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nous trouvons
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES
on a d'abord les relations
rfy
où f& est Tune des racines de Téquation
iq,
Aux formules (47) on peut en ajouter au moins une autre, indépendante du système d'intégrales qui a servi pour la définition. En différentianl m fois de suite par rapport à y la première des équations (46), il vient
ultiplions par dx et remplaçons ^ jJ da par
En opérant de même avec les autres équations (46)| on arrive & 9i équations, entfe lesquelles on pourra éliminer les dérivées d*ordre
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pourvu que yi soit racine de l'équation A (yi) 2s o. Cette élimination
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nous fournit une ou plusieurs équations de la forme
+ [>. (^) + ... + .. (le)] ^ = ».
que Ton devra ajouter aux équations (47). Dans le cas général, où (a est racine simple de  (;a) = o, cette élimination ne peut se faire que d*une façon, et le nombre des variables qui figurent dans les équations différentielles des caractéristiques dépasse toujours de n unités le nombre des équations. On montrera encore de la même façon qu-une caractéristique d'ordre m est contenue dans une infinité de caractéristiques d'ordre m -f- 1, dépendant d'une constante arbitraire.
Une fois les caractéristiques d'ordre supérieur définies, l'extension de la méthode de M. Darboux se fait toujours d'après les mêmes principes, et son application ne présente que des difficultés de calcul, du moins lorsque les n systèmes de caractéristiques sont distincts.
219. On voit donc qu'en définitive toutes les méthodes développées dans cet ouvrage reposent sur la considération de certaines multiplicités à une dimension, ou multiplicités caractéristiques, qui jouissent de propriétés particulières relativement à une équation donnée. Pour étendre ces méthodes aux équations à plus de trois variables indépendantes, il semble donc que le premier pas à faire consisterait à étendre d'abord la notion si féconde des caractéristiques. Cette extension peut se faire de plusieurs façons, suivant la propriété des caractéristiques que l'on regarde comme la plus importante. On peut, par exemple, partir du problème de Cauchy généralisé ; c'est ce qu'a fait récemment M. Beudon pour les équations du second ordre à un nombre quelconque de variables indépendantes (*). Il arrive ainsi à définir des multiplicités an — 1 dimensions d'éléments du second ordre, appartenant à une infinité d'intégrales, et qui sont les analogues des multiplicités caractéristiques à une dimension pour une équation à deux variables. Mais ces multiplicités sont définies par des relations quadratiques par rapport aux dérivées, ce qui ne permet pas l'application de la méthode de M. Darboux.
On pourrait partir d'une autre propriété pour essayer cette extension. Étant donnée une équation du second ordre à deux variables indé*
pendantes ...
F (», y, jr, p, q,r,t,i)=o^
(1) I. Bbuoox, « Sur les caractéristiques dei équations aux dérivées partielles » (0«Ue/iii ii0 la Société maihémaiique, t. XXV, p. 108-120).
,i«^« iini »*i*Mt iiiM F ■ ^mi,%tma,Atim ■ ifc»»» • «.<«tr I ■'■rf tiifca^i^^ in**» -a 'i i''i>il 1 itii htt i--r*"'^^'*lf'Mrrt*il'-ii- "•l'i'fni
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES 331
soit (S) une surface intégrale ; si on considère sur celle surface une famille de courbes définies par Féquation dilTérenlielIe
où Ton prend pour y, une fonction convenablement choisie de <x?, y, z^ Pf 99 ^t <t ^ nous avons vu qu^on pouvait ajouter à Téquation précédente une autre relation de la forme
Adr + Bdt + Crf/ + Drfp + ... = o,
diiïérente de dF = o et indépendante de Tintégrale considérée. Tous les raisonnements que nous avons faits sont basés sur Texistehce de cette nouvelle équation linéaire en c/r, dt^ di^ rfp, dq^ dx^ que l'on peut ajouter à rfy = \Ldx. Étant donnée alors une équation du second ordre, à trois variables, par exemple,
(61) F {a?|, 0?,, 0?,, z ; p^, p„ p,; p,,, p,„ ..., p,,) = o, où on pose
et une intégrale de cette équation, considérons, sur cette intégrale, une famille de multiplicités à une dimension définies par deux relations
où X|, Xj, X, sont des fonctions de X|, a?,, ^p^i ••.» Paa* Si, en choisissant •
convenablement ces fonctions X|, X,, X,, on pouvait déduire de Téqua- >
tion proposée une relation linéaire en dp^^^ ..., dp^^^ autre quecfF =r ô, ?
indépendante de Tintégrale considérée, Tanalogic serait complète avec l
une équation du second ordre à deux variables indépendantes, et les ^ [
méthodes employées dans ce cas particulier s'étendraient d*elles-mémef • Mais il est facile de vérifier que la chose n^est pas possible, du moins si la fonction F est quelconque ; de sorte qu'on ne sera conduit par cette voie qu*à des équations à trois variables d'une forme particulière. .
Natani (') avait déjà indiqué une extension possible de la méthode de Monge à des équations linéaires du second ordre à un nombre quel- ^ ~^
conque de variables, en se plaçant à un point de vue analogue. Bornons-nous toujours, pour fixer les idées, à une équation à trois variables
(I) Nataxi, IH« /UlA«r« ilnolyHi, p. 38t.
indépendantes:
(53) Anp,| + A|rfi|, + A|,P|, f A„p„ + A„p,j + A,,p„ = B.
où A||, ..., B sont des fonctions de a^^ œ^^ œ^^ x\ p^y P|, p,; par analogie avec Téquation de Monge
Ar 4- %Bm + ci + D = o,
cherclions si Téquation (53) ne proviendrait pas de réliminatiôn des
d»c dx rapports -r-*» -j-' entre trois équations de la forme : vuCm doc»
\- \~ -kt
adp^ + Wp, -j- crfp, + A^i = ^• Il faut pour cela Tidentifier avec Téquation
^hPîî + (A% + ^\)Pit + («^« + cX,) Pi, + «,p„
on en tire :
+ (*X, + c\;jip^^ + c\ji>^^ +/X/= o;
aX| = A||, aX, + b\ = A^, ûX, + cX^ = A|„ ftX, = A,,,
6Xj 4" ^Xj = Ajj, cX, = A,), /X| = — B.
Supposons que An n^cst pas nul; on peut alors prendre X| = 1, et . on tire des conditions précédentes : •
^ = A.||| * = A„— .A||X,, c = A|| — A||X|, /==-:^B, A^ = Xj (A|, — A||X|), A|, = X, (A|| — A||X,), Aj, = A|,X, 4" ^uXf 2A||X^;
pour que l'identification soit possible, il faut donc que les trois dernières relations soient compatibles en X,, X|« ce qui exige que les coeffi« cients A/it de lequation (53) vérifient une certaine condition (*). Plus généralement, en parlant de trois équations linéaires quelconques en d!V|, c£ap,, <£p,, rfpi, djp,, ifps,
^H^Pi + ^u^Pi 4" ^at^Ps + *ii^i + *si*»i + *n*Ps == <>i ^n^Pî + ^tt^Pt + ^j»^Pi + *ii*»i + *M^t + ^sj***» = ^* Ai^Pi + «M^'a + ^zt^Pz + *i«^i + ftijrf^t + *«**s ^=^ ^t
(I) Cette condition t*obtlent en égalant à léro le discriminant de la forme qoadra* tique:
,* a «ir w<
taBU-âhAM^wAXjLtX-
GÉNÉRALISATIONS DIVjERSES
réiimination de dœ^ , cfâr^, dx^ conduit à une équation du second ordre analogue à Téquation d^Ampère.
A cette catégorie appartiennent, comme il est facile de s*en assurer, les . équations qui admettent une intégrale intermédiaire du premier ordre
^4» ^t^ ^t étant des fonctions déterminées deâ?|, at,, œ^^ z^ P|, p^t Ps* ^^ f une fonction arbitraire. On pourra consulter sur ce sujet un travail récent de M. G. Vivanti : Suite eqtiaxioni a devivaU parsiali del secoïKVordine a ire variabUi independenli {Malheniaiisehe Atmaien^ t. XLVIII, p. 474-513 ; 1897).
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NOTE I
