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rfo? ...

où cfy = (jLcto, est de rani/ r lorsque celte valeur de -^ annule tous les

mineurs à n — r -|~ ^ lignes de ^A, sans annuler tous les mineurs & n — r lignes ; ce rang est au plus égal à Tordre de multiplicité de la racine. Pour une racine simple, on a r = i.

Nous allons établir que toute caractéristique du système, provenant d'une racine doni le rang r est égal à tordre de muUiplicité^ appartient à une infinité de systèmes d'intégrales, dépendant de r fonctions arbi« traires. En particulier, toute caractéristique provenant d'une racine simple appartient à une infinité de systèmes d'intégrales dépendant d'une fonction arbitraire.

Étant donnée une caractéristique provenant d'une racine de l'équation A(ii) = o, dont nous désignerons l'ordre et le rang par n — i, imagi* nons que l'on clTectue une transformation ponctuelle de façon que les équations finies de cette caractéristique soient

a = o, jr^ = Pi = jr^ = o, (t = 1, 2, ..., n).

Dans le déterminant A, faisons cto? = o, c(y = 1 ; le déterminant ainsi obtenu

3pi 3pi

3F. . 3F, îpi 3p.

doit être nul, ainsi que tous ses mineurs & i -{- 1 lignes, sans que tous les mineurs k t lignes soient nuls* Nous pouvons supposer, par exemple, que le mineur

n'est pas nul pour a» s= y = jr^ = p^ = ^ ^ = o, et résoudre les i pre*

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