SIMULTANÉES

!• Nous établirons d'abord le théorème auxiliaire suivant Soit un système de n équationsy

Pi = fî (^1 y» ^1» -M ^»; P/+it •••» P»; în ^ii -m ?i)»

P/ = /v (^1 t/t ^o -M ^«; P/+I» --i p«î îii îif •••» ?i)i îi+i = A 4-1 1^1 yi''n«»-»^«;p/+ii ..mP«i îp^h -m?!)*

?• = A (^ly» -'o •••» -'•îP/*!» -M p»; în?r -M ?/)»

où /6« seconds membres /'p Asi -•*» /« '^"^ ^^ fbnctions holomorphes dans lé voisinage d^un certain système de valeurs

«•» y©» (^i)o» •••» Woî lP'+i)#i •••» {p»)#; (?i)#i •••• (?/)•

el où /e« dérivées partielles

«ont nu//e« simultanément pour ces valeurs initiales. Soient ^ de plus^ . -

Ti (y)i Ti (y)f -M fi (y)» *

t fbnctions de y, Kolomorphes pour y = y^, et telles quê

filyo)

mteRATioii

tQOATIOlia. — T. n.

(?i)«. •••! t'* ly«) = i9iU*

■ ^ r*'tii in " -- -- -' • »- ■ I --T -— ■ » - «^- ■«

i^ii«rÉiT-i iTi-ir — r-~ riiTr' ^ ^■Yyi'inji ib

et

NOTE II

4'- Ks

n — I fonctions de x^ holomorphes pour œ = x^^ et telles que

•y'-n(''^o)=(p/+i)oi

Ze« ^9tfâ/ion5*(i) ac/m€/^6n^ un système {Vintégrales ^^ ..'., jr., hoUhmorphes dans le voisinage du point [œ^^ y^), et telles que^ pour x = x^^ ^o ^t% •••« -^z ^^ réduisent respectivement à (^^ (y), f, (y)' •--> ?/ (y\ tandis quejpouryz=y^yZi^^, ...^z^se réduisent à 'ff+i (a?), ^/+, (a?)/..., ^m{^)y

f^s fonctions ^ et •}/ élanl données, on connaît par là même les valeurs iniliales de ioules les dérivées parliellcs par rapport à y des i fonctions ^i, z^^ ..., 7/, ainsi que de toutes les dérivées partielles par rapport à x des n — t fonctions zi^ |, ... z^. Les valeurs initi<Mes de toutes les autres dérivées partielles s'en déduiront ensuite de proche en proche, comme on le voit facilement, par les seules opérations d^addition et de multiplication. Il est donc permis d'employer la méthode des fonctions majo* rantes poiir établir la convergence des développements en série entière ainsi obtenus. En procédant comme on Ta déjà fait plusieurs fois (n^' 82 et 210), on est ramené à démontrer que le système auxiliaire

IPi=P«=- ••=?•=?'+ 1 =•• •=

gi+...+yrfPf^.|4-...+p» \

où M, p et R sont'des nombres positifs déterminés et a un nombre positif quelconque inférieur àirunité, admet un système d'intégrales holomorphesMans le domaine du point â? = y =: o, et représentées par des développements en série dont tous les coeflicients sont réels et positifs. Cherchons, pour cela, à satisfaire à ce système en posant

w=«+«y,j'^ = jr, = ... = Xi=jr(a?4-«y),jr^+^ = ...=jr.= -^{d?+ay);

on en tire

Pi =Pi = — =P/ = ?/+! =

if iif

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