COURBES PLANES DU TROISIÈME ORDRE

fiième ordre .nx sont situes sur une conique, les (rois autres sont sur une même ligne droite.

Ce théorème et sa démonstration subsistent encore quand la conique dégénère en deux droites. Nous en déduisons que :

Si une courbe C. du troisième ordre est coupée par trois droites a, 1), c en groupes de trois points tels que six de ces neuf points soient situés sur une courbe du second, ordre ou encore sur deux nouvelles droites k et\, les trois autres j)oinfs d'intersection sont sur une même droite m.

Car les trois droites a,b, c constituent une seconde ligne du troisième ordre et, par les neuf points d'intersection, on peut faire passer une infinité de courbes du troisième ordre. Les six points communs à une courbe C. du troisième ordre et à une conique quelconf[ue peuvent être réunis deux à deux par io droites qui coupent C. en 15 points P; ces quinze points P sont trois à trois sur îT) droites g et ces 15 droites g se coupent trois à trois en ces 15 points P.

Dans le théorème précédent, nous ponvons prendre arbitrairement les droites A; et / et, par leurs six points d'intersection avec G-, faire passer les trois droites a, b, c. Si /.■ et / se rapprochent indéfiniment Tune de l'autre, rt, b, c deviennent trois tangentes de la courbe du ti'oisième ordre et l'on voit que :

Si Von mène des tangentes à la courbe C. du troisième ordre aux trois points qui lui sont communs avec une droite k, ces tangentes coupent la courbe en trois nouveaux points, qui sont situés sur une deuxième droite m.

Nous avons déjà vu que la coui-be plane G. du troisième ordre peut se décomposer en une droite et une conique, mais nous n'avons pas encore démontré cju'il doit toujours en être ainsi quand la courbe G. contient une droite g. Par le fait, cette décomposition n'est pas toujours nécessairement celle qu'on indique, car on peut se représenter le cas où la courbe du troisième ordre se réduit tout entière à la droite g, ou bien où elle n'a cju'un seul point en dehors de g. Mais si G., outre g, se compose d'autres points, trois d'entre eux ne sont pas en général situés sur une même droite /; car s'il en était ainsi, / aurait encore avec C. le point Ig commun ; elle aurait alors quatre points communs avec G., appartiendrait par suite dans son entier à la courbe G'', et cette courbe G. devrait se déconqooser en trois droites, dont la troisième poui lait se confondre avec / ou g. Nous pouvons d'après cela réunir

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cinq points qnolconqiies extérieurs à g par rnie courbe -/.^ du second ordre qui constitue aussi avec g une courbe du troisième ordre. Ces cinq points, joints aux trois points de la droite gr, constituent un système de liiiit points qui, avec un neuvième point quelconque du plan, déterminent en général une seule courbe du troisième ordre. Si maintenant nous choisissons aussi le neuvième point sur la droite g, cette courbe du troisième ordre se confond évidemment avec C^ et en même temps aussi avec la courbe du troisième ordre qui se compose de g et de la conique x^ Donc :

Si une courbe C. du troisième ordre renferme une droite g, elle se décompose généralement en cette droite et une conique ; dans des cas particuliers, elle peut se composer de g et de deux autres droites, quand elle ne se réduit pas à g et à un point isolé, ou même à g toute seule.

On peut facilement conclure de là que, parmi les neuf points d'intersection de deux courbes du troisième ordre, six doivent être situés sur une conique ou sur deux droites, quand les trois auti'es sont siu' une même ligne droite.

Le théorème suivant peut encore trouver place ici, en terminant :

La. courbe de base d'un faisceau, de surfaces du second ordre est projetée de chacun de ses points suivant une surface conique du troisième ordre.

Soient S et T deux points quelconques de la courbe de base ; nous pouvons rapporter la gerbe S réciproquement à la gerbe T d'une triple manière, de manière qu'elle engendre avec T trois surfaces quelconques du faisceau ponctuel de F^ Le point S se présente alors comme centre de trois gerbes collinéaires, et ces dernières engendrent (II, page 221) une surface conique du troisième ordre dont les rayons projettent chacun un ])oint de la courbe gauche du quatrième ordre. Nous en concluons que :

Une surface conique du troisième ordre et une surface réglée du second ordre, qui ont deux rayons a et h communs, se coupent suivant une courbe gauche du quatrième ordre par laquelle on peut faire passer un faisceau de surfaces du second ordre.

Pour le démontrer, joignoiis par une nouvelle surface du second ordre le point ab avec sept points quelconques, extérieurs à a et 6 et appartenant à la courbe d'intersection de la surface réglée et de la surface conique du troisième ordre. Celte nouvelle surface sera coupée par