SUR LES CARACTÉRISTIQUES DBS ÉQUATIONS SIMULTANÉES
mières équations par rapport à P|, p,, ..., p/ :
Pi =/•,(«, y, jr^, ..., x.;p/+|, •..p»;9|, ... Jn),
Les fonctions /*!, ...,/i étant supposées régulières dans le voisinage des valeurs â? ss y = X| =r p/ = ^^ = o, on peut admettre, sans diminuer la généralité, que les dérivées partielles
sont nulles pour ces valeurs. 11 8uflirait,cn eiïet, de remplacerai , jr^, ..., ^i par de nouvelles inconnues, en posant
X| = Z, + «/+i^a + i + ••• + ««^«i jrj= Zj -j-P'+i-^' + i + ••• + P«'«f
pour être ramené à ce cas, en choisissant convenablement les constantes >/•!• Il ?/ •!• I ••• Pour ne pas multiplier les notations, nous supposerons les équations (7) ramenées à cette forme.
La caractéristique considérée provenant d'une racine d*ordren — ide A ({&) = 0, le déterminant A doit être divisible par d!a?"~* et ne doit pas être divisible par d^-* ^ *. Or, à Torigine, ce déterminant se réduit i
SA
rfy + r^ cte, r-t rf»
db
dy+^dx,^^dm, . .
ht
D*autre part, quand on fait dans ce déterminant cfy s= 1/ db = o, tous les mineurs à 1 4- 1 lignes doivent être nuls, ce qui exige que Ton
^^ .. .I«j ^ m-Jf.^- •■»■'*-» « ,fc«^'~.iii li ' ' *' ' T i «<<>J
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ail
NOTB II
dp.
ÎF.
Le coeflicient de dt^dœ^"' est alors
et, comme nous supposons que la racine dx = oest d*ordre n^i seulement, on voit qu*on pourra résoudre les n — t dernières équations par rapporta ?i^.|, ..., 9i»* Finalement, le système proposé (5) peut être ramené à la forme
Pt ^/it*! y» 'o •••» *»» P/+I» •••1 i>»; ?u?j. -"i î/)»
les fonctions /*!, /^t» •.., A étant holomorphes dans le domaine de Torigine, et les dérivées parliclles de ces n fonctions par rapport à p/ j. ^ ..., Pm étant toutes nulles à Torig^ne.
On peut appliquer à ce système le théorème démontré au début ; mais nous remarquerons d*abord que, pour que ce système admette. pour multiplicité caractéristique la multiplicité
49=0, X/ = Pi = Çi=r0, (t = 1, 2, ..., n),
il faut que les développements en série des fonctions /*,, /*,, •••«/* u® ^^' ferment aucun terme en y*", ni de terme constant, et que les fonètions /î 4. 1 ..., /\ ne renferment pas de terme en œ. Cela posé, faisons dans le théorème général f^ (y) = f, (y) ss... = tf, (y) = 0, et prenons pour
^''•i- 1 (^)i ^/ + s (^)t ««M 4^11 (^) des fonctions holomorphes de w dont le développement commence par un terme en a^« On démontrera, de proche en proche, que les développements de r|, t^^ ...,'« contiendront tous m* en facteur, quels que soient les autres coefficients de ^/ 4. |, •••, 'N* Tous les éléments de la multiplicité considérée appartiennent donc à ce sjs-. tème d'intégrales.
M' I TiMÉ ViM-'-m -'■■■" '-,^1
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