I AX + A,X' + ... + A|X

on peut toujours la mettre sous une forme analogue, où figurent une ' fonction arbitraire et ses dérivées jusqu'à un ordre aussi élevé qu'on le veut ; par exemple, en remplaçant X par X| + X'|, on a une expression qui renferme la dérivée X/'-i-^^ On dit qu'une expression de U forme (24) est de rang i+ l par rapport A x^ lorsque Tordre de la plus liaute dérivée qu'elle contient est t^ et lorsqu'il est impossible de la

HMM*yÉ«A«ah«*«taaaiMBlMM

LA MÉTHODE DE LAPLACB

mettre sous une forme analogue où ne figureraient que des dérivées d*ordre inférieur k i de la fonction arbitraire.

D*après ce qui précède, lorsque la suite de Laplace relative à Téquation (E) se (ermine à une équation (E/) dindice positif, Téqualion (E) admet une solution de la forme (2i). Cette solution est bien de rang t -|- 1; en effet, si elle pouvait se ramonera une expression de rang inférieur y + 1 (j < Oi l'application répétée de la première substitution de Laplace conduirait à une équation ayant un invariant nul après J opérations au' plus, d'après la réciproque qui vient d*étre établie.

106« En échangeant le rôle des variables x et y, on voit de la même façon que, si Tapplication répétée de la seconde substitution de Lajplace conduit, après y opérations, à une équation (E.y) ayant un invariant nul, rintégrale générale est représentée par une formule analogue à la formule (?3), où la fonction arbitraire X figure sous plusieurs signes d'intégration. L*é(iuation proposée admet une intégrale particulière

^ = BY + B,Y' + ..• + ByY^,

de rang y + * P^** rapport à y, et inversement.

Enfin, si la suite de Laplace relative à réquation(E)est terminée dans les deux sens, d'une part à Téquation (E/) d'indice positif, d*autre part à Téquation (E.y) d'indice négatif, les deux fonctions arbitraires peuvent être débarrassées de tout signe de quadrature dans l'intégrale générale, qui est représentée, par une expression de la forme

^ = AX + A,X' + ... + A^X<'> + BY + B,Y' + ... + ByY'^^

de rang (t -f- i) P&i* rapport hx et de rang^ -^ 1 par rapport à y. Remarquons que toutes les équations de la suite

ont pour intégrale générale une expression de même forme. Quand on passe d'une équation (Ejt) à ré.(uation voisine (Eit^^), le rang de la solution par rapport à x diminue d'une unité| tandis que le rang par rappoK à y augmente d*une nnité.

107. Proposons-nous maintenant de former toutes les équations linéaires dont la méthode de Laplace peut fournir Tintëgrale générale. I^ problème revient évidemment à former toutes les suites d'équations

linéaires, se déduisant les unes des autres par la méthode de Laplace, et qui sont terminées dans un sens ou dans les deux sens.

Pour obtenir une suite terminée dans un sens, il suffit évidemment de partir d'une équation ayant un invariant nul, et de former la suite d'équations que Ton obtient par Tapplicalion répétée de Tune des transformations de Laplace. Par exemple, en partant d'une équation (E), pour laquelle l'invariant h est nul et en appliquant la seconde transformation, on formera une suite en général illimitée.

11 est plus difficile d'obtenir toutes les suites de Laplace limitées dans les deux sens, car, si on part d'une éciuation quelconque ayant un invariant nul, la suite de Laplace sera en général illimitée dans Tautre sens. Je rappellerai succinctement la méthode emploj^ée par M. Darboux. Soit (E) une éqiiation linéaire

pour laquelle l'invariant ^ = ^ — h ^^ — ^^^^ n^^l ; s> l*on f&ît 1^ trans-

formation

z = ^e -/«'», on est conduit à une équation en

5*6 , 4 î>« r— r- + A r- = o, cxoy • oy

qui admet une intégrale intermédiaire de la forme

a étant une fonction déterminée de x et de y, et Y| une fonction arbitraire dey. Si la suite obtenue en appliquant à Téquation (25) la seconde transformation de Laplace se termine après n opérations, cette équation admet une intégrale de la forme

6 = BY -f B|Y' + ... + B.YW

où n, B|, ..., B« sont des fonctions déterminées dëâvet de y, Y une fonction arbitraire de y, et réciproquement, s'il en est ainsi, la suite relative n la seconde transformation de Laplace se termine après n transformations au plus.

Tout revient donc ù exprimer que l'équation (25) admet une intégrale

LA METHODE DE LAPLACB

de la forme (^7). En substituant cette expression de dans l'intégrale intermédiaire (26) et attribuant à x une valeur numérique quelconque, on reconnaît que les deux fonctions arbitraires Y et Y| doivent être liées par une relation de la forme