III
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GÉNÉRALISAÏIONS DIVERSES
comme un lieu de caractéristiques. En particulier, on peut la regarder comme le lieu des caractéristiques de la famille qui admet la combinaison intégrable du^ =.0y Ces caractéristiques étant issues des divers éléments de Torientation précédente. Comme U| est constant tout le long de chacune de ces caractéristiques, il s'ensuit que Ton a bien tii = C| en chaque point de la surface (S), et on démontrerait de la même façon que cette surface (S) satisfait aux autres relations
Cette intégrale commune (S) peut être obtenue par Tintégration d'un système d'équations dilTcrentielles ordinaires. D'après ce qui précède, en chaque élément de (S], les n équations
Pii.t + /= Oi «*4 = C|, «, = C„
Wjt— j — t^M— I
ont une direction de caractéristique commune, de sorte que (S) est aussi un lieu de caractéristiques communes à ces n équations, et il nous suffira de déterminer ces caractéristiques communes. Soit X« la racine de A (X) = o qui correspond à ces caractéristiques ; on a, pour déterminer les valeurs des dérivées d'ordre n -|" A le long d'une de ces caractéristiques, n équations
rfp«,.A + | — A,,-! (X,)rfp^,.A+, +... + (— i)*-«A,{X„)rfp^^+A... = o, rfp»|,A + i — A,-|(X/)rfp,,.A + ,+ ...-|-(— l)«-«A|(X/)dp^»^.A... = o,
dont la première n'est autre que l'une des relations (iO) et dont les autres se déduisent de u, =C|, ..., Un.| = Qn-o ®u tenant compte des conditions (26). On vérifie sans peine que ces équations peuvent être résolues par rapport à c/p«.|,A^|, ••m<'P«.j»+ai si les racines X|, X|, ...,Xa sont distinctes, comme nous le supposons. En ajoutant les relations
rfy = X»rfa?, di = (pi.e + Po. i>«)<to, cfp/. it = [pi^i,k+ Pi, k + M^^
on forme un système d'équations différentielles ordinaires, permettant de déterminer complètement ces caractéristiques communes, quand on en connaît un élément d'ordre n -f* A- L'intégration de ce système donnera l'intégrale cherchée (S). .
Plaçons-nous toujours dans le cas où les n systèmes de caractéris* tiques sont distincts et supposons, de plus, que, pour n — 1 de ces systèmes, il existe deux combinaisons in tégrables distinctes. On peut reprendre sans modification les raisonnements qui ont été faits pour le
^Lj-.'^4*Ai;.^l:. li«V.JÏ^*i.---i4tf*i»-i>iiaL<iiJi^i*. i^".<.i4t.vi.'BJïi:a«.^ - < «-n*» ii r.* «.SM*^»-tv -^» « h . » • ■ . -i .i^-Xi^^f^ rsr . /-.-^ija.fcUwii'.ij^^ii.
second ordre; Féquation proposée admet n — i intégrales intermédiaires distinctes
et /a solution du problème de Cauchy est ramenée à Tintégratioh éCun système d^éqùatiom diffirentîeUes ordinaires..
Lorsque les n systèmes de caractéristiques admettent chacun deux combinaisons intégrables distinctes, on a n intégrales intermédiaires distinctes
««I = Jl iP\)* -M W« == ?» (»l»)l
et on pourrait démontrer, par des considérations analogues à celles qui nous ont. servi pour le second ordre, que ces équations, jointes à P = o, forment un système complètement intégrable.
Remarque. — Nous avons ditplus haut (n* 21 1) que deux caractéristiques d*ordfe n, de systèmes différents, n*appartiennent pas en général à une même surface intégrale. Il est facile de le vérifier. Soit (C), (C) ces deux caractéristiques ; supposons que les équations différentielles d*nn des autres systèmes ' de caractéristiques admettent deux combinaisons intégrables distinctes d'ordre n, du = o, r/v = o, de sorte que Téquation proposée admette l'intégrale intermédiaire
Le long de la caractéristique (C), u et « sont des fonctions d*une seule variable, et toutes les surfaces intégrales qui admettent les éléments de cette caractéristique satisfont à une même équation ti = f | (v), où la fonction ^| a une forme déterminée. De même, toutes les surfaces intégrales qui admettent tous les éléments de la caractéristique (C) satisfont à une équation u = f , (9), où la fonction ^ , ne dépend que de cette caractéristique. Pour que la même surface intégrale contienne à la fois les éléments des deux caractéristiques, il faudra donc que Ton ait ^ | = f ^v ^ qui n*aura pas lieu évidemment, si ces caractéristiques sont quelconques.
214* Nous étudierons encore rapidement un système de n équations du premier ordre à deux variables indépendantes a?, y, et à n fonctions inconnues jr|, *,, ..., jr., .
^ <■ w^AwS'ttmT.mr^t' îjrrf ma,»* tt mwm, • ^
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES
On définit les caractéristiques en se posant un problème analogue au problème de Caucliy. Donnons-nous les valeurs de z^^ x^^ ..., z« pour une suite de valeurs des variables vérifiant une relation f {Xj y) = o, et proposons- nous de trouver un système d'intégrales prenant les valeurs précédentes; en langage géométrique, cela revient à chercher n surfaces associées
^1 = /i (^. y), ^1 = A («, y), ...» n = fm (a^i y)»
passant respectivement par n courbes données (F,), (F,), ... (Fji) situées sur un même cylindre ayant ses génératrices parallèles à or. Le long de ces courbes, a;, y, jr,, ..., z« sont des fonctions connues d'un paramètre variable, et les valeurs de p^p,, ..., pn, f,, q^^ ..., q^ s'obtiendront par la résolution des 2n équations
les valeurs obtenues pour les variables p/ et qjt seront aussi des fonctions régulières du paramètre variable, à moins que le déterminant fonctionnel des 2n équations précédentes par rapport àP|,P|, ...,. P«> 9i* ^ti •'.« ^A ^^ soî^ >^u^. C® jacobien a pour expression
JF,
5ft 5p,
dx,
en multipliant toutes les colonnes d'ordre impair par <fy, celles d*ordr» pair par dx^ et retranchant chaque colonne d'ordre pair de la précédente on remplace, à une puissance de dy près, ce déterminant par le
gaivant
r— ' rfy — r— * dli», T-* dv — r-* «to,... , T-* «y — r-* «w
. >F. ^ îP» ^
r ^li-i«w«.''.j,W4,'.
.u» .ni, -,«.«1.. --.-■- -■ • >.>j .-j
Cela posé, nous définirons les caractérisUqucs commo il suit. Étant donné un système d'intégrales
- 1 = f% K y\ H — ft {^1 y).
nous appellerons éléments associés du premier ordre les éléments de ces n intégrales
(^, y. ^n Pli îi)» K y, ^1, Pj, îi)i
C^f y» -^«t» Piii 9»i)f
qui correspondent à un même système de valeurs pour x et y. Une caractéristique du premier ordre de ce système d'intégrales est une suite simplement infinie d'éléments associés du premier ordre, définie par Téquation diiTérenticlle du premier ordre
où Ton suppose qu'on a remplacé jr,, z^^ ..., sr., p^ .... p^iÇ^i, q^^ -.«^j»
par leurs expressions en fonction de a% y. On voit que tout système
d'intégrales possède n familles, en général distinctes, de caractéristiques.
Le rôle important de ces caractéristiques tient toujours à la propriété
suivante. Soit {a une racine de Téquation A = o, où Ton regarde -p
comme Finconnue ; le long d'une caractéristique correspondant à cette racine, on a, entre les éléments associés du premier ordre, les relations
Fi = G, F, = o, ..., F» = o,
dy = yLdx, dx^=p^dx+q^dy, ..., dz^=p^dx^q^dy.
Nous allons montrer que Ton peut ajouter à ces relations évidentes une autre équation indépendante du système d'intégrales qui nous a servi à définir les caractéristiques. On a, en effet,
\dxj ^ îp, a» T^ - + î>p, .\» + i>î, J» ^ ••• ^ îy. J» ~ "•
en posant
hi.^,^^lEt
si on remplace "S^ P" jy "• j^
et
P" Ite *
flnent.
- ri-' ' — .« ^< ■ --. ■ . fc-< *.^ • — ..
-*■'-- ~-Ti iiM '■! mniir ii-ti--"* — ^^ — ^ ^ ^i^^^^.M.^''^-^
V^/ ~ Ty "*" ïï; '• + ••• + 5^ '••
On peut donc définir les caractéristiques comme une suite simplement infinie d'éléments du premier ordre satisfaisant aux équations simultanées (30), (33) et (34). Ces 2n + 3 équations entre 3n -}- 2 yartablet se réduisent d'ailleurs à 2n -j- % équations distinctes, car, en ajoutant
les relations (33) et (34), a vient .
X,«IF; + i^, + ... + X. dF, = o,
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES 319
en multipliant par cfo,
itsi I
imaginons écrites ces n relations où Ton aurait fait successivement t = 1,2, ... n ; on peut éliminer de ces n relations les termes qui
contiennent les dérivées du second ordre ^' Eneflet, si le rapport -r -
<^y ^'^ dx
satisfait à Téquation A = o, on pourra trouver n coefficients IpX^, ...,X«
différents de zéro, satisfaisant aux n conditions
si on ajoute les n équations (31), après les avoir multipliées respectivement par X|, X,, ... Xji, il reste
+ 2j I ^« j^+ ••• + ^-îiS )**-••
On verrait de même que Ton a
en posant <
4~-m.^<- "V • -M. >..Jkj iB a> f .^ j
. M IS-a.» a^..» «>«- «'■».H. M>i»nB
' ~' -^ -»•->«• •• .w ^ O» ><->«— r «—'O.MjlitliAd
k'-» **i < » I *ili iriil m y. 11-... . -^.^ ,^^^
de sorte qu'il y a n variables de plus que d'équations. Par exemple, si les équations proposées (â7) peuvent être résolues par rapport à Pu Ptf ""» P»^ ^^ pourra ne laisser dans les équations différentielles des caractéristiques que les variables a?, y, z^^ z,, ..., ^4, ^i, q^^ ...^ q^* '
Cela posé, Textension de la méthode de Monge et d'Ampère se fait -toujours d'après les mômes principes. Si les n systèmes de caractéristiques sont distincts et si chacun d'eux admet une combinaison intégrable, les n équations
tl| d|,...,tlji Liai
où dui = o est la combinaison qui correspond au t^* système, forment un système complètement intégrable. Si on résout ces 2n équations par rapport à P|, p,, ..., p,, ^i, ..., q^^ les conditions d'intégrabilité du système d'équations aux différentielles totales
dzi = pidx + qtdy
{i = iX -M»)
son t vérifiées identiquement, quelles que soient les constantes C| , C^^ . . .C« . Je renverrai, pour la démonstration, au Mémoire de M. Hamburger (*)• Lorsque chacun des systèmes de caractéristiques admet deux combinaisons intégrables distinctes, le système proposé admet n intégrales intermédiaires distinctes
«I =^ Tl (»l)» «t = ?1 W. ' •••» ^n = ?i. (r»),
et rintégration du système proposé est ramenée à celle d*un système complètement intégrable
Fi =0, F, = o, ..., F» = 0, U| = fi (t?,), ..., u» = fj|(o»)
avec n fonctions arbitraires f |, f j, .i., f «•
Si n — 1 seulement des systèmes de caractéristiques admettent deux combinaisons intégrables distinctes, la solution du problème analogue à celui de Cauchy se ramène encore à l'intégration d'un système d'équa» tiens différentielles ordinaires. Pour plus de simplicité, supposons les équations (27) résolues par rapport kp^^ ...^p^^ ei soient ^^ (y), ^^ (y)^ ••M '^m (y) les fonctions auxquelles doivent se réduire ^n s^^ .••, x^ res* pectivemeni pour œ=:œ^.
Les valeurs de 3n fonctions t/, pi^ j/, étant connues pour œ = œ^^ on en déduira, comme on Ta déjà expliqué plusieurs fois, la forme ûeB
(I) Journal de Cttlh^ U XCIII, p. 193 et tuivantet. '
»fcM>MI ■■■V-
■ - -^ — -iffw iif'Ti - tf'i'»- I *—»"-»——-- -^^-^^^-^-fc^'J—-
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES
n — 1 fonctions f |, ^^y ..., fpi,.|, de sorte que le système d'intégrales cherche doit satisfaire aux in — 1 équations
F| = o, F, = o, ..., F, = 0, tt| = f I {v^), ...» ti^«^ = ^,.^ K-i);
pn obtiendra ce système d'intégrales en cherchant les caractéristiques du système qui n*a pas encore été employé. Ces caractéristiques sont déHnics par le système d*équalions connues, auquel on ajoutera les n — 1 relations
de façon que le nombre des variables ne dépasse que d'une unité le nombre des équations.
215. Telle est, dans ses grandes lignes, Textension de la méthode de Monge aux systèmes d'équations simultanées du premier ordre. Cette extension suggère un grand nombre de questions ; nous examinerons quelques-unes des plus importantes. Remarquons d'abord que le déterminant A, qui joue le rôle fondamental dans cette étude, est un invariant, relativement à un changement quelconque des variables indépendantes. Soient x\ y' un nouveau système de variables indépendantes, définies en fonction des anciennes par les formules
les dérivées pVi ?'/ de Jt par rapport aux nouvelles variables oui pour valeurs
Pi — Pi
iaf
iaf
L'équation F/ = o se change en une nouvelle équation
G| [x\ y\ jr,, j",, ..., x^ ; p'^, p'„ ..., p\ ; q\^ ^^ ...^ g'J =0|
et l'on a
d'où l'on déduit l'identité
IXr^OIIATlOX PKt AQUAnOXt. -* T. !!•
tl
•>-^ * '-rf-;- • j,> - -î ^ -ii--iii: /■*." ■«>-«.^i»*^»k::^X^^Jr>>»^■^«-A:•^«*■^.'•.alr>.^^taJ.<^Jàl^hta»;,^r^afc■l« ..jiAv^. ^j * .à. .v.^i^ c-»^->.JU - ..•.— ..■..■^.; ..•<::>- ■ .^^'.r— ,^"^>.
Quand on effectue le changement de variables précédent, un clcinent
D (o 4*) quelconque de  est multiplié par le jacobien ïT^ >^ i on a donc, en
désignant par àf le nouveau déterminant,
Cette remarque nous permet de montrer que le problème de Cauchy, tel qu*il a été posé plus haut pour un système de n équations du premier ordre à n inconnues, admet une solution lorsque le déterminant  n'est pas nul. Supposons que Ton connaisse la suite . d*éléments associés du premier ordre, correspondant aux valeurs de 0?, y, vérifiant une relation donnée <^ (âp, y) z=z o, et satisfaisant aux équations proposées (27). Les éléments appartiennent à un système unique d'intégrales holomorphcs, pourvu que  ne soit pas nul pour tous ces éléments. Prenons, en effet, pour nouvelles variables indé* pendantes, â/ = 4 (â;, y), y' = V {x^ y), la fonction ^ étant distincte de «&; on aura dx''z=z o, et le nouveau déterminant A' se réduira à
D (G,,Gtt.. ,G,) ,
* ce nouveau déterminant étant différent de zéro, comme le premier A, on pourra résoudre les nouvelles équations par rapport à p\^p't% «mP'» et appliquer au nouveau système le théorème de Cauchy sous sa forme habituelle.
Remarque I. — La méthode d'intégration qui fait Tobjet du paragraphe précédent ne s'applique pas aux intégrales telles que le déterminant A soit idcntiquenient nul, quels que soient dx et d'y, pour tous les éléments de ces intégrales ; nous les appellerons des mlégrales^ singulières.
Remarque IL — 11 peut se faire que le déterminant A soit identiquement nul, pour toutes les intégrales du système (27), alors même que les équations du système ont été mises sous la forme la plus simple. La théorie des surfaces nous offre des exemples remarquables de pareils sytttmet tinguliers. Tel est le système
p\ +PÎ +i>l=« (». y). Pi?i+i>i?»+Pj?3=» (*. y).*î+îî-l-îl=» («.y) ;
qui sa présente dans la recherche des surfaces applicables sur une
^fc« l11« ■» «•«
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES
surface donnée ; tel est aussi le système
Pi +Pt£ = ^^ îi +!>« + î* ^+Pi ^ = o, î, + î, ^ = 0,
que Ton rencontre dans la théorie de la déformation infiniment petite*
Un système non singulier peut toujours, d'après ce qui précèdOi être ramené à un système de forme normale
Pî + f% (^t yi ^o 'j» — • ^«; ?i» iv —I ?J = o,
Pm + fn («I y» ^o ^1» ••'» ^*î ?n *»• -M ?») = o,
résolu par rapport à p^, p,, ..., p,,, au moyen d'un changement de variables, tandis que cela est impossible pour un système singulier.
216. Pour obtenir les équations différentielles des caractéristiques, nous avons eu à déterminer les coefficients X|, X,, ••m^i» par les n équa* tiens linéaires et homogènes (3â), qui sont compatibles quand on remplace -^ par une racine f& de Téquation A == o. Revenons à la discussion de ce système. Si (a est racine simple, cette valeur de (a ne peut annuler à la fois tous les mineurs du premier ordre de A, et les équations (32) déterminent complètement les rapports mutuels des coefficients X| , X,, . .., Xm, de sorte que Ton ne peut éliminer que d'une façon les
dérivées du second ordre -^ des relations (31). Mais, si ^ est racine
multiple de A = o, il peut se présenter des circonstances toutes diffé* rentes. Supposons, pour prendre le cas général, qu'une valeur de |â annule tous les mineurs à r lignes et à r colonnes de A, sans annuler tous les mineurs qui ont moins de r lignes ; cette valeur de |â sera d'après une théorie bien connue, racine de A = o d'un ordre de multi-^ plicité au moins égal an — r -|- 1* On pourra, dans ce cas, déduire. des équations (31) n — ** + i relations distinctes ne renfermant paa les dérivées du second ordre. Si on suppose, par exemple, que Ton n'ait laissé dans les équations différentielles des caractéristiques que les 2n -}- S variables a?, y, l'i, jr„ ,.,, ir^, p^, p,, ...,p«, nous aurons 2it — r -f- 2 équations, et la différence entre le nombre des variables et celui des équations sera égala à r seulement, au lieu d'être égale à Hf
comme dans le cas général.
Nous n'examinerons pas les modifications que doit subir la théorie générale dans tous les cas particuliers qui peuvent se présenter, et nous nous bornerons à considérer le cas limite où r rs 1; Si un tel cas se
^>iwfc.tx.».^:a:«>,. , . ,... , , -„„.^^
présente, le système proposé n'admet qu'une famille de caractéristiques, el ces caractéristiques sont définies par un système d*équations diflerentielles, dont le nombre n*est inférieur que d'une unité au nombre des variables, c'est-à-dire par un système d'équations différentielles ordinaires. Gcs caractéristiques ne dépendent donc que d'un nombre fini de paramètres, et l'intégration du système proposé doit présenter la plus grande analogie avec celle d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre à une seule fonction inconnue.
Pour déterminer les systèmes qui jouissent de la propriété précé*
dente, on peut toujours les supposer ramenés à la forme normale :
ft
(37) Fi=j)/-f-/i (û?, y, X|, z^,...,z^; q^, }„..., ?«) = o, (i = l,2,...,n); tous les éléments de A
T-^ dy — r-' dm
doivent être identiques à un facteur de proportionnalité près. Or, si on suppose t et A différents,- on ar--^ := o; on doit donc avoir aussi ^ = o, et le système est de la forme
(38) F/ = pi +/iKy, ^1, ^„ ..., ^m, }/)= 0, (i=s i, 8, ..., n). On a niaintenant
*^Fi j «^Fi j f <^/l j — -f dy — r--* dx = ov — -é^ dwi
il faut donc que Ton ait
et la valeur commune des dérivées précédentes est nécessairement indépendante de 9|, ;,..., jj|. La forme générale des systèmes cherchés est donc la suivante •*
A|, A|| B|, •,., B« étant des fonctions de x^ y, m^^ jr^, •,«, '••
,» » ^ . -tn... r far, «. .>.■.«#. ;.* mM,^'..»,i,^,L.i^-*r^^^^ ^„ , , j ^ H > tf l l g
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES
Si on applique à ce système la théorie générale, on voit qu'Q possède une seule famille de caractéristiques pour laquelle on a
dso rfy,
en tenant compte des équations cUcs-^mèmes, les relations
dsi = ptda + f^y nous donnent un système de n -f- 1 équations différentielles ordinaires
rf» rfjf dt^ cfar,
entre â?, y, jr^, ...,^m seulement. On voit que Ton peut négliger ici les équations qui renferment les dérivées pi et qt. Convenons, pour abréger, d'appeler caractéristique d^a-dre zéro toute suite simplement infinie de valeurs de (or, y, Z|, ...*, Zk) vérifiant les relations (39) ; le calcul précédent prouve que tout système d'intégrales des équations proposées s'obtient en prenant une infinité simple de caractéristiques d'ordre zéro.
Soit
l'intégrale générale des équations (39). Toute intégrale des équations
proposées satisfait à des relations de la forme .
««I = Ti (*«*+i)» •••» w» = ?» (w»+i)
et inversement, quelles que soient les fonctions f |, f ,, ..., f m, un calcul direct prouve que les fonctions X|, z^^ ..., z^^ définies par ces formules,^ satisfont bien aux équations (38) (^).
217. Lorsque les équations du système (27) sont linéaires par rapport aux dérivées p/, ;/, on peut déduire des équations différentielles' des caractéristiques deux relations au moins ne contenant que a'* y^ ^|«
(1) Le résultat précédent est dû à Jacobi [Journal de Crettê^ t. Il, p. 3S1), qui a' aussi étendu la méthode aax équations slniultanéet
à un nombre quelconque de variables indépendantes*
t«M« /«•«. *W^--«MÙ^I>^M'kVl^'S.Â* '^alJ
■'<'■ Wi^».^<aÉi r miJÊm^*^^ m9m^A-*M
> •» •— fc.>l irf '■ . liH H >■!'«■ «t« 'i<ri ■'» 'Jbu - - 1 -^ -Tffi *!
^S9 ..., x«. Du reste, il est facile d'établir directement ces équations. Considérons le système linéaire '
«H Pi + ^uPl + ••• + ^HiPn + *n?| + — + *«•?« = •!» ^uPl + ^mPj + ••• + ^*2P» + ^llîl + — + ^nt^m = «it
^l"P| + ^l«Pl + ••• + ^nnPn + *|«?| + ••• + ^««î» = ««»
OÙ les coefficients a/jt. ^/i^ et les seconds membres sont des fonctions de *» yi ^1» •••» *« seulement. Si on pose dy = \»jdx^ Télimination de Pi, P21 •••• Pm^ entre les équations proposées et les relations
dz^ = (Pi + ?,jjl) est», ..,, dz^ = (P« + ^«J*) rf»
conduit au système
«ll^^l + — + ^m%dz^ + [(^11 — «Ill*)î4 + —
+ (^«4 — ÛHiî*) ïii ] «te = e|Cto,
^i*^^4 + ••• + ^nndz^ + [ (Ô||, — tf|«Jt) Ji -f- ...
pour qu'on puisse éliminer q^^ ;,» ..., 9» entre ces relations, il faut et il suffit que \k soit racine de l'équation
*ii ~ ^lll*t •••! *«i ^-^illH'
*|JI «|«î* -M *«» ^liJil*
Si on a pris pour \k une racine de cette équation, on en déduira une relation au moins dé la forme
^1 («ii^'^i + — +• «iti^O + — + ^« («i-rf^i + .- + a^mdz^
ou encore
A|£Ùr| -^ .,, -^ A»rfxj| =s Bdbp,
Af,..., A«, Bétant des fonctions de â9,y,>|,... X|». Lorsque cette valeur def&n'annulepassimultanémenttousles mineurs du premier ordrede A ((a), ce qui aura lieu certainement si ji est racine simple, on n'obtiendra qu'une relation de cette forme. Nous appellerons caraclérittiques dordrt nul tout système simplement infini de valeurs de â?, y, l'i/..,, x« satit-
;>. WJ»\ .^ »M
J .■*»■ J »1*« J»»fcr^«yi fc«l|
gHfchMWP ■< fc ■ ■ J- T
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES
faisant aux deux équations
dy = jA£to,
Ajrfjr -f- ... ^ Ai^rfjTj, = B<&;
un système linéaire possède donc« en général, n systèmes de caractéristiques d*ordre nul, correspondant aux n racines de A (%f) = o, définis par des formules analogues aux précédentes (44).
Les équations (44) admettent au plus deux combinaisons intégrables distinctes. Lorsqu'il en est ainsi, le système proposé admet une inté* grale première de la forme
tt = ^ (©),
u et V étant des fonctions de x, yt 'n ••m ^m* Si le m<^me fait a lieu pour les n systèmes de caractéristiques, on a n intégrales premières distinctes
**! = ?i ^Pi\ -M •«» = ?» K)l
et l'intégrale générale est repréisentée par les formules précédentes, ?ii ?2« "M ?» é^^nt des fonctions arbitraires. Si Ton a en tout r inté« grales premières ^ <tC)
on pourra exprimer ^p -s*), ...» ^j» &u moyen de a?, y, et de n — r inconnues nouvelles, et on ramènera le système proposé à un système linéaire de n — r équations, dépendant de r fonctions arbitraires.
Lorsque ja est racine multiple d*ordre « de A ()&] = o, on peut déduire des formules (42) «équations au plus indépendantes defi, 9,, •.., ^j,. Les caractéristiques correspondantes sont définies par r -|- 1 équations
dy = ]uli9,
A'|dT, + AV^, + ... + A'„rf-r. = B«
où
Ces équations admettent au plus $-{-1. combinaisons intégrables distinctes, dans le cas le plus favorable où r ^ «. Par suitSi les caractéristiques correspondant à une racine multiple d'ordre « de A (|â) s= fournissent au plus $ intégrales premières du système proposé. Si ce nombre maximum est atteint pour chaque famille de caractéristiques, on aura rintégrale générale du système; sinon, on pourra en diminuer l'ordre*
On voit donc que, dans certains cas, un système d'équations linéaires admet un certain nombre d'intégrales premières de lai forme
9t = ffi (tti)i
les fonctions f / étant arbitraires, et les fonctions u/ n'étant pas nécessairement distinctes. Mais cette propriété n'est pas spéciale aux équations linéaires ; elle appartient aussi à certains systèmes d'équations de la forme
^l<P| + — + «*** + *«'?• + — + ^ntqm + 51 CJ,f (Prit — P^ir) = «/»
On trouvera la discussion complète de cette question dans le mémoire de M. Hamburger (*)•
218. La méthode exposée dans les paragraphes précédents, identique au fond à celle de M. Hamburger, constitue on réalité l'extension de la méthode de Monge aux systèmes d'équations simultanées du premier ordre. Pour étendre la méthode de M. Darboux, il faut commencer par définir les caractéristiques d'ordre supérieur au premier. Afin de simplifier les calculs, supposons le système proposé ramené à la forme normale
[ Pi + A (^» yi ^11 ••• ^«» ?o îj» -M ?*) = o,
I Pi + A (^» y* ^11 •'• ^«1 Vu ?ji —1 ?») = ^»
ï Pii + /« (*« yt ^it —i ^«1 îjf ?ii ..M }*) = o.
Les équations (46) et celles qu'on en déduit par des dilTérentiations successives permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles des fonctions inconnues au moyen de or, y, ir^, ...,jr^ et des dérivées partielles prises par rapport à la variable y seulement. Nous supposerons toujours qu'on ne laisse que ces variables dans les formules qui vont suivre.
Cela posé, étant donné un système d'intégrales, nous appellerons caractéristique d'ordre m la suite simplement infinie des éléments associés d'ordre m le long d'une caractéristique. Entre les variables
*f y» *%% 't» -M ^m% ?4f Çj> -M fa ;
Vz,
(I) Journal de CrtlU, t. LXXXI, p. f61-S1t.
On pourra consulter auitl un àlémoire de M. Rœnigiberger : Vthêr diê tnttgraiUm. timullanêrpariielltr Difftrtntielglekhungt^Mtemê (Haihtmatiiche AnnaUn^ U XLl, p. 160.285).
