Soit

une équation linéaire où les coeflicients a, &, c et le second membre M sont des fonctions données des variables indépendantes x et y. Pour que cette éciuation admette une intégrale intermédiaire dépendant d*ane fonction arbitraire, on a vu plus haut (t. I, p. 94) que les coefficients a, b, c doivent vérifier Tune au moins des deux relations (')

ia

r — i- ab — c =

- + ab-c=o.

(1) Auteurs & consulter : Euler, tnslHutionet CalcM Inlef/i^alh (t. III). — Laplaci, Recherche» muv le calcul intégral aux différences paHielle» (.Mémoires de rAcadémle; 11T3}. — Daiibous, LeçoM sur la théorie générale des surfaces (t. II; chapitre ii et suivants).

(<) CSes conditions ont d'abord été trouvées par Euler, en cherchant à ramener Téquatlon (1) à l*une des formes :

par un changement de fonction inconnue tel que s = ve^ {instHuliones Calculi Me* gratis^ t. III. Pars prima. Seeiia sêeunda,)

iirrftoRATiox MS tQUATioxs. — Tome II. I

Supposons, par exemple, que Ton ait

réciuation (i) peut s*écrire

En prenant pour Tonction inconnue ;p -f «^ = ti, celle fonction ti est

délerminée par Téqualion aux dérivées parlielles linéaire du premier ordre

qui s'inlègre comme une équation différentielle et dont Tinlégrale générale est

1* = e-/«' j Y +/Me/'"' dx |i

Y élant une fonclioii arbitraire de y. On a donc une intégrale intermédiaire, avec une fonction arbitraire de y,

(4) |+«. = «-/«'JY+/Me/"'rfrj;

celte équation du premier ordre peut, à son tour, être intégrée comme une équation différentielle linéaire, et finalement on obtient pour Vintégralc générale de Téquation (1) Texpression suivante

(5) s = e-S'^' fx + Jj Y +f'SlJ'^ ilx j J^^ - ^ rfylf

avec une fonction arbitraire X de la variable x qui ne figure sous aucun signe de quadrature, et une fonction arbitraire Y de la seconde variable y qui est engagée sous un tel sigpé.

On peut remarquer que cette expression est de la forme

= • [x +/pY«ly] + T,

c, p, Y désignant trois fonctions déterminées de x et de y, X et Y deux

M«Mb»««^

lA MÉTHODE DE LAPLACB 3

fonctions, arbitrai i*cs de x et do t/ respectivement. Inversement, toute expression de cette forme représente, quelles que soient les fonc* ti ons «, p, Y, rintëgrale générale d*une équation de la forme (i), où les coefTicients a^ &, c satisfont à la relation (2). On lire, en effet, de la valeur de s .

(6) et par suite

si Toii «léycloppc les calculs, on trouve bîca une équation linéaire en '*« P> ?i ' t *lont la relation (C) est une intégrale intermédiaire avec une fonction arbitraire Y.

On voit de même que, si l'on a

r ^ aô — C = o,

et/ '

rintégrale générale de Téquation (1) est représentée par la formule

(8) z = ^V'"" Ty +f\ X ^fMef"'' dy j ef

Mx~arfy

Dans les deux cas qui viennent d*é(rc examinés, Tintégrale générale de l!é(|ualion proposée s*obtient donc par des quadratures. La solution du problème de Caucby se ramène elle-même à des quadratures; car, si Ton a, par exemple

la connaissance d'une courbe située sur la surface intégrale, et du plan tangent en chaque point de cette courbe, détermine la fonction arbitraire Y qui figure dans Tintégrale intermédiaire (4) (T ; n* 32). On est donc ramené à cbei*cher une intégrale d*une équation du premier ordre passant par une courbe donnée. I^s seuls cas exceptionnels qui puissent se présenter sont ceux où la courbe donnée est située dans un plan parallèle à Tun des deux plans j? = o, y = o. Remarque. — Lorsqu*on a à la fois

r-^ab -0 = 0,

<- -}- aft — c =s o,

réqaatîon (1) admet deux intégrales intermédiaires distincles, dépendant chacune d*une fonction arbitraire; on peut donc la ramener à la forme « = o (I ; n^ 43). La vérification est facile ; des relations précédentes on déduit

ce qui montre que bel a senties dérivées partielles d*une fonction V (j?, y) par rapport à â? et à y respectivement,

Y =Jmx + ady.

En posant, dans Téqualion (1), ^ = vé ' ^, on est conduit à Téquation

dont rinlégrale générale est

V =J* dxC lU^dy + X + Y.