VINGT-CINQUIEME LEÇON

Courbes planes du troisième ordre.

L'étude des courbes planes situées sur la surface F"' du Iroisièiue ordre nous conduit à d'autres propriétés importantes de cette surface. Un plan quelconque ^ la coupe suivant une courbe C. du troisième ordre, c'est-à-dire qui a en conimun avec toute droite de ce plan, non située sur F'', trois points au plus et un point au moins. La surface F'' est engendrée par trois gerbes collinéaires S, Sj, S^ ; d'après cela la courbe (1. se présente à nous comme la forme engendrée par trois systèmes collinéaires situés suri;, qui sont des sections de ces gerbes, et elle peut être définie, indépendamment de la surface du troisième ordre, ainsi qu'il suit :

Trois systèmes collinéaires, contenvs dans le même plan il, en(/endrent une courbe C. du troisième ordre, suivant les points de laquelle les rayons homologues des systèmes se coupent trois à trois. Par aucun point situé en dehors de C. il ne passe plus de deux rayons correspondants des systèmes.

Projetons les trois systèmes collinéaires de trois points quelconques de l'espace par des gerbes, ces dernières engendrent une surface du troisième ordre passant par C.. Cette surface dégénère en une surface conique du troisième ordre, quand les centres des trois gerbes coïncident.

La surface F'" du troisième ordre, dont nous considérons la courbe plane C. comme une section, peut être représentée sur un système plan 2' au moyen des gerbes collinéaires S, S,, S, ; comme nous l'avons

222 GÉOMHTRIE DE l'OSI I ION.

Vil, nous n'avons (|u';i rappoi'tt'r ivcipiofiiicnicnt ces gerbes à1'. Comme représentation de (1, nous aurons alors une courbe C. qui est égaleuient du troisième ordre. Les systèmes plans ^ et :i;' sont rapportés réciproquement Tun à l'autre d'une triple manière par le moyen des gerbes S, S,, S^; et tout point V de (7. se distingue des autres points de :i' en ce (|ue les trois rayons de - qui lui correspondent ne forment pas un ti-iangle, mais passent par un seul et même point P de (-.. Réciprocpiement, au point V de C. correspondent dans 2;' trois rayons qui se coupent en un seul et même point de C'.. Nous avons déjà vu précédemment (11, pages 210-211), et démontré d'une autre manière, que G', a en couuuun avec toute droite de -' trois points au plus et un point au moins.

Toute section plane G. de la surface F' du troisième ordre est en^ (jendrée par troix faisceaux de plaus du troisième ordre de S. S^, S^. Une propriété importante de la courbe G. découle des théorèmes précédemment démontrés (II, page 218). G'est la suivante :

Soit S un point quelconque de la courbe plane G. dji troisiènie ord)-e, tous les points qui so)it liaruioniqueuient séparés de S par deux autres points de la courbe sont situés ■•^ur une conique passant par S. Cette conique est tanqeute en S à la courbe G. et contienl les points de contact de toutes les tangentes cjue Von peut mener du point S (i G.. Dans des cas particuliers, cette conique dégénère en deux droites.

Par exemple, la conicpie doit toujours se composer de deux droites, quand G. se décompose en trois droites a, b, c. On voit immédiatement que ce cas est possible, car on peut rapporter coUinéairement entre eux trois systèmes plans de manière qu'ils aient un triangle abc correspondant conunun. Si G. contient une courbe du second ordre a et si S est intérieur ou extérieur à a, la conique dont il est question dans le théorème se réduit également à deux droites, dont l'une est identique avec la polaire de S par ra])port à a. L'autre droite passe par S, et elle doit appartenir tout entière à la ligne G. ; car s'il en était autrement, il seiait impossible que chacun de ses points fut harmoniquement séparé de S par deux points de la ligne G.. 11 suit de là que:

Si la courbe G. du troisième ordre contient une conique a^ elle se décompose en cette conique et en une droite.

Nous allons réunir les uns aux autres les centres des trois gerbes Sj S^, S^ par une conique •/.' et démontrer que •/.- est contenue tout entière sur la surface F'' ou qu'elle a encore au plus trois autres points com-

COURBES PLANES DU TROISIÈME (tRDRE. 2'23

iiiiins avec F''. Projetons de S la conique •/.- par un faisceau de rayons et cherchons le faisceau de rayons qui lui correspond dans la gerbe S^ ; ce dernier est également projectif à -/,- et engendre avec •/.- un faisceau de plans du premier ou du second ordre. Tout })lan de ce laisceau a un l)oint de •/.' commun avec le plan corres})on(lant de S ; à ce faisceau de })lans correspond aussi dans S^ un faisceau de j)lans |)r()jectif à ■/.', dont tous les plans passent par les points correspondants de y,' ou dont trois au plus jouissent de cette propriété (I, pages 155-156). Le théorème est donc démontré; et connue S, S^ S^ peuvent être considérés comme trois points absolument quelconques de la surface F'', on voit que :

La surface F'' du troisième ordre et chacune de ses sections planes ont au plus six points communs avec une conique qui n'est pas entièrenu'ut située sur la surface.

Si donc une courbe plane (1. du troisième ordre a plus de six points communs avec une conique, elle se décom])ose en cette conique et en une droite. On voit de plus que :

Une surface du second ordre a en (jénéral une courbe gauche du sixième ordre commune avec la surface du troisième ordre.

En effet, un plan quelconque coupe la surface du second ordre suivant une conique qui, en général, a tout au plus six points (situés sur la courbe gauche) communs avec la surface du troisième ordre.

T)'ois faisceaux de plans du second o)'d)-e projectifs, nuiis no)i concentriques, engendrent en général une courbe gauche -( du sixième ordre, par laquelle on peut faire passer une surface du troisiènw ordre.

En eifet, les trois gerbes S, S^, S., aux({uelles appartiennent les faisceaux du second ordre sont rapportées collinéairement entre elles par le moyen de ces faisceaux et engendrent une surface F'' du troisième ordre. Représentons F"' sur un plan ^'; aux faisceaux de plans du second ordre et à la courbe y qu'ils engendrent correspond dans ^' une conique y' et à toute courbe plane d'intersection G3 de F'' correspond dans II' une courbe C. du troisième ordre. Gomme y' a au plus six points communs avec C'., y sera aussi cou[)é par la courbe (1. et par son plan en six points au plus. Il n'y a d'exception que si y' fait partie de la courbe C/..

Si une conique a six points communs avec une courbe G. du troisième ordre et si elle change de forme et de position d'une manière continue, de telle sorte que deux de ces six points se rapprochent indéfmiment l'un de Tautie, ces deux points se réunissent finalement

pour former un point de contact comniun en dehors duquel les deux coui'bes n'ont plus que quatre points communs Tune avec l'autre.

Mais les })oints de contact des tangentes que l'on peut mener à une courbe (\ d'un point S de cette courbe sont situés sur une conique tangente à la courbe C. en S ; donc :

Par un point quelconque S de la courbe C. du troisième ordre, on ne peut, en outre de l<i tangente en S, mener au plus que quatre tangentes à C..

Par le point S de la courbe C. passent une infinité de rayons qui coupent chacun la courbe en deux points différents de S. Chacun de ces couples de points peut être réuni par une courbe gauche du troisième ordre, qui appartient au premier système de courbes de la surface F'' du troisième ordre; et il résulte des théorèmes précédents (II, pages 214-215) que toutes les courbes gauches ainsi déterminées se coupent en un même point P de C.. Nous avons aussi démontré déjà (pie le faisceau de courbes P du premier système est rapporté projecti- Aement au faisceau de rayons S, quand à chaque courbe de P on fait correspondre sa corde qui passe par S. Le faisceau de courbes P peut être réuni à une courbe gauche quelconque /r' du second système par un faisceau ponctuel de F-, dont les surfaces se coupent suivant //' et suivant la corde de A:"', qui ])asse par P. Ce faisceau de surfaces est lui-même projectif (II, page 219) au faisceau de courbes P et au faisceau de rayons S; et les points qui sont communs à un rayon quelconque de S, à la courbe correspondante du faisceau P et à la surface correspondante du second ordre sont situés sous la courbe C.. Le faisceau de surfaces est coupé par le plan du faisceau de rayons S sui- \ant un faisceau de conicfues qui lui est projectif, et dont les coniques ])assent par le point P et par les points communs au plan et à la courbe gauche //'. Or, comme h'' peut être choisie arbit rairement dans le second système de courbes, il s'ensuit que :

La courbe plane C. du troisième ordre peut être engendrée d'une infinité de manières au moycîi d'un faisceau de rai/ons S et d'un faisceau de coniques qui lui est projectif, de telle sorte que les points d'intersection d'un ragon de S et de la conique correspondante soient situés sur C..

Paimi les quatre points qui sont communs aux coniques, nous pouvons en choisir deux, 0 et Q, d'une manière absolument arbitraire sur C,, puisque, ])ar deux points (juelconques de la surface F', on peut faire