u devra être nulle, ainsi que ses A ^- 1 premières dérivées par rapport à x pour y ^ o ; elle devra être nulle également, ainsi que ses n — A — 1 premières dérivées par rapport à y pour x = o^ de sorte que tous les termes du développement de u en série entière devront être divisibles par jc^y""*. L*équation proposée est donc rem* placée par une équation de même forme, où, pour ne pas multiplier les notations, nous conserverons la lettre z pour désigner la fonction inconnue

(*3) Pn-A.A = F (», y, jr, p,^, p^„ ..., p^, ..., p^„) ; le second membre est holomorpLe dans le voisinage des valeurs

x = y^z = p,,^ = ... =p^m =0, et les dérivées partielles de la fonction F par rapport à

sont nulles pour ces valeurs. Tout revient donc à démontrer que cette nouvelle équation admet une intégrale holomorphe dans le domaine de

(1) u exisle évidemment uoe inflnité de fonctions ♦ (x, y) latlsfaisant 4 ees cou* ditions. Pour en former une, imaginons un tableau à double entrée dont la tenno général aik sera pris égal k (pu), si i*indice i n*est pas supérieur 4 n — A ^ i on lladice k supérieur 4 4 — 1, et sera nul si aucune de ces Inégalités n^est vérillét. U série.

iikt

est convergente dans le volsinige de Toriglne et représente une fonctioa satisfaisait, aux conditions voulues.

LTrtonAnox »ct ÉQUAfio». — t. II. ' H .

->.^^,— .- . -,.^— ■.^— ^— .pp^.^.^.^.p^^y^g^^^^^ni^j.^i^ ir»iiiiirflriririg

J-OmMÛit^iir'i iVrirÂM

) origine et salisfaisant aux conditions suivante»

2u-4jr

ri = o,

pour

Le développement de la fonction F est, en n'écrivant pas les termes de degré supérieur au premier,

les coeflicients des dérivées p„.o, pj»-i,if —• Pm^A+i,h-i étant tous nuls. On peut encore faire disparaître le terme constant a^ en remplaçant

z par z + a^ m ^^ttt* Toutes ces réductions faites, la fonction F

admet pour fonction majorante une fonction de la forme

^K-^îy.^tPLoi— iPo.«)=

M, p9 R étant des nombres positifs convenablement choisis ; si, dans

cette fonction, on remplace âppar -» x étant un nombre positif moindre

que l'unité, on augmente tous les coefficients, et la fonction ainsi obtenue est, à plus forte raison, majorante pour F. Le théorème en question sera donc établi, si on montre que Féquation

admet une intégrale holomorphe dont tous les termes son! divisibles par ^y*~* et, à plus forte raiM>n, si on montre que cette équation admet une intégrale représentée par une série entière don! tous les eoelficients son! réels et positifs. Pour démontrer oe dernier point, cherchons une intégrale qui soit fonction de la seule variable

«Mb

■ la wat^ » tj3BÉiÊ»iMtÊà.êeÊimmt..

m mrf

on a >

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES

et Téqualion devient

( p 1* îu* R I

-MJ. + '+- + - + -- ^j OU encore

M^ désignant une série entière dont tous les coefficients sont réels et positifs et sans terme constant, et les coefficients A et B ayant les valeurs suivantes

Le coeflicîenl B est toujours positif et, en prenant « assez petit, il en est de même du coefficient A; % étant choisi de cette façon, Téquation (14) admet une intégrale qui est nulle, ainsi que ses n premières dérivées, pour u = o, et dont tous les autres coefficients, comme on le démontre aisément de proche en proche, sont positifs. Le théorème énoncé est donc établi.

211. Pour appliquer ce théorème général à la théorie des caractéristiques, effectuons d*abord une transformation ponctuelle, comme aa n* 83, de façon que les équations de la caractéristique considérée soient

y = o, ^ = o,pa == o, (f 4- A ^ n),

et choisissons Forigine des coordonnées de telle façon que le premier membre de Téquation proposée

' ■-•«?. .«'«.^'«^•j-kir'Cv;. .

'./Im- v*>*J»^/<«i^

•^^l^^^'i^bim ^ « y * ■« I l «fci^ nif f ■ T- Tt; . Tr'S , i 1 1 ■ .^f ttfi « au.^^^*^».- ^-*— '•*^"'- i- -•-" ----- ^tfii^JSk A»' i t ^i^i^xXikt^

soit Iiolomorphe dans le voisinage des valeurs précédentes. Pour que Taxe des of soit une direction de caractéristique, il faut d*abord que Ton ait P,,^ = o, et, si cette caractéristique provient d'une racine simple de réquation (9), comme nous le supposerons, on doit avoir au contraire Pjt-i.i différent de zéro. On peut donc résoudre Téquation proposée par rapport à la dérivée Pa|,4 et Técrire sous la forme

p«-M = F (^1 y> -^t Pi.«» •••» p«.ot --M Po,»)t

le second membre étant développable en une série entière ordonnée suivant les puissances croissantes de x^ y, jr, p^^. Ce second membre doit d'ailleurs être nul, quel que soit â?, pourvu que y, z et toutes les dérivées p/,4 soient nulles; il faut, pour cela, qu*il n*y ait aucun terme en x^. D'autre part, les dérivées Pn^-i^o^ Pn^i» •••) Pi.» doivent être nulles le long de Taxe or; si on différenlie Téquation précédente par rapport

à a; et par rapport à y, on voit que -r- et -r — doivent aussi être nuls,

quel que soit â?, de sorte que le développement du second membre ne doit contenir non plus aucun terme en yx^^ ni en p^n^-

Cela posé, soit ^ {y) une fonction holomorphe dans le domaine de Torigine, nulle, ainsi que ses n premières dérivées, pour y = o. D'après le théorème général qui vient d*étre démontré, Téquation (15) admet une intégrale, régulière dans le domaine du point o^ = o, y = o, se réduisant à ^ (y) pour o; = o, et nulle, ainsi que ses n — 2 premières dérivées, pour y = o. On démontre, comme au n* 83, que le développement en série de celje intégrale est divisible par y*****, de sorte que tous les éléments de la caractéristique considérée appartiennent à cette intégrale, quelle que soit la fonction ^ (y). Tout les éUmenis tfune caractéristique (Tordre n, correspondant à une racine simple de Céqua^tion A (X) = 0, appartiennent donc aune infinité de surfeuses intégraief dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. Ces constantes arbitraires sont précisément les coefiicients de la série entière 4^ (y), à partir du coefficient de y*^*. On en conclut encore que Ton peut trouver une infinité de surfaces intégrales, ayant un contact d'un ordre aussi élevé qu'on le veut avec une [surface intégrale donnée le long ^ d'une caractéristique.

Les théorèmes qui viennent d'être établis vont plus loin que les théorèmes correspondants du chapitre iv. En effet, dans ce chapitre, od s'est borné à établir qu'une intégrale d'une équation du second ordre es! déterminée quand on se donne une caractéristique du second ordre et une autre courbe admettant un élément du second ordre de cette

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES 309

caractéristique et tangente à la seconde caractéristique située dans cet élément. Ici, au contraire, nous voyons qu'une intégrale d'une équation d'ordre n est déterminée par une caractéristique d*ordre n, et une autre courbe quelconque admettant 4in élément d'ordre n de cette caractéris* tique. Nous disons, pour abréger, qu'une courbe admet un élément d'ordre n lorsqu'elle a un contact d'ordre n avec toute surface admettant cet élément.

Bien qu'il y ait une grande analogie, dans les raisonnements et les résultats, entre le cas d'une équation d'ordre n et le cas d'une équation du second ordre, nous devons signaler cependant une différence essentielle. Nous avons reconnu que deux caractéristiques de systèmes diiïérents d'une équation du second ordre, ayant un élément commun du second ordre, appartiennent à une mime surface intégrale. Au contraire, dans le cas d'une équation d'ordre n > 2, deux caractéristiques d'ordre n, de systèmes différents, ayant un élément commun d'ordre n, n'appartiennent pas en général à une même surface intégrale. Nous verrons une confirmation de ce fait un peu plus loin.

212* Étant donnée, sur une surface intégrale (S), une caractéristique (C), il existe, nous venons de le voir, une infinité d'intégrales ayant un contact d'ordre n au moins avec la surface (S), tout le long de la caractéristique. Il est naturel de se demander s'il n'existe pas des équations possédant des caractéristiques d'ordre n — i, comme cela a lieu pour les équations du second ordre, de telle sorte qu'il existe une infinité d'intégrales, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, ayant un contact d'ordre n — 1 seulement le long de la caractéristique. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que le problème de Cauchy, relatif à cette multiplicité d'éléments d'ordre n — i, conduise à une indétermina* tion pour l'une des dérivées d'ordre n. Supposons que a^ y, z et les dérivées p/^ soient des fonctions connues d'un paramètre X (i-|- A^n — 1) vérifiant les relations

on a, pour déterminer les dérivées d'ordre n, les n -{- 1 équations

Si on tire n des dérivées d*ordre n des dernières relations et qu*on les porte dans F = o, on doit arriver à une identité, pour avoir une

-••-'«*•• < .liOf -.i-«t.-*--*-u«*.' *-» ^"C ^ -^uw^.»* • ^- ------ -"- - / - •- r' lin- 111 ti --^^ -« ' -^••'i --^fff'i

caractéristique. On obtiendra des équations admettant une famille de caractéristiques d*ordre n — i de la manière suivante ; partons de deux relations de forme arbitraire

(16) I ^^ (^'^y » rfPii-1.01 rf-Pii-î.o — ^P«.«-i) = o»

où H et H, sont homogènes par rapport aux différentielles et renferment en outre les variables a?, y, ;?, p^^, ..., p^^^i d*une façon quelconque. Si Ton remplace ilpt^ par Pt^.%jJ^^ ~l~Pa + i^y« P^^^ qu'on élimine le

rapport -^ entre les deux relations obtenues, on aboutit à une équation

d'ordre n, admettant une famille de caractéristiques d'ordre n — 1,. définies par les formules (16) et les suivantes :

dz = p^^dx 4- Po.irfyi ^Pa = Pi+ 4.*^^ + Pi.k + «rfy (i + A ï^ » — 2).

Nous nous bornerons au cas où les formules (16) sont linéaires par rapport aux difiérentiollcs, et, comme nous n'écrirons que les relations entre les dérivées d'ordre n et d'ordre n — 1 , nous modifierons un pea la notation employée en posant

'i = ^vTZ — r» ^9 = T~: — 5^» •'*» îfji = c"^ — î»

I^s formules (16) étant linéaires en cbs^ dy^ drs^^ ..., r/irjg, examinons d'abord le cas où elles soni de la forme

^it ^ff •••« An* ^1 p^ étant des fonctions de oo^ y^ z et des dérivées par* tielles de z jusqu'à celles d'ordre n — 1. L'élimination du rapport ^ conduit à l'équation linéaire par rapport aux dérivées d'ordre n

(18) a,'(î, + q^k) + fl, (y, + 9,X) + .-. + «» (î» + ?. ♦ i>) = !*• Inversement, étant donnée une équation linéaire d'ordre n, (I») A,î, + A,f, + ... + A,*,î,+, = A,

'-Mw* > f -n-* -é"i ^i-t--* iTci ^frrm

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES 311

OÙ A, A,, A„ ..., A|,+ , dépendent de a?, y» s et des dérivées d*ordre

inrérieur à n, pour qu'elle provienne de Télimination de ^ entre les

relations (17), il faut pouvoir déterminer a,, «,, ..., «», X, ]& par les . conditions

«i=A,, a|X + as = A2t tfj^ + «1 = A„ ..., fl,X = A«+„ ji = A^. et l'éliminalion de a,, a,, ..., a» conduit à l'équalion de degré n en X (20) A,3i- — A,X-« + A,3i-« ... + (- !)• A,+, = o;

c'est précisément Téquation qui détermine les caractéristiqueSi comme on devait s'y attendre. ,Une équation linéaire d'ordre n admet donc, en général, n familles distinctes de caractéristiques d'ordre n — 1, qui sont définies par des équations linéaires par rapport aux différentiellos. On peut donc étendre immédiatement aux équations linéaires d*ordre n la méthode employée par Monge pour les équations du second prdre(*). Nous n'insisterons pas sur cette méthode* qui sera généralisée tout à l'heure.

Lorsque le coefficient A, est nul, l'équation (20) en X a une racine infinie, et les formules (17) sont remplacées par les suivantes

dw = o, K^dic^ -{- ... -f- K^dic^^^ -f- AiK^|C/ir« :=: Kdy.

Passons au cas où les caractéristiques d'ordre n — 1 sont définies par des formules linéaires quelconques

\ 6,rfiri + M»i + — + Mw« + H^ + v^^y = ^ ;

l'élimination du rapport ^ conduit à l'équation suivante

(22) S («|6* — Ma) (îiîit + 1 — ?/+ ^qk) + V^^àiqt — Xfibiqi

+ X|2:&a9*^i — [AiSa^fit^i + X|jA, — X^, = ç,

qui est de la forme

(23) 2lBa(y<jf*^| — ?Ag/+i) + A,9| + K^q^ + ..• + t^mu^'^H^h-

(^) Nâtaio, l>i€ MKert itnir^fif, p. 9m.

A ^ •■»*.:».■ aA^':

' -.irf ■ » >» •- ^-^-■. --..,. , ^-.-^. i-j..^^ I «■ »..- . rt>

fa*»i^ > »> « J» ■ *' -f *i [ ■■ ' r ili l'itiii-' ' -' i*-i''r> lin mu' iiiBi' — ^ •---■■'■■» J — - rt- «'.^ - ^ .— i .»« i

Inversement, élant donnée une équation de cette espèce, pour qu'elle

provienne de Télimination de ^ entre les deux relations (21), il faut

pouvoir ridentiGer avec l'équation (22). On voit que TidcntiBcation n'est pas toujours possible, dès que n est supérieur à 3, en remarquant que, les 2n inconnues a^^ «,, ..., a„, ô,, 6,,-.., *» sont déterminées par les conditions

les quantités Bi^k vérifiant les relations

B/./ = o, B/*-f-BA,/ = o;

pour que les équations précédentes soient compatibles, il faut en outre que Ton ait, comme on s'en assure par un calcul facile, les relations suivantes, bien connues dans la théorie de la droite, entre les qnanti* tésBr.*

B/.*Ba,/ + B/.A B/.it 4" B/,/Bifr,A = o, (f. A, A, / = 1, 2, ..., n).

Pratiquement, on peut s'assurer si ridentiftcation est possible et calculer les coefficients de la façon suivante. L'une au moins des quantités Bi,^ n'étant pas nulle, supposons, pour fixer les idées, que B|,) ne soit pas nul; comme B^^^ = a^b^ — ^i^s« ^1 s'ensuit que les équations (21) sont résolubles par rapport à ch^ et à dit^ ; on peut alors, sans diminuer la généralité, supposer

«1 = 1, ft|=o, «, = 0, *, = i, B,,, = 1.

Si l'on fait i = 1 dans la relation générale

afii — biajt = B/,iH

il reste ft^^ =: B, j^; si Ton fait, au contraire, A = 2, il vient ag = Bi;^, et il n'y a plus qu'à examiner si ces valeurs des coefficients a/, b^^ satisfont aux autres conditions.

Lorsqu'il en est ainsi, il reste n -|- 2 équations pour déterminer les quatre coefficients X,, X^, (&|, {a^, n -}- ^ d^ ces équations étant linéaires, et la dernière étant du second degré. Il faudra encore que ces équations soient compatibles, ce qui n'a pas lien, en général, lorsque' n est supé^ rieur à 2. Les équations de la forme (19) peuvent être considérées comme une généralisation de l'équation d*Ampère, mais on voit, d'aprte

j^ ..j^'^A^'^^mm-M^ mi •fig .

nL. JU<

i.*ijUr^^tf màl^t, v»A<C\««& •^•^ — ' T' ••^

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES

ce qui précède, qu'elles n^admettent de caraclérisliques d^ordre n — i que si les coefficienls satisfont à cerVaines conditions (')•

218. La méthode d'intégration de M. Darboux s'étend sans difficulté aux équations d'ordre quelconque à deux variables indépendantes. L'extension dé la méthode de Monge, quand elle est possible, est comprise comme cas particulier dans l'exposition qui va suivre. Etant donnée une équation de la forme

cherchons d^abord s'il existe des combinaisons intégrables pour les équations dilTérentielles des caractéristiques d'ordre n. Soit d^ = o une combinaison intégrable, 9 ne renfermant pas pn^\ si, dans cf^, on remplace cfy, dz, <(Pi«i --t ^Pca-o ®^ ^Pn<-i.« P^^ leurs valeurs tirées des équations (8), il vient

'+y7^— U.-,(X)rf/).»,-A..,(X)rfp,,.,+ ... .

'■Pm- 1.1 '

11 faudra donc que les coefficients de dx, <(!p«-9.s« •••« dp^^ soient nuls séparément, c'est-à-dirè que Ton ait

Kr^+ A.., W^iS-^o, ....5^-+(- l)-A.(X)^ = o,

et on aura à rechercher si ces équations linéaires simultanées admettent, une solution commune. Les relations de la dernière ligne ont une signification importante. L'équation qui détermine les caractéristiques

de l'équation f = C est, en divisant par dx et posant dy =? fufœ^

pi-^« + à*., (X)^^— « + ... + A, (X) = o, (1) Cette exteotlon de TéquatUm d^Aoïpère a été aussi Indiquée par NatanI- (Dit

c^e8t-à*dire, en se reportant à Texpression de A|, A,, •..,

On voit que IVquation ^ = C doit admettre comme directions de caractéristiques les n — 1 directions de caractéristiques de Téquation proposée^ autres que celle qui donne les caractéristiques considérées.

De môme, pour qu'il existe une combinaison intégrable pour nne famille de caractéristiques d'ordre » 4~ ^«

<^^{^^ Vf ^\ Pu» — » ?•.«+*) = o,

la fonction *\ ne renfermant que les dérivées p/^^^ pour lesquelles Tindice » . ne dépasse pas n — 1, on trouve que la fonction ^ doit vérifier les équations simultanées

dont les dernières ont la même signification que plus haut. On opérerait de la même façon pour reconnaître si les équations dilTérentielles des caractéristiques d'ordre n — 1, quand il en existe, admettent des Gom« binaisons intégrables.

Cela posé, considérons une équation d*ordre n admettant n système de caractéristiques différents, et soient

cA«| = o, du^ = o, ..., cfuj».! =r o

n — 1 combinaisons intégrables appartenant respectivement an — i de ces systèmes, Un ti,, ...i ti«.| renfermant les dérivées de x jusqu^à Tordre n + A au plus. Les n équations

où C|t C,, ••., Cj,.| sont des constantes quelconques, forment un êyiième en involuUon. Par toute orientation d'éléments d'ordre n -f- A* dont les coordonnées vérifient ces équations et celles qu*on déduit de Pji4 -f" / = <^ P^r ^^> différentiations, il passe une intégrale commune. En effet, Pintégrale (S) de Pii*^ -{~ r= <>i V^^ passe par cette multipU* cité d'élémentSi peut être considérée de n — 1 manières différentes