SUR L'ÉQUATION AUXILIAIRE

Soient

une équation du second ordre, et ^| une intégrale non singulière de celle équation. 11 existe, comme on sait, une infinité d*intégrales infiniment voisines de celle-là, et dépendant d'autant de paramètres arbi« traires qu'on le veut. Prenons, en particulier, une famille d'intégrales dépendant d*un seul paramètre arbitraire c ; ces intégrales sont représentées par un développement en série de la forme

^ = ^1 + «^ + ^^^^ + .- = ♦K Vf •),

qui se réduit à t^^ pour c =s o. Si on substitue cette expression de z dans Téquation proposée et qu^on développe suivant les puissances croissantes de s, en égalant à Ole coefficient de c, on obtient, pour déterminer y, Téquation linéaire suivante :

où on a posé

yx,

■ M I-- .. rf^.^

(t) \ Sur les équations aux dérivées partielles » {Compif Rendue^ t. XGVI, p. 76ê ; 19 mars 1883).

Voir aussi la note XI du t. lY des LeçoHi $ur la ThéorU généfoU du Surfaeeê^

SUR l'équation auxiuairb

L*équation (3) a été considérée pour la première fois par M.Darboux(*), qui lui a donné le nom d'équalion auxiliaire de Téquation proposée* Nous nous proposons de montrer comment on peut utiliser cette équation dans l'application de la méthode de M. Darboux.

Prenons d^abord une équation delà forme

« — F(«. y, *, Pt ï)i

et supposons cette équation intégrableparla méthode de M. Darboux. Toute intégrale z^ satisfait à une relation, telle que

A(^, yi ^f Pli Pli •••• Pn) = t(»).

ou à une relation analoguoi obtenue en remplaçant P|« p,, •••! p^, x par 9ii 9t^ "-y 9n^ y respectivement. (Les notations employées. sont celles du n'^ 145.) Dans cette formule ^(â?, y, T,Pi, ...«Pn) est une fonction déterminée, et^ (^)une fonction arbitrairedontlaforme varie avec l'intégrale que Ton considère. Une intégi*ale infiniment voisine de la première doit vérifier une relation de même forme, où 9 (a?) est remplacée par une autre fonction

t (^) + «ti (») + •'?i(«) + -

Si on remplace dans /* l'intégrale s par l'expression (3) et qu^on égale les coefficients de % dans les deux membres, on voit que ^ doit satisfaire aussi a l'équation

tz'' + 5^^«' + - + Dj;; i»- == ?• H

ce qui montre que l'équatioh auxiliaire

, ÎF . , JF , , JF ,

est intégrable par la méthode de Laplace (n** 110, 168)«

Pour reconnattrc si l'équation (4) est intégrable par la méthode de M. Darboux, on peut donc procéder comme il suit : on formera les invariants successifs de l'équation linéaire (6), où on considère x comme

■ ■ ■ ■ gn ■! !„ * m W*m n^fc <

NOTE I

une fonction derr, y, satisfaisant à Tcquation (4). Grâce à cette équation, on peut exprimer tous ces invariants successifs au moyen de a;, y, jr, et des dérivées pt et qs. Il faudra qu'en allant assez loin dans un sens ou dans Tautre on arrive à un invariant identiquement nul. Ce procédé de récurrence olTre l'avantage de permettre d'utiliser les calculs déjà faits pour pousser les essais plus loin.

Comme vérification, reprenons Téquation de Liouville,t s e', Téquation auxiliaire est ici 9 = e*z' ; on a pour les invariants

et par suite A| = 2 A — * ^ 5 = e* — ^-r^ = o. Plus généralement, cherchons à quelles conditions Tinvariant h de Téquation auxiliaire sera nul. On a pour expression de cet invariant

pour que cet invariant soit nul pour toute intégrale de Téquation (4), il

VF faut d'abord que Ton ait ^l = o» c'est-à-dire que F soit de la forme

et la condition A == o devient

ÎD , p 3D J^C . ^ DC

comme on Ta déjà obtenu directement (I, n* 46).

On démontrera de la même façon que, si une équation du second ordre de forme quelconque est intégrable par la méthode de M. Darboux, Téquation auxiliaire (3) est intégrable par la méthode de Legendre (n«* 113-115).

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NOTE II