COURBES PLANES DU TROISIÈME ORDRE

coniques de ce faisceau (OPQR) qui passent respectivement par A, B, G. D, E. Nous pouvons rapporter le faisceau de rayons D à (OPQR) de telle sorte que les rayons DA, DB, J)C correspondent respectivement aux coniques a, |3, y; ceci fait, nous pouvons construire aussi les rayons DD^et DEj du faisceau D qui correspondent aux coniques o ets. A présent, nous imaginons qu'on ait tracé par A, B, C et D une conique /, tangente en D au rayon DD^ ; elle est coupée par le rayon DE^ en un point Ej et est rapportée par le faisceau D projectivement au faisceau de coniques (OPQR), de telle sorte que les coniques a, [S, y, o, s correspondent respectivement aux points A, B, G, D,E^ de y.. Tout faisceau de rayons S, perspectif à la conique-/., engendre avec le faisceau de coniques (OPQR) une courbe du troisième ordre qui passe par les huit points 0, P, Q, R, A, B, G, D. Si maintenant nous déterminons sur ■/. le centre du faisceau de rayons S, de manière que le point E^ en soit projeté par le rayon SE, la courbe du troisième ordre passe aussi par le neuvième point E. Pour une position quelconque du point S, la courbe du troisième ordre a en commun avec la conique les cinq points S, A, B, G, D et conséquemment elle en a encore au plus un sixième T. (le point T de -/, est situé de même que A, B, G et D sur la conique du faisceau (OPQR) qui lui correspond et, par conséquent se trouve contenu sur chacune des courbes du troisième ordre qui passent par 0, P, Q, R, A, B, G, D; c'est seulement quand E coïncide avec T que toutes ces courbes passent par E.

11 est à remarquer que nous n'avons nullement besoin de tracer la conique z, mais que nous pouvons trouver les points Ej et S par des constructions linéaires, par exemple, au moyen du théorème de Pascal. Nous pouvons de même construire le deuxième point A^ où le rayon SA coupe la coni({uea; et comme A^ appartient aussi à la courbe du troisième ordre cherchée, nous aurons résolu ainsi le problème suivant :

Une courbe plane C.^ du troisième ordre élanl donnée par neuf poinl s, construire son dixième point A^, qui est sur une même conique a avec cinq quelconques des points donnés.

Le faisceau de coniques (OPQR) contient aussi les trois couples (le côtés opposés du quadrangle OPQR. Cherchons le rayon du faisceau S qui correspond à l'un d'eux, par exemple à OP, QR, nous résoudrons ainsi ce problème :

Une droite OF réunit deux des neuf points donnés ; construire

228 GÉOMËTIÎlE DE POSITION.

son Iroisiènie point cV intersection avec la courbe C.du I roisième ordre .

Soit / un rayon quelconque du faisceau S et À la conif|ue f[ui lui correspond dans le faisceau (OlMHi). Lorsque / se rapproche indélininient du rayon SO, l'un des deux points d'intersection de / et de a s'approche indéfiniment du point () et la droite qui réunit 0 à ce point d'intersection devient la tangente à la courbe C. au point 0 ; en même temps, la conique a change de foi'ihe de telle manière qu'elle est également tangente à cette droite au point 0. Si donc nous déterminons la tangente au point 0 à la conique ([ui correspond au rayon SO, nous résolvons par là même ce problème :

Mener une tangente à la courbe C. du troisième ordre, en f nu des neuf points donnés, en 0 par exemple.

A l'aide de ces remarques, on peut aussi traiter facilement les problèmes suivants : Construire une courbe du troisième ordre dont on donne huit points et une tangente, ou bien sept, six, cinq points et les tangentes respectives en deux, trois ou quatre d'entre eux. Nous ne nous arrêterons pas à en donner la solution.

On a démontré qu'en général huit points (ki i)lan peuvent être réunis à mi neuvième par une courbe du troisième ordre ; de cette démonstration il résulte que :

Deux courbes planes du troisième ordre ont au plus neuf points communs 0, P, Q, i^, A, B, C, D, T; ces points peuvent être réunis à un dixième point E quclcouque du plan par une courbe du troisième ordre.

Si par quatre des neuf points, par exemple, par 0, P, Q, R, nous faisons passer un faisceau de coniques et par les cinq autres une conique-/., cette dernière peut être rapportée projectivement au faisceau de telle manière qu aux cinq points A, B, C, />, T de ■/. correspondent resjiectivement les coniques du faisceau [OPQR) qui passent par eux. La conique % contient aussi le point S opposé au quadrilatère OPQR }mr rapport à toutes les courbes du troisième ordre passant par les neuf points.

Il peut arriver que six des neuf points soient situés sur une coni({ue. Soit K un septième point quelconque de cette conique, on peut aussi réunir K aux neuf ])oii)ts pai' une coni'bc du troisième oi'dre ; et connue cette dernièrea se])t points coiniiiuns avec la coirupie, elle se déconqiose en cette conique et en une droite. Donc :

Si, parmi les neuf points d'intersection de deux courbes du troi'