SURFACES J)U TROISIÈME ORDRE

tangente de //' que si le plan a est osculateur à la courbe //' au point S.

Nous saisissons cette occasion pour faire mention de certains ])oints remarquables qui peuvent, dans certains cas, se trouvei' sur la surface du troisième ordre et pour lesquels les théorèmes précédents ne sont plus applicables. En effet, il peut arriver que les courbes gauches h^' et /./' du troisième ordre, engendrées par la gerbe S et les gerbes collinéaires Sj et S^, aient encore, en outre du point S, des points connnuns (au nombre de quatre au jilus), ou bien encore qu'elles soient tangentes en S. Trois rayons homologues des gerbes se coupent alors en chacun de ces points, et éventuellement aussi en S ; il en résulte (prun pareil point doit être situé sur chaque courbe cubique gauche du premier aussi bien que du second système de courbes. Les centres de deux des trois gerbes collinéaires S, S^ S^ peuvent être transportés en un pareil point double de la surface, en sorte que cette dernière peut être engendrée par trois gerbes collinéaires, dont deux sont concenti'iques. Nous ne nous étendrons pas davantage sur ces cas particuliers, mais nous admettrons que les coui'bes gauches Ii\' et /./', que Ton doit considérer comme deux courbes absolument quelconques du second système, n'ont qu'un seul point S commun et qu'elles s'y coupent. Deux courbes gauches quelconques du premier système n'ont donc aussi qu'un seul point commun et elles se coupent en ce point.

Si nous réunissons par une surface du second ordre chacune des courbes /'' du premier système avec une courbe quelconque donnée A;'' du second système, nous obtenons une gerbe de surfaces du second ordre qui se coupent toutes suivant A''. A toute courbe du jiremier système correspond une surface de la gerbe A;'', passant par elle; atout faisceau P de courbes correspond au contraire un faisceau ponctuel de F^ dont les différentes surfaces ont en commun la courbe gauche /r" et une corde de k'^ passant parle point P. Supposons le centre de la gerbe S placé en dehors de la courbe gauche /.:"' ; à tout rayon a de S correspond alors une courbe déterminée P du premier système, engendrée par le faisceau de plans a et les faisceaux de plans homologues des gerbes Si et Sj, et a est une corde de cette courbe gauche/"'.

Le rayon a a, d'après cela, pour correspondants une surface k'P de la gerbe de surfaces k^ et un plan déterminé a, qui est le plan polaire du point S par rapport à cette surface. Le plan a passe par le point S^ qui est conjugué au point S par rapport à la courbe gauche A;"'; il est en

outre coupé par le rayon a eu un point c|ui est le conjugué de S par rappoit à la courbe gauche /' (II, pages 119-120).

Si le rayon a pivote aulour du point S, la courbe /'' change de position sur la surface du troisième ordre et la surface du second ordre A''/" varie aussi dans la gerbe /.:'' ; et en même temps, le plan polaire a de S doit pivoter autour du point S'. Si « décrit un faisceau ordinaire de rayons, V' décrit un faisceau de courbes qui lui est projectif ; la surface A'"/'" doit par conséquent décrire un faisceau ponctuel de F' et le plan a un faisceau de plans du premier ordre, projectif à ce faisceau de surfaces. Par suite, à tout rayon de S correspond un plan de la gerbe S* et à tout faisceau de rayons du premier ordre de S et à son plan correspondent dans S' un faisceau de plans du premier ordre et son axe. Il résulte de là que les gerbes S et S' sont rapportées réciproquement l'une à l'autre et conséquemment engendrent une surface du second ordre ; donc :

(Sï iVun point quelconque N de la surface du troisième ordre on mène une corde a à chaque courbe gauche V du premier système, et si Von détermine le point de a conjugué à S par rapport à la courbe V, tous les points ainsi trouvés constituent une surface du second ordre passant par S. Cette surface contient aussi tous les points S' conjugués à S par rapport aux courbes gauches k* du second système.

Si un rayon f[uelconque de la gerJ)e S coupe la surface du troisième ordre en deux points A et Aj, différents de S, et s'il est par suite une corde delà courbe du premier système qui passe par A et Aj, le point de cette corde qui est conjugué à S est harmoniquement séparé de S par A et Aj. Faisons mouvoir le rayon SAA^ de manière que les deux points A et Aj se rapprochent indéfiniment l'un de l'autre et que SAA^ devienne une tangente à la surface du troisième ordre ; le point conjugué à S doit aussi venir se réunir au point de contact, puisqu'il est harmoniquement séparé de S par A et Aj. On voit de même que le point conjugué à S vient se confondre avec lui, quand l'un des points A et Aj coïncide avec S et quand, par conséquent, le rayon SAAj se rapproche indéfiniment d'une tangente menée à la surface au point S. Donc :

La surface du second oindre, dont il vient d'être question, contieni. tous les points qui sont harmoniquement séparés de S par deux autres points A, A^ de la surface F' du troisième ordre, ainsi que les points de conlacl de toutes les tangenles (/ue l'on peut mener de S à la sur-

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face. Elle a de plus son plan tangent en S commun avec F'' et j)eut être appelée la polaire du point S.

Comme tout faisceau de courbes du premier système a ])our correspondant dans S un faisceau de rayons qui lui est projectif, nous pouvons dire aussi que le premier système de courbes est projectivement rapporté au faisceau de rayons S. Mais la gerbe S est rapportée réciproquement à la gerbe S' et d'autre part à quatre plans liannoniques de S' il coi'respond toujours quatre surfaces harmoniques de la gerbe de surfaces A'"', en sorte que cette dernièi'e est aussi projective à la gerbe S\ Nous déduisons de là que :

S/ à chaque courbe du premier sijslè)ne oti fait correspondre la surface de la gerbe k"' qtù passe par elle, le système de courbes est rapporté projectii)emenl à la gerbe de sni'faces k''; et chaque faisceau (le courbes du système a pour correspondanl dans k'' le faisceau ponctuel de F' qui lui est projectif.

A l'aide de ce théorème, nous pouvons facilement trouver la position respective des points qui sont harmoniquement séparés par deux points de la surface F" d'un point donné P extérieur à cette surface ou, pour nous exprimer d'une manière plus générale, qui sont conjugués à P par rapport à chacune des courbes /"' du premier système. Joignons F par des surfaces du second ordre à t]-ois courbes quelconques li\h-\k^' du second système, les trois plans polaires du point P par rapport à ces suifaces se coupent au point qui est le conjugué de P par rapport à l:'. Si maintenant /' décrit le premier système de courbes tout entier, les surfaces /,'7", k^'F, /./'/"'décrivent les trois gerbes de surfaces k:\ /,/' et //', qui sont projectives au système de courbes et par suite projectives entre elles; et les trois plans polaires du point P décrivent trois gerbes V\ Pi\ P^' qui sont projectives aux gerbes de surfaces et au système de courbes, qui par suite sont coUinéaires entre elles et dont les centres sont conjugués à P par rapport aux trois courbes gauches //', /./', k^'. Ces gerbes coUinéaires P\1\\P./ engendrent une surface du troisième ordre; donc:

Les différents points, qui sont liarmoniquement séparés par deux points delà surface V' du troisième ordre d'un point P situé en dehors de F\ sont contenus sur une deuxième surface du troisième ordre. Cette dernière passe aussi par les points de contact de toutes les tangentes que Von peut mener de P à la surface F'' et elle est également tangente à ces tangentes.

Toute droite menée par P et ayant avec F'' trois points A, Aj, A^ communs est aussi coupée par la deuxième surface du troisième ordi-e on trois points 15, B,, lî^. Si mainlenant le rayon PA pivote autour de !• de manière à devenir une tangent(> à la siu-face F", et par conséquent de manière que deux des points A, A^ A, se réunissent au point de contact, l'un des points B, B^, B., vient coïncider avec eux, tandis qu'en même temps les deux autres se réunissent; car chacun des points B, Bj, P)^ est harmoniquement séparé de P par deux des points A, Ai, A^. La dernière partie de notre théorème se trouve ainsi démontrée.