COURBES PLANES DU TROISIÈMP: ORDRE

])asser une courbe k. du second système ; le troisième R se trouve également sur /t''. Le quatrième point P ne dépend qu'en apparence du choix du point S; car nous allons montrer de suite (}ue l'on peut attribuer à chacun des trois points 0, Q, R le rôle que jouait le point P dans la recherche précédente et que, par suite, P peut être échangé avec un point quelconque de C.. Au contraire, chacun des quatre points est déterminé par les trois autres et par le point S. En effet, si 0, P, Q et S sont donnés, nous trouverons R, en joignant par une conique 0, R et Q avec deux points quelconques de C^ situés sur une même droite avec S et en cherchant le sixième point d'intersection de cette conique avec (]..

On peut échanger le point P avec le point 0 ; cela résulte de la démonstration du théorème suivant:

Par chaque courbe engendrée au moyen cVun faisceau de rayons S et dhin faisceau de coniques [OPQR] projecfif à S, et consêquemnicnt par le centre de S et les quatre points 0, P, Q^ R commvns aux coniques, on peut faire passer une surface du troisième ordre ; ou autrement dit, la courfjc est du troisième ordre.

Nous joignons trois des quatre derniers points, par exemple P, Q et R par une courbe gauche /î;'' du troisième ordre, nous prenons arbitrairement sur cette dernière les centres de deux gerbes S^ et S, et nous rapportons ces gerbes collinéairement entre elles de telle manière qu'elles engendrent le système de cordes de k''. Par 0 passe une corde de /.'■ suivant laquelle se coupent deux plans homologues x^ et a^ des gerbes. Soient s^ et s, deux rayons homologues des gerbes, respectivement contenus dans a:^ et a^; ils coupent le plan OPQR en deux points qui appartiennent à une seule et même conique du faisceau (OPQR) ; en eflet,les faisceaux projectifs de plans s^ et .s.^ engendrent unesurface du second ordre passant par k'' et par le point 0 et sur laquelle sont aussi situés les rayons Sj et s^. Les deux faisceaux de rayons de s\ et s^, situés dans a^ et a^ et qui se correspondent, seront donc coupés par le plan OP(JR suivant deux ponctuelles perspectives au faisceau de coniques (OP(iR) (II, page 178) ; elles sont donc aussi projectives au faisceau de rayons S. Rapportons maintenant la gerbe S collinéairement cà Sj et S,, de manière que ces trois faisceaux ])rojectifs de rayons se correspondent, les trois gerbes engendrent une surface du troisième ordre, dont la courbe plane doiuiée est une section. La collinéation en question peut être établie d'une infinité de manières (II, page 7).

GÉOMÉTFiIE DE POSITION. — II. 1 T)

Le rôle du point P peut donc aussi être attribué cU'ectivement à tout autre point quelconque 0 de la courbe G. du troisième ordre; il eu résulte alors d'une manière générale ({ue:

Si l'on prend cwbUrub'enient qiutlre points S,I\QJi sui' une eourhe plane C. du troisième ordre, et si l'on réunit par une conique les point s P, Q et R à deux auti^es points de C. situés sur une même droite avec S, toutes ces coniques constituent un faisceau de coniques projectif au faisceau de rayons S, et le quatrième point 0 commun aux coniques est aussi situé sur C...

On voit inniiédiatenient ([iie la réciproque sLii\ante de ce théorème est exacte :

Si par quatre points quelconques OJ^^QJt d'une courbe plane C.du troisième ordre on fait passer des coniques qui aient encore chacune deux autres points communs avec C., les droites qui réunissent ces couples de ])oints se coupent en un seul et même point S de C^. Le faisceau [OP QPi) de coniques est rapporté projectivement au faisceau de rayons S, quand on fait correspondre à chaque conique le rayon de S obtenu de cette manière.

Pour que le théorème ait un sens, il faut que, })armi les quatre })oints 0,P,Q,Pi, il n'y en ait pas trois sur une môme droite. Au contraire, deux quelconques d'entre eux peuvent se rapprocher indéfiniment l'un de l'autre, en sorte que le théorème subsiste encore quand les coniques coupent C. en deux points et lui sont tangentes en un ti-oisième, ou bien quand elles sont tangentes entre elles et à la courbe C. en deux points différents, etc.

Le j)oiiit S a reçu le nom de point opposé au quadrilatère OPQR.

Le dernier théorème constitue une des propriétés fondamentales des courbes planes du troisième ordre ; et nous pouvons en déduire un grand nombre d'autres })ropositions, et tout d'abord la suivante :

Par huit points arbitraires 0,P,Q, R, À,B, C,D du plan on peut faire passer une in/inité de courbes du troisième ordre ; par un neuvième point arbitraire E, il ne passe qu'une seule de ces courbes; c'est seulement quand E a une position particulière^ complètement iéterminée par les huit premiers points, que toutes ces courbes du troisième ordre passent par ce dernier point.

Parmi les points donnés nous en choisissons quatre quelconques, 0, P, Q, 11, dont trois ne soient pas en ligne droite ; nous faisons passer par eux un faisceau de coniques et nous désignons par a, 3, y, Sj s les cinq