RELATIONS DES FORMES GÉOM. ENTRE ELLES

porté au terrain ; et en effet deux quelconques de leurs points sont correspondants, puisqu'ils sont tous deux la projection du même point du terrain. A une droite de l'une des figures correspondra toujours une droite de l'autre. Toutefois deux systèmes plans de ce genre n'ont plus en général l'un par rapport à l'autre la situation particulière qu'on a définie ci-dessus, à savoir que deux lignes correspondantes sont dans un même plan et que les lignes qui joignent deux points correspondants se coupent toutes en un même point bien déterminé. Nous aurons dans la suite à examiner de plus près les relations qui existent entre deux pareils systèmes plans. Deux systèmes peuvent encore être rapportés l'un à l'autre de telle sorte qu'à une droite de l'un corresponde une courbe de l'autre ; ou bien encore qu'à chaque point de l'un corresponde une droite de l'autre et que réciproquement à chaque droite du premier corresponde un point du second. Quant à présent, nous laissons à l'imagination des lecteurs le soin d'inventer ou de se représenter les relations si nombreuses qu'on peut établir entre les formes fondamentales.

TROISIÈME LEfiON.

Loi de réciprocité ou de dualité. — Polygones, multilatères, polyèdres, etc., simples et complets.

Avant de faire connaître complètement les relations qu'on peut établir entre les formes fondamentales de la géométrie moderne, nous devons attirer Tattention sur une loi géométrique qui occupera une place importante dans nos leçons, car elle facilite d'une manière extraordinaire l'étude de la géométrie de position en divisant en deux parties le champ si vaste que présente cette science et en mettant ces parties en regard Tune de l'autre, de telle manière que l'une se déduit immédiatement de l'autre. Cette loi s'appelle la loi de réciprocité ou de dualité. Quoiqu'elle ne puisse pas toujours s'appliquer d'une manière exacte dans la géométrie métrique, les lecteurs ont rencontré déjà bien des théorèmes qui s'y rattachent justement ; et il suffira de les leur rappeler pour leur faire connaître cette loi. Ainsi, dans l'espace, le point et le plan se présentent coimne deux éléments réciproques l'un à l'autre, de telle sorte que chaque théorème de la géométrie de position trouve son complément dans un autre théorème qu'on déduit du premier en échangeant entre elles les expressions point et plan et conséquemment aussi ponctuelles et faisceaux de plans, segments et dièdres, etc. En général, deux propositions réciproques de ce genre sont placées en regard l'une de l'autre comme les deux faces d'un même théorème, par exemple :

Deux points A et B déterminent une droite AB, qui est la ligne qui les joint.

Une droite a et un point B non situé sur elle déterminent un plan

Deux plans a et [3 déterminent une droite a (i , qui est leur ligne d'intersection.

Fne droite a et un plan [3 qui ne passe pas par elle déterminent

LOI DE DUALITE.

«B qui passe par la droite et le point.

Trois points A, B, G, non situés sur une même droite, déterminent un plan ABC (leur plan de jonction).

Deux droites a et b qui ont un point commun sont dans un même plan ah.

un point a [3 qui est situé sur la droite et le plan.

Trois plans a, p, y, qui ne passent pas par une même droite, déterminent un point a ^ y (leur point d'intersection).

Deux droites a et 6 qui sont dans un même plan ont un point ab commun.

On remarquera déjà en passant dans ces quelques théorèmes com- J3ien est utile dans la géométrie l'introduction des éléments à l'infini, ou éléments impropres. Sans cela nous n'aurions pas pu énoncer toutes ces propositions dans toute leur généralité et nous aurions dû en mettre à part quelques cas particuliers pour en former des exceptions. Par exemple, la première proposition à droite aurait dû s'énoncer comme il suit : « Deux plans a et fi déterminent une droite ou sont parallèles » . Dans notre nouvelle manière d'envisager les choses, nous avons encore une droite dans la dernière hypothèse : c'est la droite à l'infini dans les plans. De même, dans la première proposition à gauche, il aurait fallu distinguer plusieurs cas, selon que les deux points donnés sont des points propres ou impropres. Nous aurions dû l'énoncer ainsi : « Une droite est déterminée par deux points (propres) ou par un point et une direction », tandis qu'actuellement, au point de vue perspectif, le second cas se trouve tout simplement ramené au premier parce que, par point donné, on entend un point à distance finie ou infinie. Chacun des autres énoncés donne lieu aux mêmes observations.

Ces propositions conduisent aux problèmes suivants (du premier degré) que dans l'avenir nous considérerons comme toujours susceptibles d'être résolus :

Par deux points mener une droite.

Par une droite et un point situé en dehors d'elle mener un plan.

Par trois points mener un plan.

Trouver la ligne d'intersection de deux plans.

Etant donné une droite et un plan qui ne passe pas par elle, trouver leur point d'intersection.

Trouver le point d'intersection de trois plans.

Mener un plan par deux droites qui se coupent.

Trouver le point d'intersection de deux droites situées dans un même plan.

Comme exercice, nous ajoutons encore quelques propositions doubles très usitées. Nous conseillons aux lecteurs, étant donné la première partie de la proposition double, de rechercher eux-mêmes la seconde partie, qui est réciproque de la première.

Étant donné quatre points A,B, G,D, si les lignes ÀB et CD se coupent, les points sont dans un seul et même plan et par suite aussi les droites ÂC et BÏÏ, W et ilc, doivent se couper.

Etant donné quatre plans a, g, Y, S, si les lignes d'intersection a^ et yô se coupent, les plans passent par un seul et même point et par suite les lignes aY et pS, «S et (îy, se coupent aussi.

Si des droites en nombre quelconque se coupent deux à deux, mais

ne passent pas toutes par un même point, elles se trouvent toutes dans un même plan.

ne se trouvent jias toutes dans un même plan, elles passent toutes par un même point.

Souvent un théorème est son réciproque à lui-même, si le point et le plan y figurent d'une manière symétrique.

Soit, par exemple, cà résoudre le problème suivant : (c Par un point donné d'un plan, mener dans ce plan une droite rencontrant une droite donnée qui n'est pas située dans le plan et qui ne passe pas par le point. » On a ici deux solutions qui sont réciproques l'une de l'autre.

Ou bien on joint le point donné avec le point d'intersection de la droite et du plan.

Ou bien par la droite et le point donnés on mène un plan et on cherche son intersection avec le plan donné.

A ce problème on peut facilement ramener les suivants :

Par un point donné, mener une | Dans un plan donné, mener une