RELATIONS DES FORMES GÉOM. ENTRE ELLES

tiielle à rinfini et à chaque faisceau de plans un faisceau de rayons à l'infini.

Deux formes fondamentales de même espèce peuvent être rapportées entre elles de la manière la plus simple, en les considérant comme les sections ou les projections d'une seule et même forme fondamentale. Ainsi dans deux faisceaux de rayons ou dans deux ponctuelles, qui sont les sections d'un seul et même faisceau de plans, deux droites ou deux points se correspondent quand ces éléments sont situés dans le même plan du faisceau.

D'autre part, on peut rapi)orter très facilement entre eux deux faisceaux de rayons S et S^ (fig. 7), de manière qu'ils soient les projections d'une seule

et même ponctuelle u, et qu'ainsi les rayons a et a^, b et b^, c et c^, c, qui passent deux à deux par le même point de la jponctuelle, soient deux éléments correspondants. Quand deux ponctuelles u et u^, situées

dans le même plan, sont considérées comme les sections d'un même fais ceau de rayons S (fig. 8), il est digne de remarque qu'au point à l'infini P ou Qi de l'une correspond en général un point propre P^ ou Q de l'autre.

Deux systèmes plans sont rapportés entre eux quand ils sont les sections d'une seule et même gerbe. Par exemple, une surface étendue de terrain plan et la figure perspective qu'on obtient en coupant son image ou son cône projectif passant par l'œil par un plan quelconque, par exemple, par un plan vertical, sont rapportées entre elles de telle manière que deux points appartenant l'un au terrain, l'autre à la figure perspective, se correspondent quand ils se trouvent sur un même rayon de la gerbe passant par l'œil, quand par suite ils sont avec l'œil sur une même ligne droite. A chaque droite du terrain correspond une droite de la figure perspective, et les deux droites sont dans un même plan avec l'œil. A la droite à l'infini du terrain (à la ligne d'horizon) correspond en général une droite propre, et c'est encore Là une raison pour regarder la ligne à l'infini d'un plan comme une droite. Quand deux systèmes plans sont rapportés entre eux de la manière qu'on vient d'indiquer, on dit aussi que l'un est une projection de l'autre, et le centre de la gerbe qui est en même temps l'image ou le cône projectif des deux systèmes s'appelle alors le centre de projection. Quand le centre est à l'infini, et quand par suite la gerbe est une gerbe de rayons parallèles, ce genre de projection devient le système de projection parallèle ordinaire de la géométrie descriptive.

On peut aussi rapporter deux gerbes l'une à l'autre en les regardant comme les perspectives ou les images d'un seul et même système plan. Chaque rayon d'une des gerbes coupe alors le rayon correspondant de l'autre en un même point du système plan ; de même deux plans homologues des gerbes ont pour ligne d'intersection une droite du système plan. Les perspectives d'une seule et même étendue de terrain prises de deux points différents donnent deux gerbes de cette sorte.

Nous laissons au lecteur le soin d'examiner par lui-même d'une manière plus approfondie la question de la correspondance de deux formes fondamendales ; nous ferons seulement remarquer que les formes fondamentales peuvent être rapportées les unes aux autres d'une infinité de manières. Ainsi, par exemple, deux systèmes plans peuvent être rapportées entre eux, en les rapportant à un seul et même troisième système. Pour nous servir d'un exemple dont nous avons déjà souvent fait usage, nous pouvons imaginer que de deux points différents pris comme centres de projection on ait construit les figures perspectives d'un même terrain. Deux figures ou deux systèmes plans ainsi obtenus sont alors rapportés entre eux , puisque chacun d'eux est rap-