I IL
appliquées à Téquation (1), ne réussissent qu*à cause de la forme particulière de cette équation. Si Ton appliquait une de ces transformations à une équation de forme quelconque, on serait conduit, pour la nouvelle inconnue, non à une équation du second ordre unique, mais à un système de plusieurs é(iuations d'ordre supérieur au second.
On peut remarquer encore que chacune de ces transformations peut se décomposer en plusieurs transformations simples; on peut écrire, par exemple,
ce qui montre que la transformation est équivalente à la suite des trois suivantes
u = zeJ » t? = ^- » <r| r= ce «^
du
dont la première et la troisième s*appliqucnt à toute équation du second ordre, tandis que la seconde ne réussit que pour des équations d*une forme particulière*
103. Pour continuer Tétude de la méthode de Laplace, nous remarquerons d*abord qu'on peut, sans diminuer la généralité, supposer M = o; car, si y est une intégrale particulière de Téquation proposée, il suffit de prendre pour nouvelle inconnue 2 — x' pour être ramené à ce cas. Du reste, les propriétés que nous allons établir 8*étendent, sans modification essentielle, au cas où M n'est pas nul.
Les fonctions h et A, introduites plus haut, jousnt dans cette étude an rôle fondamental. M. Darboux a donné à ces fonctions h et A le nom à'invarianU^ qui est justifié par les propriétés suivantes :
Faisons d'abord dans l'équation linéaire sans second membre
#W>Ol»— irfM<—
| t ir -^^«. ■ -■ M ^^ ..^^
le chahgement de %'artables
y = 4'Cy');
on est conduit à une nouvelle équation de même forme
dont les nouveaux invariants sont respectivement
h' = h^t'ia!-) f (y').
A' = Af(a;')f(y').
Si Ton change œ en y, et y en œ^ on échange les valeurs de /t et de A. De même, si, dans Téquation (15), on pose z = X^, X étant une fonction quelconque de a et de y, on trouve une nouvelle équation de même forme
îT-r- + a'rr- + b — + c-5' = o, oxvy • ox * ^y
les eoeflicients a', b\ e' ayant les valeurs suivantes
c'-c + a^iSfiL^+fiilSKi + îiîL;
on vérifie sans difficulté que l'on a
^' t fat / ^^ I 1
^ + ab-e=^^ab-c.
^ + a'V-c' = ^ + ab-e.
On voit ainsi que les invarianis de féquation (16) sofii respecHvemeni égaux aux iftvariauU de Véquation pnnuiive (15).
Étant données deux équations linéaires, telles que (15) et (16)| pour que Ton puisse passer de Tune i l'autre en posant j= \z\ il est donc nécessaire que les deux équations aient les mêmes invariants. Ces con* ditions sont aussi suflisantes ; en.eiïet, si la transformation est possible,
LA MÉTHODE DE LAPLACE
les deux premières équations (17) donnent
? logX ou ■
et lu condition d'întégrabilité
tV
est une consé<|uence des équations (18). La valeur de \ ainsi obtenue
satisfait aussi à la dernière des équations (17), comme le montre un calcul facile. On voit par suite que, si Ton ne considère pas comme distinctes deux équations linéaires qui se déduisent Tune de Tautre par une transformation telle que js == Iz'^ une équation linéaire est complètement déterminée, quand on connaît ses invariants. Il est en elTet possible de trouver des formes réduites dont les coefRcients peuvent se calculer au moyen des invariants exclusivement ('). Considérons en particulier une équation de la forme
— mx = o ;
ses deux invariants sont égaux et, par conséquent, elle ne peut être prise pour forme canonique d'une éc^uation linéaire (|uelconque. Pour cju'une équation linéaire puisse être ramenée à cette forme, il faut que ses invariants soieni égaux, La condition est d'ailleurs suffisante, car, si les deux invariants d'une équation sont égaux à A, elle a les mêmes invariants que l'équation
r-rr hx' = O,
et| par suite, les deux équations se ramènent l^une i Tautre.
104. Revenons maintenant à la transformation de I^place. Soit (B) l'équation linéaire sans second membre, à laciuelle on applique cette transformation, (EJ Téquation linéaire de même forme que Toq en
{}) Daiiboox, loe, cjl., p. St.
10 CHAPITBB V
déduit par la première IrànsFormation de Laplace
'* = jy + "-''
(K^i) réquatiûn que Ton déduit de (E) par la seconde transformation
appelons de môme A, A; h,, k, ; A.,, A., les invariants de ces trois équations respectivement. Ou a, d'après les formules obtenues plus haut (13) et (14),
(19) -^ { ' iX^lf
2*-A-5ii2g*.
ixiy
Les invariants des deux équations (E,), (E.|) ne dépendent donc que des invariants de Téquation (E); propriété importante, qui montre que^ si deux équations (E), (E') peuvent se déduire Tune de Tautrc en posant z = Xs\ il en est de même des transformées correspondantes (E,), (E|') et (E -.,),(£'-,).
A chacune des équations (EJ, (E.,) on peut évidemment appliquer de nouveau la méthode de Laplace, mais il est essentiel de remarquer que chacune d*elles ne donnera pas naissance à deux équations nouvelles. Prenons, par exemple, Téquation (EJ
et appliquons-lui la seconde transformation de Laplace en posant
en se reportant ù la formule (9}| et faisant M == o, il reste simplement
de sorte que la seconde transformation, appliquée à Téquation (B|), nous ramènerait à une équation qui se déduirait de (E) en changeant z en hz.
cùÊfi mm
y*--fi/ii?"'niii>r
LA MÉTHODE DE LAPLACE
La première Iraasforinalion, appliquée à Téquation (E-i), conduirait de môme à une équation qui se déduirait de (E) par le changement de s en kz. Si donc on regarde comme équivalentes deux écpiations qui se ramènent Tune à Tautre par le changement de z en Xj, l'application répétée de la méthode de Laplace conduira seulement à une suite linéaire d*équalions
à indices positifs et négatifs, dans Inquelle chaque équation (E/) se déduira de Tcquation (E/.|) par la première substitution etde Téquation (E/+i) par la deuxième. -
11 résulle de ce qui précède (|ue deux équations de cette suite s'intègrent en même temps et, par suite, on saura intégrer toutes les équations de la suite dès qu*on saura intégrer Tune d*elles. D'une manière plus j>récise, si Ton sail résoudre le problème de Cauchy pour une équation de la suite, on peut résoudre le même problème pour toutes les autres équations de la suite. 11 suffit évidemment de prouver que ce problème se résout en même temps pour deux équations consécutives. Afin de simplifier les notations, considérons les deux équations (E) et (E|). Supposons qu'on veuille obtenir une intégrale de Téquation (E) passant par une courbe C, le plan tangent étant donné en chaque point
de cette courbe. Le long de C, x^ y, ^, — » ^ sont des fonctions données
d*un paramètre variable ; quand on fait la transformation de Laplace
a la courbe C correspond une autre courbe C|. Comme Téquation pro* posée peut s'écrire
on connaîtra aussi la valeur de -r-^ le long de la courbe Ci, et on aura
ensuite la valeur de r^ au moven de la relation
On est donc ramené à chercher une intégrale de Téquation (B|) pas-
sant par la courbe C| et ayant un plan tangent connu le lonj; de cette courbe.
Si, en poursuivant Tapplication de la méthode de Laplace, on arrive H une équation (E/) ayant un invariant nul, on ne peut plus continuer Tapplication de la méthode, car cet invariant sera nécessairement A/» si t est positif, et la suite de Laplace relative à Téquation (E) est limi* tée de ce côté à l'équation (E/). Dans ce cas, Téquation (E/) et, par conséquent, toutes les équations de la suite, s^intègrent par des quadra* tures ; la solution du problème de Cauchy se ramène aussi, pour Tune quelconque des équations de la suite, a des quadratures. 11 en serait de même si la suite se terminait à une équation d*indice négatif.
Les invariants des équations (E/) se déduisent des invariants h ei k par remploi répété des formules (19) et (20} ; en appelant A/ et ki les invariants de l'équation (E/) on a
et en faisant successivement t := 0, 1, 2..., on caloulcra de proche en ! proche les invariants des équations (E/) à indice positif. Pour calculer
I les invariants des é(iuations à indice négatif, on emploiera les for-
! mules
OÙ Ton fera successivement i = — 1, — 2, — 3 ...
105. Lorsque la suite de Laplace relative à Téquation (E) se termine d*un coté, on obtient pour Tintégrale générale de cette équation une expression renfermant explicitement une fonction arbitraire et ses dérivées en nombre fini, tandis que la seconde fonction arbitraire figure sous des signes de quadrature. Remarquons d*abord que, si jzt est Tintégrale générale de Téquation (E/) d*indice positif, diaprés la façon dont on passe de Téquation (E) a Téquation (E/), Tintégrale générale de Téqua- ^
tion (E) est une fonction linéaire et homogène de jr^, ^**** t-^* dont les
coeflicients sont des fonctions déterminées de a et de y. Si Tinvariant hi de Téquation (E/)
LA MÉTHODE DE LAPLACE 13
est nul, riiitégrale générale de celle équalion esl de la forme (n* 101)
.:, = « (X +/pYrfy)
a cl p étanl des fondions délerminées de x cl de y^ X une fonclion arbilraire de a?, cl Y une fonclion arbilraire de y. L'inlégrale générale de Téqualion (E) sera donc
(23) -- = A (x +/Yprfy) -f- A, (x' + Af g dy") +
(X.«+/Yg.,)
A, Af, ..., A/ désignant aussi des foncUous délerniinécs de a? el de y. On voil que la fonclion arbilraire Y est engagée sous plusieurs signes d'inlégraiion, qu'il est en général impossible de faire disparaître. Si Ton suppose Y = o, on obtient une intégrale où figure une seule fonction arbitraire X
(2.1) ;r ^ AX + A^X' + ... + A/X<'>,
sans aucun signe d*intégralion.
Réciproquement, toutes les fois qu'une équation linéaire admet une solution de la forme précédente^ où X est une fonction arbitraire^ la suite de Laplace relative à cette équation se termine cTun côté après t opérations au plus (*).
En effet, remarquons d'abord que, si Ton substitue dans le premier membre de Téquation (13) une expression de la forme (24), le résullat de la substitution est de la forme
IIX + 1I,X' + IIjX-' + ... -î- H/^,X«'+«);
si réquation doit être vérifiée, quelle que soil la fonction X, ou doit avoir séparément II = H| = ... = H|^| = o. Autrement, eu attribuant a y une valeur particulière n'annulant pas tous ces coefficientSi on obtien* drait une équation linéaire pour déterminer X« En calculant les coefii-
(*) Laplack, Mémoires de V Académie des Sciences^ 1773, ort. VII, p. 3SS.
l-i CHAPITRE V
cîcnls Il/f 11/4.1, qui sont seuls utiles, on trouve les conditions
Si dans la seconde relation on remplace rr^ par sa valeur déduite de
I la première, on trouve
