LOI DE DUALITÉ

droite qui coupe deux autres droites non situées dans un même plan avec le point.

On fait passer un plan par le point donné et une des droites données,

droite qui coupe deux droites données n'ayant pas un seul et même point commun avec le plan.

On détermine lepoint d'intersection d'une des droites avec le plan donné,

et le problème est alors ramené-au précédent.

Le problème « mener une droite qui coupe trois droites données » est aussi réciproque à lui-môme. On peut, ou bien prendre un point sur une des droites, ou bien mener un plan par elle; en se reportant aux données du problème double qui précède, on peut alors chercher une droite qui passe par ce point ou qui soit dans ce plan et qui coupe les deux autres droites données.

Les formes fondamentales peuvent aussi être placées les unes en face des autres comme formes réciproques : c'est, par exemple, ce qui a lieu pour le système plan et la gerbe, parce que leurs supports ou lieux, qui sont respectivement le plan et le point, sont réciproques l'un de l'autre. D'après cela les éléments ou formes réciproques sont respectivement :

dans le système plan :

Le point ; la ponctuelle ; le rayon considéré comme ligne de jonction de points ; le faisceau de rayons, etc.

et dans la gerbe :

Le plan ; le faisceau de plans ; le rayon considéré comme intersection de plans; le faisceau de rayons, etc.

Ici comme dans bien des propositions précédentes, on aura dû être frappé de cette remarque que la droite dans l'espace (ou le rayon) est réciproque à elle-même. Elle occupe en réalité une situation intermédiaire entre les éléments points et plans qui sont réciproques. Gomme exemple d'une proposition double, où le système plan et la gerbe figurent comme formes réciproques, nous donnerons la suivante :

Si deux systèmes plans sont rapportés l'un à l'autre de telle manière qu'on les considère comme

Si deux gerbes sont rapportées l'une à l'autre de telle manière qu'on les considère comme les

POLYGONES, MULTILATERES, TOLYEDRES, ETC.

des sections d'une seule et même gerbe, les éléments qui se correspondent (points ou droites) dans les deux systèmes sont situés deux à deux sur un seul et môme élément (rayon ou plan) de la gerbe.

La ligne d'intersection des deux plans coïncide avec sa correspondante ou se correspond à ellemême ; il en est de même ]iour tout point situé sur cette droite.

Les deux systèmes plans ont ainsi une ponctuelle correspondante commune.

])r()jections d'un seul et même système plan les éléments correspondants (rayons ou plans) des gerbes passent deux à deux par un seul et même élément (point ou droite) du système plan. Le rayon commun aux deux gerbes qui réunit leurs centres coïncide avec son correspondant ou se correspond à lui-même ; il en est de même pour tout plan qui passe par ce rayon.

Les deux gerbes ont ainsi un faisceau de plans correspondant commun.

En effet, si deux formes sont rapportées entre telles et si un élément de l'une coïncide avec l'élément qui lui correspond dans l'autre, c'est-à-dire est identique, on dit que « les deux formes ont cet élément correspondant commun ».

Dans l'espace le point et le plan sont des éléments réciproques l'un par rapport à l'autre ; il en est de même dans le plan pour le point et la droite, par suite aussi pour les ponctuelles et les faisceaux de droites, les segments et les angles, etc. ; il en est également de même dans les gerbes pour le rayon et le plan, le faisceau de rayons et le faisceau de plans, etc. Exemple :

«j. Deux points d'un plan déterminent une droite.

a.. Deux rayons d'une gerbe déterminent un plan.

v^- Deux droites d'un plan déterminent un point.

a^. Deux plans d'une gerbe déterminent un rayon.

Une courbe plane peut être regardée

Pj. comme l'ensemble de tous les points situés sur elle.

P.^. comme l'ensemble de toutes les tangentes qui l'enveloppent

(fig. 9).

On verra que dans la géométrie moderne cette dernière manière de